广东梅县东山中学2026届高三下学期适应性考试数学试题

广东梅县东山中学2026届高三适应性考试 数学试卷答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A D B D B B A C ACD BCD BCD 12． 13．3 14． 15．【详解】（1）因为，， 所以，， 所以，，又因为，，平面， 所以平面； （2）以为原点，直线为轴，在平面内过点与垂直的直线为轴，直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，， 所以，，，， 所以． 设平面的法向量为， 则，令，则，， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 16．【详解】（1）由题意知，，，则，，所以双曲线的渐近线方程为． （2）易知，已知，点在双曲线上且不与坐标轴垂直，则， ①当时，将代入双曲线方程可得， 则； ②当时，设，则，， 则， 解得，，则． 故的面积为或． 17．【详解】（1）解：由题知：每瓶饮料的利润为：，， 所以， 令，解得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 又，， 所以，当时，每瓶饮料的利润最大； （2）由（1）知：当时，每瓶饮料的利润最小； （3）由（）， 解得， 故所求瓶子的半径取值范围是． 18．【详解】（1）设平均每个人需要的化验次数为， 若混合血样呈阴性，则；若混合血样呈阳性，则；0.773 因此，的分布列为，，， 说明每5个人一组，平均每个人需要化验0.4262次； ，所以能减少化验次数． （2）假设个人一组，设平均每个人需要的化验次数为， 若混合血样呈阴性，则；若混合血样呈阳性，则； 因此，的分布列为，， ， 利用计算器，对取1，2，3，…，逐一计算， 发现当取8时，取到最小值0.2742， 此时，10000个人大约需要化验2742次． 19．【详解】（1）由题意知：第行时，， ∴第四行为，，，，即17，18，20，24； 同理可得：第五行为33，34，36，40，48． （2）以三角形数表中每行的数字个数作为数列各项建立等差数列，则，，…，， 则数列前项和， 则，， 是第14行第9个数，此时，，． （3）当时，可得一个数，； 当时，可得三个数，，，， 以此类推，当时，可得个数； 以时所得数的个数为各项建立数列， 则数列的前项和 ， ，， 当时，比，小的数有：个， ∴当时，． 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东梅县东山中学2026届高三适应性考试 数学试卷 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，，其中为虚数单位，则（ ） A． B． C． D． 2．已知向量，，若，则（ ） A．2 B． C．3 D． 3．已知一个圆柱与一个圆台的高和体积都相等，圆柱的底面半径是，圆台的上底面半径是1，则圆台的下底面半径是（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 4．已知函数，则方程根的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．命题“对，”为假命题的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 6．用测量工具测量某物体的长度，由于工具的精度以及测量技术的原因，测得5个数据，，，，，用表示这个物体的长度，当函数取最小值时，（ ） A．4.8 B．5.2 C．5.3 D．5.6 7．若两条直线：，：与圆的四个交点能构成矩形，则（ ） A．0 B．1 C．2 D．4 8．已知定义在上的函数，其导函数为，不等式恒成立．若对，不等式恒成立，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．记为等差数列的前项和．已知，，则（ ） A． B． C．为等差数列 D．为等比数列 10．如图，正方体的棱长为2，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（ ） A．不存在点，使得平面 B．一蚂蚁从点出发，沿正方体的表面爬行，到达点的最短距离为 C．三棱锥的体积为 D．三棱锥的外接球表面积为 11．已知函数（），则下列说法正确的是（ ） A．若函数周期为4，则 B．当时，函数的图象关于点对称 C．若函数在单调，则有最大值 D．若函数在区间上恰有三个零点，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知为坐标原点，为抛物线：的焦点，则的坐标为__________． 13．已知随机变量，且，则__________． 14．在斜内，内角，，所对的边分别为，，，若，则__________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15．如图，三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 16．已知双曲线：的右焦点为． （1）求双曲线的渐近线方程； （2）已知，点在双曲线上且不与坐标轴垂直，若为直角三角形，求的面积． 17．某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是分，其中（单位：）是瓶子的半径．已知每出售的饮料，制造商可获利0.2分，且制作商能制作的瓶子的最大半径为． （1）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ （2）瓶子的半径多大时，每瓶饮料的利润最小？ （3）假设每瓶饮料的利润不为负值，求瓶子的半径的取值范围． 18．某单位有10000名职工，想通过验血的方法筛查乙肝病毒携带者．假设携带病毒的人占5%，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验10000次．统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合再化验．如果混合血样呈阴性，说明这5个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次．（参考数值：） （1）按照这种化验方法能减少化验次数吗？ （2）如果携带病毒的人只占2%，按照个人一组，求每个人需要的化验次数的期望？ 19．设数列是集合中的数从小到大排列而成，即，，，，，…，现将各数按照上小下大、左小右大的原则排成如下三角形表： （1）写出这个三角形的第四行和第五行的数； （2）求； （3）设是集合中的数从小到大排列而成，已知，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $