第3讲 等式与不等式的性质·综合测试-2027届高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

**基本信息** 聚焦等式与不等式性质，通过选择、填空、解答题层级设计，系统考查性质应用、逻辑推理与运算能力，培养数学思维与表达。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题（含8单3多）|性质判断、大小比较、充要条件|从概念辨析到逻辑推理，覆盖性质核心考法| |填空题|3题|性质辨析、取值范围、实际应用|结合糖水不等式等情境，强化性质迁移应用| |解答题|5题|证明、最值求解、综合计算|从简单证明到复杂最值，构建“概念-应用-综合”递进链条|

第3讲 等式与不等式的性质·综合测试（解析卷） 答案速查表 1 2 3 4 5 D A C C A 6 7 8 9 10 D A D AC ABD 11 12 13 14 15 BCD ②⑥ > （1）证明见解析 （2）见解析 16 17 18 19 （1）见解析 （2）证明见解析 （1）证明见解析 （2） （3） （1）证明见解析 （2） 1.（2026·山东枣庄·一模）已知，则下列命题正确的是（ 　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】A.若，则不一定成立，如； B.若，则不一定成立，如； C.若，则不一定成立，如； D.若，则，所以成立.故选D. 【点拨】判断不等式命题的真假时，对于错误选项，通过构造特殊值举反例是最高效的排除策略；对于正确选项，需严格依据不等式的基本性质进行推导. 2.若，，则将从小到大排列为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵，，不妨令，， 则有，， ∴有， 即. 【点拨】在处理多个代数式的大小比较问题时，若已知变量的取值范围及等量关系，采用特殊值代入法可迅速明晰各式的相对大小，避免繁琐的代数变形. 3.（2026·福建莆田·二模）已知，，且，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】对于A，因为，所以，即，故A错误； 对于B，当时，，，此时，故B错误； 对于C，，因为，所以，，，所以，即，故C正确； 对于D，函数在上单调递减，所以，又因为函数为偶函数，所以，故D错误. 【点拨】综合运用作差法、特殊值法以及基本初等函数的单调性与奇偶性，是解决此类不等式综合判断题的关键路径. 4.（2026·广东深圳·二模）设，则“”是“”的（ 　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】∵单调递增，∴， ∵单调递增，∴， ∴，即“”是“”的充要条件. 【点拨】判断充分必要条件时，借助指数函数和幂函数的单调性将不等式进行等价转化，能使逻辑关系更加直观. 5.（2026·苏锡常镇·二模）已知，则“”是“”的（ 　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由得，，，所以充分. 取，，，则，但，所以不必要. 【点拨】处理涉及底数和指数均含参的不等式时，需灵活切换指数函数与幂函数的单调性视角，必要性不成立时构造反例最为直接. 6.（2026·山东九五·一模）若，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由得， 设，则在上单调递增， 所以，即， 所以，故D正确. 【点拨】遇到结构对称的不等式，优先考虑移项并构造同构函数，利用导数或基本初等函数的性质判断其单调性，进而脱去函数符号得出变量间的关系. 7.已知，，则的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为，所以， 由，得.故选：A. 【点拨】利用同向不等式的可加性求范围时，必须先求出各独立部分的范围再进行相加，严禁直接相减以免范围扩大. 8.（2024·广东·期末）已知，，则的取值范围为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】设， 所以， 则， 又，， 所以，， 由不等式的性质得：， 则的取值范围为.故选：D. 【点拨】当目标式与已知不等式的变量存在线性关系时，采用待定系数法将目标式表示为已知式的线性组合，是防止取值范围扩大的标准解法. 9.（2026·山东东营·二模）已知，则下列说法正确的是（ 　　） A. B. C. 若，则 D. 【答案】AC 【解析】A选项，在上单调递增，因为，所以，A正确； B选项，在上不单调，所以与大小不确定，B错误； C选项，因为，，所以，C正确； D选项，在上单调递减，因为，所以，D错误. 【点拨】利用函数单调性比较大小时，必须确保自变量处于该函数的单调区间内，尤其注意三角函数在整个正半轴上并不具备单调性. 10.已知实数满足，，则（ 　　） A. 的取值范围为 B. 的取值范围为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 【答案】ABD 【解析】因为，所以.因为，所以，则，故A正确； 因为，，所以，，则，故C错误； 因为，，所以，，则，故D正确. 对于B，因为，，所以，所以，故B正确.故选：ABD. 【点拨】处理多个变量的线性规划范围问题时，务必使用待定系数法，将待求表达式转化为已知不等式表达式的线性组合，再利用同向不等式相加的性质求解. 11.（2026·湖南永州·一模）若实数满足，则下列选项一定正确的有（ 　　） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】对A：当，时，满足，但，则不成立，故A错误； 对B：因为，所以，所以，故B正确； 对C：设，其中，，则，故C正确； 对D：因为，因为，，所以，所以成立，故D正确.故选：BCD. 【点拨】综合判断不等式命题时，灵活穿插使用特殊值法排除错误选项，并结合基本不等式、绝对值三角不等式及几何意义（如点到直线的距离）进行严密推导. 12.如果，给出下列不等式：①；②；③；④；⑤；⑥. 其中一定成立的不等式的序号是＿＿＿＿＿＿. 【答案】②⑥ 【解析】令，，排除①，，排除③选项，，排除⑤. 当时，排除④. 由于幂函数为上的递增函数，故，②是一定成立的. 由于，故.故⑥正确. 所以一定成立的是②⑥. 【点拨】对于含有多个不等式的判断题，优先考虑特殊值法快速排除，再针对剩余选项利用函数单调性或作差配方法进行严格证明. 13.已知三个实数，当时，且，则的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】当时满足：且， ，即，进而，解得. 所以或， ， 令， ， 由于，所以在单调递增，在单调递减， 当时，，当时，， 所以.故答案为：. 【点拨】面对多元代数式的范围问题，通过消元并作齐次化处理，将其转化为关于单一比值变量的函数，结合二次函数的图像与性质求最值. 14.（2024·山西·一模）我们都知道一杯糖水中再加入一些糖，糖水会更甜. 这句话用数学符号可表示为：，其中，且. 据此可以判断两个分数的大小关系，比如＿＿＿＿＿＿(填“>”“<”). 【答案】> 【解析】令，则， 令，则， 所以，， 根据题设知：. 故答案为：>. 【点拨】糖水不等式是比较真分数大小的有力工具，识别出复杂分数之间的差值关系，将其抽象为代数模型即可秒杀. 15.（13分）（2024·检测）（1） 已知，，求证：； （2） 设，比较与的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2）见解析 【解析】（1） 证明：由，，得， 2 分 所以， 4 分 从而得. 又，所以. 6 分 （2） 解：因为 9 分 11 分 ， 12 分 当且仅当时等号成立， 所以当时，； 当时，. 13 分 【点拨】第一问利用不等式的基本性质进行同向不等式相加及同正不等式相乘；第二问采用作差法，通过因式分解与配方将其转化为非负式的乘积，注意对等号成立条件的讨论. 16.（15分）（1） 试比较与的大小； （2） 已知，，求证：. 【答案】（1）见解析 （2）证明见解析 【解析】（1） 解：由题意， 3 分 ， 6 分 所以. 7 分 （2） 证明：因为，所以， 11 分 即， 13 分 而，所以， 则.得证. 15 分 【点拨】作差法是比较代数式大小及证明不等式的首选方法，作差后通过展开化简或通分变形，准确判断差值的符号即可得出结论. 17.（15分）已知实数满足，，求的最大值. 【答案】 【解析】解：，， ，， 3 分 ， 7 分 是关于的方程的两个实数根， 10 分 ，即， 12 分 即，解得， 即的最大值为. 15 分 【点拨】面对含有对称关系的多元条件极值问题，利用韦达定理逆定理构造一元二次方程，借助判别式大于等于零是实现消元并求出范围的巧妙策略. 18.（17分）已知. （1） 证明：； （2） 求的最小值； （3） 求的最大值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】（1） 证明：由得， 2 分 则.由于，所以， 4 分 所以，因此且，故成立. 5 分 （2） 解：. 7 分 当时，， 由于，当且仅当时等号成立，故. 9 分 当时，，所以，即的最小值为. 11 分 （3） 解：， 14 分 因为，所以当时，取得最大值. 16 分 此时结合可解得或.故的最大值为. 17 分 【点拨】在处理条件极值问题时，通过已知等式进行整体代换或降次，将双变量问题转化为单变量或关于某个整体（如）的二次函数，再结合基本不等式或配方法求解. 19.（17分）（2024·衡水中学·阶段练习）已知，且满足，. （1） 证明：； （2） 求的最小值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】（1） 证明：因为，，且， 所以，， 3 分 两式相加得. 5 分 又因为， 所以. 7 分 （2） 解：设，则，代入已知条件得，，即. 9 分 所以. 11 分 当，即时，. 设，其导数在上恒成立，故在单调递增，最小值为. 14 分 当，即时，. 设，其导数在上恒成立，故在单调递减，所以. 16 分 综上所述，的最小值为. 17 分 【点拨】处理含有多个不对称约束条件的最值问题时，引入比值参数实现降元，将原问题转化为分段函数的最值探究，再借助导数工具精确刻画单调性，是突破此类难题的有效手段. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3讲 等式与不等式的性质·综合测试 （考试时间：120分钟　试卷满分：150分） 注意事项 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4. 适用地区：广东、江苏、浙江、山东、江西、河南、河北、安徽、福建、湖南、湖北. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.（2026·山东枣庄·一模）已知，则下列命题正确的是（ 　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 2.若，，则将从小到大排列为（ 　　） A. B. C. D. 3.（2026·福建莆田·二模）已知，，且，则（ 　　） A. B. C. D. 4.（2026·广东深圳·二模）设，则“”是“”的（ 　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5.（2026·苏锡常镇·二模）已知，则“”是“”的（ 　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6.（2026·山东九五·一模）若，则（ 　　） A. B. C. D. 7.已知，，则的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 8.（2024·广东·期末）已知，，则的取值范围为（ 　　） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分. 9.（2026·山东东营·二模）已知，则下列说法正确的是（ 　　） A. B. C. 若，则 D. 10.已知实数满足，，则（ 　　） A. 的取值范围为 B. 的取值范围为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 11.（2026·湖南永州·一模）若实数满足，则下列选项一定正确的有（ 　　） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.如果，给出下列不等式：①；②；③；④；⑤；⑥. 其中一定成立的不等式的序号是＿＿＿＿＿＿. 13.已知三个实数，当时，且，则的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 14.（2024·山西·一模）我们都知道一杯糖水中再加入一些糖，糖水会更甜. 这句话用数学符号可表示为：，其中，且. 据此可以判断两个分数的大小关系，比如＿＿＿＿＿＿(填“>”“<”). 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）（1） 已知，，求证：； （2） 设，比较与的大小. 16.（15分）（1） 试比较与的大小； （2） 已知，，求证：. 17.（15分）已知实数满足，，求的最大值. 18.（17分）已知. （1） 证明：； （2） 求的最小值； （3） 求的最大值. 19.（17分）（2024·衡水中学·阶段练习）已知，且满足，. （1） 证明：； （2） 求的最小值. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $