解三角形基础知识与基本方法梳理讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册期末复习备考04

人教A版高一数学必修二期末备考04 解三角形基础知识与基本方法梳理 一．正弦定理及其推论 1正弦定理 （1）文字语言：在一个三角形中,各边和它所对角的____的比相等 （2）符号语言：____ 【答案】 正弦 2． 扩充的正弦定理： 设的边长分别为a，b，c，外接圆的半径为，则__________，这个结果称为扩充的正弦定理．该式表明三角形各边与它所对角的__________的比值为一个常数，这个常数等于该三角形外接圆的__________． 【答案】 2R 正弦 直径 3．正弦定理的常见变形 （1）(为______的半径). （2）为______的半径). （3）三角形的边长之比等于对应角的______,即:=______ （4）. （5）. 【答案】外接圆 外接圆 正弦值之比 4、正弦定理主要可以解决以下两类问题： （1）已知三角形的两角与一边，求其他的角和边； （2）已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的角和边.在求另一边的对角时可能出现一解、两解或无解的情况. 二．余弦定理及其推论 1、余弦定理 文字语言：在中，角的对边分别是，则三角形中任何一边的平方，等于________符号语言：  ________ ； ________ ； ________ ； 推论： ________ ； ________ ； ________ 。 【答案】其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 2．余弦定理及其推论的应用 （1）利用余弦定理的变形判定角 在中，为____；为____；为____． （2）应用余弦定理我们可以解决两类解三角形问题． ①已知三边，求______． ②已知_____及____，求第三边和其他两个角． 【答案】直角 钝角 锐角 三角 两边 一角 三、解三角形 一般地，三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的________.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做________ 【答案】 元素 解三角形 四．三角形中的三角变换 （1）角的变换：因为在中， 所以________，________，________，________. （2）三角形边角关系定理及面积公式：.（r为三角形内切圆半径，） 【答案】 5． 三角形解的个数判断 在中，已知、和时，解的情况如下： 【答案】 / 一解 一解 六．实际应用中的常用术语 【答案】上方 下方 顺时针 七、解三角形常用结论 1.三角形面积公式： 。 2.内角和定理：中,, (1),,. (2)。 (3) (4)在锐三角形中， 3.射影定理： 4.三角形的：中线、角平分线 (1)中线 ①中线长定理：在中，是边上的中线，则 ②向量法： ③极化恒等式： (2)角平分线:在中，平分，角、，所对的边分别问，， ①利用角度的倍数关系： ②内角平分线定理：为的内角的平分线，则. ③等面积法：因为，所以，所以，整理的（角平分线长公式） 八、常用基本方法 1、解答三角形的中线问题的三种思路 (1)应用中线长定理：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2)，体现了算“两次”的思想． (2)借助向量：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则＝(b2＋c2＋2bccos A)． (3)借助角的关系：在△ABC中，若AD是边BC上的中线，则cos ∠ADB＋cos ∠ADC＝0. 2、解答三角形的角平分线问题一般有两种思路： 一是内角平分线定理；二是等面积法． 已知AD是△ABC的角平分线，则(1)＝；(2)S△ABD＋S△ACD＝S△ABC. 3、解答三角形的高线问题一般有两种思路： (1)求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边的长度． (2)设h1，h2，h3分别为△ABC的边a，b，c上的高，则h1∶h2∶h3＝∶∶＝∶∶. 4、三角形面积公式的应用原则 (1)对于面积公式S＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式． (2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化． 5、判定三角形形状的两种常用途径 6、对边对角问题处理方法：①周长、面积最值问题：余弦定理＋基本不等式；②周长、面积范围问题：边化角＋三角恒等变形；③画三角形外接圆数形结合 7、邻边邻角问题处理方法：①周长、面积问题：正弦定理边化角；②数形结合：画两个直角三角形。 8、解决实际高度问题的三个注意事项 (1)要理解仰角、俯角的定义． (2)在实际问题中可能会遇到空间与平面(底面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形． (3)注意山或塔垂直地面或海平面，把空间问题转化为平面问题． 9、解决实际角度问题的三个注意事项 (1)测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义． (2)求角的大小时，先在三角形中求出其正弦值或余弦值． (3)在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题过程中要注意体会正、余弦定理综合使用的优点． 10、解决实际距离问题的解题思路 这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解． 提醒：①基线的选取要恰当；②选取的三角形及正弦、余弦定理要恰当． 九、概念辨析 1．（单选）下列命题中错误的是（ ） A.勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广 B.已知三角形的三边求三个内角时，解是唯一的 C.在△ABC中，若，则△ABC一定为钝角三角形 D.在△ABC中，若，则△ABC一定为锐角三角形 【答案】D 【解析】由余弦定理，当时，则有，可知A正确；由余弦定理可知，，又在上单调，故B正确；由知，为钝角，故C正确；由可知，为锐角，不能说明其他角为锐角，故D错误； 2．（多选）下列命题中正确的是（ ） A.东北方向就是北偏东的方向 B.俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为 C.方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系 D.从处望处的仰角为，从处望处的俯角为，则，的关系为 【答案】AC 【解析】东北方向就是北偏东的方向，故A正确；俯角是视线与水平线所成的角，故B 错误； 方位角与方向角都是根据角和距离确定位置关系的，故C正确；从处望处的仰角为，从处望处的俯角为，则，的关系为，故D错误； 3．（多选）下列命题中正确的是（ ） A.基线选择不同，同一个量的测量结果可能不同 B.两点间可视但不可到达问题的测量方案实质是构造已知两角及一边的三角形并求解 C.正弦定理不适用于直角三角形 D.在中必有 【答案】 AB 【解析】基线选择不同，同一个量的测量结果可能不同，故A正确；根据测量方法可知B正确.正弦定理适用于任意三角形，故C错误；正弦定理结构为，故D错误； 4．（多选）下列命题中错误的是（ ） A.正弦定理只适用于锐角三角形 B.在中，等式总成立 C.在中，若，则必有 D.在中，若，则必有 【答案】AB 【详解】正弦定理适用于任意三角形，故A错误； 正弦定理结构为，故B错误；正弦定理结构为，若，则必有，故C正确；正弦定理结构为，若，则，即，故D正确； 5．（多选）下列命题中正确的是（ ） A.在一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值 B.在三角形中，勾股定理是余弦定理针对直角三角形的一个特例 C.余弦定理只适用于已知三边和已知两边及夹角的情况 D.在△ABC中，若，则∠A为锐角 【答案】ABD 【详解】正弦定理结构为，故A正确.勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广，故B正确；余弦定理也可以解决已知两边与其中一边对角的三角形，故C错误； 由知可知，则为锐角，故D正确. 6．判断正误： （1）余弦定理不适用于直角三角形；( ) （2）在中，若，则此三角形是锐角三角形；( ) （3）若，则；( ) （4）在的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素；( ) （5）在中，已知两边及夹角时，不一定唯一．( ) 【答案】 错误 错误 正确 错误 错误 【详解】（1）余弦定理适用任意三角形，当然适用直角三角形，错误； （2）在中，若，只能说明，是锐角，其他两角是不是锐角不确定，错误； （3）由余弦定理，，正确； （4）当已知三个元素是三个内角时，三角形不确定，错误； （5）在中，已知两边及夹角时，由余弦定理第三边确定，三角形是确定的，错误． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版高一数学必修二期末备考04 解三角形基础知识与基本方法梳理 一．正弦定理及其推论 1正弦定理 （1）文字语言：在一个三角形中,各边和它所对角的____的比相等 （2）符号语言：____ 2． 扩充的正弦定理： 设的边长分别为a，b，c，外接圆的半径为，则__________，这个结果称为扩充的正弦定理．该式表明三角形各边与它所对角的__________的比值为一个常数，这个常数等于该三角形外接圆的__________． 3．正弦定理的常见变形 （1）(为______的半径). （2）为______的半径). （3）三角形的边长之比等于对应角的______,即:=______ （4）. （5）. 4、正弦定理主要可以解决以下两类问题： （1）已知三角形的两角与一边，求其他的角和边； （2）已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的角和边.在求另一边的对角时可能出现一解、两解或无解的情况. 二．余弦定理及其推论 1、余弦定理 文字语言：在中，角的对边分别是，则三角形中任何一边的平方，等于________符号语言：  ________ ； ________ ； ________ ； 推论： ________ ； ________ ； ________ 。 2．余弦定理及其推论的应用 （1）利用余弦定理的变形判定角 在中，为____；为____；为____． （2）应用余弦定理我们可以解决两类解三角形问题． ①已知三边，求______． ②已知_____及____，求第三边和其他两个角． 三、解三角形 一般地，三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的________.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做________ 四．三角形中的三角变换 （1）角的变换：因为在中， 所以________，________，________，________. （2）三角形边角关系定理及面积公式：.（r为三角形内切圆半径，） 5． 三角形解的个数判断 在中，已知、和时，解的情况如下： 六．实际应用中的常用术语 七、解三角形常用结论 1.三角形面积公式： 。 2.内角和定理：中,, (1),,. (2)。 (3) (4)在锐三角形中， 3.射影定理： 4.三角形的：中线、角平分线 (1)中线 ①中线长定理：在中，是边上的中线，则 ②向量法： ③极化恒等式： (2)角平分线:在中，平分，角、，所对的边分别问，， ①利用角度的倍数关系： ②内角平分线定理：为的内角的平分线，则. ③等面积法：因为，所以，所以，整理的（角平分线长公式） 八、常用基本方法 1、解答三角形的中线问题的三种思路 (1)应用中线长定理：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2)，体现了算“两次”的思想． (2)借助向量：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则＝(b2＋c2＋2bccos A)． (3)借助角的关系：在△ABC中，若AD是边BC上的中线，则cos ∠ADB＋cos ∠ADC＝0. 2、解答三角形的角平分线问题一般有两种思路： 一是内角平分线定理；二是等面积法． 已知AD是△ABC的角平分线，则(1)＝；(2)S△ABD＋S△ACD＝S△ABC. 3、解答三角形的高线问题一般有两种思路： (1)求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边的长度． (2)设h1，h2，h3分别为△ABC的边a，b，c上的高，则h1∶h2∶h3＝∶∶＝∶∶. 4、三角形面积公式的应用原则 (1)对于面积公式S＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式． (2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化． 5、判定三角形形状的两种常用途径 6、对边对角问题处理方法：①周长、面积最值问题：余弦定理＋基本不等式；②周长、面积范围问题：边化角＋三角恒等变形；③画三角形外接圆数形结合 7、邻边邻角问题处理方法：①周长、面积问题：正弦定理边化角；②数形结合：画两个直角三角形。 8、解决实际高度问题的三个注意事项 (1)要理解仰角、俯角的定义． (2)在实际问题中可能会遇到空间与平面(底面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形． (3)注意山或塔垂直地面或海平面，把空间问题转化为平面问题． 9、解决实际角度问题的三个注意事项 (1)测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义． (2)求角的大小时，先在三角形中求出其正弦值或余弦值． (3)在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题过程中要注意体会正、余弦定理综合使用的优点． 10、解决实际距离问题的解题思路 这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解． 提醒：①基线的选取要恰当；②选取的三角形及正弦、余弦定理要恰当． 九、概念辨析 1．（单选）下列命题中错误的是（ ） A.勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广 B.已知三角形的三边求三个内角时，解是唯一的 C.在△ABC中，若，则△ABC一定为钝角三角形 D.在△ABC中，若，则△ABC一定为锐角三角形 2．（多选）下列命题中正确的是（ ） A.东北方向就是北偏东的方向 B.俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为 C.方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系 D.从处望处的仰角为，从处望处的俯角为，则，的关系为 3．（多选）下列命题中正确的是（ ） A.基线选择不同，同一个量的测量结果可能不同 B.两点间可视但不可到达问题的测量方案实质是构造已知两角及一边的三角形并求解 C.正弦定理不适用于直角三角形 D.在中必有 4．（多选）下列命题中错误的是（ ） A.正弦定理只适用于锐角三角形 B.在中，等式总成立 C.在中，若，则必有 D.在中，若，则必有 5．（多选）下列命题中正确的是（ ） A.在一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值 B.在三角形中，勾股定理是余弦定理针对直角三角形的一个特例 C.余弦定理只适用于已知三边和已知两边及夹角的情况 D.在△ABC中，若，则∠A为锐角 6．判断正误： （1）余弦定理不适用于直角三角形；( ) （2）在中，若，则此三角形是锐角三角形；( ) （3）若，则；( ) （4）在的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素；( ) （5）在中，已知两边及夹角时，不一定唯一．( ) 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $