精品解析：陕西西安滨河学校2025-2026学年下学期单元学情调查（七）九年级数学

2025-2026-2单元学情调查（七）九年级数学 一.选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数，形式上是符号不变，交换分子分母的位置即可.据此计算，即可得出结果. 【详解】解：∵乘积为1的两个数互为倒数， 又∵， ∴的倒数是. 故选：A. 2. 先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，这是“鼓舞”一词最早的起源，如图是喜庆集会时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形，该立体图形的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过观察立体图形即可． 【详解】解：该立体图形的主视图是 ， 故选：B． 【点睛】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握解答几何体三视图的画法是正确解答． 3. 中华民族的母亲河黄河，发源于巴颜喀拉山脉北麓，注入渤海，流域面积约为750000千米，将750000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 4. 如图，点O在直线上，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线的定义，几何图形中角度的计算，先根据垂直的定义求出，再根据平角的定义即可得到． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：C． 5. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，若点恰好落在中点，则线段的长为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出，证明是等边三角形，得出，在中，利用勾股定理求出，最后证明是等边三角形，从而求出的长度． 【详解】解：由旋转的性质可知：，， ，点恰好落在中点， ∴， ∴， 是等边三角形， ∴， 在中，， ， ， 是等边三角形， ． 6. 在平面直角坐标系中，将直线沿轴向下平移3个单位后恰好经过，则的值为（ ） A. 1 B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用“上加下减，左加右减”得到平移后的直线解析式，再将已知点代入即可求出的值． 【详解】解：根据函数图象平移规律“上加下减”，将直线沿轴向下平移3个单位后，得到的直线解析式为． ∵平移后的直线经过点， ∴将，代入解析式得：， 解得． 7. 如图，矩形的对角线相交于点O，过点O作，交于点E，连接，若矩形的周长是，则的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质，数形结合思想的应用．由矩形的对角线相交于点O，，根据线段垂直平分线的性质，可得，又由矩形的周长为，可得的长，继而可得的周长等于 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 矩形的周长为， ， ， ， 的周长， 故选：A． 8. 若二次函数的图象在坐标系中的位置如图所示，则函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由的图象可得，，，，从而可判断的大致图象． 【详解】解：∵的图象开口向下， ∴， ∴的图象与轴交于负半轴； ∵的对称轴在轴左边， ∴， ∴， ∵的图象与轴交于负半轴， ∴， ∴， ∴的图象开口向下，对称轴在轴左边， ∵的图象与轴没有交点， ∴， ∴的图象与轴没有交点， 综上所述，可得D选项符合题意． 故选：D． 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 实数，0，，中的无理数是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：是有限小数，属于有理数； 是整数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 是开方开不尽的数，为无限不循环小数，属于无理数． 10. 如图，将正八边形绕着它的中心旋转后，能够与原来的图形完全重合，则的值可以是_____°．（写出一个符合题意的数即可） 【答案】45，90，135，180，225，270，315 【解析】 【分析】正八边形可以被平分成八部分，因而每部分被分成的圆心角是，并且圆具有旋转不变性，因而旋转45度的整数倍，就可以与自身重合． 【详解】解：该图形被平分成八部分，， ∴该图形绕旋转中心旋转的整数倍时能够与自身重合， ， 可以为或90或135或180或225或270或315． 11. 如图，在中，是上的一条弦，直径，连接、，，则的度数是________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，设与的交点为，由垂径定理可得，结合圆周角定理可得，最后由“直角三角形两锐角互余”求出． 【详解】解：如图，连接，设与的交点为， ∵直径， ∴，， ∴， ∴． 12. 若，是双曲线上的两点，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据反比例函数解析式判断的符号，再得到时函数的增减性，结合即可比较与的大小． 【详解】解：双曲线是反比例函数，其中． 根据反比例函数的性质，当时，在每个象限内，随的增大而减小． ， 点，都在第一象限的双曲线上， ． 13. 如图，在菱形中，，，点，分别在边和上，且．当的面积最大时，的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】作的外接圆，设圆心为O，过O作于H，过A作于P，可知，由，当A、O、H共线时取等号，此时最大，点P、H重合，，根据可知此时的面积最大；设、相交于，由菱形的性质和锐角三角函数分别求得，再由证得点A、O、P、、C共线，进而求得的值，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵在菱形中，，， ∴， 作的外接圆，设圆心为O，过O作于H，过A作于P，如图，则， ∵， ∴最大时，的面积最大； ∵， ∴当A、O、H共线时取等号，此时最大，点P、H重合，， 如图，设、相交于， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴， ∴， 又∵，， ∴，，， ∴点A、O、P、、C共线， ∵，， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 15. 解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】， 【解析】 【详解】解：去分母得：， 去括号得：， 移项并合并同类项得：， 系数化为1得； 数轴表示如下： 16. 先化简：，再从，2，3中选择一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】，． 【解析】 【分析】根据分式混合运算的法则化简原式，再根据分式有意义的条件选出合适的的值，代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， 根据分式有意义的条件，可得，， 即，， 因此只能选取代入求值， 当时，原式． 17. 如图，已知四边形，将四边形沿直线折叠后，边恰好落在直线上，请用尺规作图法，作出折痕．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】折痕如图所示． 【解析】 【分析】作出的角平分线即可． 【详解】略 18. 如图，中，于点，于点．求证：． 【答案】证明：∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质求得，，由垂直的定义求得，再利用证明，即可得到． 【详解】证明：略． 19. 学校有两块试验田供同学们开展种植实践活动．第一块试验田的面积比第二块试验田的面积的3倍还多，这两块试验田的面积共，求这两块试验田的面积分别是多少？ 【答案】第一块试验田面积为，第二块试验田面积为． 【解析】 【分析】设第二块试验田的面积是，根据第一块试验田和第二块试验田的面积关系表示出两块试验田的面积，再结合两块试验田的总面积列一元一次方程求解． 【详解】解：设第二块试验田的面积是，则第一块试验田的面积为， 根据题意得， 解得， 计算第一块试验田面积得， 答：第一块试验田面积为，第二块试验田面积为． 20. 秦腔被称为“百戏之祖”“戏曲活化石”．秦腔的角色有生、旦、净、丑．非遗日当天，小明和小红去戏曲社参加体验活动．戏曲社准备了4张不透明卡片，正面分别印有“生”、“旦”、“净”、“丑”四种角色的卡通人物，卡片除正面图案外其余都相同，将这4张卡片背面朝上洗匀． （1）从四张卡片中随机抽取一张，抽到的角色是“净”的概率是________． （2）小明先从四张卡片中随机抽取一张，小红再从剩下的3张中随机抽取一张．请用画树状图或列表的方法求两人抽取到的两张卡片中有“生”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据概率定义，用符合条件的结果数除以总等可能结果数即可得到结果； （2）通过列表法列出所有等可能的抽取结果，统计出包含“生”的结果数，再代入概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：共有4种等可能的抽取结果，抽到“净”的结果有1种， 因此抽到“净”的概率为； 【小问2详解】 解：将四张卡片分别记为：生A，旦B，净C，丑D． 画树状图得所有等可能结果如下： 可知共有12种等可能的结果，其中两张卡片中包含“生”的结果有6种， 因此所求概率为． 21. 如图，某数学兴趣小组要测量山坡上的信号发射塔的高度，已知信号塔与斜坡的坡顶在同一水平面上，兴趣小组的同学在斜坡底处测得塔顶的仰角为，然后他们沿着坡度为的斜坡爬行了26米，在坡顶处又测得该塔塔顶的仰角为求信号发射塔的高度（结果精确到1米）．（参考数据：，，） 【答案】米 【解析】 【分析】过点作，垂足为，延长交于点，根据已知可得，从而可设米，则米，然后在中，利用勾股定理可得米，，然后设米，则米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义可，从而列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为，延长交于点， 斜坡的坡度为 ， 设米，则米， 在中，（米）， 米， ， ， 米，米， 由题意得：， ∴四边形是矩形， 则米，， 设米，则米， 在中，， （米）， 米， 在中，， ， ， ， 解得：， （米）， 答：信号发射塔的高度约为米． 22. 某种优质蜜柚，投入市场销售时，经调查，该蜜柚每天销售量（千克）与销售单价（元/千克）之间符合一次函数关系，如图所示． （1）求与的函数关系式； （2）某农户今年共采摘该蜜柚4500千克，其保质期为30天，若以14元/千克销售，问能否在保质期内销售完这批蜜柚？请说明理由． 【答案】（1） （2） 能在保质期内销售完这批蜜柚， 理由：将代入，得 ， ∵， ∴能在保质期内销售完这批蜜柚． 【解析】 【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据，可以求得y与x的函数关系式； （2）将代入（1）的函数解析式，求出相应的y的值，从而可以求得30天的销售量，然后与4500比较大小即可解答本题． 【小问1详解】 解：设y与x的函数关系式为， 将点,代入解析式中得 解得 即y与x的函数关系式为； 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求一次函数的关系式． 23. 学校积极响应“健康中国”战略，引入AI赋能的校园体育云打卡平台，该平台可实时追踪学生运动时长，提供个性化运动数据反馈，以此激励学生养成锻炼习惯.现随机抽取数名学生，统计其使用该平台后每天运动打卡时长（单位：分钟）．平台将收集的数据分成四组，整理成如下不完整的统计表和扇形统计图： 一天运动时长频数分布表 组别 时间分 频数 9 10 12 备注：的数据如下：62，64，65，68，70，70，72，74，75，78，84，88 根据以上信息，回答下列问题： （1）统计表中的________；在扇形统计图中，组对应的圆心角的度数为________； （2）本次调查数据的中位数为________； （3）若该校学生有1600名，请估计每天运动时长在60分钟以上的学生人数． 【答案】（1）9； （2）63 （3）估计每天运动时长在60分钟以上的学生人数约为840名． 【解析】 【分析】（1）用组的频数除以可得样本容量，再用样本容量减去其它三组的频数可得的值；根据组的占比即可求得组对应的圆心角的度数； （2）根据中位数的定义解答即可； （3）用样本估计总体即可求解． 【小问1详解】 解：样本容量为， ， 组对应的圆心角的度数为； 【小问2详解】 解：因样本容量为40，故中位数落在组，为第20，21两个数据（即62和64）的平均数， 故中位数为； 【小问3详解】 解：（名）， 答：估计每天运动时长在60分钟以上的学生人数约为840名． 24. 如图，，．与相切于点，，交于点，点．延长交于点，连接交线段于点． （1）求证：； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1）证明：， ， 又， ， ， （同位角相等，两直线平行）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据等边对等角即可得到，再利用平行线的判定证明即可； （2）连接，利用切线的性质和可得，再计算得到，然后证明，利用相似的性质求线段的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， 与相切于点， ，， 设，则， 又， ，解得（负值已舍去）， ，则，， 由（1）知，为直径， ， ， ， （等腰三角形三线合一）， 又， ， 又， ， ， 又， ， ， 设，则， ，解得， 即． 25. 某城市跨河步行桥主缆L呈现抛物线形态，桥面为水平平面，主缆最低点M距离桥面的高度为7米．桥塔竖直立于桥面两侧，两座桥塔高度均为13米，两塔底部A、D水平相距24米．如图所示，以桥面所在直线为轴，主缆最低点M在桥面的投影点为坐标原点O，建立平面直角坐标系．施工期间在桥面左侧安放一块横截面为长方形的安全警示牌，宽米，高米，警示牌侧边点H距离原点6米． （1）求L的表达式； （2）按照施工安全规范，警示牌顶部距离上方的主缆至少需要3.5米，请判断当前警示牌位置是否符合安全要求；若不符合，需要移动警示牌的位置，请求出需要沿轴移动的最小距离与移动方向． 【答案】（1） （2）米 【解析】 【分析】（1）由题可设抛物线的表达式为，再代入点即可求解； （2）求出时，的值，再结合题意即可判断；设移动后警示牌内侧边缘（靠近原点一侧）的横坐标为，令，求出即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可知，抛物线的顶点的坐标为， 设抛物线的表达式为， 因为两塔底部、水平相距24米，且关于轴对称， 所以点的横坐标为， 又因为桥塔高度为13米，所以点的坐标为， 将点代入，得：， 解得：， 所以的表达式为：； 【小问2详解】 解：由题意可知，警示牌位于轴左侧，宽为2米，侧边点距离原点6米， 当时，(米)， 此时警示牌顶部距离主缆的距离为：(米)， 因为，所以当前警示牌位置不符合安全要求， 设移动后警示牌内侧边缘（靠近原点一侧）的横坐标为， 根据安全规范，主缆高度至少为米， 令，代入，得：， 解得， 因为警示牌在左侧，且需移动距离最小，故应向左移动，取， 原警示牌内侧边缘横坐标为， 所以移动距离为：(米)， 答：当前警示牌位置不符合安全要求，需要沿轴向左移动米． 26. 求解下列各题： （1）如图①，在中，，，垂足为，是的角平分线，若，，求的长及的面积； （2）如图②，某木料厂有一块四边形形状的木板，其边角测量数据如下：，，，，．现在工人师傅要在木板的BC边上，截取一段长为的木料（记为EF），并沿点锯出，用来加工圆形零件．为了最大化利用木材，需要在中裁出一个尽可能大的圆形零件，这样的圆能裁出来吗?如果可以，请求出它的半径是多少；如果不可以，请说明理由． 【答案】（1）；； （2）它的最大半径是． 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理结合等积法求得；作于点，利用角平分线的性质求得，推出，即，据此求解即可； （2）补全三角形，作于点，求得，作的内切圆，圆心为，半径长为，求得，要使最大，则最小即可，再利用将军饮马模型，求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴； 作于点， ∵是的角平分线，且， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：延长和交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 作于点， ∴， 作的内切圆，圆心为，半径长为，连接，，， ∴， ∴， ∴，要使最大，则最小即可， 如图，利用将军饮马模型，作，作点关于的对称点，连接， 则的最小值为的长，此时四边形为矩形， ∴， ∴， ∴它的最大半径是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026-2单元学情调查（七）九年级数学 一.选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，这是“鼓舞”一词最早的起源，如图是喜庆集会时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形，该立体图形的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 中华民族的母亲河黄河，发源于巴颜喀拉山脉北麓，注入渤海，流域面积约为750000千米，将750000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点O在直线上，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，若点恰好落在中点，则线段的长为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 6. 在平面直角坐标系中，将直线沿轴向下平移3个单位后恰好经过，则的值为（ ） A. 1 B. 5 C. D. 7. 如图，矩形的对角线相交于点O，过点O作，交于点E，连接，若矩形的周长是，则的周长是（ ） A. B. C. D. 8. 若二次函数的图象在坐标系中的位置如图所示，则函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 实数，0，，中的无理数是________． 10. 如图，将正八边形绕着它的中心旋转后，能够与原来的图形完全重合，则的值可以是_____°．（写出一个符合题意的数即可） 11. 如图，在中，是上的一条弦，直径，连接、，，则的度数是________． 12. 若，是双曲线上的两点，且，则________． 13. 如图，在菱形中，，，点，分别在边和上，且．当的面积最大时，的面积为________． 三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程） 14. 计算：． 15. 解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 16. 先化简：，再从，2，3中选择一个合适的数作为的值代入求值． 17. 如图，已知四边形，将四边形沿直线折叠后，边恰好落在直线上，请用尺规作图法，作出折痕．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 如图，中，于点，于点．求证：． 19. 学校有两块试验田供同学们开展种植实践活动．第一块试验田的面积比第二块试验田的面积的3倍还多，这两块试验田的面积共，求这两块试验田的面积分别是多少？ 20. 秦腔被称为“百戏之祖”“戏曲活化石”．秦腔的角色有生、旦、净、丑．非遗日当天，小明和小红去戏曲社参加体验活动．戏曲社准备了4张不透明卡片，正面分别印有“生”、“旦”、“净”、“丑”四种角色的卡通人物，卡片除正面图案外其余都相同，将这4张卡片背面朝上洗匀． （1）从四张卡片中随机抽取一张，抽到的角色是“净”的概率是________． （2）小明先从四张卡片中随机抽取一张，小红再从剩下的3张中随机抽取一张．请用画树状图或列表的方法求两人抽取到的两张卡片中有“生”的概率． 21. 如图，某数学兴趣小组要测量山坡上的信号发射塔的高度，已知信号塔与斜坡的坡顶在同一水平面上，兴趣小组的同学在斜坡底处测得塔顶的仰角为，然后他们沿着坡度为的斜坡爬行了26米，在坡顶处又测得该塔塔顶的仰角为求信号发射塔的高度（结果精确到1米）．（参考数据：，，） 22. 某种优质蜜柚，投入市场销售时，经调查，该蜜柚每天销售量（千克）与销售单价（元/千克）之间符合一次函数关系，如图所示． （1）求与的函数关系式； （2）某农户今年共采摘该蜜柚4500千克，其保质期为30天，若以14元/千克销售，问能否在保质期内销售完这批蜜柚？请说明理由． 23. 学校积极响应“健康中国”战略，引入AI赋能的校园体育云打卡平台，该平台可实时追踪学生运动时长，提供个性化运动数据反馈，以此激励学生养成锻炼习惯.现随机抽取数名学生，统计其使用该平台后每天运动打卡时长（单位：分钟）．平台将收集的数据分成四组，整理成如下不完整的统计表和扇形统计图： 一天运动时长频数分布表 组别 时间分 频数 9 10 12 备注：的数据如下：62，64，65，68，70，70，72，74，75，78，84，88 根据以上信息，回答下列问题： （1）统计表中的________；在扇形统计图中，组对应的圆心角的度数为________； （2）本次调查数据的中位数为________； （3）若该校学生有1600名，请估计每天运动时长在60分钟以上的学生人数． 24. 如图，，．与相切于点，，交于点，点．延长交于点，连接交线段于点． （1）求证：； （2）若，，求线段的长． 25. 某城市跨河步行桥主缆L呈现抛物线形态，桥面为水平平面，主缆最低点M距离桥面的高度为7米．桥塔竖直立于桥面两侧，两座桥塔高度均为13米，两塔底部A、D水平相距24米．如图所示，以桥面所在直线为轴，主缆最低点M在桥面的投影点为坐标原点O，建立平面直角坐标系．施工期间在桥面左侧安放一块横截面为长方形的安全警示牌，宽米，高米，警示牌侧边点H距离原点6米． （1）求L的表达式； （2）按照施工安全规范，警示牌顶部距离上方的主缆至少需要3.5米，请判断当前警示牌位置是否符合安全要求；若不符合，需要移动警示牌的位置，请求出需要沿轴移动的最小距离与移动方向． 26. 求解下列各题： （1）如图①，在中，，，垂足为，是的角平分线，若，，求的长及的面积； （2）如图②，某木料厂有一块四边形形状的木板，其边角测量数据如下：，，，，．现在工人师傅要在木板的BC边上，截取一段长为的木料（记为EF），并沿点锯出，用来加工圆形零件．为了最大化利用木材，需要在中裁出一个尽可能大的圆形零件，这样的圆能裁出来吗?如果可以，请求出它的半径是多少；如果不可以，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $