2025-2026学年人教版八年级数学下学期期末模拟卷（二）

**基本信息** 本卷系统整合人教版八年级下册知识，以基础概念为核心，通过综合题型构建知识网络，考查数学眼光观察、思维推理及语言表达现实世界的能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次根式|3题（选择1、解答13-14）|概念辨析与运算|从定义到化简计算的递进| |一次函数|6题（选择4-6、8，填空11，解答17）|图像性质与实际应用|概念→图像性质→方程不等式→方案设计| |平行四边形与几何综合|5题（选择3、7，填空12，解答16、18）|性质判定与折叠探究|平行四边形性质→特殊四边形证明→动态几何应用| |数据的分析|3题（选择2，填空9，解答15）|统计量与数据分析|方差计算→频数分布→统计推断| |勾股定理应用|1题（填空10）|古算问题建模|实际问题抽象为几何模型|

2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷（二） 参考答案及评分标准 第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 C A C C D D C B 二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）。 9. 10. 10 11.   12.   三、解答题（本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）。 13.（本小题10分）计算： 解： 原式...............................................3分 ；.............................................5分 原式 .............................................3分 ．.............................................5分 14.（本小题7分） (1)解：，由题意，得：， ∴，.............................1分 ∵b是27的立方根， ∴；.............................2分 (2)解：当，时， ，.............................3分 ∴的平方根；.............................4分 (3)， ∴.............................5分 .............................6分 ．.............................7分 15（本小题10分） 解：依题意，八年级随机抽取名学生进行测试， 则中位数排在第和名， ，，且八年级学生成绩在这一组的是：，，，，，，， 排在第和名的成绩分别是，， 中位数； 故答案为：；...................3分 田小宇；...................4分 理由如下： 依题意，王亮的成绩为分低于七年级学生成绩的中位数分， 故王亮的成绩低于七年级一半的学生成绩；...................6分 田小宇的成绩为分高于八年级学生成绩的中位数分， 故田小宇的成绩高于八年级一半的学生成绩， 学生田小宇的成绩在本年级排名更靠前；...................7分 估计八年级获得优秀奖的学生人．...................10分 16（本小题12分） (1)证明：在 中，D，E分别是 ， 的中点， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ，................2分 ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴四边形 是平行四边形，................4分 ∵ ， ∴四边形 是菱形；................6分 (2)解：连接 ，交 于O， ∵四边形 是菱形， ∴ ， ， ， ，................8分 ∴ ， 在 中，由勾股定理得： ，................10分 ∴ ， ∴ ， ∴菱形BCFE的面积为 ．................12分 17（本小题12分） 解：设选择方案一需付款元，选择方案二需付款元．根据题意可得： ，................2分 ；................4分 当时，，． ， 方案二更省钱；................6分 设选择方案一购买个乾坤圈，则选择方案二购买个乾坤圈，个混天绫， 则，................8分 ， 随的增大而减小． ， 当时，取最小值，为．................10分 ． 答：先按方案一购买个乾坤圈，再按方案二购买个混天绫，该方案所需费用为元．.........12分 18.（本小题13分） 是等边三角形，...............1分 证明：由折叠的性质可得，， ， 是等边三角形，...............3分 四边形是正方形， ，， 由折叠可得：，， ，，...............4分 在和中， ， ≌，...............5分 ， 同可证是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 故答案为：；...............7分 的长为或...............8分 理由如下： 由折叠的性质可得，， ≌， ，...............9分 如图，当点在线段上时， ， ，， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ， ，...............10分 如图，当点在线段上时， ， ，， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ，.........12分 ， 综上所述，的长为或．...............13分 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $■ 报告查询：登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 可回 2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷（二) 之x 可阁茂 数学学科 姓名： 班级： 考场/座位号： 准考证号 注意事项 [0] [0] [0] [o] [0] [0] [o] [o] 1. 答题前请将姓名、班级、考场、准考证号填写清楚。 [1] [1] [1] [1] [1] [1] 2.客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净 [21 [2] [2] [2] [2] [2] [2] 3.主观题答题，必须使用黑色签字笔书写。 [3] [3] [3] [3] [3j [3] [3] [3] 4.必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效 [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] 5. 保持答卷清洁、完整。 [5] [5] [5] [5] [5 [5] [5] [5] [6] [6] [6] [6] [6] [61 [6] [6] 正确填涂 缺考标记 [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [z] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] 、 选择题：本题共8小题，共24分。在每小题给出的选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 7[A][B][c][D] 3[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 5[A][B][c][D] 二、填空题：本题共4小题，共12分。 10. 12. 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.(本小题10分) 14.(本小题7分) 囚囚■ 15.(本小题10分) 16.(本小题12分) A D E B 囚囚■ ■ ■ 17.(本小题12分) 1 1 1 ■ 囚■囚 ■ 口 18.(本小题13分) Q ① ③ 囚■囚 ■ 2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷（二） 数 学 学 科 （考试时间：90分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版八年级下册全部内容。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列式子是二次根式的是(     ) A. B. C. D. 2.某市举办了“传诵经典”青少年演讲比赛，其中综合荣誉分占，现场演讲乙分占小明参加并在这两项中分别取得分和分的成绩，则小明的最终成绩为(     ) A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 3.如图，▱的对角线，相交于点，点是的中点，且，则的长是(     ) A. B. C. D. 4.下列图象中，能表示是的函数的有(     ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 5.对于正比例函数的图象，下列说法不正确的是(     ) A. 是一条直线 B. 随着增大而减小 C. 经过点 D. 经过第一、第三象限 6.已知一次函数，其中与的部分对应值如下表所示，根据该表提供的信息，下列说法正确的是(     ) A. 该函数的图象经过第一、三、四象限 B. 函数值随值的增大而减小 C. 关于的方程的解是 D. 关于的不等式的解集为 7.如图，和都是等腰直角三角形，的顶点在的斜边上下列结论：其中正确的有(     ) ≌；；； A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 8.两个关于的一次函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是(     ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，共12分。 9.小宇在计算某组样本的方差时，列式为：，则该组样本的样本容量是       ，平均数是       ． 10.在我国古代数学著作九章算术中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面尺如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这根芦苇的长度为       尺 11.如图，函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为         ． 12.如图，在矩形中，，，是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足分别为、求 ______． 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分计算： ； ． 14.本小题7分已知与最简二次根式可以加减合并，是的立方根． 求，的值；求的平方根；若，求的值． 15.本小题分 当下，人工智能发展迅猛，人工智能不仅是科技创新的前沿领域，像这样的国产大模型凭借开源模式和成本优势火爆全球，在各行业智能化变革中发挥重要作用，而且深刻影响着未来社会的发展走向为了了解学生对人工智能知识的掌握情况，某校信息技术社团从七、八年级各随机抽取名学生进行测试，获得了他们的成绩百分制，并对数据成绩进行整理、描述和分析下面给出了部分信息： 八年级学生成绩的频数分布直方图如下： 数据分为组：，，，． 八年级学生成绩在这一组的是：，，，，，， 七、八年级学生成绩的平均数、中位数、众数如下： 年级 平均数 中位数 众数 七 八 根据以上信息，回答下列问题： 表中的值为______； 七年级学生王亮和八年级学生田小宇的成绩都是分，这两名学生在本年级成绩排名更靠前的是______填“王亮”或“田小宇”，理由是______； 成绩不低于分的学生可获得优秀奖，假设该校八年级名学生都参加测试，估计八年级获得优秀奖的学生人数． 16.本小题分如图，在 中，、分别是 、 的中点， ，延长 到点，使得 ，连接 ． 求证：四边形是的菱形 若 ， ，求菱形 的面积． 17.本小题分 某玩具工厂生产哪吒主题文创用品乾坤圈和混天绫，乾坤圈每个定价元，混天绫每个定价元暑假期间开展促销活动，并向客户提供以下两种优惠方案： 方案一：每买一个乾坤圈就赠送一个混天绫； 方案二：乾坤圈和混天绫都按定价的付款． 某哪吒主题文创用品店计划购进个乾坤圈和个混天绫设选择方案一需付款元，选择方案二需付款元 分别写出，关于的函数解析式． 当时． 请通过计算说明该文创用品店选择以上哪种方案更省钱． 若两种优惠方案可以同时使用使用方案一优惠过的商品不能再使用方案二优惠，使用方案二优惠过的商品不能再使用方案一优惠，请你设计出更省钱的购买方案，并计算出该方案所需费用． 18.本小题3分 取一张矩形纸片进行折叠，具体操作过程如图： 【课本再现】 第一步：如图，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，把纸片展平； 第二步：在上选一点，沿折叠纸片，使点落在矩形内部的点处，展平后连接、根据以上操作，当点在上时，如图，连接，判断的形状并证明． 【类比应用】如图，现将矩形纸片换成边长为正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照中的方式操作，并延长交于点，连接，当点在上时，与的数量关系是______用数学式子表示； 【拓展延伸】在的探究中，改变点在上的位置点不与点、重合，沿折叠纸片，如图，使点落在正方形内部的点处，连接、，并延长交于点，连接当时，请求出的长． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷（二） 全 解 全 析 （考试时间：90分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版八年级下册全部内容。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列式子是二次根式的是(     ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：根据二次根式的定义逐项分析判断如下： ：被开方数为负数，在实数范围内无意义，不是二次根式； ：根指数为，属于三次根式，不符合二次根式的定义； ：根指数为，且被开方数恒大于无论取何值，满足二次根式的条件； ：根指数为，但被开方数需满足才有意义，由于题目未限定的范围，无法保证其恒为非负数，因此不能直接判定为二次根式； 故选：． 根据二次根式的定义“形如”可进行求解． 本题主要考查二次根式的判断，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键． 2.某市举办了“传诵经典”青少年演讲比赛，其中综合荣誉分占，现场演讲乙分占小明参加并在这两项中分别取得分和分的成绩，则小明的最终成绩为(     ) A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 【答案】A  【解析】解：小明的最终成绩为：分， 故选：． 根据题目中的权重分配，将综合荣誉分和现场演讲分分别乘以对应的百分比后相加即可得到最终成绩即可． 本题考查加权平均数的计算，掌握加权平均数的计算是解题的关键． 3.如图，▱的对角线，相交于点，点是的中点，且，则的长是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：由题意可得：， 是中点， ， ， 故选：． 首先证明，再证出，即可解答． 本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理．熟练掌握平行四边形的性质、三角形中位线定理是解题的关键． 4.下列图象中，能表示是的函数的有(     ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C  【解析】解：图，图，图对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，所以都能表示是的函数， 图对于自变量的每一个值，因变量不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示是的函数， 所以，上列图象中，能表示是的函数的有个， 故选：． 根据函数的概念，对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，即可解答． 本题考查了函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键． 5.对于正比例函数的图象，下列说法不正确的是(     ) A. 是一条直线 B. 随着增大而减小 C. 经过点 D. 经过第一、第三象限 【答案】D  【解析】解：正比例函数是一条过原点的直线， 故A，不符合题意； ， 随着增大而减小， 故B不符合题意； ， 正比例函数图象经过第二、四象限， 故D符合题意， 故选：． 根据正比例函数的图象和性质分别判断即可． 本题考查了正比例函数的图象和性质，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握这些知识是解题的关键． 6.已知一次函数，其中与的部分对应值如下表所示，根据该表提供的信息，下列说法正确的是(     ) A. 该函数的图象经过第一、三、四象限 B. 函数值随值的增大而减小 C. 关于的方程的解是 D. 关于的不等式的解集为 【答案】D  【解析】解：根据表格信息结合一次函数的图象和性质，逐一进行判断如下： 的值随值的增大而增大，故选项B错误； ， 当时，， 该函数的图象经过第一、二、三象限，故选项A错误； 当时，，故关于的方程的解不是，故选项C错误； 的值随值的增大而增大，且当时，， 不等式的解集为；故选项D正确． 故选：． 根据表格信息结合一次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 本题考查一次函数的图象和性质，正确记忆相关知识点是解题关键． 7.如图，和都是等腰直角三角形，的顶点在的斜边上下列结论：其中正确的有(     ) ≌；；； A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C  【解析】解：和都是等腰直角三角形， ，，，，， ， ，故正确； ， ， 在和中，， ≌，故正确； ，， ， 是直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，故正确； 在上截取，连接，如图所示： 在和中，， ≌， ， 当时，是等边三角形， 则，此时，故不正确； 故选：． 由等腰直角三角形的性质和三角形的外角性质得出正确；由证出≌，正确；证出是直角三角形，由勾股定理得出正确；由全等三角形的性质和等边三角形性质得出不正确；即可得出答案． 本题是考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的性质是解题的关键． 8.两个关于的一次函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是(     ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：、如果过第一、二、三象限的图象是，由的图象可知，，由的图象可知，，，两结论相矛盾，故错误，不符合题意 B、如果过第一、三、四象限的图象是，由的图象可知，，由的图象可知，，，两结论不矛盾，故正确，符合题意 C、如果过第一、二、三象限的图象是，由的图象可知，，由的图象可知，，，两结论相矛盾，故错误，不符合题意 D、如果过第二、三、四象限的图象是，由的图象可知，，由的图象可知，，，两结论相矛盾，故错误，不符合题意． 故选：． 首先设定一个为一次函数的图象，再考虑另一条的，的符号，进而判断是否矛盾，据此逐项分析即可．本题考查了一次函数的图象与性质，掌握它的性质是解题的关键一次函数的图象有四种情况：当，时，函数经过一、二、三象限当，时，函数经过一、三、四象限当，时，函数经过一、二、四象限当，时，函数经过二、三、四象限  第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，共12分。 9.小宇在计算某组样本的方差时，列式为：，则该组样本的样本容量是       ，平均数是       ． 【答案】 【解析】解：、、、，每个数据点对应一个样本， 样本容量为， 方差公式中的每个数据点均减去同一个数即平均数， 根据公式，每个数据点被减去的数为， 平均数． 故答案为：，． 通过方差公式的结构直接得出样本容量和平均数，需明确样本容量是数据的个数，平均数则是方差计算中统一减去的数值． 本题考查了样本容量和平均数，熟练掌握以上知识点是关键． 10.在我国古代数学著作九章算术中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面尺如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这根芦苇的长度为       尺 【答案】  【解析】解：设水深为尺，则这根芦苇长为尺， 根据勾股定理得：， 解得：， ， 即这根芦苇长为尺， 故答案为：． 设水深为尺，则这根芦苇长为尺，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 本题考查勾股定理的应用，根据勾股定理得出方程是解题的关键． 11.如图，函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为         ． 【答案】  【解析】解：由图象可得， 当时，，该函数随的增大而减小， 不等式的解集为， 故答案为：． 根据函数图象中的数据和一次函数的性质，可以写出等式的解集． 本题考查一次函数与一元一次不等式，解答本题的关键是明确一次函数与一元一次不等式的关系，利用数形结合的思想解答． 12.如图，在矩形中，，，是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足分别为、求 ______． 【答案】  【解析】解：连接，如图所示： 矩形的两边，， ，，，， ， ，， ， ， 故答案为：． 首先连接由矩形的两边，，可求得，，然后由，求得答案． 此题考查了矩形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分计算： ； ． 【解析】解：原式； 原式 ． 先根据二次根式性质进行化简，然后根据二次根式加减运算法则进行计算即可； 根据二次根式混合运算法则，结合完全平方公式和平方差公式进行计算即可． 本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握二次根式混合运算的法则是解题的关键． 14.本小题分 已知与最简二次根式可以加减合并，是的立方根． 求，的值； 求的平方根； 若，求的值． 【答案】(1)解：，由题意，得：， ∴， ∵b是27的立方根， ∴； (2)解：当，时， ， ∴的平方根； (3)， ∴ ． 【解析】  本题考查最简二次根式，平方根和立方根，化简求值： 根据题意，得到和是同类二次根式，求出的值，立方根的定义求出的值即可；  先求出代数式的值，再根据平方根的定义进行求解即可；  求出的值，将转化为，再代值计算即可． 15.本小题10分 当下，人工智能发展迅猛，人工智能不仅是科技创新的前沿领域，像这样的国产大模型凭借开源模式和成本优势火爆全球，在各行业智能化变革中发挥重要作用，而且深刻影响着未来社会的发展走向为了了解学生对人工智能知识的掌握情况，某校信息技术社团从七、八年级各随机抽取名学生进行测试，获得了他们的成绩百分制，并对数据成绩进行整理、描述和分析下面给出了部分信息： 八年级学生成绩的频数分布直方图如下： 数据分为组：，，，． 八年级学生成绩在这一组的是：，，，，，， 七、八年级学生成绩的平均数、中位数、众数如下： 年级 平均数 中位数 众数 七 八 根据以上信息，回答下列问题： 表中的值为______； 七年级学生王亮和八年级学生田小宇的成绩都是分，这两名学生在本年级成绩排名更靠前的是______填“王亮”或“田小宇”，理由是______； 成绩不低于分的学生可获得优秀奖，假设该校八年级名学生都参加测试，估计八年级获得优秀奖的学生人数． 解：依题意，八年级随机抽取名学生进行测试， 则中位数排在第和名， ，，且八年级学生成绩在这一组的是：，，，，，，， 排在第和名的成绩分别是，， 中位数； 故答案为：； 田小宇；理由如下： 依题意，王亮的成绩为分低于七年级学生成绩的中位数分， 故王亮的成绩低于七年级一半的学生成绩； 田小宇的成绩为分高于八年级学生成绩的中位数分， 故田小宇的成绩高于八年级一半的学生成绩， 学生田小宇的成绩在本年级排名更靠前； 故答案为：田小宇，王亮的成绩为分低于七年级学生成绩的中位数分，故王亮的成绩低于七年级一半的学生成绩；田小宇的成绩为分高于八年级学生成绩的中位数分，故田小宇的成绩高于八年级一半的学生成绩，所以学生田小宇的成绩在本年级排名更靠前； 估计八年级获得优秀奖的学生人． 先理解取名学生进行测试，则中位数排在第和名，结合数据分布情况得出中位数，即可作答． 结合中位数的意义进行分析，即可作答． 运用样本估计总体进行列式计算，即可作答． 本题考查了中位数，样本估计总体，运用中位数作决策，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 16.本小题分 如图，在 中，、分别是 、 的中点， ，延长 到点，使得 ，连接 ． 求证：四边形是的菱形 若 ， ，求菱形 的面积． (1)证明：在 中，D，E分别是 ， 的中点， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴四边形 是平行四边形， ∵ ， ∴四边形 是菱形； (2)解：连接 ，交 于O， ∵四边形 是菱形， ∴ ， ， ， ， ∴ ， 在 中，由勾股定理得： ， ∴ ， ∴ ， ∴菱形BCFE的面积为 ． 【解析】  本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线定理，解题的关键是熟练掌握以上性质和定理． 根据三角形的中位线可得 ， ，可证四边形 是平行四边形，再由 即可得证；  根据菱形的性质可得 ， ， ， ，再根据勾股定理求出 ，再根据菱形的面积公式求解即可． 17.本小题分 某玩具工厂生产哪吒主题文创用品乾坤圈和混天绫，乾坤圈每个定价元，混天绫每个定价元暑假期间开展促销活动，并向客户提供以下两种优惠方案： 方案一：每买一个乾坤圈就赠送一个混天绫； 方案二：乾坤圈和混天绫都按定价的付款． 某哪吒主题文创用品店计划购进个乾坤圈和个混天绫设选择方案一需付款元，选择方案二需付款元 分别写出，关于的函数解析式． 当时． 请通过计算说明该文创用品店选择以上哪种方案更省钱． 若两种优惠方案可以同时使用使用方案一优惠过的商品不能再使用方案二优惠，使用方案二优惠过的商品不能再使用方案一优惠，请你设计出更省钱的购买方案，并计算出该方案所需费用． 解：设选择方案一需付款元，选择方案二需付款元．根据题意可得： ， ； 当时，，． ， 方案二更省钱； 设选择方案一购买个乾坤圈，则选择方案二购买个乾坤圈，个混天绫， 则， ， 随的增大而减小． ， 当时，取最小值，为． ． 答：先按方案一购买个乾坤圈，再按方案二购买个混天绫，该方案所需费用为元． 根据题目所给的两个方案，分别列出代数表达式即可； 将分别代入中得出的两个函数表达式，即可解答； 设选择方案一购买个乾坤圈，则选择方案二购买个乾坤圈，个混天绫，列出函数解析式求解即可． 本题考查了用代数式表示和一次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意正确列出函数表达式． 18.本小题分 取一张矩形纸片进行折叠，具体操作过程如图： 【课本再现】 第一步：如图，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，把纸片展平； 第二步：在上选一点，沿折叠纸片，使点落在矩形内部的点处，展平后连接、根据以上操作，当点在上时，如图，连接，判断的形状并证明． 【类比应用】如图，现将矩形纸片换成边长为正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照中的方式操作，并延长交于点，连接，当点在上时，与的数量关系是______用数学式子表示； 【拓展延伸】在的探究中，改变点在上的位置点不与点、重合，沿折叠纸片，如图，使点落在正方形内部的点处，连接、，并延长交于点，连接当时，请求出的长． 是等边三角形， 证明：由折叠的性质可得，， ， 是等边三角形， 四边形是正方形， ，， 由折叠可得：，， ，， 在和中， ， ≌， ， 同可证是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； 的长为或理由如下： 由折叠的性质可得，， ≌， ， 如图，当点在线段上时， ， ，， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ， ， 如图，当点在线段上时， ， ，， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ， ， 综上所述，的长为或． 由折叠的性质可得，，进而可得，可知是等边三角形； 由“”可证≌，可得，求得，于是得到结论； 分两种情况讨论，由折叠的性质和勾股定理可求解． 本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷（二） 数 学 学 科 （考试时间：90分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版八年级下册全部内容。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列式子是二次根式的是(     ) A. B. C. D. 2.某市举办了“传诵经典”青少年演讲比赛，其中综合荣誉分占，现场演讲乙分占小明参加并在这两项中分别取得分和分的成绩，则小明的最终成绩为(     ) A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 3.如图，▱的对角线，相交于点，点是的中点，且，则的长是(     ) A. B. C. D. 4.下列图象中，能表示是的函数的有(     ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 5.对于正比例函数的图象，下列说法不正确的是(     ) A. 是一条直线 B. 随着增大而减小 C. 经过点 D. 经过第一、第三象限 6.已知一次函数，其中与的部分对应值如下表所示，根据该表提供的信息，下列说法正确的是(     ) A. 该函数的图象经过第一、三、四象限 B. 函数值随值的增大而减小 C. 关于的方程的解是 D. 关于的不等式的解集为 7.如图，和都是等腰直角三角形，的顶点在的斜边上下列结论：其中正确的有(     ) ≌；；； A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 8.两个关于的一次函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是(     ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，共12分。 9.小宇在计算某组样本的方差时，列式为：，则该组样本的样本容量是       ，平均数是       ． 10.在我国古代数学著作九章算术中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面尺如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这根芦苇的长度为       尺 11.如图，函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为         ． 12.如图，在矩形中，，，是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足分别为、求 ______． 第II卷（非选择题） 四、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分计算： ； ． 14.本小题7分已知与最简二次根式可以加减合并，是的立方根． 求，的值；求的平方根；若，求的值． 15.本小题分 当下，人工智能发展迅猛，人工智能不仅是科技创新的前沿领域，像这样的国产大模型凭借开源模式和成本优势火爆全球，在各行业智能化变革中发挥重要作用，而且深刻影响着未来社会的发展走向为了了解学生对人工智能知识的掌握情况，某校信息技术社团从七、八年级各随机抽取名学生进行测试，获得了他们的成绩百分制，并对数据成绩进行整理、描述和分析下面给出了部分信息： 八年级学生成绩的频数分布直方图如下： 数据分为组：，，，． 八年级学生成绩在这一组的是：，，，，，， 七、八年级学生成绩的平均数、中位数、众数如下： 年级 平均数 中位数 众数 七 八 根据以上信息，回答下列问题： 表中的值为______； 七年级学生王亮和八年级学生田小宇的成绩都是分，这两名学生在本年级成绩排名更靠前的是______填“王亮”或“田小宇”，理由是______； 成绩不低于分的学生可获得优秀奖，假设该校八年级名学生都参加测试，估计八年级获得优秀奖的学生人数． 16.本小题分如图，在 中，、分别是 、 的中点， ，延长 到点，使得 ，连接 ． 求证：四边形是的菱形 若 ， ，求菱形 的面积． 17.本小题分 某玩具工厂生产哪吒主题文创用品乾坤圈和混天绫，乾坤圈每个定价元，混天绫每个定价元暑假期间开展促销活动，并向客户提供以下两种优惠方案： 方案一：每买一个乾坤圈就赠送一个混天绫； 方案二：乾坤圈和混天绫都按定价的付款． 某哪吒主题文创用品店计划购进个乾坤圈和个混天绫设选择方案一需付款元，选择方案二需付款元 分别写出，关于的函数解析式． 当时． 请通过计算说明该文创用品店选择以上哪种方案更省钱． 若两种优惠方案可以同时使用使用方案一优惠过的商品不能再使用方案二优惠，使用方案二优惠过的商品不能再使用方案一优惠，请你设计出更省钱的购买方案，并计算出该方案所需费用． 18.本小题3分 取一张矩形纸片进行折叠，具体操作过程如图： 【课本再现】 第一步：如图，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，把纸片展平； 第二步：在上选一点，沿折叠纸片，使点落在矩形内部的点处，展平后连接、根据以上操作，当点在上时，如图，连接，判断的形状并证明． 【类比应用】如图，现将矩形纸片换成边长为正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照中的方式操作，并延长交于点，连接，当点在上时，与的数量关系是______用数学式子表示； 【拓展延伸】在的探究中，改变点在上的位置点不与点、重合，沿折叠纸片，如图，使点落在正方形内部的点处，连接、，并延长交于点，连接当时，请求出的长． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $