第2讲 常用逻辑用语·综合测试-2027届高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

**基本信息** 聚焦常用逻辑用语核心考点，通过多地区模拟题构建“概念理解-条件判定-命题应用”的递进训练体系，强化逻辑推理与数学表达能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |充要条件判定|8题（选择1-6、多选9-10）|结合函数、数列、几何等背景判断条件关系|从定义出发，通过等价转化建立概念与具体情境的联系| |量词与命题|5题（选择7-8、多选11、填空14）|含全称/特称命题的真假判断及否定|以量词概念为基础，推导命题的逻辑结构与否定形式| |参数范围求解|5题（填空13、解答15-19）|根据命题真假求参数取值范围|融合不等式、函数等知识，体现逻辑推理在问题解决中的工具性|

第2讲 常用逻辑用语·综合测试（解析卷） 答案速查表 1 2 3 4 5 D C B B B 6 7 8 9 10 C C C ABD BC 11 12 13 14 15 AB ， （1） （2） 16 17 18 19 1.（2026·山东德州·4月二模）已知为正实数，则“”的充要条件可以是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】对于A，若，则推不出，故A错误. 对于B，若，则推不出，故B错误. 对于C，，取，满足，但成立；取，不满足，但也成立，故C错误. 对于D，构造函数，其在上单调递增.∵，即，∴.反之，若，则，即成立.故D正确. 【点拨】本题考查充要条件的判断，通过构造函数并利用其单调性来判断不等式的等价关系是解决此类问题的有效方法. 2.（2026·广东茂名·一模）“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由可得. 由可得. ∵与等价，∴“”是“”的充分必要条件. 【点拨】本题考查充分必要条件的判断，解题的核心在于将两个条件分别等价转化为最简形式，再比较其范围大小. 3.（2026·宁波十校·3月联考）十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”.已知，则“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】∵，∴，∴，∴，故“”是“”的必要条件. 当，假设时，，此时，则，故“”是“”的不充分条件. 综上：“”是“”的必要不充分条件. 【点拨】本题考查新定义函数与充分必要条件的判断，理解狄利克雷函数的取值规则并善于通过举反例来否定充分性是关键. 4.（2024·天津一中·阶段练习）“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】∵，∴，所以“”是“”的必要不充分条件. 【点拨】本题考查充分必要条件的判断，需熟练掌握二倍角余弦公式进行等价转化. 5.（2024·上饶六校·5月模拟）已知数列满足，则“”是“是递增数列”的 A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】当时，，则，所以是递增数列； 反之，当时，，数列单调递增，因此当数列是递增数列时，可以大于，所以“”是“是递增数列”的充分不必要条件. 【点拨】本题考查充分必要条件的判断，结合数列的单调性，通过举反例说明必要性不成立是解题的突破口. 6.（2026·江西南昌·3月测试）已知圆，：点在圆外，：直线与圆有两个公共点，则是的 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 【答案】C 【解析】点在圆外，等价于. 直线与圆有两个公共点，等价于圆心到直线的距离. ∵，∴，即. ∴与等价，即是的充分必要条件. 【点拨】本题考查直线与圆的位置关系及充要条件的判断，将几何关系转化为代数不等式是解题的关键. 7.（2024·贵州毕节·模拟预测）直线，直线，给出下列命题： ① ，使得； ② ，使得； ③ ，与都相交； ④ ，使得原点到的距离为. 其中正确的是 A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ①④ 【答案】C 【解析】对于①，若，则，该方程组无解，①错； 对于②，若，则，解得，②对； 对于③，当时，直线的方程为，即，此时，重合，③错； 对于④，直线的方程为，若，使得原点到的距离为，则，整理可得，，方程有解，④对. 【点拨】本题考查直线的位置关系及点到直线的距离公式，需分类讨论直线斜率存在与否的情况. 8.（2025·萍乡实验·3月一模）命题“，使”是假命题，则实数的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】命题“，使”是假命题，等价于其否定“，”是真命题. 当时，不等式化为，不恒成立. 当时，要使恒成立，需满足. 由，即，解得或. 结合，可得. 【点拨】本题考查存在量词命题的真假判断，将其转化为全称量词命题恒成立问题，并结合二次函数的图象特征求解是关键. 9.（2026·安徽马鞍山·一模）已知，条件，则成立的充分不必要条件有 A. B. C. D. 且 【答案】ABD 【解析】对于A，由，得，而也能使成立，因此是成立的充分不必要条件，A是； 对于B，，由，得，而也能使成立，因此是成立的充分不必要条件，B是； 对于C，当时，成立，而不等式不成立，因此不是的充分条件，C不是； 对于D，由且，得且，则，而也能使成立，因此且是成立的充分不必要条件，D是. 【点拨】本题考查充分不必要条件的判断，通过举反例或利用不等式的性质进行逻辑推理是解题的关键. 10.（2026·山东泰安·5月三模）下列选项正确的是 A. 已知是两个非零向量，则“”是“与的夹角为钝角”的充要条件 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 事件与相互独立的充要条件是 D. 已知等比数列的公比为，则“”是“是单调递增数列”的必要不充分条件 【答案】BC 【解析】对于A，若，则与的夹角为钝角或平角（夹角为时，）.所以“”是“夹角为钝角”的必要不充分条件，故A错误. 对于B，若，则，此时成立.若，则，此时，不一定有.∴“”是“”的充分不必要条件，故B正确. 对于C，事件与相互独立的充要条件是，这是相互独立的定义，故C正确. 对于D，若等比数列的公比为，当且时，数列单调递减；当且时，数列单调递减.若是单调递增数列，则或，此时推不出.∴“”既不是充分条件也不是必要条件，故D错误. 【点拨】本题考查命题的真假判断与充要条件，涉及向量夹角、三角函数方程、独立事件及等比数列的单调性，需全面掌握相关基础知识. 11.已知，下列命题中是真命题的有 A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】AB 【解析】对于A，由得：，，，则，A正确； 对于B，，.∵，∴，∴.∵，，∴，即，B正确； 对于C，函数在上为减函数，而，则，即，，C错误； 对于D，当时，，，即，D错误. 【点拨】本题考查指数函数与对数函数的单调性，灵活运用换底公式及作差比较法是判断命题真假的关键. 12.（2025·沧衡八县·3月一模）将分别标有数字的个大小相同的小球放入一个不透明的袋子中，甲、乙两人分别从袋中摸出一球，互相不知道对方摸出球的数字.甲先对乙说：“我不能确定咱俩谁的球上面的数字更大.”乙再对甲说：“我也不能确定咱俩谁的球上面的数字更大.”若甲、乙两人所说均为真话，请你推断乙所摸球上的数字为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】甲摸出一球，乙摸出一球.数字分别为，且. 甲说：“我不能确定咱俩谁的球上面的数字更大.” 如果甲摸到的是5，甲一定知道自己的大；如果甲摸到的是1，甲一定知道自己的小. 所以甲摸到的不是1和5，甲的数字. 乙听到甲的话，知道了. 乙说：“我也不能确定咱俩谁的球上面的数字更大.” 如果乙摸到的是5，乙知道自己的比甲（2,3,4）大，乙就能确定； 如果乙摸到的是1，乙知道自己的比甲（2,3,4）小，乙也能确定； 如果乙摸到的是4，乙知道甲是2或3（因为甲不可能是4，），那么乙一定比甲大，乙就能确定； 如果乙摸到的是2，乙知道甲是3或4，那么乙一定比甲小，乙就能确定. 因此，乙摸到的只能是3.因为如果乙摸到3，甲可能是2或4，乙无法确定谁大谁小. 所以乙摸球上的数字为3. 【点拨】本题考查逻辑推理能力，通过逐步排除确定性情况，缩小可能取值的范围是解决此类推理题的常用策略. 13.（2024·山东潍坊·二模）若“”是“”的一个充分条件，则的一个可能值是＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】由可得，则，所以，解得，因为“”是“”的一个充分条件，故的一个可能取值为. 【点拨】本题考查三角不等式的解法及充分条件的含义，利用辅助角公式化简三角函数是解题的基础. 14.（2025·石家庄·5月三模）若命题：，，则命题的否定为＿＿＿＿＿＿. 【答案】， 【解析】命题：，的否定为：，. 【点拨】本题考查全称量词命题的否定，需注意改变量词并否定结论，但不能改变条件域. 15.（13分）（2026·合肥一六八·一模）已知函数的定义域为，关于的不等式的解集为. （1） 若时，求； （2） 若是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】（1） 由且，所以集合且， 2 分 由； 当时，不等式为，即集合， 4 分 又或， 5 分 所以或或； 7 分 （2） 因为是的充分条件，所以是的子集，又且， 8 分 当时，，满足题意， 9 分 当时，，所以或，得， 11 分 当时，，所以，得. 13 分 综上，实数的取值范围为. 【点拨】本题考查集合的运算及充分条件的判定，解题的关键是正确求出集合A和B，并结合数轴分类讨论参数的取值范围. 16.（15分）若命题“，”为假命题，求实数的取值范围. 【答案】 【解析】命题“，”为假命题，其否定为真命题， 即“，”为真命题. 3 分 令， 6 分 则， 9 分 即， 12 分 解得，所以实数的取值范围为. 15 分 【点拨】本题考查存在量词命题的真假判断及主元法的应用，将关于的不等式转化为关于的一次函数恒成立问题是解题的突破口. 17.（15分）已知命题：，，若为假命题，求实数的取值范围. 【答案】 【解析】∵命题：，， ∴：，， 4 分 又∵为假命题，∴为真命题， 7 分 即，恒成立， ∴，即， 11 分 解得. 15 分 【点拨】本题考查命题真假的等价转化，利用二次函数恒成立与判别式的关系是求解参数范围的常规方法. 18.（17分）若命题：“，”是假命题，求的取值范围. 【答案】 【解析】∵命题“，”是假命题， ∴命题“，”是真命题， 3 分 若，即或， 当时，不等式为，恒成立，满足题意； 6 分 当时，不等式为，不恒成立，不满足题意； 8 分 当时，则需要满足， 12 分 即，解得， 15 分 综上所述，的范围是. 17 分 【点拨】本题考查含参不等式恒成立问题，对于二次项系数含参的不等式，必须优先讨论二次项系数为零的情况，以防漏解. 19.（17分）已知命题“，”为假命题，求实数的取值范围. 【答案】 【解析】∵命题“，”为假命题，则命题的否定“，”为真命题， 4 分 ∴，. 8 分 易知函数在上单调递增， 12 分 ∴当时，取最小值， 15 分 ∴. ∴实数的取值范围为. 17 分 【点拨】本题考查全称量词命题为假时的参数求解，通过分离参数并转化为求函数最值问题，可使解题过程更加简明. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2讲 常用逻辑用语·综合测试 （考试时间：120分钟　试卷满分：150分） 注意事项 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4. 适用地区：广东、江苏、浙江、山东、江西、河南、河北、安徽、福建、湖南、湖北. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.（2026·山东德州·4月二模）已知为正实数，则“”的充要条件可以是（ 　　） A. B. C. D. 2.（2026·广东茂名·一模）“”是“”的（ 　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.（2026·宁波十校·3月联考）十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”.已知，则“”是“”的（ 　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.（2024·天津一中·阶段练习）“”是“”的（ 　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5.（2024·上饶六校·5月模拟）已知数列满足，则“”是“是递增数列”的（ 　　） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6.（2026·江西南昌·3月测试）已知圆，：点在圆外，：直线与圆有两个公共点，则是的（ 　　）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 7.（2024·贵州毕节·模拟预测）直线，直线，给出下列命题： ① ，使得； ② ，使得； ③ ，与都相交； ④ ，使得原点到的距离为. 其中正确的是（ 　　） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ①④ 8.（2025·萍乡实验·3月一模）命题“，使”是假命题，则实数的取值范围为（ 　　） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分. 9.（2026·安徽马鞍山·一模）已知，条件，则成立的充分不必要条件有（ 　　） A. B. C. D. 且 10.（2026·山东泰安·5月三模）下列选项正确的是（ 　　） A. 已知是两个非零向量，则“”是“与的夹角为钝角”的充要条件 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 事件与相互独立的充要条件是 D. 已知等比数列的公比为，则“”是“是单调递增数列”的必要不充分条件 11.已知，下列命题中是真命题的有（ 　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.（2025·沧衡八县·3月一模）将分别标有数字的个大小相同的小球放入一个不透明的袋子中，甲、乙两人分别从袋中摸出一球，互相不知道对方摸出球的数字.甲先对乙说：“我不能确定咱俩谁的球上面的数字更大.”乙再对甲说：“我也不能确定咱俩谁的球上面的数字更大.”若甲、乙两人所说均为真话，请你推断乙所摸球上的数字为＿＿＿＿＿＿. 13.（2024·山东潍坊·二模）若“”是“”的一个充分条件，则的一个可能值是＿＿＿＿＿＿. 14.（2025·石家庄·5月三模）若命题：，，则命题的否定为＿＿＿＿＿＿. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）（2026·合肥一六八·一模）已知函数的定义域为，关于的不等式的解集为. （1） 若时，求； （2） 若是的充分条件，求实数的取值范围. 16.（15分）若命题“，”为假命题，求实数的取值范围. 17.（15分）已知命题：，，若为假命题，求实数的取值范围. 18.（17分）若命题：“，”是假命题，求的取值范围. 19.（17分）已知命题“，”为假命题，求实数的取值范围. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $