精品解析：江苏扬州中学教育集团树人学校2025-2026学年九年级下学期考前模拟数学试卷

扬州树人学校九年级第三次模拟考试 数学试卷2026.5 （总分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将该选项的字母代号填涂在答题卡相应位置） 1. 实数的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 围棋是中华民族发明的博弈活动．下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算，正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 菱形的两条对角线的长分别为10和24，则边的长为（ ） A. 10 B. 12 C. 13 D. 17 5. 能说明命题“若x为无理数，则x2也是无理数”是假命题的反例是（ ） A. B. C. D. 6. 点经过某种图形变化后得到点，这种图形变化可以是（ ） A. 关于轴对称 B. 关于轴对称 C. 绕原点逆时针旋转 D. 绕原点顺时针旋转 7. 如图是由6个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，若从中取走一些小正方体之后，余下的几何体与原几何体的左视图相同，则最多可以取走的小正方体的块数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图，正方形ABCD中，AB＝4cm，动点E从点A出发，沿折线运动到点C停止，过点E作交CD于点F，设点E的运动路程为xcm，DF＝ycm，则y与x对应关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. -2026的绝对值是 __________． 10. 习近平总书记在年新年贺词中提到，中国年全年经济总量预计达到亿元人民币，数字用科学记数法可表示为________． 11. 在一个不透明的袋子里，装有2个红球和3个白球，这些球除颜色外没有任何区别，现从这个袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率是 _____． 12. 若二次根式没有意义，则的取值范围是______． 13. 如图，冰激凌蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是______． 14. 已知一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是_________． 15. 如图，每一个小方格的边长都相等，点A、B、C三点都在格点上，则的值为________． 16. 如图，点、分别在轴、轴上，点是的中点，将沿的垂直平分线翻折，得到，反比例函数的图像经过点，且，则的值是_______． 17. 已知，，其中m、n均为实数，则______． 18. 如图，在矩形中，，，是上一点，，是上的动点，连接，是上一点且（为常数，），分别过点，作，的垂线，交点为．设的长为，的长为．在点从点到点的整个运动过程中，若线段上存在唯一的一点，则此时的值为_______． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）计算：； （2）解不等式组：． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 为了解某品牌A、B两种型号扫地机器人的销售情况，商场对这两种型号的扫地机器人1～8月份的销售情况进行了调查统计，并对统计数据进行了整理分析． 数据整理：1～8月份A、B型号扫地机器人销售情况条形统计图 数据分析： 平均数 中位数 众数 A型号 a 14 12 B型号 12 b c 请认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）填空： ， ， ； （2）请对商场八月份以后这两种型号扫地机器人的进货意向提出合理的建议，并说明理由． 22. 一个不透明的盒子里装有四张卡片，分别写有“美”“好”“苏”“州”四个字卡片除文字外都相同，并将四张卡片充分搅匀． （1）从盒子中随机抽取张卡片，恰好抽到“苏”的概率是 ； （2）一次从盒子中随机抽取张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽取的卡片恰好张为“美”、1张为“好”的概率． 23. 为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场．现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两个工厂了解情况，获得如下信息： 信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天； 信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍． 根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品． 24. 已知：如图，矩形． （1）尺规作图：在边上找一点，将矩形沿折叠，使点落在边上；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作图形中，若，，求CE的长． 25. 如图，已知内接于，于点D且交于点F，平分，、的延长线交于点E． （1）求证：与相切； （2）若，求图中阴影部分的面积； （3）若，，求的长． 26. 某商家正在热销一种商品，其成本为30元/件，在销售过程中发现随着售价增加，销售量在减少．商家决定当售价为60元/件时，改变销售策略，此时售价每增加1元需支付由此产生的额外费用150元．该商品销售量y（件）与售价x（元/件）满足如图所示的函数关系，（其中，且x为整数） （1）直接写出y与x的函数关系式； （2）当售价为多少时，商家所获利润最大，最大利润是多少？ 27. 如图，矩形中，，，，分别是线段、上的点，且四边形为矩形． （1）当____________时，是等腰三角形； （2）求证：； （3）求矩形周长的最小值． 28. 定义：在平面直角坐标系中，图形上的点的横坐标和纵坐标的和称为点的“横纵和”，而图形上所有点的“横纵和”中最小的值称为图形的“极小和”，并将“极小和”记为S． （1）抛物线的图像上点的“横纵和”是_______；该抛物线的“极小和”是_______． （2）抛物线，若，求的取值范围． （3）已知二次函数的图像上的点和点的“横纵和”相等，求该二次函数的“极小和”．这个“极小和”是否有最大值？如果有，请求出这个最大值；如果没有，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 扬州树人学校九年级第三次模拟考试 数学试卷2026.5 （总分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将该选项的字母代号填涂在答题卡相应位置） 1. 实数的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查实数的相反数，掌握相反数的定义是解题关键． 根据相反数的定义对选项进行判断即可． 【详解】解：∵相反数的定义是：只有符号不同的两个数互为相反数， ∴的相反数是． 故选：C． 2. 围棋是中华民族发明的博弈活动．下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，本选项不符合题意； B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，本选项不符合题意； C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，本选项不符合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，本选项符合题意； 故选：D． 3. 下列计算，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则分析得出答案． 【详解】解：A、无法计算，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法、合并同类项的法则，熟练掌握运算性质是解题的关键． 4. 菱形的两条对角线的长分别为10和24，则边的长为（ ） A. 10 B. 12 C. 13 D. 17 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形对角线互相垂直平分的性质，即可求AO，BO，根据勾股定理即可求AB的值． 【详解】解：如图， ∵菱形对角线互相垂直平分， ∴△AOB为直角三角形，且AC=2AO，BD=2BO， 又AC=10，BD=24， ∴AO=5，BO=12， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形对角线互相垂直平分的性质，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中根据勾股定理求AB的值是解题的关键． 5. 能说明命题“若x为无理数，则x2也是无理数”是假命题的反例是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据反例满足条件，但不能得到结论，所以利用此特征可对各选项进行判断． 【详解】解：A、，是无理数，不符合题意； B、，是无理数，不符合题意； C、，是有理数，符合题意； D、，是无理数，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了无理数的概念以及二次根式的运算，熟练掌握运算法则和定义是解题的关键． 6. 点经过某种图形变化后得到点，这种图形变化可以是（ ） A. 关于轴对称 B. 关于轴对称 C. 绕原点逆时针旋转 D. 绕原点顺时针旋转 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转的定义得到即可． 【详解】因为点A（4，3）经过某种图形变化后得到点B（-3，4）， 所以点A绕原点逆时针旋转90°得到点B， 故选C． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两个图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角． 7. 如图是由6个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，若从中取走一些小正方体之后，余下的几何体与原几何体的左视图相同，则最多可以取走的小正方体的块数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到原几何体的左视图，结合左视图选择即可． 【详解】解：原几何体的左视图是： 故最多可以取走的小正方体的块数是3，余下几何体与原几何体的左视图相同， 故选：C． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图．视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上． 8. 如图，正方形ABCD中，AB＝4cm，动点E从点A出发，沿折线运动到点C停止，过点E作交CD于点F，设点E的运动路程为xcm，DF＝ycm，则y与x对应关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出点E在AB、BC段运动时函数的表达式，即可求解． 【详解】解：由已知，AB= BC =4， 当E在AB上时，如图1， 即0＜x≤4， 图1 此时，DF=AE=x， ∴当0＜x≤4，函数关系式为：y=x， 当E在BC上时，如图2，即4＜x≤8， 图2 ∵EF⊥AE ∴△ABE∽△ECF ∴ ∴， ∴， ∴， 由此可得出：当0＜x≤4时，函数关系式为y=x；当4＜x≤8时，函数关系式为 故选：A 【点睛】本题考查的是动点图象问题，涉及到二次函数、一次函数、解直角三角形等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. -2026的绝对值是 __________． 【答案】2026 【解析】 【分析】本题考查了有理数的绝对值的概念，根据一个负数的绝对值等于它的相反数求解即可． 【详解】解：的绝对值是2026 ， 故答案为：2026 ． 10. 习近平总书记在年新年贺词中提到，中国年全年经济总量预计达到亿元人民币，数字用科学记数法可表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据科学记数法的表示形式为，其中，即可求解． 【详解】解：将用科学记数法表示为：． 11. 在一个不透明的袋子里，装有2个红球和3个白球，这些球除颜色外没有任何区别，现从这个袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，确定出符合条件的可能数，和出现的总可能数，利用概率定义求解即可． 【详解】根据题意可得：一个不透明的盒子中装有2个红球和3个白球，共5个， 摸到红球的概率为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查简单的概率计算，熟练掌握概率公式是解题关键． 12. 若二次根式没有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的定义，解题思路是利用二次根式没有意义的条件得到被开方数小于0，列不等式求解得到的取值范围． 【详解】解：二次根式没有意义， ∴ 解得：． 13. 如图，冰激凌蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据直径求出圆锥底面圆的半径，再根据圆锥的侧面积半径母线，计算即可． 【详解】解：由图知，底面直径为，母线长为， 则底面半径为， 所以蛋筒圆锥部分包装纸的面积为． 14. 已知一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根据一次函数的图像求一元一次不等式的解题，根据不等式即一次函数在x轴下方求解即可． 【详解】解：不等式即一次函数在x轴下方， 根据函数图像可知：当，不等式， 故答案为． 15. 如图，每一个小方格的边长都相等，点A、B、C三点都在格点上，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知图形去添加合适得辅助线，从而得出，再求解即可． 【详解】解：连接，由图可知： ，，， 满足， ∴， 设小方格的边长为，则，， 故， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形和勾股定理，构造辅助线使得再结合解直角三角形相关知识是解此题的关键． 16. 如图，点、分别在轴、轴上，点是的中点，将沿的垂直平分线翻折，得到，反比例函数的图像经过点，且，则的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】设，，得出，根据折叠的性质得出，，，，根据相似三角形的判定和性质求出，根据三角形的面积得出，将点的坐标代入反比例函数，即可求解． 【详解】解：如图： 设，， ∵点是的中点， ∴， ∵将沿的垂直平分线翻折，得到， ∴，，，， 故； ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 的面积为， 即， 整理得； ∵， 故点的坐标为， ∵反比例函数的图像经过点， 故将代入，得， 整理得， 将代入，得． 17. 已知，，其中m、n均为实数，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据已知条件将底数替换为对应的幂的形式，求出，再将分式通分后代入计算即可． 【详解】解：，， ，， ，， ， ． 18. 如图，在矩形中，，，是上一点，，是上的动点，连接，是上一点且（为常数，），分别过点，作，的垂线，交点为．设的长为，的长为．在点从点到点的整个运动过程中，若线段上存在唯一的一点，则此时的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质和等角的余角相等得出，证明，根据相似三角形的性质列出比例式，可得关于的方程，根据方程有两个相等的实根，列式即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当点在上时，， ∵，，， 则， 故， 整理，得， ∵线段上存在唯一的一点， 故方程有两个相等的实根， 即， ∴（舍）或． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，特殊角的三角函数值，求不等式组的解集，熟练掌握相关运算法则，熟记特殊角的三角函数值，解不等式的步骤，是解题的关键： （1）进行特殊角的三角函数值，去绝对值和零指数幂的运算即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集． 【详解】解：（1）原式； （2） 由①，得：； 由②，得：； ∴． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，二次根式的混合运算，先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简后，代值计算即可，熟练掌握分式的混合运算法则，二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式． 21. 为了解某品牌A、B两种型号扫地机器人的销售情况，商场对这两种型号的扫地机器人1～8月份的销售情况进行了调查统计，并对统计数据进行了整理分析． 数据整理：1～8月份A、B型号扫地机器人销售情况条形统计图 数据分析： 平均数 中位数 众数 A型号 a 14 12 B型号 12 b c 请认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）填空： ， ， ； （2）请对商场八月份以后这两种型号扫地机器人的进货意向提出合理的建议，并说明理由． 【答案】（1）14，13，14 （2）建议多进B型号扫地机器人．理由见解析 【解析】 【分析】本题考查平均数、中位数、众数，利用统计数据做决策： （1）根据平均数、中位数、众数的定义，结合条形统计图，即可求解； （2）观察统计图，B型号需求逐渐上升的趋势，进而做出决策． 【小问1详解】 解：A型号平均数：； 将B型销量按从小到大顺序排列为：5，8，11， 12，14，14，15，17， 第4位和第5位的平均数为：， B型号中位数； B型销量中14出现了2次，出现的次数最多， B型号众数； 故答案为：14，13，14； 【小问2详解】 解：建议多进B型号扫地机器人． 理由：B 型销量从年初的较低水平逐渐上升，八月份已高于 A 型；基于这一走势，商场可适当增加 B 型的进货量以满足需求． 22. 一个不透明的盒子里装有四张卡片，分别写有“美”“好”“苏”“州”四个字卡片除文字外都相同，并将四张卡片充分搅匀． （1）从盒子中随机抽取张卡片，恰好抽到“苏”的概率是 ； （2）一次从盒子中随机抽取张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽取的卡片恰好张为“美”、1张为“好”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）直接利用概率公式即可解题； （）运用列表法列出所有等可能的结果，找出符合条件的结果数量，利用公式解题即可． 【小问1详解】 解：由题意知，共有种等可能的结果，其中恰好抽到“苏”的结果有种， ∴从盒子中随机抽取张卡片，恰好抽到“苏”的概率是． 【小问2详解】 列表如下： 美 好 苏 州 美 （美，好） （美，苏） （美，州） 好 （好，美） （好，苏） （好，州） 苏 （苏，美） （苏，好） （苏，州） 州 （州，美） （州，好） （州，苏） 共有种等可能的结果，其中抽取的卡片恰好张为“美”、张为“好”的结果有：（美，好），（好，美），共种， ∴抽取的卡片恰好张为“美”、张为“好”的概率为． 23. 为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场．现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两个工厂了解情况，获得如下信息： 信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天； 信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍． 根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品． 【答案】甲、乙两个工厂每天分别能加工40件、60件新产品 【解析】 【分析】设甲工厂每天能加工x件产品，表示8出乙工厂每天加工1.5x件产品，然后根据甲加工产品的时间比乙加工产品的时间多10天列出方程求解即可． 【详解】解：设甲工厂每天能加工x件产品，则乙工厂每天加工1.5x件产品， 根据题意得，， 解得x=40． 经检验，x=40是原方程的解，并且符合题意． 1.5x=1.5×40=60． 答：甲、乙两个工厂每天分别能加工40件、60件新产品． 【点睛】本题考查的是分式方程的应用题，读懂题意列出方程时解决此题的关键． 24. 已知：如图，矩形． （1）尺规作图：在边上找一点，将矩形沿折叠，使点落在边上；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作图形中，若，，求CE的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）以B为圆心，BC为半径作弧交AD于点F，作BE平分，交CD于点E即可； （2）由折叠可得，，利用勾股定理求出，设，在中，利用勾股定理构建方程求解． 本题考查作图-复杂作图，矩形的性质，翻折变换，勾股定理，解题的关键是根据折叠可得，，从而求出． 【小问1详解】 如图，点E即为所求；      【小问2详解】 四边形ABCD是矩形， ，，， 由折叠可得，， ， ，  设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， 25. 如图，已知内接于，于点D且交于点F，平分，、的延长线交于点E． （1）求证：与相切； （2）若，求图中阴影部分的面积； （3）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，证明，即可解决问题； （2）证明是等边三角形，得图中阴影部分的面积的面积扇形的面积，进行计算即可； （3）根据勾股定理求出，由，得，求出半径，进而求的长． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与相切； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积的面积扇形的面积 ； 【小问3详解】 解：在中，，， 根据勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，三角形外接圆与外心，扇形面积计算，锐角三角函数的应用，解决本题的关键是得到． 26. 某商家正在热销一种商品，其成本为30元/件，在销售过程中发现随着售价增加，销售量在减少．商家决定当售价为60元/件时，改变销售策略，此时售价每增加1元需支付由此产生的额外费用150元．该商品销售量y（件）与售价x（元/件）满足如图所示的函数关系，（其中，且x为整数） （1）直接写出y与x的函数关系式； （2）当售价为多少时，商家所获利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）；（2）当售价为70元时，商家所获利润最大，最大利润是4500元 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法分段求解函数解析式即可； （2）分别求出当时与当时的销售利润解析式，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：（1）当时，设， 将和代入，可得 ，解得，即； 当时，设， 将和代入，可得 ，解得，即； ∴； （2）当时， 销售利润， 当时，销售利润有最大值，为4000元； 当时， 销售利润， 该二次函数开口向上，对称轴为，当时位于对称轴右侧， 当时，销售利润有最大值，为4500元； ∵， ∴当售价为70元时，商家所获利润最大，最大利润是4500元． 【点睛】本题考查一次函数的应用、二次函数的性质，根据图象列出解析式是解题的关键． 27. 如图，矩形中，，，，分别是线段、上的点，且四边形为矩形． （1）当____________时，是等腰三角形； （2）求证：； （3）求矩形周长的最小值． 【答案】（1）或4或5 （2）证明：连接，以为直径作圆，如下图， ， 点P、C、F都在以为直径的圆周上， 四边形为圆的内接四边形， ， 又， ，， ， ． （3） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理，先求出对角线，再根据等腰的情况，三条边两两相等，分三种情况，求解； （2）连接，以为直径作圆，证明点P、C、F都在圆上，根据圆内接四边形对角互补，得到，再根据同角的余角相等，得到，从而证明； （3）矩形的周长，由（2）的结论，周长公式转化为，周长最小等价于最小，即点到直线的垂线段长度，利用，求出，代入周长公式，求出周长最小值． 【小问1详解】 解：矩形中，，， ，， 要使是等腰三角形，有三种情况： ①当时，过点D作，垂足为G，如下图， ， ， ， ， ； ②当时，，如下图 ； ③当时，如下图 ， ，， ， ， ， ； 综上所述，当或4或5时，是等腰三角形． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：矩形的周长， 由（2）得，， ，即， ， 当最小时，矩形的周长最小， 点是线段的动点，的最小值是点到直线的垂线段长度，即时，如下图 ， ， 矩形周长， 即矩形周长的最小值为． 28. 定义：在平面直角坐标系中，图形上的点的横坐标和纵坐标的和称为点的“横纵和”，而图形上所有点的“横纵和”中最小的值称为图形的“极小和”，并将“极小和”记为S． （1）抛物线的图像上点的“横纵和”是_______；该抛物线的“极小和”是_______． （2）抛物线，若，求的取值范围． （3）已知二次函数的图像上的点和点的“横纵和”相等，求该二次函数的“极小和”．这个“极小和”是否有最大值？如果有，请求出这个最大值；如果没有，请说明理由． 【答案】（1）； （2） （3）这个“极小和”有最大值，最大值为． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题目中的规定得点的“横纵和”为；根据定义求出x+y是关于x的二次函数，然后利用二次函数的性质求出结论； （2）根据定义求出，即可得出，即可求解； （3）先求出“极小和”，即可根据二次函数的性质求得最大值． 【小问1详解】 解：∵点， ∴“横纵和”是， ∵， ∴抛物线的“极小和”是； 【小问2详解】 ， ∵记抛物线的“极小和”为S， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 这个“极小和”有最大值； ∵点和点的“横纵和”相等， ∴ 即：， ∴， 将代入得，， ∵，化简可得：，即：， ∴， 令的“极小和”为， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $