精品解析：陕西省西安市滨河学校2025-2026学年下学期单元学情调查（四）九年级数学

2025-2026-2单元学情调查（四） 九年级数学 （满分：120分 考试时间：110分钟） 一、选择题（共8小题，每小题3分，共计24分） 1. 下列各数中比小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据正数大于0，负数小于0，两个负数相比较绝对值大的反而小解答． 【详解】解：由，且， ∴， ∴比小的数是． 2. 如图，在中，，将以直线为轴旋转一周得到的立体图形的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据面动成体得出圆锥，再根据圆锥的俯视图得出答案． 【详解】解：如图，将以为轴旋转一周得到的立体图形是圆锥，圆锥的俯视图是圆，其内部有一个点，所以C符合题意． 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用平方差公式、合并同类项法则、多项式除以单项式法则、完全平方公式逐一判断选项． 【详解】解：A、，该选项不符合题意； B、，该选项不符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，该选项符合题意． 4. 如图，点O在直线上，平分，．若则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据垂直定义得出，再根据平角定义求出，然后根据角平分线定义得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴． 5. 已知一次函数，函数值随自变量的增大而减小，且，则函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数的性质得到，而，则，所以一次函数的图象经过第一、二、四象限． 【详解】解：∵一次函数，函数值y随自变量x的增大而减小， ∴， ∵， ∴， ∴函数图象经过第一、二、四象限，即C选项符合题意． 6. 如图，为等边三角形，点D、E分别在边上，，如果，，则的长度是（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据等边三角形的性质说明，进而得出，即可证明，可得，再结合已知条件将数值代入求出，然后求出，最后根据得出答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 即， 解得， ∴， ∴． 7. 如图，点A、B、C、D、E都是上的点，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆内接四边形的性质求得，利用等边对等角求得，再利用圆周角定理求得，，据此求解即可． 【详解】解：连接，， ∵四边形是圆内接四边形，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 8. 已知二次函数与y轴交于点C，过点C作直线l平行于x轴，将抛物线位于直线l下方的部分翻折至直线l上方，则变换后的图象与x轴的交点个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】先求出原抛物线的交点、顶点坐标，结合翻折的性质得到翻折后图形的最高点位置，再判断交点总个数． 【详解】解：∵ ，， ∴原抛物线与轴交于和两个点，两点纵坐标为，大于直线的纵坐标，都在直线上方，翻折不改变这两个点的位置． 令，得，因此，过平行于轴的直线为． 原抛物线对称轴为，代入得顶点坐标为． ∵ ， ∴，顶点在直线下方，需要翻折， 顶点关于直线的对称点坐标为，翻折后图形开口向下，最高点为． ∵， ∴，翻折后的所有点都在轴下方，与轴无交点． 综上，变换后的图象与轴共有2个交点． 二、填空题（共5小题，每题3分，共计15分） 9. 若a，b为两个连续的正整数，且，则______． 【答案】11 【解析】 【分析】先估算出的取值范围，得到连续正整数，的值，再代入计算即可． 【详解】解：， ，即， ，为两个连续的正整数，且， ，， ． 10. 如图，在正六边形中，，以点E为圆心，长为半径作弧，交于点D．则扇形的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据正六边形的性质求出扇形的半径，再根据多边形的内角和定理求出，然后根据扇形的面积公式解答即可． 【详解】解：∵正六边形中，， ∴，， ∴扇形的面积． 11. 西安近几年城市发展迅速，交通便利．修路的主要材料之一是沥青，沥青中含稠环芳香烃．其中偶数个苯环可视为同系物（图2），则第10个图中C原子的个数为______．（注：最简单的稠环芳香烃是萘，它的分子结构图与结构简式如图1所示） 【答案】 64 【解析】 【分析】先根据前3个分子结构图中C原子的个数变化特点，可知第n个图表示的分子结构中，C原子的个数是个，再根据规律解答即可． 【详解】解：第1个图表示的分子结构中，C原子的个数是； 第2个图表示的分子结构中，C原子的个数是； 第3个图表示的分子结构中，C原子的个数是， 第n个图表示的分子结构中，C原子的个数是个， 则第10个图表示的分子结构中，C原子的个数是个． 12. 若，两点在反比例函数的图象上，满足，则t的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据反比例函数解析式判断比例系数的符号，确定函数图象所在象限，再根据判断两个点所在的象限，根据象限内点的坐标特征列出关于的不等式组，解不等式组得到的取值范围． 【详解】解：在反比例函数中 ， ， ， 反比例函数的图象在第二、四象限． ， 在第二象限，在第四象限， 根据象限内点的坐标特征，得 ， 解不等式组得． 13. 如图，四边形中，，，，连接并延长至点E，连接，，当线段的长度最小时，的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先证明 ，得出 ，延长至点，使，交圆于点，连接，则，证明，结合公用，可得，证明，过点作于点，则，，由勾股定理求出的长． 【详解】解：∵， ∴点在以点为圆心，3为半径的圆上运动， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 延长至点，使，交圆于点，连接，则， ∵，， 则有：， 又公用， ∴， ∴， ∴， 过点作于点，则，， 当最小时，即， ∴． 三、解答题（共13小题，共81分） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据，再计算即可． 【详解】解：原式 ． 15. 解不等式，并写出它的负整数解． 【答案】，负整数解为 【解析】 【分析】根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求出解集，再从解集中确定符合题意的解． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以，得， 所以负整数解有． 16. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】先根据分式的加减法法则计算括号内的，再根据分式的乘除法法则计算，并化为最简． 【详解】解：原式 ． 17. 如图，中，，请用尺规作图求作，使点P在上且使与都相切．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 如图，即为所求作． 【解析】 【分析】作的角平分线交于点P，以P为圆心，为半径作即可． 【详解】略 【点睛】本题考查作图-应用与设计，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 18. 如图，四边形是正方形，点E在边上，于点M，于点N．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【解析】 【分析】由正方形的性质可得，根据垂线的定义得到，再利用直角三角形的性质易证，从而证明，即可证明结论． 【详解】略 19. 2026年“长安灯会·西安城墙”，是西安独有的、享誉全国的文化盛宴．景区入口检票处有A、B、C、D四个闸机，如图所示，游客购票后凭第二代身份证可随机选择一个验票闸机通过检票口． （1）一名游客通过该景点闸口时，选择A闸口通过的概率为______． （2）当两名游客通过该景点闸口时，请用树状图或列表法求两名游客选择用相邻闸机通过的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式解答即可； （2）列表得出所有可能出现的结果，再得出符合题意的结果，然后根据概率公式解答． 【小问1详解】 解：一共有A，B，C，D四个闸口，所以选择A闸口通过的概率是； 【小问2详解】 解：列表如下： A B C D A B C D 一共有16种可能出现的结果，选择相邻闸机口的有共有6种，所以两名游客选择用相邻闸机通过的概率是． 20. 某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．求：该店有客房多少间？房客多少人？ 【答案】客房有8间，房客有63人 【解析】 【分析】本题属于一元一次方程的应用问题，得到题目中的等量关系是解题的关键． 设该店有客房x间，根据题意列出方程，求得x的值即可解答． 【详解】解：设客房有间， 根据题意可得：， 解得； 则房客有（人）； 答：客房有8间，房客有63人． 21. 西安滨河学校九年级某班七组同学利用课后服务时间进行综合实践活动，在操场看台上测量对面体育馆的高度． 活动主题 测量操场看台对面体育馆的高度 测量工具 测角仪，皮尺，计算器等 测量示意图 测绘过程与数据信息 ①用皮尺测得看台的长为米，坡度i为，看台最低点A到地面的距离为1米，，，，，； ②用测角仪在看台最低点A处测得体育馆顶部D点的仰角为，在看台顶部点B处测得体育馆顶部D点的仰角为； ③用计算器计算得：，，，． 请你根据测量结果，帮助七组同学求出体育馆的高度（结果精确到米）． 【答案】米． 【解析】 【分析】延长交于点N，设，则，求得，设米，则米，，，根据特殊角的正切列式求解即可． 【详解】解：延长交于点N， 根据题意，得， 因为看台的长为米，坡度i为， ， 设，则， ， 解得， ， 根据题意，易证四边形，四边形都是矩形， ，， 设米，则米， 根据题意，得， ， ， 根据题意，得， ， 根据题意，得， 解得（米）， 经检验，，符合题意， 故（米）； 故体育馆的高度为米． 22. 为响应节约用水号召，西安市自来水公司执行三级阶梯水价制度，具体收费标准如下： 每月用水量（吨） 收费标准（元/吨） 不超过12吨 3.5 超过12吨但不超过20吨的部分 6 超过20吨的部分 8.3 （1）若小滨家一个月用水量为x吨，需缴纳水费y元，求y与x的函数关系式； （2）若小滨家3月份的水费账单为131.5元，求小滨家3月份的用水量． 【答案】（1） （2）25 【解析】 【分析】（1）根据阶梯水价制度，分段计算水费可得关系式； （2）根据水费可知用水量超过了20吨，再代入关系式求出答案． 【小问1详解】 解：当时，； 当时，， 所以y与x的函数关系式为； 【小问2详解】 解：∵，且， ∴将代入，得， 解得， 所以小滨家3月份的用水量是25吨． 23. 国际上常用身体质量指数（）来衡量人体胖瘦程度，计算公式为（m表示体重，单位：千克；h表示身高，单位：米）．其中与胖瘦程度见下表． 的范围 健康类型 体重过低 正常 超重 肥胖 西安滨河学校五组同学为了解本校九年级学生的健康情况，开展了相关调查活动． （1）【设计调查方式】 有下列选取样本的方式：①随机调查全校的120名同学的身高体重；②随机调查该校120名九年级女同学的身高体重；③随机调查该校120名九年级同学的身高体重．其中最合理的方式是______（填写序号） （2）【数据收集与整理】 该小组同学计算并整理了120名同学的值，制作了相应的频率表如下： 的范围 人数 6 a 18 24 频率 0.05 b c 0.2 其中健康类型为“体重过低”的数据为：16.5 18 17.7 18.3 16.3 18.2 根据表格信息，解决以下问题： ①______，______． ②求体重过低的这6人的的数据的平均数； （3）【数据应用】 若我校九年级共有1300名同学，根据（2）中的数据估算该校九年级健康类型为正常的人数． 【答案】（1）③ （2） ① ，；② 平均值为 （3） 估算该校九年级健康类型为正常的人数为人 【解析】 【分析】（1）根据调查的对象解答； （2）用总人数分别减去其他三组的人数可求a，再用a除以抽样的总人数可得频率，然后1分别减去其他三组的频率求出c； （3）用总人数乘以样本中正常同学的频率可得答案． 【小问1详解】 解：∵为了解九年级学生的健康情况， ∴随机抽取该校120名九年级同学的身高体重，所以③最合理； 【小问2详解】 解：①，， ∴； ②， ∴这6人的的数据的平均数是17.5； 【小问3详解】 解：（名）， 所以该校九年级健康类型为正常的学生有780名． 24. 如图，是的直径，点C在上，连接，，过点A作的切线，点D在上，连接交于点E，连接，，若． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是的切线， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用切线的性质和圆周角定理结合等角的余角相等求得，可得到，即可证得； （2）先求得，作于点，求得，，，利用勾股定理求得，证明，据此计算即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴设，， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， 作于点， ∴， 同理，，， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 25. 一个长，宽的矩形包装纸片上印有5个完全相同的抛物线型图案，每个抛物线型图案的高恰好是矩形的宽，最左边和最右边的两个抛物线分别经过矩形纸片的一个顶点，这5个抛物线型图案之间的间距均为（如图①），取左边两个抛物线图案，以BC的中点为坐标原点建立如图②所示的平面直角坐标系，G为图②左侧抛物线的顶点． （1）求图②中左侧抛物线的表达式（不要求写自变量的取值范围）； （2）根据需要，沿矩形纸片的对称轴将它裁剪成两块（图①中的虚线为裁剪线），裁剪线与相邻两条抛物线分别交于E，F两点，试求的长． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）先求得，抛物线的顶点，再利用待定系数法求解即可； （2）将代入，求得，再根据轴对称的性质求得，据此求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得， ∴，抛物线的顶点， ∴设图②中左侧抛物线的表达式为， 将代入得， 解得， ∴图②中左侧抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：将代入， 得， 解得，， ∴， ∵E，F两点关于轴对称， ∴， ∴． 26. 求解下列各题： （1）问题提出：如图1，和是两个等腰直角三角形，连接，若，，则______，______． （2）问题探究：如图2，已知为等边三角形，，D为上一点，且，若上存在一点E，使得平分的面积，求的长． （3）问题探究：智能机器人在生活中广泛应用，某智能分拣机器人的作业路径设计如下：如图3，机器人沿路径完成货物转运，已知为的外接圆，，．同时，机器人配套辅助作业单元对应，机械臂为，满足且，E为的中点，F为上一点，当机器人的作业单元的面积最大时机械臂会平分四边形的面积，请求出此时四边形的面积和的长度． 【答案】（1）10； （2） （3），． 【解析】 【分析】（1）证明，即可求解； （2）作于点，于点，求得，得到，再利用解直角三角形即可求解； （3）过点作直径，连接，求得的半径，过点作，且，证明，求得，推出点在以点为圆心，为半径的圆上，当共线时，的面积最大，据此计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵和是两个等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：作于点，于点， ∵为等边三角形，， ∴，， ∴， ∵平分的面积， ∴， ∵， ∴，又， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：过点作直径，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 连接，，过点作，且， 在中，，即， 设，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上， 作于点，作交延长线于点，作交延长线于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∵， ∴，当且仅当共线时，取等， 连接，作交延长线于点， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵平分四边形的面积， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， 连接，作于点，并交于点， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026-2单元学情调查（四） 九年级数学 （满分：120分 考试时间：110分钟） 一、选择题（共8小题，每小题3分，共计24分） 1. 下列各数中比小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 2 2. 如图，在中，，将以直线为轴旋转一周得到的立体图形的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点O在直线上，平分，．若则的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 已知一次函数，函数值随自变量的增大而减小，且，则函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，为等边三角形，点D、E分别在边上，，如果，，则的长度是（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 7. 如图，点A、B、C、D、E都是上的点，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数与y轴交于点C，过点C作直线l平行于x轴，将抛物线位于直线l下方的部分翻折至直线l上方，则变换后的图象与x轴的交点个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共5小题，每题3分，共计15分） 9. 若a，b为两个连续的正整数，且，则______． 10. 如图，在正六边形中，，以点E为圆心，长为半径作弧，交于点D．则扇形的面积是______． 11. 西安近几年城市发展迅速，交通便利．修路的主要材料之一是沥青，沥青中含稠环芳香烃．其中偶数个苯环可视为同系物（图2），则第10个图中C原子的个数为______．（注：最简单的稠环芳香烃是萘，它的分子结构图与结构简式如图1所示） 12. 若，两点在反比例函数的图象上，满足，则t的取值范围是______． 13. 如图，四边形中，，，，连接并延长至点E，连接，，当线段的长度最小时，的长为______． 三、解答题（共13小题，共81分） 14. 计算：． 15. 解不等式，并写出它的负整数解． 16. 化简：． 17. 如图，中，，请用尺规作图求作，使点P在上且使与都相切．（不写作法，保留作图痕迹） 18. 如图，四边形是正方形，点E在边上，于点M，于点N．求证：． 19. 2026年“长安灯会·西安城墙”，是西安独有的、享誉全国的文化盛宴．景区入口检票处有A、B、C、D四个闸机，如图所示，游客购票后凭第二代身份证可随机选择一个验票闸机通过检票口． （1）一名游客通过该景点闸口时，选择A闸口通过的概率为______． （2）当两名游客通过该景点闸口时，请用树状图或列表法求两名游客选择用相邻闸机通过的概率． 20. 某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．求：该店有客房多少间？房客多少人？ 21. 西安滨河学校九年级某班七组同学利用课后服务时间进行综合实践活动，在操场看台上测量对面体育馆的高度． 活动主题 测量操场看台对面体育馆的高度 测量工具 测角仪，皮尺，计算器等 测量示意图 测绘过程与数据信息 ①用皮尺测得看台的长为米，坡度i为，看台最低点A到地面的距离为1米，，，，，； ②用测角仪在看台最低点A处测得体育馆顶部D点的仰角为，在看台顶部点B处测得体育馆顶部D点的仰角为； ③用计算器计算得：，，，． 请你根据测量结果，帮助七组同学求出体育馆的高度（结果精确到米）． 22. 为响应节约用水号召，西安市自来水公司执行三级阶梯水价制度，具体收费标准如下： 每月用水量（吨） 收费标准（元/吨） 不超过12吨 3.5 超过12吨但不超过20吨的部分 6 超过20吨的部分 8.3 （1）若小滨家一个月用水量为x吨，需缴纳水费y元，求y与x的函数关系式； （2）若小滨家3月份的水费账单为131.5元，求小滨家3月份的用水量． 23. 国际上常用身体质量指数（）来衡量人体胖瘦程度，计算公式为（m表示体重，单位：千克；h表示身高，单位：米）．其中与胖瘦程度见下表． 的范围 健康类型 体重过低 正常 超重 肥胖 西安滨河学校五组同学为了解本校九年级学生的健康情况，开展了相关调查活动． （1）【设计调查方式】 有下列选取样本的方式：①随机调查全校的120名同学的身高体重；②随机调查该校120名九年级女同学的身高体重；③随机调查该校120名九年级同学的身高体重．其中最合理的方式是______（填写序号） （2）【数据收集与整理】 该小组同学计算并整理了120名同学的值，制作了相应的频率表如下： 的范围 人数 6 a 18 24 频率 0.05 b c 0.2 其中健康类型为“体重过低”的数据为：16.5 18 17.7 18.3 16.3 18.2 根据表格信息，解决以下问题： ①______，______． ②求体重过低的这6人的的数据的平均数； （3）【数据应用】 若我校九年级共有1300名同学，根据（2）中的数据估算该校九年级健康类型为正常的人数． 24. 如图，是的直径，点C在上，连接，，过点A作的切线，点D在上，连接交于点E，连接，，若． （1）求证：； （2）若，，求的长． 25. 一个长，宽的矩形包装纸片上印有5个完全相同的抛物线型图案，每个抛物线型图案的高恰好是矩形的宽，最左边和最右边的两个抛物线分别经过矩形纸片的一个顶点，这5个抛物线型图案之间的间距均为（如图①），取左边两个抛物线图案，以BC的中点为坐标原点建立如图②所示的平面直角坐标系，G为图②左侧抛物线的顶点． （1）求图②中左侧抛物线的表达式（不要求写自变量的取值范围）； （2）根据需要，沿矩形纸片的对称轴将它裁剪成两块（图①中的虚线为裁剪线），裁剪线与相邻两条抛物线分别交于E，F两点，试求的长． 26. 求解下列各题： （1）问题提出：如图1，和是两个等腰直角三角形，连接，若，，则______，______． （2）问题探究：如图2，已知为等边三角形，，D为上一点，且，若上存在一点E，使得平分的面积，求的长． （3）问题探究：智能机器人在生活中广泛应用，某智能分拣机器人的作业路径设计如下：如图3，机器人沿路径完成货物转运，已知为的外接圆，，．同时，机器人配套辅助作业单元对应，机械臂为，满足且，E为的中点，F为上一点，当机器人的作业单元的面积最大时机械臂会平分四边形的面积，请求出此时四边形的面积和的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $