浙江省2025-2026学年高一下学期数学期末复习测试（一）平面向量

**基本信息** 聚焦平面向量核心知识，融合太极八卦图文化情境与新运算定义创新应用，梯度覆盖基础运算到综合推理，适配高一下期末复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|向量共线、线性运算、数量积|整合浙江多地期末真题，强化基础| |多项选择题|3/18|投影向量、三角形四心|多选项设计考查推理严谨性| |填空题|3/15|向量垂直、模的最值|渗透函数思想解决动态问题| |解答题|5/77|向量分解、新运算定义|19题定义“⊗”运算，综合数学思维与表达|

浙江省2025——2026学年高一下学期期末复习测试（一）平面向量 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知三点共线，则（   ） A．1 B．3 C． D． 2．（24-25高一下·浙江台州·期末）已知平面向量，，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·浙江杭州·期末）在中，，点平分线段．设，，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知向量，它们的夹角为，则（    ） A．4 B．12 C．2 D． 5．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知是两个垂直的单位向量．若，设向量的夹角为，则（ ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知，，，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 8．（24-25高一下·浙江宁波·期末）中国文化中的太极八卦图蕴含了现代哲学中的矛盾对立统一规律，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，若点P是其内部任意一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共有3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．（24-25高一下·浙江金华·期末）已知点，则以下说法正确的是（   ） A． B． C． D．在上的投影向量是 10．（24-25高一下·浙江温州·期末）已知点是平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，若点满足，垂足为，则（    ） A． B．是锐角 C．点的坐标为 D． 11．已知点为的外心，点为所在平面内一点，则下列结论一定成立的有（   ） A． B．若，则 C．若，则点为的重心 D．若，则点为的垂心 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知向量，，，若，则_____. 13．（24-25高一下·浙江台州·期末）已知平面向量，且与的夹角为，若，则的最小值为_______. 14．（24-25高一下·浙江金华·期末）在平面直角坐标系中，，．设，则的取值范围是________． 四、解答题（本题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（24-25高一下·浙江金华·期末）已知向量、满足，，且. (1)若，求实数的值； (2)求与的夹角. 16．（24-25高一下·浙江宁波·期末）如图，在中，，为的中点，过点的直线分别与边，交于点，（不含端点）.若，，. (1)用，表示（请写出具体推理步骤）； (2)求的值. 17．如图，在梯形中，，点是线段上的动点． (1)若，，三点共线，试用和表示； (2)设，若与的夹角的余弦值为，求． 18．如图，在梯形中，，点在上，且与相交于点. (1)求的值； (2)若，求； (3)若点在以点为圆心，2为半径的圆上，求的取值范围. 19．（24-25高一下·浙江宁波·期末）如图，在中，，，，，，设与交于点，且． (1)求的值； (2)定义平面非零向量之间的一种运算“”：（其中是两非零向量和的夹角）． （ⅰ）若为的中点，求的值； （ⅱ）若，求的值． 参考答案 1．A 【分析】利用向量共线的坐标表示求解. 【详解】依题意，，且，则， 所以. 故选：A 2．C 【分析】利用向量的线性运算坐标表示即可求得结果. 【详解】因为向量，，所以， 故选：C 3．D 【分析】根据平面向量基本定理，，再由，化简即可求解. 【详解】因为，即， 又点平分线段， 所以. 故选：D. 4．C 【分析】先根据已知条件求出，再由化简计算即可 【详解】因为向量，它们的夹角为， 所以， 所以. 故选：C. 5．D 【分析】首先求出向量的数量积，然后求出向量的模，最后根据向量夹角的余弦公式即可求出答案. 【详解】因为是两个垂直的单位向量，所以. 因为， 所以. 而，. 所以. 故选：D. 6．A 【分析】利用投影向量公式可求向量在向量上的投影向量. 【详解】向量在向量上的投影向量为， 故选：A. 7．C 【分析】利用向量数量积的运算律以及模长计算公式，计算可得解. 【详解】由题意，，，， 所以，即，可得，则， 所以. 故选：C. 8．C 【分析】先根据向量模长可得，到的距离，再根据平面向量数量积的运算，结合平面向量数量积的几何意义求解即可. 【详解】由八卦图的对称性可得， 故 . 设到的距离为，则， 解得. 又 . 又即在上的投影， 其最大值为， 最小值为. 故， 即. 故选： C 9．BCD 【分析】先求出，再求出，即可判断A；求出及，验证是否等于0即可判断B；求出的值，即可判断C；根据公式求出在上的投影向量，即可判断D. 【详解】因为，所以. 因为，故A错误； 因为，， 所以， 所以，故B正确； 因为，故C正确； 因为， 所以在上的投影向量为 . 故D正确. 故选：BCD 10．ABD 【分析】利用向量的坐标表示求解． 【详解】因为点，点，则， 故，故A正确； ，，则，若， 即，可得，此方程无解，所以与不共线， 所以是锐角，故B正确； 设点的坐标为，则，， 因为，所以，解得，故，所以C错误； 因为，设，则， 由于，所以，即，解得， 所以，故D正确. 故选：ABD. 11．BCD 【分析】对于选项A,将变形为，结合外心性质分析是否相等;对于选项B，根据正弦定理可得，再结合，对比半径比较大小即可；对于选项C：根据重心的向量性质求解即可； 对于选项D，结合向量线性运算和数量积运算求解，同理可证，进而判断垂心. 【详解】已知是外心，故（外接圆半径） 选项A，若， 整理得， 即，仅对特定成立，不是对任意一定成立，故A错误； 选项B，如图所示，取中点，， 故 由题， 得. 由正弦定理：， 故，即，B正确. 选项C，对于任意点,重心的向量性质为：， 即，题设，故与重合， 即是重心，C正确； 选项D，若， 故， 同理可得，即是垂心，D正确. 12． 【分析】先求出，进而根据，由平面向量垂直的坐标表示求解即可. 【详解】∵，， ∴， ∵，∴,得. 故答案为：. 13． 【分析】根据模长公式，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】根据题意， ， 故当时，的取最小值. 故答案为： 14． 【分析】先根据，求出，进而可以用向量表示出，即可解出． 【详解】因为，， 由平方可得，，所以． ，， 所以， ， 又，即， 所以，即， 故答案为：. 15．(1) (2) 【分析】（1）由平面向量数量积的运算性质结合题干中的等式可得出的值，由已知条件得，结合平面向量数量积的运算性质可得出关于的等式，解之即可； （2）利用平面向量数量积的运算性质可求出的值，结合向量夹角的取值范围可得结果. 【详解】（1）因为向量、满足，，且， 即，解得， 因为，即, 解得. （2）因为， ， 因此. 因为，因此，即与的夹角为. 16．(1) (2)3 【分析】（1）根据向量的线性运算用，表示即可； （2），结合，，三点共线，得，进而得到答案. 【详解】（1） （2）， ，，三点共线，，. 17．(1) (2)． 【分析】（1）先由、、三点共线，结合题设条件根据相似三角形得到，再利用向量三角形法则可得； （2）设，先求出，并利用向量表示向量,再利用向量模及向量的夹角的公式列出方程求解即得. 【详解】（1）由已知得，则，所以， 因为，所以 （2）设， 由已知得与的夹角为， 所以， 由（1）知， 所以， 因为， 所以， 记与的夹角为，则 ， 化简得，解得或， 当时，，不符； 所以，即的值为． 18．(1)6 (2) (3). 【分析】（1）根据向量数量积的定义求解即可； （2）设，根据三点共线得即可得答案. （3）由题知，再结合（2）求得，再结合数量积的几何意义得，进而得. 【详解】（1）解：梯形中，， 所以为等腰梯形， 因为点在上，且， 所以，， 所以. （2）解：设，则 因为三点共线，所以，解得， 所以，即 （3）解： 由（2）可得 又 如图，由向量数量积的几何意义知，，即 所以 所以. 19．(1) (2)（ⅰ）（ⅱ） 【分析】（1）根据平面向量的线性运算可得，进而结合三点共线的推论求解即可； （2）（ⅰ）由为的中点，易得为的重心，建立平面直角坐标系，根据题设定义及平面向量夹角余弦的坐标表示求解即可； （ⅱ）建立平面直角坐标系，据题设定义及平面向量数量积的运算律列方程求解即可. 【详解】（1）因为，， 所以 ， 又三点共线， 所以，即. （2）（ⅰ）因为为的中点，所以， 由（1）知，，则，即为的重心． 建立如图所示的平面直角坐标系，则， 所以， 所以， 所以， 所以. （ⅱ）建立与（ⅰ）相同的平面直角坐标系， 则， 所以， 所以， 所以， 则， 所以 ， 即，所以，即或， 因为，所以，又因为， 所以，则． 学科网（北京）股份有限公司 $