第3讲 等式与不等式的性质·分类练习-2027届高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

**基本信息** 聚焦不等式性质与应用，以考点-考法为框架，覆盖性质判断、大小比较、范围求解等核心题型，构建从基础到综合的递进训练体系，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |不等式性质的应用|8题|判断真假、充要条件判断|从性质直接应用到结合函数单调性，形成逻辑推理链| |比较数式的大小与证明|5题|作差/商法比较、单调性比较|衔接作差作商基本方法与函数性质应用| |求目标式的取值范围|4题|不等式可加性、换元法求范围|基于性质拓展到复杂目标式的范围推导| |糖水不等式|3题|实际情境抽象与应用|从生活现象抽象数学模型，体现数学建模意识| |不等式的综合应用|5题|综合判断、最值求解|整合前序知识，提升运算能力与综合应用能力|

第3讲 等式与不等式的性质·分类练习（解析卷） 答案速查表 1 2 3 4 5 B BC ACD AC ABD 6 7 8 9 10 D A D ②⑥ （1）证明见解析 （2）当时相等，当时大于 11 12 13 14 15 （1） （2）证明见解析 D A D 16 17 18 19 20 ABD ABD 、 21 22 23 24 25 BCD BC CD ABD 考点一：不等式性质的应用 考法1：利用不等式性质判断真假 1.（2026·长郡中学·二模）已知 ，且 ，则下列不等式不一定成立的是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为 ，得 . 对于A，因为 ，所以 ，A正确； 对于B，取 ，则 ，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，（因为 ，故不等式无法取等），D正确. 【点拨】判断不等式是否恒成立，可结合不等式性质进行代数推导，对于不成立的选项直接举出反例更为高效. 2.（2026·山东淄博·一模）（多选）已知实数 满足 ，则下列说法正确的是（ 　　） A. B. C. 若 ，则 D. 若 ，则 【答案】BC 【解析】对于A，若 ，此时 ，满足 ，但 ，故A错误； 对于B，因为 ，即 ，所以 ，即 恒成立，故B正确； 对于C，因为 且 ，不等式两边同除以 ，得 ，即 ，故C正确； 对于D，因为 ，由于 ，所以 ，故 ，即 ，故D错误. 【点拨】处理多项选择题中的不等式真假判断时，可通过特值法迅速排除错误选项，再运用作差法与基本不等式严谨证明正确选项. 3.（2026·山东济宁·三模）（多选）已知 为实数，则（ 　　） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 【答案】ACD 【解析】对于A，若 ，则隐含 ，不等式两边同除以 得 ，故A正确； 对于B，若 ，满足 且 ，但 ，此时 ，故B错误； 对于C，因为 ，由 可知 ，所以 ，即 ，故C正确； 对于D，因为 ，所以 ，当且仅当 时取等号，故D正确. 【点拨】在利用不等式性质进行变形时，必须时刻关注乘除变量的符号（特别是能否为负或为零）；分式的比较优先考虑作差通分法. 考法2：结合函数单调性判断不等式真假 4.（2026·山东东营·二模）（多选）已知 ，则下列说法正确的是（ 　　） A. B. C. 若 ，则 D. 【答案】AC 【解析】对于A，因为函数 在 上单调递增，又 ，所以 ，故A正确； 对于B，函数 在 上不具备单调性（例如取 ，则 ），故B错误； 对于C，因为 ，且 ，由不等式的同向同正可乘性可知 ，故C正确； 对于D，因为指数函数 在 上单调递减，又 ，所以 ，故D错误. 【点拨】比较两个代数式的大小时，若能将其抽象为同一函数的不同函数值，利用该函数在对应区间上的单调性直接判定是最佳策略. 5.（2025·山东名校联盟·二模）（多选）已知实数 满足 ，则下列不等关系一定成立的是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】因为 ，所以 ，所以 ，故A对； 因为 ，所以 ， 由 ，所以 ，故B对； 若 ，满足 ，显然 不成立，故C错； 当 ，则 ，必有 ， 当 ，则 ，故 ，必有 ，故D对. 【点拨】利用绝对值的性质和函数的单调性是解决这类问题的一般方法.需要注意的是，若按原卷题干条件 无法推出 ，题干应为 才严谨，在保留原题解析的同时，解题时应留意此细节. 考法3：结合不等式性质与函数单调性判断充要条件 6.（2025·河南TOP名校·5月联考）设甲：；乙：，则甲是乙的（ 　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】由 可得 ，由 可得 ，所以由 推不出 ，即充分性不成立；由 也推不出 ，即必要性不成立.所以甲是乙的既不充分也不必要条件.故选D. 【点拨】判断充分必要条件时，需将命题分别等价转化为最简的参数范围，再考察两者之间的包含关系. 7.（2026·江苏苏锡常镇·二模）已知 ，则“”是“”的（ 　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由 得 ，所以充分.取 ，则 ，但 ，所以不必要. 【点拨】利用指数函数和幂函数的单调性将不等式条件转化为底数或指数的大小关系，是处理此类逻辑推断题的核心. 8.（2025·福建福九联盟·5月联考）若 ，则 的一个充要条件是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】（方法一）依题意，，故 .则 ，即 . （方法二） 或 或 或 ， 又 ， 故 的一个充要条件是 . 【点拨】对于多项乘积大于零的不等式，既可以通过同除以恒正的平方项进行等价变形，也可以直接利用分类讨论解出 的关系. 考点二：比较数(式)的大小与证明 考法4：利用作差法与作商法比较大小或证明不等式 9.如果 ，给出下列不等式：①；②；③；④；⑤；⑥.其中一定成立的不等式的序号是＿＿＿＿＿＿. 【答案】②⑥ 【解析】令 ，，排除①，，排除③选项，，排除⑤. 当 时，排除④. 由于幂函数 为 上的递增函数，故 ，②是一定成立的. 由于 ，故 .故⑥正确. 所以一定成立的是②⑥. 【点拨】在条件仅为 时，切忌主观臆断变量的正负性.遇到不确定的不等式，寻找跨越零点的反例最能切中要害. 10.（1） 已知 ，求证：； （2） 设 ，比较 与 的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2）当时相等，当时大于 【解析】（1） 由 ，，得 ，，从而得 . 又 ，所以 . （2） 因为 ， 当且仅当 时等号成立， 所以当 时，； 当 时，. 【点拨】第一问利用不等式的同向同正可乘性进行证明；第二问作差后必须通过彻底的因式分解与配方，将差值化为非负形式，并注意讨论等号成立的条件. 11.（1） 试比较 与 的大小； （2） 已知 ，，求证：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】（1） 由题意，， 所以 . （2） 证明：因为 ，所以 ，即 ， 而 ，所以 ，则 .得证. 【点拨】多项式的比较大小首选作差法；分式不等式的证明则通过移项通分，将减法转化为乘除法的符号判定. 考法5：结合特殊值法或函数单调性比较数(式)的大小 12.（2026·山东九五协作体·一模）若 ，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】已知不等式 可化为 . 构造函数 ，因为 是增函数， 也是增函数，所以 在 上单调递增. 由 可得 ，即 ， 所以 ，则 .对应选项D. 【点拨】将不等式两端整理为结构一致的同类形式，进而构造函数利用单调性脱去函数符号，是处理超越不等式的通法. 13.若 ，则将 从小到大排列为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】因为 ，不妨令 ， 则有 ， 所以有 ， 即 . 【点拨】对于满足特定代数和关系的变量，利用特值法进行代入验算，能迅速排定多项式的大小顺序. 考点三：求目标式的取值范围 考法6：利用不等式同向可加性与待定系数法求范围 14.已知 ，则 的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为 ，所以 ， 由 ，得 . 故选：A. 【点拨】利用不等式的性质求范围时，应先利用数乘性质求出 的范围，再利用同向可加性与 的范围相加. 15.已知 ，则 的取值范围为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】设 ， 所以 ， 则 ，又 ，， 所以 ，， 由不等式的性质得：， 则 的取值范围为 .故选：D. 【点拨】在已知整体范围求目标代数式范围时，切忌直接拆分求出单一变量后再叠加，必须使用待定系数法将目标式凑成已知整体的线性组合. 16.（多选）已知实数 满足 ，则（ 　　） A. 的取值范围为 B. 的取值范围为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 【答案】ABD 【解析】因为 ，所以 .因为 ，所以 ，则 ，故A正确； 因为 ，所以 .因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，故B正确； 因为 ，所以 ，则 ，故C错误； 因为 ，所以 ，则 ，故D正确. 【点拨】已知两变量构成的代数式范围，求另一组合式范围时，需用已知代数式的系数表示待求式的系数，严防范围的盲目扩大. 考法7：利用换元法或二次函数求复杂目标式范围 17.已知三个实数 、、，当 时， 且 ，则 的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】当 时满足： 且 ， ，即 ， 进而 ，解得 . 所以 或 ， ， 令 ， ， 由于 ， 所以 在 单调递增，在 单调递减， 当 时，，当 时，， 所以 .故答案为：. 【点拨】处理多元变量的范围最值问题，可结合齐次结构将多变量问题化归为单变量问题，再利用二次函数的单调区间求得最值. 考点四：糖水不等式 考法8：糖水不等式的应用与拓展 18.（多选）已知 糖水中含有 糖 ()，若再添加 糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了 (即糖水中含糖浓度变大)，根据这个事实，下列不等式中一定成立的有（ 　　） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】对于A，由题意可知 ，正确； 对于B，因为 ，所以 ，正确； 对于C， 即 ，错误； 对于D，，正确. 【点拨】糖水不等式本质是分子分母同加一个正数后分式值变大（前提为真分数）.在解题时需敏锐识别结构特征并灵活嵌套应用. 19.我们都知道一杯糖水中再加入一些糖，糖水会更甜.这句话用数学符号可表示为：，其中 ，且 .据此可以判断两个分数的大小关系，比如 ＿＿＿＿＿＿ (填“>”或“<”). 【答案】 【解析】令 ，则 ， 令 ，则 ， 所以 ，， 根据题设知：. 【点拨】当遇到极其庞大的数据且差异固定时，直接对应糖水不等式的结构模型能起到“秒杀”的效果. 20.若 克不饱和糖水中含有 克糖，则糖的质量分数为 ，这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加 克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式 () 数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不等式可得出 ＿＿＿＿＿＿ (用“<”或“>”填空)；并写出上述结论所对应的一个糖水不等式＿＿＿＿＿＿. 【答案】、 【解析】空1：因为 ，所以可得：； 空2：由空1可得：，即 . 【点拨】将对数通过换底公式转化为同底分数形式，再嵌套糖水不等式，是解决复杂对数大小比较的一条捷径. 考点五：不等式的综合应用 考法9：综合应用不等式求范围或判断真假 21.（2026·湖南永州·一模）（多选）若实数 满足 ，则下列选项一定正确的有（ 　　） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】对A：当 时，满足 ，但 ，则 不成立，故A错误； 对B：因为 ，所以 ，所以 ，故B正确； 对C：设 ，其中 ，则 ，故C正确； 对D：因为 ， 因为 ，所以 ，所以 成立，故D正确. 故选：BCD. 【点拨】处理多项式的综合最值与不等式证明，可以引入基本不等式、绝对值三角不等式，甚至赋予其解析几何意义（如点到直线的距离公式）进行降维打击. 22.（多选）已知实数 满足 ，则（ 　　） A. B. C. D. 的最小值为 【答案】BC 【解析】由 可知 ，由不等式的性质可知 ，则 . 选项A：因为对数函数 为减函数，，所以 ，故A错误； 选项B：由函数 的单调性可知 ，故B正确； 选项C：因为 ，所以 ，故C正确； 选项D：，当且仅当 ，即 时取得等号，显然等号不成立，故D错误. 【点拨】根据起始条件提炼出 的明确大小与正负关系是第一步.应用基本不等式求最值时，切莫忽视“一正二定三相等”的等号成立条件检查. 23.（多选）已知 ，且满足 .则 的取值可以为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】因为 ， 所以 ， 故 ， 当 且 ，而 时 ，即等号不能同时成立， 所以 ，故AB错误，CD正确. 【点拨】将分式不等式化为同构的整式不等式并相加，再使用基本不等式求出取值下界，是突破此类双重条件不等式的有效手段. 24.（多选）已知 ，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】由 得 ，由于 ，所以 ， 所以 ，因此 且 ，故A正确， ，当 时，，由于 ，当且仅当 时，等号成立，故 ，当 时，，所以 ，故B正确， ，当且仅当 时取等号，故 ，所以C错误， ，当且仅当 取等号，又 ，所以 或者 等号成立，故选：ABD. 【点拨】该题对代数式的换元、拼凑能力要求极高，善于利用常数代换（例如把 替换为题设式）能大大化简最值求解过程. 考法10：结合方程有解性求最值 25.已知实数 满足 ，则 的最大值是＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】∵ ， ∴ ， ∴ ∴ 是方程： 的两个实数根， ∴ ∴ 即 ∴ 即 的最大值为 . 【点拨】利用韦达定理构造关于其中一个参数的一元二次方程，再借助判别式 求出另一参数的最值，是一类极具代表性的代数变形技巧. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3讲 等式与不等式的性质·分类练习 考点一：不等式性质的应用 考法1：利用不等式性质判断真假 1.（2026·湖南长郡中学·二模）已知 ，且 ，则下列不等式不一定成立的是（ 　　） A. B. C. D. 2.（2026·山东淄博·一模）（多选）已知实数 满足 ，则下列说法正确的是（ 　　） A. B. C. 若 ，则 D. 若 ，则 3.（2026·山东济宁·三模）（多选）已知 为实数，则（ 　　） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 考法2：结合函数单调性判断不等式真假 4.（2026·山东东营·二模）（多选）已知 ，则下列说法正确的是（ 　　） A. B. C. 若 ，则 D. 5.（2025·山东名校联盟·二模）（多选）已知实数 满足 ，则下列不等关系一定成立的是（ 　　） A. B. C. D. 考法3：结合不等式性质与函数单调性判断充要条件 6.（2025·河南TOP名校·5月联考）设甲：；乙：，则甲是乙的（ 　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7.（2026·江苏苏锡常镇·二模）已知 ，则“”是“”的（ 　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8.（2025·福建福九联盟·5月联考）若 ，则 的一个充要条件是（ 　　） A. B. C. D. 考点二：比较数(式)的大小与证明 考法4：利用作差法与作商法比较大小或证明不等式 9.如果 ，给出下列不等式：①；②；③；④；⑤；⑥.其中一定成立的不等式的序号是＿＿＿＿＿＿. 10.（1） 已知 ，求证：； （2） 设 ，比较 与 的大小. 11.（1） 试比较 与 的大小； （2） 已知 ，，求证：. 考法5：结合特殊值法或函数单调性比较数(式)的大小 12.（2026·山东九五协作体·一模）若 ，则（ 　　） A. B. C. D. 13.若 ，则将 从小到大排列为＿＿＿＿＿＿. 考点三：求目标式的取值范围 考法6：利用不等式同向可加性与待定系数法求范围 14.已知 ，则 的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 15.已知 ，则 的取值范围为（ 　　） A. B. C. D. 16.（多选）已知实数 满足 ，则（ 　　） A. 的取值范围为 B. 的取值范围为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 考法7：利用换元法或二次函数求复杂目标式范围 17.已知三个实数 、、，当 时， 且 ，则 的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 考点四：糖水不等式 考法8：糖水不等式的应用与拓展 18.（多选）已知 糖水中含有 糖 ()，若再添加 糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了 (即糖水中含糖浓度变大)，根据这个事实，下列不等式中一定成立的有（ 　　） A. B. C. D. 19.我们都知道一杯糖水中再加入一些糖，糖水会更甜.这句话用数学符号可表示为：，其中 ，且 .据此可以判断两个分数的大小关系，比如 ＿＿＿＿＿＿ (填“>”或“<”). 20.若 克不饱和糖水中含有 克糖，则糖的质量分数为 ，这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加 克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式 () 数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不等式可得出 ＿＿＿＿＿＿ (用“<”或“>”填空)；并写出上述结论所对应的一个糖水不等式＿＿＿＿＿＿. 考点五：不等式的综合应用 考法9：综合应用不等式求范围或判断真假 21.（2026·湖南永州·一模）（多选）若实数 满足 ，则下列选项一定正确的有（ 　　） A. B. C. D. 22.（多选）已知实数 满足 ，则（ 　　） A. B. C. D. 的最小值为 23.（多选）已知 ，且满足 .则 的取值可以为（ 　　） A. B. C. D. 24.（多选）已知 ，则（ 　　） A. B. C. D. 考法10：结合方程有解性求最值 25.已知实数 满足 ，则 的最大值是＿＿＿＿＿＿. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $