第十章 概率 能力提升卷-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 第十章概率单元能力提升卷，融合近三年真题与分层题组，覆盖互斥对立、独立事件等核心知识，适配高中数学单元复习，通过真实情境与创新问题提升数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|三角形构成、统计概率、互斥对立事件|结合富士康手机检测数据考统计概率，体现数据意识| |多选|3/18|事件关系、独立事件判断|以正八面体点数为背景，考查事件互斥与独立，培养几何直观| |填空|3/15|至少有1红球概率、游戏得分概率|航天知识竞赛情境，强化模型意识与运算能力| |解答|5/77|独立破译密码、分层抽样、停车收费概率|电子元件寿命分层抽样问题，结合数学语言表达现实世界，提升应用意识|

第十章 概率（能力提升卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（25-26高一下·全国·课后作业）有5根木棍，其长度分别为2，3，4，5，6，从这5根木棍中任取3根，首尾相接能构成三角形的有（    ） A．10个 B．8个 C．7个 D．6个 【答案】C 【分析】由题意，确定满足条件的基本事件个数即可． 【详解】根据三角形任意两边之和大于第三边， 所以能组成三角形的有：2，3，4；2，4，5；2，5，6；3，4，5；3，4，6；3，5，6；4，5，6，共7个， 故选：C． 2．（24-25高一下·江西吉安·期末）富士康对刚生产的iPhone 11智能手机进行抽样检测的数据如下， 抽取台数 50 100 200 300 500 1000 优等品数 40 92 192 285 478 954 则该厂生产的iPhone 11智能手机优等品的概率约是（    ） A．75% B．85% C．95% D．99% 【答案】C 【分析】求出表格中各个频率，根据频率的稳定值即为概率可得解.. 【详解】因为，，，，，， 所以该厂生产的iPhone11智能手机优等品的概率约是. 故选：C． 【点睛】本题考查了频率的计算，考查了概率的概率，属于基础题. 3．（2026·四川宜宾·三模）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件1表示“骰子向上的点数为奇数”，事件2表示“骰子向上的点数为偶数”，事件3表示“骰子向上的点数大于3”，事件4表示“骰子向上的点数小于3”则（    ） A．事件1与事件3互斥 B．事件1与事件2互为对立事件 C．事件2与事件3互斥 D．事件3与事件4互为对立事件 【答案】B 【分析】根据互斥事件、对立事件定义判断求解. 【详解】由题可知，事件1可表示为：,事件2可表示为：, 事件3可表示为：,事件4可表示为：, 因为，所以事件1与事件3不互斥，A错误； 因为为不可能事件，为必然事件， 所以事件1与事件2互为对立事件，B正确； 因为，所以事件2与事件3不互斥，C错误； 因为为不可能事件，不为必然事件， 所以事件3与事件4不互为对立事件，D错误； 故选：B. 4．（24-25高一下·山西·期末）抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚正面向上”，事件“第二枚反面向上”，则事件A与B的关系是（    ） A． B． C．相互独立 D．互斥 【答案】C 【分析】列举出抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果，再逐一分析判断各个选项即可. 【详解】依题意，记抛掷一枚质地均匀的硬币正面向上为，反面向上为， 则抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果是：， 事件A包含的结果有：，事件B包含的结果有：， 而事件A，事件B中有不同的结果，则事件A与事件B不互相包含，也不相等，故AB错误； 显然事件A，事件B都含有“”这一结果，即事件A，事件B能同时发生， 因此，事件A与事件B不互斥，故D错误； 因为，则， 所以A与B相互独立，故C正确. 故选：C. 5．（25-26高二上·湖北孝感·期中）先后抛掷两枚质地均匀的股子，骰子朝上面的点数分别为，，构成一个基本事件记“这些基本事件中，满足”为事件，则发生的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出基本事件的总数以及事件包含的基本事件的个数，由古典概率公式即可求解. 【详解】先后抛掷两枚质地均匀的股子，骰子朝上面的点数分别为，，构成一个基本事件，基本事件总数， 记“这些基本事件中，满足”为事件，     则事件包含的基本事件有： ，，，，，，，，，，共个， 则事件发生的概率是. 故选：A. 6．（25-26高二上·江西南昌·月考）在中随机选出一个数，在中随机选出一个数，则被3整除的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据已知条件求出总的基本事件个数，再求出使得被3整除的基本事件的个数，根据古典概型的计算公式求解即可. 【详解】根据题意可知，有如下基本事件： ；；；； ；；；； ；；；； ；；；； 共16个，其中满足被3整除的基本事件有1个， 故被3整除的概率为. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了古典概型的概率计算，属于基础题. 7．（24-25高二下·浙江嘉兴·期末）由甲､乙､丙三个地区的学生参加的某项竞赛，已知这三个地区参加竞赛人数的比为5：3：2，且甲､乙､丙三个地区分别有的学生竞赛成绩优秀.若小嘉同学成绩优秀，则他来自下列哪个地区的可能性最大（    ） A．甲地区 B．乙地区 C．丙地区 D．不能确定 【答案】A 【分析】求出三个地区参加竞赛人数的占比，乘以甲､乙､丙三个地区学生竞赛成绩优秀概率比较即可求解. 【详解】因为这三个地区参加竞赛人数的比为5：3：2， 所以甲地区人数占比为，乙地区人数占比为，丙地区人数占比为， 所以甲地区学生竞赛成绩优秀概率为，乙地区学生竞赛成绩优秀概率为，丙地区学生竞赛成绩优秀概率为， 根据函数单调性知当时，甲地区学生竞赛成绩优秀概率大于乙地区学生竞赛成绩优秀概率大于丙地区学生竞赛成绩优秀概率， 所以他来自甲地区的可能性最大. 故选：A. 8．（24-25高一下·浙江温州·期末）抛掷一枚质地均匀的骰子两次，观察朝上面的点数．设事件甲=“第一次点数小于3”，事件乙=“第一次点数为偶数”，事件丙=“两次点数之和为8”，事件丁=“两次点数之和是奇数”，则（    ） A．事件乙和事件丙互斥 B．事件丙和事件丁互为对立 C．事件甲与事件丙相互独立 D．事件乙与事件丁相互独立 【答案】D 【分析】用表示第一枚骰子向上的点数，表示第二枚骰子向上的点数，则两枚骰子的情况用数对表示，列出所有情况，根据互斥事件、对立事件、独立事件的定义对选项逐一分析即可. 【详解】用表示第一枚骰子向上的点数，表示第二枚骰子向上的点数， 则两枚骰子的情况用数对表示， 则所有可能的情况有：， ， ， ， ， ，共36种情况， 对于：事件乙可以和事件丙同时发生，如出现， 所以事件乙和事件丙不互斥，故错误； 对于：事件丙和事件丁的所有情况不是总的样本空间， 如事件丙和事件丁不包括，所以事件丙和事件丁不互为对立，故错误； 对于：第一次点数小于3的情况有， ，共12种情况， 所以， 两次点数之和为8 的情况有， 共5种情况，所以， 第一次点数小于3且两次点数之和为8 的情况有， 所以，， 所以事件甲与事件丙不相互独立，故错误； 对于：第一次点数为偶数的情况有18种，所以， 两次点数之和为奇数的情况共有18种，所以， 第一次点数为偶数且两次点数之和为奇数的情况共有9种，所以， ，所以事件乙与事件丁相互独立，故正确. 故选：. 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（25-26高二下·河南郑州·期中）对于事件A和事件B，，，则下列说法正确的是（    ） A．若A与B互斥，则 B．若A与B互斥，则 C．若，则 D．若A与B相互独立，则 【答案】BD 【分析】利用互斥事件、相互独立事件的概率公式，逐项分析计算得解. 【详解】对于A，A与B互斥，则，A错误； 对于B，A与B互斥，则，B正确； 对于C，，则，C错误； 对于D，A与B相互独立，则，D正确. 故选：BD 10．（24-25高一下·吉林长春·期末）抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每一次抛掷的结果要么正面向上要么反面向上，记“第一次硬币正面向上”为事件，“三次试验恰有1次正面向上”为事件，“三次试验恰有2次正面向上”为事件，“三次试验全部正面向上或者全部反面向上”为事件，则下列说法正确的是（    ） A．与互斥 B．与相互独立 C． D．与互斥 【答案】BCD 【分析】列出基本事件，由互斥事件、独立事件的概念逐项判断即可． 【详解】抛掷一枚质地均匀的硬币3次，共有（正正正），（正正反），（正反正）， （反正正），（正反反），（反反正），（反正反），（反反反）共8种结果， 事件 “第一次硬币正面向上”包含（正正正），（正正反），（正反正），（正反反）共4种结果， 事件“三次试验恰有1次正面向上”包含（正反反），（反反正），（反正反），共3种结果， 事件“三次试验恰有2次正面向上”包含（正正反），（正反正），（反正正），共3种结果， 事件“三次试验全部正面向上或者全部反面向上”包含（正正正），（反反反），共2种结果， 对于A：事件与事件可能同时发生，即（正反反），即与不是互斥事件，故A错误； 对于B：因为包含（正正正），共种结果， 所以，，，所以A与D相互独立，故B正确； 对于C：包含（正正反），（正反正），共种结果，所以，故C正确； 对于D：事件与事件不可能同时发生，所以与互斥，故D正确． 故选：BCD 11．（24-25高一下·江苏南京·期末）正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一.如图，一个正八面体八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记“得到的点数为奇数”为事件A，记“得到的点数不大于4”为事件B，记“得到的点数为质数”为事件C，则下列说法正确的是（    ） A．事件与互斥 B． C．事件与相互独立 D． 【答案】BD 【分析】利用古典概型来计算各事件概率，利用独立事件的定义，利用对立事件概念即可判断各选项. 【详解】对于A，事件B为“得到的点数不大于4”，即得到的点数为， 事件C为“得到的点数为质数”，即得到的点数为，显然得到点数为时， 事件B与事件C同时发生，所以事件与不互斥，故A错误； 对于B，事件A为“得到的点数为奇数”， 事件B为“得到的点数不大于4”， 故得到点数为，表示事件发生，即，故B正确； 对于C，由事件A为“得到的点数为奇数”，则， 事件C为“得到的点数为质数”， 则， 而得到点数为，表示事件发生，即， 此时，所以事件与事件不相互独立，故C错误； 对于D，而得到点数为，表示事件发生，即， 所以，故D正确， 故选：BD. 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（25-26高二下·上海嘉定·期中）现从甲乙口袋各摸出一个球，如果从甲口袋中摸出一个红球的概率是 ，从乙口袋中摸出一个红球的概率是 ，则摸出的两个球至少有1个红球的概率为_________(请用分数表示) 【答案】 【分析】先求出至少有1个红球的对立事件的概率，然后利用对立事件概率的性质计算即可. 【详解】至少有1个红球的对立事件是两个都不是红球，那么求出两个都不是红球的概率即可； 两个都不是红球的概率为，至少有1个红球的概率. 故答案为：. 13．（25-26高三下·上海杨浦·阶段检测）某游戏的得分为，小明玩该游戏得分为的概率为，若，则小明得5分的概率至少为______. 【答案】/ 【分析】根据所有的概率之和等于1可得：，与题干条件中的式子结合得到，利用不等式的性质即可求解. 【详解】因为，所以， 又因为，两式相减可得：， 所以（当且仅当，时取等）， 所以小明得5分的概率至少为， 故答案为：. 14．（2026·山西临汾·模拟预测）航天（Spaceflight）又称空间飞行，太空飞行，宇宙航行或航天飞行，是指进入、探索、开发和利用太空（即地球大气层以外的宇宙空间，又称外层空间）以及地球以外天体各种活动的总称．航天活动包括航天技术（又称空间技术），空间应用和空间科学三大部分．为了激发学生对航天的兴趣，某校举行了航天知识竞赛．小张，小胡、小郭三位同学同时回答一道有关航天知识的问题．已知小张同学答对的概率是，小张、小胡两位同学都答错的概率是，小胡、小郭两位同学都答对的概率是．若各同学答题正确与否互不影响，则小张、小胡、小郭三位同学中至少两位同学答对这道题的概率为______． 【答案】 【分析】利用独立事件与对立事件的概率公式求得各位学生答对这道题的概率，进而得解. 【详解】设小张同学答对的事件为A，答错的事件为， 小胡同学答对的事件为B，答错的事件为， 小郭同学答对的事件为C，答错的事件为， 因为小张同学答对的概率是，小张、小胡两位同学都答错的概率是，小胡、小郭两位同学都答对的概率是， 所以，则， 而 ，即，则，即， 而 ，即，则，即 所以小张、小胡、小郭三位同学中至少2位同学答对这道题的概率为: ， ， 故答案为： 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（2026·广东·三模）甲乙两人独立破译一份密码，已知各人能破译的概率分别是，，求： (1)两人中只有一人成功破译的概率； (2)密码被成功破译的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据独立事件乘法概率公式和互斥事件的概率公式进行求解即可； （2）根据独立事件乘法概率公式和对立事件的概率公式进行求解即可. 【详解】（1）记“甲破译出密码”为事件A，“乙破译出密码”为事件B， 则，， 设“甲乙只有一人破译出密码”为事件C，则， 故两人中只有一人破译出密码的概率为. （2）密码未被破译的概率为， 密码被成功破译的概率为． 16．（25-26高二上·云南昭通·期末）对200个电子元件的寿命（单位：）进行追踪调查，情况如下： 寿命 个数 20 30 80 40 30 (1)如果按照使用寿命大于或等于300h的记为耐用型，小于300h的记为合格型，现按分层抽样，要抽取一个容量为8的样本，那么耐用型、合格型各应抽取多少个？ (2)估计元件的寿命在400h及以上的概率． 【答案】(1)耐用型抽取6个，合格型抽取2个 (2) 【分析】（1）根据分层抽样的概念确定各层抽取的个数； （2）利用频率对概率进行估计. 【详解】（1）因为耐用型总共有个，合格型总共有个， 抽取一个容量为8的样本，每个电子元件被抽到的可能性相同为. 所以耐用型抽取个，合格型抽取个． （2）因表中200个电子元件的寿命在400h及以上的频率为， 故由此估计元件的寿命在400h及以上的概率为． 17．（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）某旅游景区停车场的收费标准为：1小时以内（含）不收费，1小时2小时（含）按5元收费．超出2小时的部分按每小时6元收费（不足1小时的按1小时计算）．现有甲、乙两人临时停车，两人停车都不超过4小时． (1)若甲停车不超过1小时的概率为，超过2小时的概率为，求甲停车1小时以上且不超过2小时的概率； (2)若甲乙两人停车的时长是相互独立的，且每个人停车费为0元、5元、11元的概率分别为，求甲、乙两人停车费之和为22元的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据对立事件概率公式进行求解即可； （2）根据独立事件的乘法公式进行求解即可. 【详解】（1）设甲停车1小时以上且不超过2小时的事件为A， 则； （2）由题意可知，每个人停车时间超过3小时，即停车费为17元的概率为. 设甲乙两人停车费之和为22元的事件为M， 甲要付0元、5元、11元、17元停车费的事件分别为， 乙要付0元、5元、11元、17元停车费的事件分别为， 则. 因为每人停车的时长是相互独立的，所以， . 18．（25-26高一上·北京·期末）某工厂有甲、乙两条相互独立的产品生产线，单位时间内甲、乙两条生产线的产量之比为4:1．现采用分层抽样的方法从甲、乙两条生产线得到一个容量为100的样本，其部分统计数据如下表所示（单位：件）． 一等品 二等品 甲生产线 76 b 乙生产线 a 2 (1)请直接写出的值； (2)从上述样本的所有二等品中任取2件，求至少有1件为甲生产线产品的概率； (3)以抽样结果的频率估计概率，现分别从甲、乙两条产品生产线随机抽取2件产品，记表示从甲生产线随机抽取的2件产品中恰好有1件一等品的概率，表示从乙生产线随机抽取的2件产品中恰好有1件一等品的概率，试比较和的大小．（只需写出结论） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意列出方程组，从而求出a，b的值； （2）记为“至少有1件为甲生产线产品”这一事件，首先列出从6件二等品中任取2件的所有结果，然后再找出事件所包含的基本事件，从而利用古典概型的概率公式即可求出答案. （3）根据样本中甲，乙生产线一等品的频率估计概率，计算相应的概率可比较大小. 【详解】（1）由题意，知，解得； （2）记样本中甲生产线的4件二等品为，乙生产线的2件二等品为. 从6件二等品中任取2件，所有可能的结果有15个，它们是： ， ， 记为“至少有1件为甲生产线产品”这一事件，则中的结果有1个，它是. 所以. （3），理由如下： 在一个容量为100的样本中， 因为甲生产线产品有件一等品，有件二等品，一共有件产品， 所以从甲生产线产品中取出一件产品是一等品的频率为， 因为乙生产线产品有件一等品，有件二等品，一共有件产品， 所以从乙生产线产品中取出一件产品是一等品的频率为， 由题意可知：以抽样结果的频率估计概率， 所以从甲产品生产线随机抽取件产品是一等品的概率为， 从乙产品生产线随机抽取件产品是一等品的概率为. ， ，所以. 19．（25-26高一下·云南昆明·阶段检测）将连续正整数1，2，…，从小到大排列构成一个数，为这个数的位数（如当时，此数为123456789101112，共有15个数字，），现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到0的概率． (1)求． (2)当时，求的表达式． (3)令为这个数中数字0的个数，为这个数中数字9的个数，，，求当时的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）计算，数字0的个数为11，得到概率. （2）考虑，，，四种情况，依次计算得到答案. （3）只需研究，按的十位区间分类，分别统计数字0和数字9的个数，先确定集合，再比较各个候选点处的大小． 【详解】（1）当时，， 即这个数中共有个数字，其中数字的个数为， 则恰好取到的概率为； （2）当时，这个数有位数组成，； 当时，这个数有个一位数组成，个两位数组成，则； 当时，这个数有个一位数组成，个两位数组成，个三位数组成，； 当时，这个数有个一位数组成，个两位数组成，个三位数组成，个四位数组成，； 综上所述：. （3）由集合的定义，只需考虑． 当时，数字0和数字9都没有出现，所以，从而． 当时，，所以，即． 当时，设，其中，． 从1写到时，个位上的0出现在10，20，…，中，共有个，因此． 个位上的9在不超过的数中出现次；当且仅当时，数又增加一个个位数字9． 在此范围内十位尚未出现9，所以． 于是当且仅当，即． 当时，设，其中． 此时数字0的个数为． 个位数字9在9，19，…，89中出现9次，十位数字9在90，91，…，中出现次， 所以，从而． 因此只有时，即． 当时，，所以． 当时，100又增加2个0，所以，而，故． 综上，． 当时，． 当，时，． 并且，所以随增大而增大． 因此这些点中的最大值为． 当时，． 因为，所以当时，的最大值为． 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章 概率（能力提升卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（25-26高一下·全国·课后作业）有5根木棍，其长度分别为2，3，4，5，6，从这5根木棍中任取3根，首尾相接能构成三角形的有（    ） A．10个 B．8个 C．7个 D．6个 2．（24-25高一下·江西吉安·期末）富士康对刚生产的iPhone 11智能手机进行抽样检测的数据如下， 抽取台数 50 100 200 300 500 1000 优等品数 40 92 192 285 478 954 则该厂生产的iPhone 11智能手机优等品的概率约是（    ） A．75% B．85% C．95% D．99% 3．（2026·四川宜宾·三模）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件1表示“骰子向上的点数为奇数”，事件2表示“骰子向上的点数为偶数”，事件3表示“骰子向上的点数大于3”，事件4表示“骰子向上的点数小于3”则（    ） A．事件1与事件3互斥 B．事件1与事件2互为对立事件 C．事件2与事件3互斥 D．事件3与事件4互为对立事件 4．（24-25高一下·山西·期末）抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚正面向上”，事件“第二枚反面向上”，则事件A与B的关系是（    ） A． B． C．相互独立 D．互斥 5．（25-26高二上·湖北孝感·期中）先后抛掷两枚质地均匀的股子，骰子朝上面的点数分别为，，构成一个基本事件记“这些基本事件中，满足”为事件，则发生的概率是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·江西南昌·月考）在中随机选出一个数，在中随机选出一个数，则被3整除的概率为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·浙江嘉兴·期末）由甲､乙､丙三个地区的学生参加的某项竞赛，已知这三个地区参加竞赛人数的比为5：3：2，且甲､乙､丙三个地区分别有的学生竞赛成绩优秀.若小嘉同学成绩优秀，则他来自下列哪个地区的可能性最大（    ） A．甲地区 B．乙地区 C．丙地区 D．不能确定 8．（24-25高一下·浙江温州·期末）抛掷一枚质地均匀的骰子两次，观察朝上面的点数．设事件甲=“第一次点数小于3”，事件乙=“第一次点数为偶数”，事件丙=“两次点数之和为8”，事件丁=“两次点数之和是奇数”，则（    ） A．事件乙和事件丙互斥 B．事件丙和事件丁互为对立 C．事件甲与事件丙相互独立 D．事件乙与事件丁相互独立 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（25-26高二下·河南郑州·期中）对于事件A和事件B，，，则下列说法正确的是（    ） A．若A与B互斥，则 B．若A与B互斥，则 C．若，则 D．若A与B相互独立，则 10．（24-25高一下·吉林长春·期末）抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每一次抛掷的结果要么正面向上要么反面向上，记“第一次硬币正面向上”为事件，“三次试验恰有1次正面向上”为事件，“三次试验恰有2次正面向上”为事件，“三次试验全部正面向上或者全部反面向上”为事件，则下列说法正确的是（    ） A．与互斥 B．与相互独立 C． D．与互斥 11．（24-25高一下·江苏南京·期末）正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一.如图，一个正八面体八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记“得到的点数为奇数”为事件A，记“得到的点数不大于4”为事件B，记“得到的点数为质数”为事件C，则下列说法正确的是（    ） A．事件与互斥 B． C．事件与相互独立 D． 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（25-26高二下·上海嘉定·期中）现从甲乙口袋各摸出一个球，如果从甲口袋中摸出一个红球的概率是 ，从乙口袋中摸出一个红球的概率是 ，则摸出的两个球至少有1个红球的概率为_________(请用分数表示) 13．（25-26高三下·上海杨浦·阶段检测）某游戏的得分为，小明玩该游戏得分为的概率为，若，则小明得5分的概率至少为______. 14．（2026·山西临汾·模拟预测）航天（Spaceflight）又称空间飞行，太空飞行，宇宙航行或航天飞行，是指进入、探索、开发和利用太空（即地球大气层以外的宇宙空间，又称外层空间）以及地球以外天体各种活动的总称．航天活动包括航天技术（又称空间技术），空间应用和空间科学三大部分．为了激发学生对航天的兴趣，某校举行了航天知识竞赛．小张，小胡、小郭三位同学同时回答一道有关航天知识的问题．已知小张同学答对的概率是，小张、小胡两位同学都答错的概率是，小胡、小郭两位同学都答对的概率是．若各同学答题正确与否互不影响，则小张、小胡、小郭三位同学中至少两位同学答对这道题的概率为______． 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（2026·广东·三模）甲乙两人独立破译一份密码，已知各人能破译的概率分别是，，求： (1)两人中只有一人成功破译的概率； (2)密码被成功破译的概率． 16．（25-26高二上·云南昭通·期末）对200个电子元件的寿命（单位：）进行追踪调查，情况如下： 寿命 个数 20 30 80 40 30 (1)如果按照使用寿命大于或等于300h的记为耐用型，小于300h的记为合格型，现按分层抽样，要抽取一个容量为8的样本，那么耐用型、合格型各应抽取多少个？ (2)估计元件的寿命在400h及以上的概率． 17．（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）某旅游景区停车场的收费标准为：1小时以内（含）不收费，1小时2小时（含）按5元收费．超出2小时的部分按每小时6元收费（不足1小时的按1小时计算）．现有甲、乙两人临时停车，两人停车都不超过4小时． (1)若甲停车不超过1小时的概率为，超过2小时的概率为，求甲停车1小时以上且不超过2小时的概率； (2)若甲乙两人停车的时长是相互独立的，且每个人停车费为0元、5元、11元的概率分别为，求甲、乙两人停车费之和为22元的概率． 18．（25-26高一上·北京·期末）某工厂有甲、乙两条相互独立的产品生产线，单位时间内甲、乙两条生产线的产量之比为4:1．现采用分层抽样的方法从甲、乙两条生产线得到一个容量为100的样本，其部分统计数据如下表所示（单位：件）． 一等品 二等品 甲生产线 76 b 乙生产线 a 2 (1)请直接写出的值； (2)从上述样本的所有二等品中任取2件，求至少有1件为甲生产线产品的概率； (3)以抽样结果的频率估计概率，现分别从甲、乙两条产品生产线随机抽取2件产品，记表示从甲生产线随机抽取的2件产品中恰好有1件一等品的概率，表示从乙生产线随机抽取的2件产品中恰好有1件一等品的概率，试比较和的大小．（只需写出结论） 19．（25-26高一下·云南昆明·阶段检测）将连续正整数1，2，…，从小到大排列构成一个数，为这个数的位数（如当时，此数为123456789101112，共有15个数字，），现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到0的概率． (1)求． (2)当时，求的表达式． (3)令为这个数中数字0的个数，为这个数中数字9的个数，，，求当时的最大值． 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $