天津市第二中学2025-2026学年高一下学期第二次月考数学试卷

参考答案 1.A 【详解】设应从丁种型号的产品中抽取x件，由分层抽样的基本性质可得 60 400100+200+300+400’ 解 得x=24. 2.C 【详解】依题意1+i)(2-i)=2+2mi-i+m=2+m+十2m-）为纯虚数， [2+m=0 所以 2-1≠0'解得m=-2. 3.D 【详解】AC=AB+BC=(8,6+m),因为A,C,D三点共线， 故AC,D共线，故8×2m=6-m,故m=-6 17 4.B 【详解】DE=DA+AE-号C1+号-cB+号BA=名ABC 5.B 【详解】已知等式利用正弦定理化简得：bcos4=b2 acosB, 整理得：acosA=bcosB,，即sin Acos4=sin BcosB, 所以2 sin Acos4=2 sin BcosB,即sin2A=sin2B, 所以sin[(A+B)+(A-B)]=sin[(A+B)-(A-B)], sin(A+B)cos(A-B)+cos(A+B)sin(A-B)=sin(A+B)cos(A-B)-cos(A+B)sin(A-B), 所以2cos(A+B)sin(A-B)=0, 则cos(A+B)=0或sin(A-B)=0, 因为0<A+B<兀，-L<A-B<π， 区A+B=),A=B,所以4BC为等腰三角形或直角三角形 6.C 【详解】如图所示为该圆锥轴截面， 合案第1页，共7页 由愿意底面国半径3，母线= =2W5 sin 3 所以侧面积l=元x3x2√3=6V3元m. 7.D 【详解】若m⊥au,m⊥n,则nl/a或nco,故A错误。 若m/1a,n/IB,则al∥B或a,B相交，故B错误. 若m/a,m⊥n,则n⊥au或l/a或nca,故C错误。 若mLa,m/1B,则a&LB,故D正确. 8.C 【详解】 D C B 如图所示，因AA/IDD,则∠DDB即异面直线DB,与AA所成角 连接DB,在RIADDE中，an∠DDB=D8-2+225, DD 2 则∠DDB=60°，即异面直线DB与A4所成角为60， 故选：C 9.C 【详解】由题意得+5++=2，故5+5++水，=2， 则35+2+3+2++3水+23s+5++)+2-8 之 即3x+2,3x2+2,,3x+2的均值为8， 又5-29+s-2)+(-2=0.25, n 故x++x-4(x+5++x)+4n=0.25n, 解得x+x3+…x2=4.25n, 故3+2-8)+35+2-8++Bx+2-8) 2 =(3x-6+35-6}++βx6 n _9+号+)366+3++，片36m n -9×4251-36×21+361=2.25 n 故3x1+2,3x2+2,.,3x+2的方差为2.25 10.B 【详解】由频率分布直方图可得众数为67.5，A错误： 平均数为57.5×0.15+62.5×0.25+67.5×0.3+72.5×0.2+77.5×0.1=66.75，C错误： 因为体重位于[55,60)，[60,65)，[65,70)，[70,75)的频率分别为0.15,0.25,0.3,0.2， 因为0.15+0.25+0.3+0.2>0.8， 所以第80百分位数位于区间70,75)内，设第80百分位数为x, 则0.15+0.25+0.3+(x-70)×0.04=0.8, 所以x=72.5,即样本的第80百分位数为72.5，B正确： 样本中低于65kg的学生的频率为0.15+0.25=0.4， 所以该校学生中低于65kg的学生大约为3000×0.4=1200，D错误： 11.-1+2i 【01智091+29-510-1交 9-16 5 5 12.8.75 【详解】将数据从小到大排列，得7.8,7.9,8.0,8.3,8.4,8.5,8.5,8.5,8.6,8.9,9.0,9.9， 因为共有12个数据，则12×75%=9， 所以75%分位数是86+89=875. 2 【详解】因为园=5，同=4，a与万的夹角为120， 答案第3页，共7页 所以a五=eo120=5x4(}-10 因为(ka-2b)1(a+b), 所以(ka-2b-(a+i=ka-27+(k-2a.五=25k-2×16-10k-3=15k-12=4 解得k=4 5 14.12元 【详解】由题意，四面体ABCD即为正四面体，将其补成一个正方体，则正四面体的棱长即正方体的面对 角线长， 故正方体的棱长为V 2√2=2，正方体的体对角线长为2√3， 2 :正四面体的外接球的直径为正方体的体对角线长， 外接球的表面积为S=4π(V3)2=12元， 【详解】 p M B 如图，取AB的中点M,连接PM,CM, 在△PAB中，PA=PB=AB=2,所以PM1AB,PM=√5， 同理可得，CM⊥B,CM=√5， 所以∠PMC即为二面角P-AB-C的平面角. 因为PM=CM=√5，PC=√5， 在APMC中，由余弦定理得，cos∠PMC-PM+CM2-PC23+3-51 2PM×CM 2xv3x136 1 所以二面角P-AB-C的余弦值为 6 16.①②④ 【详解】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵” 答案第4页，共7页 所以在堑堵ABC-AB,C,中，AC⊥BC,A4⊥平面ABC, 对于①：因为AA⊥平面ABC,BCc平面ABC,AA⊥BC, 又AC⊥BC,AA∩AC=A,所以BC⊥平面AACC1,且四边形AACC1为矩形， 所以四棱锥为“阳马”，故①正确： 对于②：由AC⊥BC,AC1⊥CC且BCOGC=C,所以AC1⊥平面BB,CC, 所以AC1⊥BC1,故E4BC和△ACC为直角三角形 由BC⊥平面AACC1,得△ABC和△CCB为直角三角形， 所以四面体ACCB为“鳖臑，故②正确： 对于③：在ABC中，AC⊥BC,AB=2,故AC+BC=4≥2ACBC, ∴ACBC≤2，当且仅当AC=BC时取等号. 所以四棱锥B-44CG体积7-A44CBC,发大为，所以®不正确： 对于④：由BC⊥平面AACC1,所以BC⊥AF,又AF⊥AC,且AC∩BC=C 所以AF⊥平面ABC,所以AF⊥AB,又AE⊥AB, 所以AB⊥平面AEF,则AB⊥EF,所以④正确. 17. 6 -6 【详解】过点B作BM垂直AD于点M,则向量AM为向量AB在向量AD上的投影向量， 由题意知点M为线段AD的中点，所以M=,AD=6, BAD=AM=3=P，又∠BAD为锐角，故∠B AB 23 2 以点A为坐标原点，AD为x轴建系如图，则A(0,0),D(6,O),B(3,√3) 因为元-而，所以c6V 因为点E为线段BD上的动点，所以设DE=DB=(-3,V3),元∈[0，]故点E(6-32,V3): C厘A正=(6-3元，3)-(1-3元，V31-V5)=(6-3)0-3)+V3-(W3-V5) =1222-24元+6，∈[0,1]. 答案第5页，共7页 当1=1时，C亚A正取到最小值-6. 故答案为： 6:6 B D 18.1)血4-号外接图半径为：2)b=,c-5: 【详解】（1)因为coB=},4为三角形内角，所以5n月-4 又b=4,a=2,所以由正弦定理可得：a=b sin A sin B =2r(其中r为△4BC的外接圆半径)， 因此smA=乙nB=2.r=,b 4_5 b =5’2simB82: 5 (2)因为△4BC的面积为4，a=2,simB=4 5 所以Sc=4=)ac sinB=4c,因此c=5: 1 5 *17, 由余弦定理可得=a+c2-2acc0sB=4+25-2x2x5 所以b=√17 19.(1)b=6 (30 6 3)3 18 【详解】(1)由bsinA=3 csinB,以及正弦定理可得ba=3cb,即a=3c, 由于a=3,所以c=1, 故b=V+c2-2 accosB=,9+1-2x3x12-√J6, 3 2)由cosB=,B∈0，)，可得sinB=V1-cos2B、V5 3 SinA=sinB可得sin4=asin B了+6 由正弦定理可得a=b 3、30 b 6 6 (3)由正弦定理可得c=b sinC sinB 'sinc=csing Ix5 可 b 330 V618 sin(A+B)=sin(-c)=sin c=30 18 答案第6页，共7页 20.(1)证明过程见解析(2)证明过程见解析 3)05 21 【详解】(1)连接BD,OM, D 因为底面ABCD为平行四边形，O为AC中点， 故BD与AC相交于O, 11 M 因为M为PD的中点， 则OM/IPB, 因为OMc平面ACM,PBt平面ACM, 所以PB/1平面ACM: (2)因为∠ADC=45°，AD=AC=1, 由余孩定理得cs∠AC.D4C,即co45-l1+CD-】 2AD.CD 2CD 解得CD=√2， 因为AD+AC2=CD2,所以AD⊥AC, 因为PO⊥平面ABCD,ADc平面ABCD,所以PO⊥AD, 因为AC,POc平面PAC,AC∩PO=O, 所以AD⊥平面PAC: (3)取OD的中点N,连接MN,AN,则N//OP, 因为PO⊥平面ABCD,所以MN⊥平面ABCD, 则∠MAN为直线AM与平面ABCD所成角， 其中P0=2,故W=0P=1, B 2 因为AD14C,40=号4C-分由勾股完果得OD-an+40- +-5 故w:n:5 4 由勾股定理得AM=√AN+N_V2I 4 5 所以COSMAN= 4 V105 AM√2i21 答案第7页，共7页2025-2026(二)天津二中高一年级第二次月考 数学学科试卷 一、单选题（每小题4分，共40分） 1.某上厂生产甲、乙、丙、丁四种不间型号的产品，产分别为100、200,300、400件，为 检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从」种型号 的产品中抽取(）件， A.24 B.18 C.12 D.6 2.i是虚数单位，若(1+)(2-i)为纯虚数，则实数m的值为() A.2 B.4 C.-2 D.-4 3.已知向量AB=(5,6),BC=(3,m),AD=(-1,2m),若A,C,D三点共线，则m=（) a名 c.n .9 4.如图所示，在△ABC中，点D是线段AC上靠近A的三等分点，点E是线段AB的中点， 则DE=() A号丽-名c 8.m-c c.名a-c D.-+c 6 5.在△4BC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2 cosAsinB=b'sinAcosB,则△ABC的形状 是() A.等腰直角三角形 B.等腰三角形或直角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形 6.攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式米代称为掇尖清代称为 攒尖通常有圆形攒尖，三角攒尖，四角攒尖，八角攒尖，也有单檐和重棉之 分，多见于亭阁式建筑，园林建筑如图所示的建筑屋顶是圆形攒尖，可近 似看作一个贸镜，己知其拾截面是底边长为6m,顶角为号的等腹三角形， 流·年级（数学）第1页共4页 则该屋顶的面积约为() A.3√5πm2 B,6xm2 C.6v3nm2 D.12N5元m2 7.已知m,n是两条不同的直线，，P是两个不间的平而，则下列结论一定正确的是（) A.若m⊥a,m⊥n,则nla B.若m/1a,mllB,则lWB C.若m/1a,m⊥n,则n⊥a D.若m⊥a,m11B,则a⊥B 8.长方体ABCD-ABGD中，AA=AD=2,AB=2N2,则异面直线DB与AA所成角的大小为 () A.30° B.45° C.60° D.90° 9.已知一组样本数据x,为，，x(neN)的均值和方差分别为2和0.25，划3x+2,3x2+2,, 3x,+2的均值和方差分别为() A.6和0.75 B.8和0.75 C.8和2.25 D.6和2.25 10.少年强则国强，少年智则国智.党和政府一直重视青少年的健康成长，出台了一系列政策和 行动计划，提高学生身体素质.为了加强对学生的营养健康监测，某校在3000名学生屮，抽查 了100名学生的体重数据情况.根据所得数据绘制样本的频率 频率 分布直方图如图所示，则下列结论正确的是() 个组距 0.06 A.样本的众数为65 0.05 0.04 B.样本的第80百分位数为72.5 0.03 0.02 C.样本的平均值为67.5 D.该校学生中低于65kg的学生大约为1000人 0556065707580体重/kg 二、填空题（每小题4分，共28分） 11.1是虚数单位，复数5+10- 3-4i 12.从某珍珠公司生产的珍珠中任意抽取12颗，得到它们的质量（单位：g)如下：7.9,9.0， 8.9,8.6,8.4,8.5,8.5,8.5,9.9,7.8,8.3,8.0,则这组数据的第75百分位数是 年级（数学）第2页共4页 13.己知向量ā、吊满足a个=5，=4，a与的夹角为120，若(ka-2b)1(a+6),则k= 14.四面体ABCD的所有棱长都为2互，则这个四面体的外接球的表面积为 15.在三棱锥P-ABC中（如图）PA=PB=AC=AB=BC=2,PC=V5, 则二面角P-AB-C的余弦值为 16.《九章鄉术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”：底面为矩形，一 条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖踽”，如图， 在堑堵ABC-ABC中，AC⊥BC,且AA=AB=2,有下列命题： B ①四棱锥B-AACC为"阳马”： C E ②四面体ACCB为“鳖肠”： ®四棱维B-44CC体积最大为行： B ④过A点分别作AE⊥AB于点E,AF⊥AC于点F,则EF⊥AB. 则正确命题是 17. 在平面四边形ABCD中，AB=25,AD=6,向量丽在向量D上的投影向是为二D,则 BAD=一若元=号而，点E为线段BD上的动点，则C正正的最小值为 三、解答题（本题包括3道题，共32分） 18.（本题10分)已知△4BC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=2,c0sB 5 (1)若b=4,求sinA的值及△ABC的外接圆半径： (2)若△ABC的面积为4，求b和c的值. 高年级（数学）第3页共4页 19.(本题10分)在△ABC中：内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,己知 bsinA 3csinB,a=3,cos B= 2-3 (1)求b的值： (2)求sind (3)求sin(A+B)的值. 20.(本题12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形， ∠DC=4S,AD=AC=I,O为AC中点，PO⊥平面ABCD, P0=2,M为PD中点 M (I)证明：PB//平面ACM: (2)证明：AD⊥平面PAC: (3)求直线AM与平面ABCD所成角的余弦值 A B