精品解析：2026年广东省清远市连州市中考一模数学试卷

2026年初中学业水平适应性考试（一）数学 本试卷共4页，23小题，满分120分．考试用时120分钟． 说明：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列实数中，最小的为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵正数都大于负数，，，都是正数，是负数， ∴， ∴最小的数是． 2. 多项式因式分解，正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：原式． 3. 阅读是获取知识、增长智慧的重要方式，更是传承文明、提高国民素养的重要途径．中央宣传部印发《关于促进全民阅读工作的意见》，提出在全社会大力提倡多读书、读好书，建设书香社会、书香中国，不断提升人民思想境界、增强人民精神力量．下列全国各地图书馆的标志中，既不是轴对称图形，又不是中心对称图形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 4. 据中国汽车工业协会统计，年中国新能源汽车的全年销售量约万辆，万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：万． 5. 如果边形每一个内角等于与它相邻外角的2倍，则的值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】利用多边形内角与相邻外角互补，任意多边形外角和为，先求出单个外角的度数，再利用外角和求出边数． 【详解】解：设这个边形的一个外角为，则相邻的内角为， ∵ 多边形的内角与相邻外角互补， ∴ ， 解得， ∵ 任意多边形的外角和为， ∴ ． 6. 《九章算术》“盈不足”章第一题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？题目大意：几个人合伙买东西，若每人出8钱，则会多出3钱；若每人出7钱，则还少4钱．合伙人数、物品的价格分别是多少？解：设人数为人，则下面列的方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 根据“若每人出8钱，则会多出3钱；若每人出7钱，则还少4钱”，可列出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：∵若每人出钱，则会多出钱， 物品的价格为钱； 若每人出钱，则还少钱， 物品的价格为钱， 根据题意可列出方程． 故选：B． 7. 如图，实数，在数轴上的位置如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数轴上点的位置确定的取值范围及符号，结合绝对值大小关系，利用有理数的加减乘除运算法则进行判断． 【详解】由数轴可知 ，， ，，且， ，，，， 故 A 选项正确，B、C、D 选项错误． 8. 中国四大石窟分别是甘肃敦煌莫高窟、山西大同云冈石窟、河南洛阳龙门石窟、甘肃天水麦积山石窟．现有四张完全相同的卡片，正面分别标注这四个石窟的名称，将卡片洗匀后背面朝上放置．随机抽取一张卡片，则抽到的石窟位于甘肃省的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查简单概率的计算，先确定所有等可能的结果总数，再找出位于甘肃省的石窟的结果数，代入概率公式计算即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，随机抽取1张卡片，共有种等可能的结果． ∵四个石窟中，位于甘肃省的石窟有敦煌莫高窟、天水麦积山石窟，共种符合条件的结果． ∴抽到位于甘肃省的石窟的概率为． 9. 如图是一把休闲座椅，底座的长度为，椅背与底座的夹角为，抽象为平面图形如图，，若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角形的外角性质求出  的度数，过点  作  的垂线构造直角三角形，利用勾股定理求解即可． 【详解】如图，过点  作  于点 ，  椅背与底座的夹角为 ，即  的外角为 ，且 ， ， 在  中，，， ，， 在  中，， 是等腰直角三角形， ， ． 10. 如图，四边形是矩形，直线分别交，，于点，，，下列条件中，不能证明的是（ ） A. 为矩形两条对角线的交点 B. 为对角线的中垂线 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由矩形性质可得，进而得出 ， ，结合全等三角形的判定定理逐一分析各选项即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴ ， ， A、∵为矩形两条对角线的交点， ∴， 在和中，  ， ∴， 故此选项不符合题意； B、∵为对角线的中垂线， ∴，， 在和中，  ， ∴， 故此选项不符合题意； C、， ∴，即， 在和中，  ， ∴， 故此选项不符合题意； D、∵， ∴， 此时只有三个角对应相等，缺少对应边相等的条件，不能判定， 故此选项符合题意． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 相似三角形的对应高之比为，那么对应周长之比为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据相似三角形对应高的比等于相似比，相似三角形的周长比等于相似比，即可求解． 【详解】解：∵相似三角形对应高的比为， ∴这两个相似三角形的相似比为， ∴ 相似三角形的对应周长之比为． 12. 分式方程的解是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先确定最简公分母，方程两边同乘最简公分母将分式方程转化为整式方程，求解整式方程后进行检验，即可得到分式方程的解． 【详解】解：, 方程两边同乘最简公分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 经检验，当时，， 因此是原分式方程的解． 13. 若，则____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查绝对值的非负性与算术平方根的非负性，根据几个非负数的和为，则每个非负数分别等于，求出，的值后代入代数式计算即可得到结果． 【详解】解：，且，， ，， 解得：，， ，代入得，． 14. 如图，在中，，，为圆周上三点，且，若，则的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据圆周角定理求出圆心角的度数，判定为等腰直角三角形，利用勾股定理求出半径的平方，最后利用圆的面积公式求解． 【详解】连接， 与分别是所对的圆周角和圆心角，  ， ， ， 为的半径，  ， 在中，由勾股定理得， 设的半径为，则， ∴， 的面积为． 15. 如图，在平行四边形中，，的平分线，分别与直线交于点E，F，当时，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的定义得到，根据等腰三角形的性质得到，同理，求解即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， 同理， ， ， 的值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、平行线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次根式的性质化简，运算特殊角的三角函数值，化简绝对值以及负整数指数幂，再运算乘除法，最后运算减法，即可作答． 【详解】解： ． 17. 用一根长为的铁丝，怎样用它围成一个面积最大的矩形？并求出最大面积． 【答案】当围成边长为的正方形时，围成的矩形面积最大，最大面积为 【解析】 【分析】先设矩形的一边长，根据铁丝总长表示出邻边长，再得到面积关于边长的二次函数，求出二次函数的最大值，即可得到结论． 【详解】解: 设围成的矩形一边长为，矩形面积为 ，由铁丝总长为，可得矩形邻边长为， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， 即当围成边长为的正方形时，围成的矩形面积最大，最大面积为． 18. 对某班同学的上学方式做调查，制作了下列条形统计图和扇形统计图（不完整）． （1）这个班一共有______人； （2）补全条形统计图和扇形统计图； （3）从两个统计图中，分别得到哪些信息？要求：写两条． 【答案】（1）48 （2）补全条形统计图和扇形统计图如图： （3）①该班乘车上学的同学最多，占全班人数的一半；②该班步行上学和骑车上学的同学人数相等，各占全班人数的 【解析】 【分析】（1）用乘车人数除以占比即可求解总人数； （2）先求出步行的人数，再求出步行和骑车的占比，即可补全条形统计图和扇形统计图； （3）根据条形统计图和扇形统计图即可获得信息． 【小问1详解】 解： 答：这个班一共有人； 【小问2详解】 解：步行人数为：（人）， 则骑车和步行人数相等，占比为， 补全条形统计图和扇形统计图见答案； 【小问3详解】 略 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，为的直径，，为弦，的平分线交于点，过点作，现有以下命题： 命题：是等腰直角三角形； 命题：是的切线； 命题：； 任选两个命题，先判断真假，再证明或举反例． 【答案】命题1是真命题，证明如下： ∵为的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； 命题2是真命题，证明如下： 如图，连接， ∵，是中点， ∴， ∵， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线； 命题3是真命题，证明如下： 如图，延长至点，使，连接， ∵四边形是的内接四边形 ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴ ∴，， ∵是的直径 ∴，即， ∴，即， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵，且， ∴ 【解析】 【分析】三个命题均为真命题；命题1：先根据直径所对的圆周角为直角得出，再由角平分线得到，结合同弧所对的圆周角相等推出，进而得到，即可证明是等腰直角三角形； 命题2：连接，利用等腰三角形三线合一的性质，由且是中点得出，再根据推出，结合是的半径，即可证明是的切线； 命题3：延长至点使，利用圆内接四边形对角互补和邻补角的性质推出，再结合、用证明，得到和对应角相等，接着由直径所对圆周角为直角推出，证明是等腰直角三角形得出，最后通过线段代换得到． 【详解】略 20. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）在第（1）问的条件下，若，是一元二次方程的两个实数根，当时，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）一元二次方程有两个不相等的实数根时，根的判别式大于0，计算判别式后解不等式即可得到m的取值范围； （2）先根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再利用完全平方公式变形，结合已知条件得到关于m的方程，求解后结合第一问的范围舍去不合理的解，即可得到m的值． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程为有两个不相等的实数根， ∴，其中，，，     ， 解得； 【小问2详解】 解：∵，是方程的两个实数根， ∴根据根与系数的关系得，， ∵， ∴， 代入得：， 解得，， ∵由（1）知，，不符合要求，舍去， ∴． 21. 如图，点在上，为线段的中点，，分别为，的平分线． （1）尺规作图：过点作的平行线； （2）若（1）中的直线交于点，交于点，试判断四边形的形状，并证明． 【答案】（1） （2）四边形是矩形，证明如下： 连接，如图所示： ∵，分别为，的平分线， ∴， ∵， ∴， 即 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为线段的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】（1）根据过直线外一点作已知直线的平行线，进行作图即可得出符合题意的直线； （2）根据角平分线的性质以及平行线的性质，得出，再结合等角对等边，以及根据为线段的中点，得出对角线互相平分，故四边形是平行四边形，再根据有一个角是90度的平行四边形是矩形，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 综合与实践 小明同学利用折纸的方法得到一个菱形，具体做法如下：先将一张长方形的纸对折，再对折，然后沿图中的虚线剪下，将纸展开，就得到如图所示的菱形． （1）请你说说小明这样做的道理； （2）如图，若，，为上一动点，沿折叠，点的对应点为，延长交射线于点． ①求证：； ②当时，求的长． 【答案】（1）根据对折2次，剪下应有4条边，并且这4条边相等，则得到的四边形是菱形 （2）①证明：如图，连接，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∴， ∵，沿折叠，点的对应点为， ∴，， ∵四边形是菱形，， ∴， ， ∴，是等边三角形， ∴， ， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴平分， ∴， 又∵， ∴， ∴； ② 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质可得，对折2次，剪下应有4条边，并且这4条边相等，根据菱形的判定定理，即可求解； （2）①连接，过点分别作的垂线，垂足分别为，证明，得出平分，进而可得，再证，得出； ②根据题意得出，则，设，则，由①可得，根据勾股定理表示出，建立方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略 ②∵四边形是菱形，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， 由①可得， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得：， ∴． 23. 如图，在直角坐标系中，矩形的两边在坐标轴上，为对角线，反比例函数的图象与矩形的两边相交于点，两点． （1）求证：； （2）如图，若点关于直线的对称点为． ①若为的中点，求点的坐标； ②将沿折叠得到，当点不落在矩形外部时，求的取值范围． 【答案】（1）证明：设，， 则，， 把代入，得， ， ， 把代入，得， ， ，， ，， ， ， ， ， ． （2）①；② 【解析】 【分析】（1）设，，由得，，进而用含，，的代数式表示出，，计算得，，再结合，得，对应角，最终得出； （2）①连接，作于，过作，先由为中点及对称性，可得出与重合，利用，可求出，；再求出，即可确定的坐标； ②由（1）和（2）①可知，在射线上，随增大点向靠近当落在上，通过解和，求得此时，再求出函数图象经过时对应的值即可确定的范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①连接，作于点，设交于点， 由（1）可知， ， 是中点， ， ， 与关于对称， 与重合， ， ， ， 过作于点，如下图： ， ， ，即； ②由（1）和（2）①可知，在射线上，如下图， 当越大，越大，且点越靠近点， 假设点恰好落在上 ， 此时， 当，点才能存在矩形内， 当过点时 把代入得， 解得 ． 【点睛】这道题是一道综合性的几何与代数压轴题，主要考查了反比例函数的性质、矩形的性质、相似三角形的判定与性质、图形的轴对称（折叠）以及动点问题的临界分析，关键是利用“参数法”来打通代数与几何的联系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平适应性考试（一）数学 本试卷共4页，23小题，满分120分．考试用时120分钟． 说明：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列实数中，最小的为（ ） A. B. C. D. 2. 多项式因式分解，正确的为（ ） A. B. C. D. 3. 阅读是获取知识、增长智慧的重要方式，更是传承文明、提高国民素养的重要途径．中央宣传部印发《关于促进全民阅读工作的意见》，提出在全社会大力提倡多读书、读好书，建设书香社会、书香中国，不断提升人民思想境界、增强人民精神力量．下列全国各地图书馆的标志中，既不是轴对称图形，又不是中心对称图形的为（ ） A. B. C. D. 4. 据中国汽车工业协会统计，年中国新能源汽车的全年销售量约万辆，万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如果边形每一个内角等于与它相邻外角的2倍，则的值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 《九章算术》“盈不足”章第一题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？题目大意：几个人合伙买东西，若每人出8钱，则会多出3钱；若每人出7钱，则还少4钱．合伙人数、物品的价格分别是多少？解：设人数为人，则下面列的方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，实数，在数轴上的位置如图所示，则（ ） A. B. C. D. 8. 中国四大石窟分别是甘肃敦煌莫高窟、山西大同云冈石窟、河南洛阳龙门石窟、甘肃天水麦积山石窟．现有四张完全相同的卡片，正面分别标注这四个石窟的名称，将卡片洗匀后背面朝上放置．随机抽取一张卡片，则抽到的石窟位于甘肃省的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图是一把休闲座椅，底座的长度为，椅背与底座的夹角为，抽象为平面图形如图，，若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，四边形是矩形，直线分别交，，于点，，，下列条件中，不能证明的是（ ） A. 为矩形两条对角线的交点 B. 为对角线的中垂线 C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 相似三角形的对应高之比为，那么对应周长之比为_____． 12. 分式方程的解是_____． 13. 若，则____． 14. 如图，在中，，，为圆周上三点，且，若，则的面积为_____． 15. 如图，在平行四边形中，，的平分线，分别与直线交于点E，F，当时，则的值为______． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 17. 用一根长为的铁丝，怎样用它围成一个面积最大的矩形？并求出最大面积． 18. 对某班同学的上学方式做调查，制作了下列条形统计图和扇形统计图（不完整）． （1）这个班一共有______人； （2）补全条形统计图和扇形统计图； （3）从两个统计图中，分别得到哪些信息？要求：写两条． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，为的直径，，为弦，的平分线交于点，过点作，现有以下命题： 命题：是等腰直角三角形； 命题：是的切线； 命题：； 任选两个命题，先判断真假，再证明或举反例． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）在第（1）问的条件下，若，是一元二次方程的两个实数根，当时，求的值． 21. 如图，点在上，为线段的中点，，分别为，的平分线． （1）尺规作图：过点作的平行线； （2）若（1）中的直线交于点，交于点，试判断四边形的形状，并证明． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 综合与实践 小明同学利用折纸的方法得到一个菱形，具体做法如下：先将一张长方形的纸对折，再对折，然后沿图中的虚线剪下，将纸展开，就得到如图所示的菱形． （1）请你说说小明这样做的道理； （2）如图，若，，为上一动点，沿折叠，点的对应点为，延长交射线于点． ①求证：； ②当时，求的长． 23. 如图，在直角坐标系中，矩形的两边在坐标轴上，为对角线，反比例函数的图象与矩形的两边相交于点，两点． （1）求证：； （2）如图，若点关于直线的对称点为． ①若为的中点，求点的坐标； ②将沿折叠得到，当点不落在矩形外部时，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $