精品解析：2025年江苏省仪征市金升外国语实验学校中考三模数学试题

2024-2025学年第二学期九年级数学学科试题 （考试时间：120分钟 分值：150分） 友情提醒：所有试题的解答请在所提供的答题纸上作答，否则一律无效！ 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 1. 的算术平方根是（ ） A. B. C. D. 2. 我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，点所在象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 若长度分别为a，2，5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 8 6. 在献爱心活动中，五名同学捐款数分别是，，，，（单元：元），后来每人追加了元．追加后的5个数据与之前的5个数据相比，不变的是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 7. 已知直线与轴、轴分别交于点和点，是上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图（1），点P为菱形对角线上一动点，点E为边上一定点，连接，，．图（2）是点P从点A匀速运动到点C时，的面积y随的长度x变化的关系图象（当点P在上时，令），则菱形的周长为（ ） A. B. C. 20 D. 24 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分） 9. 若二次根式有意义，则实数的取值范围是________． 10 因式分解__________． 11. 如图，在的正方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的，任意投掷飞镖一次（击中边界或没有击中游戏板，则重投一次），飞镖击中阴影部分的概率是______． 12. 如图所示，实数可以用数轴上的点来表示，点A表示的数为，点B表示的数为b，则____． 13. 有一批学生分配宿舍，如果每间宿舍住8人，最后多余1间宿舍；如果每间宿舍住6人，那么有12个人剩下来没地住，设宿舍有x间，可列方程为：____． 14. 已知关于的分式方程解为正数，则的取值范围是____． 15. 如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为3，则这个“莱洛三角形”的周长是______． 16. 如图所示，正五边形，过顶点和顶点分别作直线，____． 17. 如图，将沿边向右平移2个单位长度得到．若，阴影部分的面积为6，则的面积为______． 18. 如图已知中，，，点D、点E分别是边和边上的动点，将线段绕点E逆时针旋转，点D对应点F恰好落在斜边上，同时将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接，则最小值为________． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、解题过程或演算步骤） 19. （1）计算： （2）化简： 20. 解不等式组 ；并求出它的所有整数解的和． 21. 2022年某市创建文明城市期间，某区教育局为了了解全区中学生对课外体育运动项目的喜欢程度，随机抽取了某校九年级部分学生进行问卷调查（每人限选一种体育运动项目）．如图是整理数据后绘制的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）这次活动一共调查了______名学生； （2）在扇形统计图中，“跳绳”所在扇形圆心角等于______度；并补全条形统计图； （3）若该校有九年级学生10000人，请你估计该校喜欢“足球”的学生约有多少人？ 22. 人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．为进一步了解学习，小明打算先从比较热门的人工智能软件中随机选择，现有如下四种软件，他将四种的图标依次制成A、B、C、D四张卡片卡片的形状、大小、质地都相同，将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上． （1）从中随机抽取一张，抽到B卡片的概率为______； （2）从中随机抽取一张，记录后放回洗匀，再随机抽取一张，求出两次抽取到相同卡片的概率． 23. 图（1）为某大型商场的自动扶梯、图（2）中的为从一楼到二楼的扶梯的侧面 示意图．小明站在扶梯起点处时，测得天花板上日光灯仰角为37°，此时他的眼睛与地面的距离，之后他沿一楼扶梯到达顶端后又沿（）向正前方走了，发现日光灯刚好在他的正上方．已知自动扶梯的坡度为，的长度是．（结果精确到十分位．参考数据：，，，） （1）求图中到一楼地面的高度； （2）求日光灯到一楼地面的高度． 24. 如图，在四边形中，对角线与相交于点O，，于点E，于点F，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，当等于多少度时，四边形是矩形？ 25. 如图，中，，，经过，两点，与斜边交于点，连接并延长交于点，交于点，过点作，交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 26. 尺规作图蕴含丰富的推理，还体现逆向思维，请尝试用无刻度的直尺和圆规完成下列作图，要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明．     （1）【圆的作图】点P是中边上的一点，在图1中作，使它满足以下条件： 圆心O在上；经过点P；与边相切； （2）【不可及点的作图】如图2，从墙边上引两条不平行的射线、（交点在墙的另一侧，画不到，即和不可延长），作这两条射线所形成角的平分线． 27. 若二次函数的图象经过点，，其对称轴为直线，与x轴的另一交点为C． （1）求二次函数表达式； （2）若点M在直线上，且在第四象限，过点M作轴于点N． ①若点N在线段上，且，求点M的坐标； ②以为对角线作正方形（点P在右侧），当点P在抛物线上时，求点M的坐标． 28. 定义：如图1，点M关于点P的对称点为点T，点T关于原点O的对称点为点N，则称点N为点M关于点P的二次对称点． 【概念理解】 （1）点，点N为点M关于点P的二次对称点，则 ． （2）若点，，点B为点A关于点Q的二次对称点，则点B的坐标为 ．（用t的代数式表示） 【形成技能】 （3）点D为点C关于点的二次对称点，且、都与坐标轴平行．直接写出点C的坐标． 【灵活运用】 （4）如图2，点F为点E关于点的二次对称点，连接，当动点F在直线m上滑动时，点E也随之而滑动，已知直线m的解析式为，若在运动过程中，一定存在的情形．求b的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第二学期九年级数学学科试题 （考试时间：120分钟 分值：150分） 友情提醒：所有试题的解答请在所提供的答题纸上作答，否则一律无效！ 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 1. 的算术平方根是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，对于两个实数a、b，满足，若 a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，据此求解即可． 【详解】解：的算术平方根是， 故选：A． 2. 我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”和中心对称图形“在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形”，熟记中心对称图形的定义和轴对称图形的定义是解题关键．根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则此项符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，则此项不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，则此项不符合题意； 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据合并同类项，同底数幂的除法，完全平方公式，进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 4. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据实数的意义可知＜0，可知其在第四象限. 【详解】解：∵ ∴点（2，）在第四象限， 故选D. 【点睛】此题主要考查了平面直角坐标系的点的特点，解题关键是明确各象限的点的特点，然后可判断.第一象限的点的特点为（+，+），第二象限的点的特点为（-，+），第三象限的点的特点为（-，-），第四象限的点的特点为（+，-）. 5. 若长度分别为a，2，5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，熟记两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是关键．根据三角形三边关系求出a的取值范围，选择再此范围内的选项即可． 【详解】解：由三角形三边关系可得：， 即， 故选：C． 6. 在献爱心活动中，五名同学捐款数分别是，，，，（单元：元），后来每人追加了元．追加后的5个数据与之前的5个数据相比，不变的是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 【答案】D 【解析】 【分析】根据平均数，众数，中位数，方差的定义即可求解． 【详解】解：五名同学捐款数分别是，，，，（单位：元），后来每人追加了元．追加后的个数据与之前的个数据相比，不变的是方差；平均数，众数，中位数都会发生变化， 故选：D． 【点睛】本题考查了平均数，众数，中位数，方差的定义，熟练掌握平均数，众数，中位数，方差的定义是解题的关键． 7. 已知直线与轴、轴分别交于点和点，是上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握相关知识点是关键． 由解析式求出点和点的坐标，再根据勾股定理即可得出的长，由折叠的性质，可求得，，设，在中，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出的坐标． 【详解】解：直线与轴、轴分别交于点和点， 时，，时，， ，， ． 由折叠的性质得：，， ． 设， 则． 在中，， 即， 解得：， ． 故选：B． 8. 如图（1），点P为菱形对角线上一动点，点E为边上一定点，连接，，．图（2）是点P从点A匀速运动到点C时，的面积y随的长度x变化的关系图象（当点P在上时，令），则菱形的周长为（ ） A. B. C. 20 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象可知，当时，即点与点重合，此时，进而求出菱形的面积，当时，此时点与点重合，即，连接，利用菱形的性质，求出边长，即可得出结果． 【详解】解：由图象可知：当时，即点与点重合，此时， ∴， 当时，此时点与点重合，即，连接，交于点， 则：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的周长为； 故选C． 【点睛】本题考查菱形的性质和动点的函数图象．熟练掌握菱形的性质，从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分） 9. 若二次根式有意义，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式被开方数不小于零的条件进行解题即可； 【详解】解：由题可知， 解得： 故答案为： ． 10. 因式分解__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 11. 如图，在的正方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的，任意投掷飞镖一次（击中边界或没有击中游戏板，则重投一次），飞镖击中阴影部分的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了几何概率的求法，飞镖击中阴影部分的概率等于阴影部分面积与正方形总面积之比，掌握几何概率的求法是解题的关键． 【详解】解：，， ∴飞镖击中阴影部分的概率是， 故答案：． 12. 如图所示，实数可以用数轴上的点来表示，点A表示的数为，点B表示的数为b，则____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是实数与数轴，勾股定理的应用，如图，先计算，，可得，，再进一步求解即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴，， ∵点A表示的数为，点B表示的数为b， ∴， 故答案为：． 13. 有一批学生分配宿舍，如果每间宿舍住8人，最后多余1间宿舍；如果每间宿舍住6人，那么有12个人剩下来没地住，设宿舍有x间，可列方程为：____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是读懂题意，找到题目中的等量关系，列出方程．设宿舍有x间，则学生人数为人或人，进一步可得方程． 【详解】解：设宿舍有x间， 由题意可得：， 故答案为：． 14. 已知关于的分式方程解为正数，则的取值范围是____． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查利用分式方程的解的情况求参数，掌握分式方程的解法是解题的关键． 先解分式方程可得，再根据解为正数，结合方程的增根建立关于的不等式组，求解即可． 【详解】解： 去分母，得， 解得：， 分式方程的增根为： ∵分式方程解为正数， ∴， 解得：，且． 故答案为：且． 15. 如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为3，则这个“莱洛三角形”的周长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是正多边形和圆的知识，理解弧三角形的概念、掌握正多边形的中心角的求法是解题的关键． 根据正三角形的有关计算求出弧的半径和圆心角，根据弧长的计算公式求解即可． 【详解】解：如图： ∵是正三角形， ∴， ∴的长为： ， ∴“莱洛三角形”的周长=． 故答案为：． 16. 如图所示，正五边形，过顶点和顶点分别作直线，____． 【答案】##72度 【解析】 【分析】本题考查正多边形的内角和定理，平行线的性质，首先根据多边形内角和计算公式计算出每一个内角的度数，再根据平行线的性质即可求解．掌握并能灵活运用平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵五边形是正五边形， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：． 17. 如图，将沿边向右平移2个单位长度得到．若，阴影部分的面积为6，则的面积为______． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，平移的性质，设与交于点，根据平移的性质及相似三角形的判定与性质计算的面积即可．掌握平移的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：如图，设与交于点． 将沿边向右平移2个单位长度得到， ，， ，， ， ，即， ． 故答案为：24． 18. 如图已知中，，，点D、点E分别是边和边上的动点，将线段绕点E逆时针旋转，点D对应点F恰好落在斜边上，同时将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接，则最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】过F作于P，过G作于H，先得到，设，分别证明，得到，，则，利用勾股定理得到，利用二次函数的性质求得的最小值即可求解． 【详解】解：∵中，，， ∴， 由旋转性质得，， 过F作于P，过G作于H，则， ∴是等腰直角三角形， ∴，设， ∵， ∴， ∴，， ∴， 同理可证， ∴，， 则， ∴， ∵，， ∴当时，取得最小值， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，勾股定理、旋转的性质等知识，利用二次函数的性质解决最值问题是解答的关键． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、解题过程或演算步骤） 19. （1）计算： （2）化简： 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数和分式的混合运算，解题关键是熟练掌握负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值和分式的通分与约分． （1）先把二次根式化成最简二次根式，再根据负整数指数幂的性质和特殊角的三角函数值进行计算即可； （2）先把减数对应的分母分解因式，再把分式通分，然后按照同分母分式相减法则进行计算，最后约分即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 20. 解不等式组 ；并求出它的所有整数解的和． 【答案】，6 【解析】 【分析】本题考查了求不等式组的解集，正确地解每一个不等式是解题的关键． 先解每个不等式，求得不等式组的解集，然后找出所有整数解求和即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的所有整数解为：，，，， ∴所有整数解的和为：． 21. 2022年某市创建文明城市期间，某区教育局为了了解全区中学生对课外体育运动项目的喜欢程度，随机抽取了某校九年级部分学生进行问卷调查（每人限选一种体育运动项目）．如图是整理数据后绘制的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）这次活动一共调查了______名学生； （2）在扇形统计图中，“跳绳”所在扇形圆心角等于______度；并补全条形统计图； （3）若该校有九年级学生10000人，请你估计该校喜欢“足球”学生约有多少人？ 【答案】（1）500 （2）36；补全条形统计图见解析 （3）该校喜欢“足球”的学生约有2000人 【解析】 【分析】考查条形统计图、扇形统计图的意义和制作方法，从统计图中获取数量和数量关系是解决问题的前提，样本估计总体是统计中常用的方法． 1）从两个统计图中可知，喜欢“篮球”的有200人，占调查人数的，可求出调查人数； （2）喜欢“跳绳”的50人，占调查人数的，即可求出所占的圆心角的度数，求出喜欢“羽毛球”的人数，即可补全条形统计图； （3）样本估计总体，样本中喜欢“足球”的占，再用即可得出喜欢“足球”的学生． 【小问1详解】 （名； 故答案为：500； 【小问2详解】 ； 喜欢“羽毛球”的人数为：（名，补全条形统计图如图所示， 故答案为：36； 【小问3详解】 （人） 答：该校喜欢“足球”的学生约有2000人． 22. 人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．为进一步了解学习，小明打算先从比较热门的人工智能软件中随机选择，现有如下四种软件，他将四种的图标依次制成A、B、C、D四张卡片卡片的形状、大小、质地都相同，将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上． （1）从中随机抽取一张，抽到B卡片的概率为______； （2）从中随机抽取一张，记录后放回洗匀，再随机抽取一张，求出两次抽取到相同卡片的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）根据概率公式求解即可； （2）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到B卡片的结果有1种， 抽到B卡片的概率为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：列表如下： A B C D A B C D 共有16种等可能的结果，其中两次抽取到相同卡片的结果有4种， 两次抽取到相同卡片的概率为． 23. 图（1）为某大型商场的自动扶梯、图（2）中的为从一楼到二楼的扶梯的侧面 示意图．小明站在扶梯起点处时，测得天花板上日光灯仰角为37°，此时他的眼睛与地面的距离，之后他沿一楼扶梯到达顶端后又沿（）向正前方走了，发现日光灯刚好在他的正上方．已知自动扶梯的坡度为，的长度是．（结果精确到十分位．参考数据：，，，） （1）求图中到一楼地面的高度； （2）求日光灯到一楼地面的高度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题、解直角三角形的应用—坡度坡角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作于，设，根据坡度比和勾股定理建立方程，解方程即可求出，从而求得答案； （2）过点作于交于，过点作于交于，先根据（1）的结论求出，再根据的正弦值即可求出，从而求出即可． 【小问1详解】 解：过点作于，如图（2）所示： 设， 的坡度为， ， ， 在中，由勾股定理得， 解得：， ，． 答：到一楼地面的高度为； 【小问2详解】 解：过点作于交于，过点作于交于， 则，四边形、四边形是矩形，， ，，， 由（1）可知，， ， 在中，， ， ， 答：日光灯到一楼地面的高度约为． 24. 如图，在四边形中，对角线与相交于点O，，于点E，于点F，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，当等于多少度时，四边形是矩形？ 【答案】（1）见解析 （2）当时，四边形是矩形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由得出，再证明得出，即可得证； （2）证明是等边三角形，得出，结合平行四边形的性质得出，即可得证． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∵于点E，于点F， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：当时，四边形是矩形，理由如下： ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、矩形的判定，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 25. 如图，在中，，，经过，两点，与斜边交于点，连接并延长交于点，交于点，过点作，交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据等腰直角三角形的性质得到，根据圆周角定理得到，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理得到结论； （2）连接，根据圆周角定理得到，根据勾股定理得到，求得，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 证明：连接． ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即， ∵是的半径， ∴与相切； 【小问2详解】 解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 26. 尺规作图蕴含丰富的推理，还体现逆向思维，请尝试用无刻度的直尺和圆规完成下列作图，要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明．     （1）【圆的作图】点P是中边上的一点，在图1中作，使它满足以下条件： 圆心O在上；经过点P；与边相切； （2）【不可及点的作图】如图2，从墙边上引两条不平行的射线、（交点在墙的另一侧，画不到，即和不可延长），作这两条射线所形成角的平分线． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了圆的基本性质，角平分线的性质与判定． （1）要作一个满足条件的圆，关键在于确定圆心和半径．因为圆心在上且圆经过点 P 并与相切过圆心作的垂线，垂线段长度即为半径； （2）根据三角形三条角平分线交于同一点作图即可． 【小问1详解】 解：①过点P作的垂线交于点E， ②在上截取， ③作交于点O（或作的平分线交于点O）； ④以点O圆心，长为半径作圆； 则为所求的图形．     【小问2详解】 解：①在上任取一点M（除F外），在上任取一点N（除E外），连接； ②作的平分线，作的平分线，两平分线交于点G； ③同样方法，得点H； ④作直线，则直线为所求的图形． 27. 若二次函数的图象经过点，，其对称轴为直线，与x轴的另一交点为C． （1）求二次函数的表达式； （2）若点M在直线上，且在第四象限，过点M作轴于点N． ①若点N在线段上，且，求点M的坐标； ②以为对角线作正方形（点P在右侧），当点P在抛物线上时，求点M的坐标． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用待定系数解答，即可求解； （2）①先求出直线的表达式为，然后设点N的坐标为．可得．可得到，．再由，即可求解；②连接与交与点E．设点M的坐标为，则点N的坐标为 根据正方形的性质可得E的坐标为，进而得到P的坐标．再由点P在抛物线上，即可求解． 【小问1详解】 解：二次函数的图象经过点， ． 又抛物线经过点，对称轴为直线， 解得∶ 抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解∶①设直线的表达式为． 点A，B的坐标为，， ∴， 解得∶ ， 直线的表达式为． 根据题意得∶点C与点关于对称轴直线对称， ． 设点N的坐标为． 轴， ． ∴ ． ， 解，得． 点M的坐标； ②连接与交与点E． 设点M的坐标为，则点N的坐标为 四边形是正方形， ，，． ∵MN⊥x轴， 轴． E的坐标为． ． ． ∴P的坐标． 点P在抛物线上， ． 解，得，． 点P在第四象限， 舍去． 即． 点M坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图形和性质，正方形的性质，一次函数的图象和性质是解题的关键． 28. 定义：如图1，点M关于点P的对称点为点T，点T关于原点O的对称点为点N，则称点N为点M关于点P的二次对称点． 【概念理解】 （1）点，点N为点M关于点P的二次对称点，则 ． （2）若点，，点B为点A关于点Q的二次对称点，则点B的坐标为 ．（用t的代数式表示） 【形成技能】 （3）点D为点C关于点的二次对称点，且、都与坐标轴平行．直接写出点C的坐标． 【灵活运用】 （4）如图2，点F为点E关于点的二次对称点，连接，当动点F在直线m上滑动时，点E也随之而滑动，已知直线m的解析式为，若在运动过程中，一定存在的情形．求b的取值范围． 【答案】（1）10；（2）；（3）或；（4） 【解析】 【分析】（1）设，根据点N为点M关于点P的二次对称点，可得，故； （2）由关于的对称点，又关于原点的对称点，即得A关于点Q的二次对称点B的坐标为； （3）设，可得C关于点的二次对称点D坐标为；由、都与坐标轴平行，分四种情况：①若轴，轴，则；②若轴，轴，则；③若轴，轴，则；④若轴，轴，则，分别解方程组可得答案； （4）连接，设直线交x轴于G，交y轴于K，求出，，知，，，由点F为点E关于点的二次对称点，可得，，，而当时，为的垂直平分线，有，，故点F在以O圆心，5为半径的上运动，用面积法求出当与直线m相切时，，即可得b的取值范围． 【详解】解：（1）设， ∵点N为点M关于点P的二次对称点， ∴P为的中点， ∵， ∴， ∵N，T关于原点对称， ∴， ∴， 故答案为：10； （2）∵关于的对称点，又关于原点的对称点， ∴A关于点Q的二次对称点B的坐标为； 故答案为：； （3）设， ∵关于点的对称点，又关于原点的对称点， ∴C关于点的二次对称点D坐标为； 由、都与坐标轴平行，分四种情况： ①若轴，轴，则， 方程组无解，故这种情况不存在； ②若轴，轴，则， 解得， ∴； ③若轴，轴，则， 解得， ∴； ④若轴，轴，则， 方程组无解，故这种情况不存在； 综上所述，C的坐标为或； （4）连接，设直线交x轴于G，交y轴于K，如图： 在中，令得，令得， ∴，， ∴，，， ∵点F为点E关于点的二次对称点， ∴同（1）可得，，， ∴当时，为的垂直平分线， ∴，， ∴点F在以O圆心，5为半径的上运动， 当与直线m相切时，， 此时， ∴， 解得， ∵在运动过程中，一定存在的情形， ∴b的取值范围为． 【点睛】本题考查了点的坐标一轴对称，一次函数的综合，切线的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$