培优04 刷透解三角形解答题的十二大题型（期末复习讲义）高一数学下学期人教A版

培优04刷透解三角形解答题的十二大必刷题型 （期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 解三角形中的边长及周长问题 题型02 解三角形中的面积问题 题型03 解三角形中的中线问题 题型04 解三角形中的角平分线问题 题型05 解三角形中的高线问题 题型06 解三角形中的图形类问题 题型07 解三角形中的证明问题 题型08 解三角形中内切圆、外接圆问题 题型09 解三角形的实际应用 题型10 解三角形与平面向量的综合（跨章节） 题型11 解三角形与三角函数的综合（跨章节） 题型12 解三角形的新定义题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 求边长及周长、面积 熟练运用正余弦定理求边；掌握周长表达为函数的方法；能根据条件直接建立方程并求解 基础必考，常与最值并列考查，注意单位统一和结果化简，是后续综合题的第一步 求中线、高线、角平分线 掌握中线、角平分线、高线相关公式，熟练结合正余弦定理运算，精准求解线段长度与对应边角数值。 中等难度，常结合边角计算综合考查，公式灵活混用，多融入最值、范围问题，题型以填空解答为主 有关四边形的计算 将四边形分割为两个三角形，分别解三角形；能通过公共边或公共角建立方程联立求解 综合题型，需具备图形分解能力，公共边（或公共角）是建立联系的关键，注意选择恰当的三角形求解顺序 正余弦定理的实际应用 掌握实际应用问题（测量、航海、几何图形等）中的建模方法；能准确理解角度术语（仰角、俯角、方向角）；能结合图形建立三角形并求解 应用类题型，注重数学建模素养，需将实际问题转化为解三角形模型 与三角函数、平面向量等知识的综合 能够利用平面向量的工具性作用解决解三角形问题，能够利用三角函数的性质解决解三角形中的范围、最值等问题 此类综合题多以解答题为主，难度中等 知识点01 三角形的面积公式 （r是三角形内切圆的半径，R是三角形外接圆的半径．） (三角形的底乘高) 知识点02三角形中的中线与角平分线的相关结论 1.中线 在中，设是的中点角,,所对的边分别为，， ①向量形式： 结论： ②角形式： 在中有：; 在中有：; 2.角平分线 如图，在中，平分，角,,所对的边分别为，， (1)内角平分线定理： 或 (2)等面积法 (3)角形式： 在中有：; 在中有：; (4)角分线张角定理：若为角分线，则，则化简上式有 (5)斯库顿定理：若为角分线，有. 知识点03 解三角形中的高模型 1、 如图为边上的高线，则有 2、 利用面积公式有： 题型一 解三角形中的边长及周长问题 答｜题｜模｜板 1．对于求边长问题，主要是把未知边或者角度通过正弦余弦定理用已知边或者是已知角度表示出来. 2．对于周长问题通常牵涉到两种题型，周长或者是周长范围问题， 类型一：一般来说如果求周长或者是边长的最值问题可采用基本不等式+余弦定理求解决. 类型二：常规三角形的周长范围问题也可采用余弦定理+基本不等式解决，或者是通过正弦定理把边装化成角度，利用辅助角公式从而转化为三角函数问题. 类型三：锐角三角形中周长或者是边长以及其他的范围问题，则一般采用边角转化，把边长转化成角度，从而利用辅助角公式，转化成三角函数问题去解决，但是因注意角度的取值范围问题. 【典例1-1】（2026·四川绵阳·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求； (2)若，且的周长为8，求． 【典例1-2】（25-26高三上·贵州黔西南·月考）已知的内角的对边分别为，且满足. (1)求； (2)若，求锐角周长的取值范围. 【变式1-1】（25-26高三下·重庆·开学考试）已知的内角的对边分别为，且，. (1)求c及C； (2)求周长的最大值. 【变式1-2】（2026高三上·四川眉山·专题练习）已知的面积记为.内角，，的对边分别为，，，. (1)若，，求； (2)若为锐角三角形，，求的取值范围. 题型二 解三角形中的面积问题 解｜题｜技｜巧 通常根据面积公式来求值。 1、利用正余弦定理求边长，然后求得面积 2、结合余弦定理与面积公式也可求得面积。 关于面积的最值问题，通常有以下两种方法 1、利用基本不等式可以求面积的最大值。 2、若是求面积的范围问题，通常配合有角度限制，这时可以考虑把边化角，通过三角函数求范围问题来解决 【典例2-1】（2026·山东济宁·一模）在中，内角所对的边分别为为的角平分线，且. (1)若，求的大小； (2)当取得最小值时，求的面积. 【典例2-2】（25-26高一下·山东青岛·期中）已知分别为三个内角的对边，且． (1)求； (2)若，求面积的最大值． 【变式2-1】（24-25高一下·上海青浦·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，． (1)若，求； (2)若面积等于，求的值． 【变式2-2】（24-25高一下·江西南昌·期末）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，． (1)求角B； (2)若，求面积S的最大值． 题型三 解三角形中的中线问题. 答｜题｜模｜板 解三角形中求中线可以应用以下两个性质： 1、在平行四边形中，对角线的平方和等于四边的平方和：换成三角形的中线，则有 2、可以通过向量法,两边平方后可得) 在三角形问题中，求中线的范围问题，先用三角形的边长表示出中线长，然后根据正弦定理把边表示成角的三角函数形式，在通过化简或者换元等方法求得最值跟范围，在求解的过程中注意角的取值范围。 【典例3】（2026·四川绵阳·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，.已知，，. (1)求的值； (2)若是边的中点，求的值. 【变式3-1】（2026·四川·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)若，，求AB边上中线的长. 【变式3-2】（24-25高一下·江西南昌·期末）已知分别为三个内角的对边，且． (1)求； (2)若是边的中点，，求面积的最大值． 题型四 解三角形中角平分线问题 答｜题｜模｜板 1、利用角平分线定理将对边分成与邻边成比例的两段，再结合余弦定理或向量法建立方程求解。利用角平分线性质，将大三角形面积拆分为两个小三角形面积之和，通过面积公式建立方程，直接解出角平分线长度。 2、求角分线的范围：将角平分线长度表示为某个变量（如边或角）的函数，再结合三角形约束条件求该函数的值域。 【典例4】（2026·湖北·一模）在中，内角，，所对的边分别为，，，的面积为，是线段上一点，且. (1)求角； (2)若，平分，求. 【变式4-1】（2025·陕西榆林·一模）已知的内角，，所对的边分别为，，，且． (1)求角的值； (2)若的面积为，的平分线交于，求线段的最大值． 【变式4-2】（2026·辽宁大连·模拟预测）已知锐角中，为边上一点，平分，且． (1)证明：； (2)若，求长度的取值范围． 题型五 解三角形中的高线问题 答｜题｜模｜板 1、高线将三角形分成两个直角三角形，可以利用面积或直角三角形的边角关系建立方程。 2、求高线的范围：将高线表示为底边和对应角的正弦的乘积，转化为三角函数的值域问题，或结合底边的取值范围进行估算。 【典例5】（2026·山东威海·一模）记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求； (2)若，求BC边上的高的最大值． 【变式5-1】（25-26高一下·江西萍乡·期末）在中，，，分别为角，，的对边，且． (1)求角； (2)若的面积为，，求边上的高的长． 【变式5-2】（24-25高一下·江西南昌·期末）在中，角的对边分别为，已知. (1)求的值； (2)若的面积为，求边上的高. 题型六 解三角形中的图形类问题 解｜题｜技｜巧 此类问题往往涉及多个三角形的具体解题策略： 1.找准公共边、公共角、互补角等关联条件，搭建三角形间纽带. 2.优先边角匹配，已知两角一边用正弦定理，三边或两边夹角用余弦定理. 3.依次分步求解，先解条件充足的三角形，所得边角作为相邻三角形已知量. 易｜错｜点｜拨 留意边角范围，规避多解、增根，结合内角和判定取舍结果. 【典例6】（25-26高二上·广东汕头·期末）在中，角，，的对边分别为，，，若且. (1)求角的大小； (2)求的最大面积； (3)如图，若，点，分别在边，上，将沿着线段对折，顶点恰好落在边上的点，当时，求重叠部分的面积. 【变式6-1】（2026·四川宜宾·一模）记的内角的对边分别为，已知. (1)求角A； (2)已知边上的两条中线相交于点，且，求的余弦值. 【变式6-2】（24-25高一下·江西南昌·期末）在中，角的对边分别为，且． (1)求； (2)若，点为的中点，且，求； (3)若为锐角三角形，点在内，且，，求的取值范围． 题型七 解三角形中的证明问题 解｜题｜技｜巧 解三角形证明题求解策略: 1.边角互化核心：优先用正弦定理（a=2RsinA）边化角或角化边，统一形式后化简，是最常用突破口. 2.公式灵活套用：结合余弦定理、三角恒等变换（和差倍角、诱导公式），消元化简向结论靠拢. 3.目标导向变形：先明确结论结构（如证边相等、角为特殊值），逆向推导所需条件，减少无效运算. 4.隐含条件挖掘：利用三角形内角和A+B+C=π、大边对大角、边长为正等限制条件验证结果. 5.特殊值检验：用等边、直角三角形等特殊情形快速验证证明思路是否合理. 【典例7】（25-26高三上·广东·月考）中、角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求的值； (2)B的角平分线BD交AC于D， （i）证明：； （ii）若，求的最大值． 【变式7-1】（2026甘肃武威·模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)证明：； (2)求的最大值. 【变式7-2】（25-26高三下·浙江杭州·阶段检测）在中，的平分线交边于点的外角平分线交直线于点. (1)证明； (2)若，求的长. 题型八 解三角形中内切圆、外接圆问题 解｜题｜技｜巧 解三角形中的内切球与外接圆问题，与外接球问题，对于内切圆圆心是三个角角平分线的交点，外接圆则是三边中垂线的交点，对于内切圆的半径则采用等面积发，即对于外接圆半径问题 一般采用正弦定理解决. 【典例8】（25-26高三上·河北沧州·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，且的面积，. (1)求的外接圆半径； (2)若，，求中边上的高的值. 【变式8-1】（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）在中，角，，的对边分别为，，，为锐角三角形，已知，且满足条件． (1)求的大小； (2)求面积的最大值； (3)求的内切圆半径的最大值． 【变式8-2】（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）在中，角的平分线交于点，. (1)若，，求: ①的面积； ②的外接圆的周长. (2)若，求的最小值. 题型九 解三角形的实际应用 解｜题｜技｜巧 解三角形实际应用核心是构建三角形模型，用正、余弦定理求解，分三类场景： 1. 测量距离 先确定可测边与夹角，构造解三角形模型.两点不可达时，用基线结合两角构造三角形，通过正弦定理求边长；两点可达时，直接用余弦定理计算间距，注意统一长度单位. 2. 测量高度 区分底部可通达与不可通达.底部可达时，测仰角与水平距离，用直角三角形边角关系求解；底部不可达时，在同一直线测两个仰角，设高列方程，结合正弦定理消元求解，排除视线遮挡误差. 3. 测量角度 已知三角形三边或两边及夹角，用余弦定理求内角，结合方位角、俯角换算实际角度，注意方位角的象限与方向标注，保证结果符合实际场景. 【典例9-1】（24-25高一下·海南海口·月考）如图1，椰子树是海南最具代表性的树木之一，树干笔直无分枝，叶片形似巨大的羽毛伞.如图2，、两处观测点与树干底部点在同一水平面内，树干垂直于水平面，某同学在地面处，测得树干顶端处的仰角为，、两处相距米，，. (1)求观测点到树干底部点的距离的长度； (2)求在树干顶端处观测到、两点的夹角的余弦值. 【典例9-2】（25-26高一下·云南昭通·月考）如图，A、B是某海域位于南北方向相距海里两个观测点，现位于A点北偏东45°、B点南偏东30°的C处有一艘渔船遇险后抛锚发出求救信号，位于B点正西方向且与B点相距50海里的D处的救援船立即前往营救，其航行速度为40海里/小时． (1)求B、C两点间的距离； (2)该救援船前往营救渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是南偏东多少度（精确到0.01°）？救援船到达C处需要多长时间？ （参考数据：，） 【变式9-1】（25-26高三上·山东聊城·期中）某市有一座重兴塔，它从北宋走来，历经宋、元、明、清，依旧屹立不倒.如今，它是全国重点文物保护单位，也是研究北方古建筑与佛教遗迹的实物标本，如图1，测量重兴塔高度时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点，，且在，两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°.在水平面上测得，，两地相距36米. (1)求重兴塔高； (2)如图2，塔顶为点，距离塔顶点竖直向下5米处有点，若在离地面竖直高度为2米的点处用测角仪器测得，求的最大值. 【变式9-2】（25-26高一下·天津蓟州·期中）盘山是中国著名的5A级景区，它有五大主峰.以主峰挂月峰为中心，其余四峰（紫盖峰、自来峰、九华峰、舞剑峰）环绕，合称“五峰攒簇”.如图，工作人员要测量舞剑峰M，九华峰N之间的距离，P，G，M，N四点在同一铅垂平面内，飞机沿水平方向在P，G两点进行测量，途中在点P测得，，在点G测得，，测得． (1)求点P和点M之间的距离； (2)求两主峰M，N间的距离． 题型十 解三角形与平面向量的综合（跨章节） 解｜题｜技｜巧 解三角形与平面向量综合解题策略 1.向量转化：把向量数量积、模长、共线条件，转为边角三角函数关系式。 2.定理选用：边角互化优先正、余弦定理，结合面积公式列式。 3.三角化简：利用和差、二倍角公式化简，结合内角范围限定角度。 4.最值范围：借助函数单调性、基本不等式，求解边长、角度最值。 5.检验取舍：依据三角形三边、内角约束，舍去不合题意结果。 【典例10】（25-26高一下·广西百色·月考）已知的角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量，，且． (1)求角A； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【变式10-1】（24-25高一下·江西·期末）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，求的取值范围； (3)若点为所在平面内一点，且满足，求的取值范围. 【变式10-2】（25-26高一下·广东珠海·阶段检测）如图，的内角，，的对边分别是，为边上的中点，，且，    (1)求以及的边长； (2)设，分别为边，上的动点，线段交于，设，，， ①求证： ②四边形的面积为面积的，求的取值范围. 题型十一 解三角形与三角函数的综合（跨章节） 解｜题｜技｜巧 解三角形与三角函数综合解题策略 1.边角转换：依托正、余弦定理，实现边与三角函数式互化。 2.式子化简：运用和差、二倍角、诱导公式整理表达式。 3.限定范围：结合三角形内角和，锁定角度取值区间。 4.求值计算：代入公式求角、边长与三角形面积。 5.最值求解：转化为三角函数型函数，结合单调性求范围最值。 6.结果核验：依据三边关系、角度范围剔除不合理答案。 【典例11】（24-25高一下·江西·期末）如图所示，曲线与y轴的交点为B，与x轴在y轴的左、右两侧的第一个交点分别为C，D，且的面积为1，M是BC的中点． (1)证明：． (2)若． （ⅰ）求函数的最小正周期； （ⅱ）设的外接圆交直线CD于点N（D，N为两个不同的点），求BN的长度． 【变式11-1】（24-25高一下·江西丰城九中·月考）设函数（，），该函数图像上相邻两个最高点间的距离为，且为奇函数. (1)求的解析式； (2)在锐角中，角的对边分别为，，，若，求的取值范围. 【变式11-2】（2026·辽宁·模拟预测）已知函数，将曲线向左平移个单位长度，得到曲线． (1)求的单调递增区间； (2)在中，内角，，的对边分别为，，，锐角满足，的面积为，求的最小值． 题型十二 解三角形的新定义题 答｜题｜模｜板 先吃透题目给出的全新定义、规则与判定条件，拆解核心关系式.结合正余弦定理、三角恒等变换转化边角关系.紧扣三角形内角范围、三边约束筛选取值.按定义标准列式推理，逐一验证条件，排除不符合情形，严谨推导得出答案. 【典例12】（24-25高一下·江西宜春·期末）定义：函数为向量的“跟随函数”，向量为函数的“原向量”． (1)设函数，的“原向量”分别为，，若，的夹角为锐角，求实数的取值范围． (2)已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中，AD平分∠BAC并与BC交于点D，向量的“跟随函数”为，且． （ⅰ）若，求AD的长； （ⅱ）求AD长度的取值范围． 【变式12-1】（24-25高一下·江西景德镇·期末）是直线外一点，点在直线上（点与点，任一点均不重合），我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，.在中，角，，的对边分别是，，，点在射线上. (1)若是角的平分线，且，由点对施以视角运算，求的值； (2)若，，，由点对施以视角运算，，求的周长； (3)若，，由点对施以视角运算，，求的最小值. 【变式12-2】（25-26高一下·吉林·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，对任意两个向量，，作，．当，不共线时，记以，为邻边的平行四边形的面积为；当，共线时，规定 ． (1)分别根据下列已知条件求： ①，； ②，； (2)若向量（，，）， 证明： (3)若，，是以为圆心的单位圆上不同的点，记，，．当时，求的最大值． 期末基础通关练（测试时间：20分钟） 1．（25-26高一下·北京顺义·期中）在中，． (1)求； (2)若，求边． 2．（25-26高一下·北京顺义·期中）已知在 中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c， (1)求A的大小; (2)若，判断下列三个条件是否能使存在且唯一，并对满足条件的求出的周长. ①边上的高线长为， ②， ③ 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分 3．（浙江金华市卓越联盟2025-2026学年第二学期5月阶段联考高二数学试题）记三角形的内角，，的对边分别为，，，的面积为S． 已知． (1)求； (2)若，点是线段的中点，求线段的最大值． 4．（25-26高一下·上海·阶段检测）已知向量，且， (1)求函数的单调递减区间； (2)已知的三个内角分别为，其对应边分别为，若有，，且的面积为，求的值． 5．（25-26高一下·湖南益阳·期中）如图，在平面四边形中，，． (1)若，，，求的大小； (2)若，，，求． 期末重难突破练（测试时间：20分钟） 1．（25-26高一下·宁夏·期中）为测量某景区内一座古塔的高度，由于塔底无法直接到达，测量小组在河对岸选取了两个观测点进行测量．首先在点处测得塔顶的仰角为，然后沿河岸步行米到达点处，在点处测得塔顶A的仰角为．已知，且观测点与塔底都在同一水平面内． (1)求古塔的高度； (2)求的面积； (3)若从观测点向后（沿的延长线）退至点，要使在处测得塔顶的仰角为，求后退距离． 2．（2025·江苏·模拟预测）在中，角的对边分别为，． (1)若，求的周长； (2)若的内切圆、外接圆半径分别为，求的取值范围． 3.（25-26高一下·山东泰安·月考）已知的内角，，所对的边分别为，，，且. (1)求； (2)若，求的取值范围； (3)若该三角形为锐角三角形，求的取值范围. 4.（2026·湖北襄阳·一模）在中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，M为边BC所在直线上一点． (1)若，AM平分∠BAC，，，求的周长； (2)若，且，求的最大值和最小值． 期末综合拓展练（测试时间：25分钟） 1．（25-26高一下·广东珠海·阶段检测）在中，角所对的边分别为，． (1)求角； (2)若，为锐角三角形，求的周长的取值范围； (3)若，为锐角三角形，且为的外心，满足，求的取值范围； 2．（24-25高一下·广东广州·期末）已知的三个内角的对边分别为设，的面积为S． (1)求证：； (2)已知，，求的内切圆半径r； (3)已知，且，求S的最大值． 3．（25-26高一下·广东佛山·期中）如图1，山顶P在水平地面的垂直投影点为B，A在B的正东方，在A处测得山顶P的仰角为．从A沿南偏西（方位角按标准定义：从正南向西偏转）的方向前行200米后到达C处，在C处测得山顶P的仰角为，已知山高PB大于100米，测量仪器的高度忽略不计．    (1)求山高； (2)如图2，山顶P到G处已修建一条索道，现计划从G处到山脚F处修建一条近似为直线段的下山步行栈道．G在山顶P下方的山体上，K在竖直线段PB上，H在水平地面的线段FB上，满足，，且F、H、B共线，P、K、B共线．在山脚F处测得山顶P的仰角为，，（），已知人在该步行栈道下山时，每行走一米所消耗的能量为焦耳，若人从G沿这条直线段下山栈道步行至F全程消耗的总能量不超过400焦耳，求角的最大值． 4．（24-25高一下·江西上饶·期末）若中的一个内角等于中的一个内角，则称和为同源三角形，这组相等的内角称为同源三角形和的同源角． (1)若在中，，，，判断和等腰直角三角形是否为同源三角形，并说明理由． (2)如图，同源三角形和的同源角为和，且． ①求； ②若，求面积的最大值． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优04刷透解三角形解答题的十二大必刷题型 （期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 解三角形中的边长及周长问题 题型02 解三角形中的面积问题 题型03 解三角形中的中线问题 题型04 解三角形中的角平分线问题 题型05 解三角形中的高线问题 题型06 解三角形中的图形类问题 题型07 解三角形中的证明问题 题型08 解三角形中内切圆、外接圆问题 题型09 解三角形的实际应用 题型10 解三角形与平面向量的综合（跨章节） 题型11 解三角形与三角函数的综合（跨章节） 题型12 解三角形的新定义题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 求边长及周长、面积 熟练运用正余弦定理求边；掌握周长表达为函数的方法；能根据条件直接建立方程并求解 基础必考，常与最值并列考查，注意单位统一和结果化简，是后续综合题的第一步 求中线、高线、角平分线 掌握中线、角平分线、高线相关公式，熟练结合正余弦定理运算，精准求解线段长度与对应边角数值。 中等难度，常结合边角计算综合考查，公式灵活混用，多融入最值、范围问题，题型以填空解答为主 有关四边形的计算 将四边形分割为两个三角形，分别解三角形；能通过公共边或公共角建立方程联立求解 综合题型，需具备图形分解能力，公共边（或公共角）是建立联系的关键，注意选择恰当的三角形求解顺序 正余弦定理的实际应用 掌握实际应用问题（测量、航海、几何图形等）中的建模方法；能准确理解角度术语（仰角、俯角、方向角）；能结合图形建立三角形并求解 应用类题型，注重数学建模素养，需将实际问题转化为解三角形模型 与三角函数、平面向量等知识的综合 能够利用平面向量的工具性作用解决解三角形问题，能够利用三角函数的性质解决解三角形中的范围、最值等问题 此类综合题多以解答题为主，难度中等 知识点01 三角形的面积公式 （r是三角形内切圆的半径，R是三角形外接圆的半径．） (三角形的底乘高) 知识点02三角形中的中线与角平分线的相关结论 1.中线 在中，设是的中点角,,所对的边分别为，， ①向量形式： 结论： ②角形式： 在中有：; 在中有：; 2.角平分线 如图，在中，平分，角,,所对的边分别为，， (1)内角平分线定理： 或 (2)等面积法 (3)角形式： 在中有：; 在中有：; (4)角分线张角定理：若为角分线，则，则化简上式有 (5)斯库顿定理：若为角分线，有. 知识点03 解三角形中的高模型 1、 如图为边上的高线，则有 2、 利用面积公式有： 题型一 解三角形中的边长及周长问题 答｜题｜模｜板 1．对于求边长问题，主要是把未知边或者角度通过正弦余弦定理用已知边或者是已知角度表示出来. 2．对于周长问题通常牵涉到两种题型，周长或者是周长范围问题， 类型一：一般来说如果求周长或者是边长的最值问题可采用基本不等式+余弦定理求解决. 类型二：常规三角形的周长范围问题也可采用余弦定理+基本不等式解决，或者是通过正弦定理把边装化成角度，利用辅助角公式从而转化为三角函数问题. 类型三：锐角三角形中周长或者是边长以及其他的范围问题，则一般采用边角转化，把边长转化成角度，从而利用辅助角公式，转化成三角函数问题去解决，但是因注意角度的取值范围问题. 【典例1-1】（2026·四川绵阳·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求； (2)若，且的周长为8，求． 【分析】（1）根据已知条件，利用正弦定理结合两角和的正弦公式及三角形内角关系求解； （2）根据已知条件，利用余弦定理解三角形，再利用已知周长构造方程求解． 【详解】（1）已知，由正弦定理得， ， 又， ， ， ， 又， ． （2），由余弦定理：， ， 的周长为8，，解得， 故． 【典例1-2】（25-26高三上·贵州黔西南·月考）已知的内角的对边分别为，且满足. (1)求； (2)若，求锐角周长的取值范围. 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用三角恒等变形即可求解角； （2）利用正弦定理边化角，再借助三角恒等变形转化为正切函数的取值范围，最后可求周长的取值范围. 【详解】（1）由， 因为在中有，所以上式可化为， 又因为，所以，又因为，所以； （2）由正弦定理得：， 可得， 所以的周长为， 因为锐角，可知， 可得，则周长可化为：， ， 由，且， 所以，即， 故锐角周长的取值范围为. 【变式1-1】（25-26高三下·重庆·开学考试）已知的内角的对边分别为，且，. (1)求c及C； (2)求周长的最大值. 【答案】（1）； （2）12 【分析】（1）由余弦定理的边角关系，将化角为边求，再由正弦定理及求得，即可得； （2）由余弦定理、基本不等式有，进而可得周长的最大值. 【详解】（1）由，则， 所以， 由，而，即， 所以，而，故； （2）由（1）知，则，当且仅当时取等号， 所以，即时取等号， 所以周长的最大值为. 【变式1-2】（2026高三上·四川眉山·专题练习）已知的面积记为.内角，，的对边分别为，，，. (1)若，，求； (2)若为锐角三角形，，求的取值范围. 【答案】（1）8；（2） 【详解】（1）由，得， 因为为三角形边长，所以，所以， 若，则，代入得，矛盾， 所以，方程两边同除以得，又，所以. 根据余弦定理， 得.即，整理得. 解得或（舍去）.所以. （2）由，得，， 因为，则，， 所以， ， 因为为锐角三角形，所以则， 所以，即取值范围为. 题型二 解三角形中的面积问题 解｜题｜技｜巧 通常根据面积公式来求值。 1、利用正余弦定理求边长，然后求得面积 2、结合余弦定理与面积公式也可求得面积。 关于面积的最值问题，通常有以下两种方法 1、利用基本不等式可以求面积的最大值。 2、若是求面积的范围问题，通常配合有角度限制，这时可以考虑把边化角，通过三角函数求范围问题来解决 【典例2-1】（2026·山东济宁·一模）在中，内角所对的边分别为为的角平分线，且. (1)若，求的大小； (2)当取得最小值时，求的面积. 【分析】（1）由正弦定理得到，根据得到方程，求出，根据余弦定理得到，求出； （2）由利用三角形面积公式可得，根据基本不等式解出的最小值，应用取等条件求出三角形面积. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 因为的角平分线交BC于点D，所以， 由，得， 则， 即，所以， 在中，由余弦定理得， 即； （2）由， 得， 得， 化简得，即， 所以， 当且仅当时等号成立，取得最小值， 此时，面积为． 【典例2-2】（25-26高一下·山东青岛·期中）已知分别为三个内角的对边，且． (1)求； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1);(2) 【分析】（1）借助正弦定理将边化为角后，利用两角和的正弦公式化简并计算即可得； （2）借助余弦定理、面积公式与基本不等式计算即可得. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 即， 所以， ， 因为，所以， 因为，所以； （2）， 由余弦定理得， 化简得，又因为，当且仅当时，等号成立， 所以，即， 所以，故的面积最大值为. 【变式2-1】（24-25高一下·上海青浦·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，． (1)若，求； (2)若面积等于，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由正弦定理求得，再根据大边对大角判断角的范围，即可求得角； （2）先由三角形面积公式得，再由余弦定理求得，然后联立方程即可求得的值. 【解答】（1）由正弦定理，，即， 因，故，即是锐角，故； （2）因为的面积为，所以，所以， 由余弦定理可得，所以， 所以，所以，解得或，所以或. 【变式2-2】（24-25高一下·江西南昌·期末）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，． (1)求角B； (2)若，求面积S的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理，诱导公式，两角和的正弦公式及同角三角函数的商数关系即可求解； （2）由余弦定理，基本不等式及三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）由正弦定理得，， 整理得，又均为三角形内角， 所以． （2）由余弦定理得，， 整理得，， 当且仅当时等号成立， 所以，即面积S的最大值. 题型三 解三角形中的中线问题. 答｜题｜模｜板 解三角形中求中线可以应用以下两个性质： 1、在平行四边形中，对角线的平方和等于四边的平方和：换成三角形的中线，则有 2、可以通过向量法,两边平方后可得) 在三角形问题中，求中线的范围问题，先用三角形的边长表示出中线长，然后根据正弦定理把边表示成角的三角函数形式，在通过化简或者换元等方法求得最值跟范围，在求解的过程中注意角的取值范围。 【典例3】（2026·四川绵阳·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，.已知，，. (1)求的值； (2)若是边的中点，求的值. 【答案】(1)2；(2) 【详解】（1）已知，由正弦定理， 得，显然， 得，由，得，所以， 因为，由余弦定理， 则， ， 解得(舍去). （2）因为是边的中点， 所以， 所以， ，所以. 【变式3-1】（2026·四川·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)若，，求AB边上中线的长. 【分析】（1）将已知三角等式通过内角和与二倍角公式转化为关于的二次方程，求解角； （2）先利用正弦定理求出三角形各边长度，再通过余弦定理计算边上的中线长. 【详解】（1）在中，，故. 由，得， 即， 即，(舍去，因). 由，，得. （2）由，，得. . 由正弦定理得， 同理，. 设的中点为，则. 在中， ， 故，即边上的中线长为. 【变式3-2】（24-25高一下·江西南昌·期末）已知分别为三个内角的对边，且． (1)求； (2)若是边的中点，，求面积的最大值． 【答案】(1);(2) 【分析】（1）由正弦定理或余弦定理进行边角互化即可得出结果； （2）用向量法利用中线定理，结合基本不等式即可得解． 【详解】（1）方法1：由正弦定理可化为 ， ∴，∴． ∵，∴， ∵，∴． 方法2：∵，由余弦定理得 ， 化简可得，∴， ∵，∴． （2）∵为边中点，∴， ∴， ∵，∴， ∵（当且仅当时等号成立）， ∵， ∴，∴面积的最大值为． 题型四 解三角形中角平分线问题 答｜题｜模｜板 1、利用角平分线定理将对边分成与邻边成比例的两段，再结合余弦定理或向量法建立方程求解。利用角平分线性质，将大三角形面积拆分为两个小三角形面积之和，通过面积公式建立方程，直接解出角平分线长度。 2、求角分线的范围：将角平分线长度表示为某个变量（如边或角）的函数，再结合三角形约束条件求该函数的值域。 【典例4】（2026·湖北·一模）在中，内角，，所对的边分别为，，，的面积为，是线段上一点，且. (1)求角； (2)若，平分，求. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据正弦定理结合三角变换公式可得，故可求； （2）由三角形面积公式结合余弦定理可得关于的方程，求出其解后结合角平分线的性质可求. 【详解】（1）由条件，利用正弦定理可得， 因为，所以， 代入上式：， 整理得：，又， 故即，又，所以. （2）由三角形面积公式知，可得， 又，由余弦定理，得， 于是可得或. 因为平分，由角平分线性质，， 且，所以 故的长度为或. 【变式4-1】（2025·陕西榆林·一模）已知的内角，，所对的边分别为，，，且． (1)求角的值； (2)若的面积为，的平分线交于，求线段的最大值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理化简已知条件，求得，进而求得. （2）利用三角形的面积公式列方程，求得，再根据面积列方程，利用基本不等式求得的最大值. 【详解】（1）由正弦定理，及， 得，即， 由余弦定理得，，所以． （2）如图所示，因为，所以， 因为为的平分线，， 所以，， 当且仅当时，等号成立，所以线段的最大值为．    【变式4-2】（2026·辽宁大连·模拟预测）已知锐角中，为边上一点，平分，且． (1)证明：； (2)若，求长度的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）应用正弦定理结合两角和正弦公式化简得出，再结合角的范围得出，最后应用等角对等边即可证明； （2）先应用正弦定理结合角平分线性质计算化简，再换元设，，结合正弦函数值域及单调性计算求解. 【详解】（1）由与正弦定理可得 展开得， 所以，即得， 由于为锐角三角形，和均在内， 则或， 当时，因，则，即得，此时题设条件不满足，舍去. 故，又平分，所以． 故．    （2）由（1）知，则． 因为为锐角三角形， 所以 解得 已知，由正弦定理，得 因平分，则 设，则，且由（1）知， 则得（*） 因， 则， 设，由，得，则． 由可得， 又函数在上单调递增， 故，即. 题型五 解三角形中的高线问题 答｜题｜模｜板 1、高线将三角形分成两个直角三角形，可以利用面积或直角三角形的边角关系建立方程。 2、求高线的范围：将高线表示为底边和对应角的正弦的乘积，转化为三角函数的值域问题，或结合底边的取值范围进行估算。 【典例5】（2026·山东威海·一模）记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求； (2)若，求BC边上的高的最大值． 【答案】(1);(2)2 【详解】（1）由可得，     由正弦定理得，   所以，     因为，所以，     因为，所以． （2）依题意，，设BC边上的高为， 由，可得，      由余弦定理 可得， 即，当且仅当时等号成立，     因此， 所以BC边上的高的最大值为2． 【变式5-1】（25-26高一下·江西萍乡·期末）在中，，，分别为角，，的对边，且． (1)求角； (2)若的面积为，，求边上的高的长． 【答案】(1);(2) 【详解】（1）由结合正弦定理可得 因为，则 所以． 则有故． （2）由得 因，所以 由余弦定理得 所以，解得 所以 ． 【变式5-2】（24-25高一下·江西南昌·期末）在中，角的对边分别为，已知. (1)求的值； (2)若的面积为，求边上的高. 【答案】(1)6；(2) 【详解】（1）由题可知：，则， 且， 又，所以. （2）作边上的高，如图： ，由（1）可知，所以， 则， . 题型六 解三角形中的图形类问题 解｜题｜技｜巧 此类问题往往涉及多个三角形的具体解题策略： 1.找准公共边、公共角、互补角等关联条件，搭建三角形间纽带. 2.优先边角匹配，已知两角一边用正弦定理，三边或两边夹角用余弦定理. 3.依次分步求解，先解条件充足的三角形，所得边角作为相邻三角形已知量. 易｜错｜点｜拨 留意边角范围，规避多解、增根，结合内角和判定取舍结果. 【典例6】（25-26高二上·广东汕头·期末）在中，角，，的对边分别为，，，若且. (1)求角的大小； (2)求的最大面积； (3)如图，若，点，分别在边，上，将沿着线段对折，顶点恰好落在边上的点，当时，求重叠部分的面积. 【答案】(1)；(2)；(3). 【分析】（1）由正弦定理边角互化结合二倍角余弦公式可得答案； （2）由余弦定理结合不等式知识可得，据此可得答案； （3）设，则，.然后由题设在三角形，三角形使用余弦定理可得答案. 【详解】（1），由正弦定理边角互化， 可得， 从而 ，在三角形中， 则， 结合，得或（舍去）； （2）由题及余弦定理，，当且仅当， 即三角形为等边三角形时取等号，则， 有最大值； （3）由（1）分析结合，可得三角形为等边三角形. 因，则.设， 则，. 在三角形中，由余弦定理， 解得； 在三角形中，由余弦定理， 解得； 又由题可得，则 【变式6-1】（2026·四川宜宾·一模）记的内角的对边分别为，已知. (1)求角A； (2)已知边上的两条中线相交于点，且，求的余弦值. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据正弦定理结合三角恒等变换可得，即可得角A的大小； （2）以为基底向量，求，，利用向量的夹角公式求的余弦值. 【解答】（1）因为，由正弦定理可得， 又因为， 即，即， 且，则，可得，即， 且，所以. （2）因为，， 由题意可知：， 又因为，， 则，即； ，即； 且； 可得， 所以的余弦值为. 【变式6-2】（24-25高一下·江西南昌·期末）在中，角的对边分别为，且． (1)求； (2)若，点为的中点，且，求； (3)若为锐角三角形，点在内，且，，求的取值范围． 【答案】(1);(2);(3) 【详解】（1）因为在中，所以由正弦定理可得， 又因为中，，， 所以， 解得，所以. （2）因为，，点为的中点， 在中，由余弦定理可知，即， 在中，由余弦定理可知， 即， 因为， 所以， 整理得，解得或（舍去）. （3）设， 则在中，因为，， 所以，解得， 在中，因为，，， 所以，解得， 所以 ， 因为，， 所以，即的取值范围为． 题型七 解三角形中的证明问题 解｜题｜技｜巧 解三角形证明题求解策略: 1.边角互化核心：优先用正弦定理（a=2RsinA）边化角或角化边，统一形式后化简，是最常用突破口. 2.公式灵活套用：结合余弦定理、三角恒等变换（和差倍角、诱导公式），消元化简向结论靠拢. 3.目标导向变形：先明确结论结构（如证边相等、角为特殊值），逆向推导所需条件，减少无效运算. 4.隐含条件挖掘：利用三角形内角和A+B+C=π、大边对大角、边长为正等限制条件验证结果. 5.特殊值检验：用等边、直角三角形等特殊情形快速验证证明思路是否合理. 【典例7】（25-26高三上·广东·月考）中、角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求的值； (2)B的角平分线BD交AC于D， （i）证明：； （ii）若，求的最大值． 【分析】（1）由正弦定理边化角结合两角和与差的正弦公式即可计算求解； （2）（i）先分别在和中利用正弦定理结合和比例的性质得和，接着在和中利用余弦定理结合即可分析计算求解； （ii）先由（1）得，进而得到，，接着由题设结合（i）得，再结合基本不等式即可求解． 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得 ， 因为A，，所以，，故； （2）（i）证明：中，由正弦定理得①，    同理在中，②， BD是的角平分线，则，则， 故得， 由比例的性质得，即， 同理得，即， 在中，由余弦定理得③， 中，由余弦定理得④， 又，故，， 由得 ， 则， 即； （ii）因为，故， 则，则，， 由以及（i）知， 即，则， 当且仅当，结合，即，时等号成立， 故的最大值为． 【变式7-1】（2026甘肃武威·模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)证明：； (2)求的最大值. 【答案】(1)见解析；(2) 【详解】（1）由正弦定理可知，， 得，且， 即，整理为， 即； （2）， 由（1）可知，，且， 所以，上下同时除以， ， 因为，得， 所以，当时等号成立， 所以， 所以的最大值为. 【变式7-2】（25-26高三下·浙江杭州·阶段检测）在中，的平分线交边于点的外角平分线交直线于点. (1)证明； (2)若，求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）在、中分别对、应用正弦定理，结合是内角平分线的角度关系推得，同理在、中推得，即可证； （2）结合已知边长及（1）结论求出的长度，进而得到，再利用勾股定理计算得到的长. 【详解】（1）已知平分，平分的外角， 因此 即， 在中：，得， 在中：，得， 因为，所以；又，故， 所以； 同理，在中：，在中：， ，， 故，又， 所以； 因此，原等式得证. （2）已知，，因此，由(1)得，解得， 所以，又由（1）证明过程知，， 所以，所以 即的长为. 题型八 解三角形中内切圆、外接圆问题 解｜题｜技｜巧 解三角形中的内切球与外接圆问题，与外接球问题，对于内切圆圆心是三个角角平分线的交点，外接圆则是三边中垂线的交点，对于内切圆的半径则采用等面积发，即对于外接圆半径问题 一般采用正弦定理解决. 【典例8】（25-26高三上·河北沧州·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，且的面积，. (1)求的外接圆半径； (2)若，，求中边上的高的值. 【答案】(1)7 (2)或. 【分析】（1）设的外接圆半径为，利用三角形面积公式有及正弦定理得到的值. （2）利用正弦定理求出，由得到，利用同角关系式求出.利用余弦定理建立关于的方程，解得的值，利用公式求出边上的高，从而得解. 【详解】（1）设的外接圆半径为， 由三角形面积公式有，故，则， 又，故，即. 故的外接圆半径为7. （2）由，且， 所以，所以. 在中，由余弦定理， 解得或， 所以边上的高或. 【变式8-1】（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）在中，角，，的对边分别为，，，为锐角三角形，已知，且满足条件． (1)求的大小； (2)求面积的最大值； (3)求的内切圆半径的最大值． 【答案】(1) (2)面积最大值为 (3)内切圆半径最大值为 【详解】（1）依题意，， 整理得：， 由余弦定理：， 因为是锐角三角形，，故； （2）由（1）得，三角形的面积， 由基本不等式，结合， 得：当且仅当时等号成立， 代入得：； （3）三角形的面积，故， 代入得：， 由，得，代入化简：， 由正弦定理得，而，由是锐角三角形得， ， 当时，，，代入得：. 【变式8-2】（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）在中，角的平分线交于点，. (1)若，，求: ①的面积； ②的外接圆的周长. (2)若，求的最小值. 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①根据等腰三角形的性质得出角，然后由正弦定理结合三角形面积公式即可求解；②由正弦定理得出外接圆的半径即可； （2）根据三角形的面积公式得到，结合基本不等式即可求解. 【详解】（1） ①因为，角的平分线交于点，所以，， 所以，， 由正弦定理得，即， 代入数据得， 所以. ②设的外接圆的半径为，由正弦定理，可得，所以， 则的外接圆的周长. （2） 由，所以，， 根据三角形的面积可得，即， 代入数据并化简得， 由基本不等式得，即，当且仅当时等号成立， 因此，当是等腰三角形时，的最小值为. 题型九 解三角形的实际应用 解｜题｜技｜巧 解三角形实际应用核心是构建三角形模型，用正、余弦定理求解，分三类场景： 1. 测量距离 先确定可测边与夹角，构造解三角形模型.两点不可达时，用基线结合两角构造三角形，通过正弦定理求边长；两点可达时，直接用余弦定理计算间距，注意统一长度单位. 2. 测量高度 区分底部可通达与不可通达.底部可达时，测仰角与水平距离，用直角三角形边角关系求解；底部不可达时，在同一直线测两个仰角，设高列方程，结合正弦定理消元求解，排除视线遮挡误差. 3. 测量角度 已知三角形三边或两边及夹角，用余弦定理求内角，结合方位角、俯角换算实际角度，注意方位角的象限与方向标注，保证结果符合实际场景. 【典例9-1】（24-25高一下·海南海口·月考）如图1，椰子树是海南最具代表性的树木之一，树干笔直无分枝，叶片形似巨大的羽毛伞.如图2，、两处观测点与树干底部点在同一水平面内，树干垂直于水平面，某同学在地面处，测得树干顶端处的仰角为，、两处相距米，，. (1)求观测点到树干底部点的距离的长度； (2)求在树干顶端处观测到、两点的夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理结合可得出的长； （2）求出、、、的长，然后利用余弦定理可求得的值，即为所求. 【解答】（1）在中，由正弦定理可得， 因为，所以. 又两处相距米，故，所以的长为米. （2）在中，由在处测得树干顶端处的仰角为， 可得，则. 由（1）知，由，得， 由，得. 在中，由，得. 在中，由余弦定理得. 故在处观测到、两点的夹角的余弦值为. 【典例9-2】（25-26高一下·云南昭通·月考）如图，A、B是某海域位于南北方向相距海里两个观测点，现位于A点北偏东45°、B点南偏东30°的C处有一艘渔船遇险后抛锚发出求救信号，位于B点正西方向且与B点相距50海里的D处的救援船立即前往营救，其航行速度为40海里/小时． (1)求B、C两点间的距离； (2)该救援船前往营救渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是南偏东多少度（精确到0.01°）？救援船到达C处需要多长时间？ （参考数据：，） 【答案】(1)30（海里） (2)救援船前往营救渔船时的目标方向线方向是南偏东68.21°，1.75小时． 【分析】（1）由题意可得三角形的角与边，根据正弦定理，可得答案； （2）由余弦定理，建立方程，可得答案. 【解答】（1）在中，，，则， ， 由正弦定理得 （海里）． （2）在中，，由余弦定理 ， ，（小时）， ，D为锐角， 所以，， 救援船前往营救渔船时的目标方向线方向是南偏东68.21°． 【变式9-1】（25-26高三上·山东聊城·期中）某市有一座重兴塔，它从北宋走来，历经宋、元、明、清，依旧屹立不倒.如今，它是全国重点文物保护单位，也是研究北方古建筑与佛教遗迹的实物标本，如图1，测量重兴塔高度时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点，，且在，两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°.在水平面上测得，，两地相距36米. (1)求重兴塔高； (2)如图2，塔顶为点，距离塔顶点竖直向下5米处有点，若在离地面竖直高度为2米的点处用测角仪器测得，求的最大值. 【答案】(1)米 (2) 【分析】（1）设米，可得，，在中，由余弦定理得，，解方程即可求解； （2）过点作交于，设，可得，，由结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）由题意得，设米， 在中，，则； 在中，，则. 在中，由余弦定理得，， 整理得，解得或（舍） 所以重兴塔高米 （2）过点作交于，设， 则在中，， 在中，， . 当且仅当，即等号成立 所以的最大值为 【变式9-2】（25-26高一下·天津蓟州·期中）盘山是中国著名的5A级景区，它有五大主峰.以主峰挂月峰为中心，其余四峰（紫盖峰、自来峰、九华峰、舞剑峰）环绕，合称“五峰攒簇”.如图，工作人员要测量舞剑峰M，九华峰N之间的距离，P，G，M，N四点在同一铅垂平面内，飞机沿水平方向在P，G两点进行测量，途中在点P测得，，在点G测得，，测得． (1)求点P和点M之间的距离； (2)求两主峰M，N间的距离． 【答案】(1)2km； (2). 【分析】（1）利用三角形内角和定理求出第三个角，然后运用正弦定理解出所求边长； （2）先通过正弦定理求出另一条边的长度，再在包含目标线段的三角形中，使用余弦定理计算该线段的长. 【详解】（1）根据题意得，，， 所以， 在△PMG中，根据正弦定理， 得，解得PM，所以点P和点M之间的距离为. （2）在中，， ，所以 由正弦定理得，解得， 在中，， 由余弦定理得 ，解得. 综上所述，两主峰M、N之间的距离为． 题型十 解三角形与平面向量的综合（跨章节） 解｜题｜技｜巧 解三角形与平面向量综合解题策略 1.向量转化：把向量数量积、模长、共线条件，转为边角三角函数关系式。 2.定理选用：边角互化优先正、余弦定理，结合面积公式列式。 3.三角化简：利用和差、二倍角公式化简，结合内角范围限定角度。 4.最值范围：借助函数单调性、基本不等式，求解边长、角度最值。 5.检验取舍：依据三角形三边、内角约束，舍去不合题意结果。 【典例10】（25-26高一下·广西百色·月考）已知的角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量，，且． (1)求角A； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用向量共线坐标运算，结合边化角思想求解即可； (2)利用面积公式，结合余弦定理和锐角三角形来判断边的取值范围即可. 【解答】（1）已知，由向量平行的坐标性质得： , 由正弦定理边化角可得, 因为，所以，约去后可得， 结合二倍角公式得： ， 又，故，所以，约去得​， 因此，得： ； （2）已知，，则结合三角形面积公式可得： ， 由余弦定理：， 因为是锐角三角形，三个角均为锐角， 所以由为锐角可得：， 由为锐角：， 即可得，代入面积公式得， 即面积的取值范围为：. 【变式10-1】（24-25高一下·江西·期末）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，求的取值范围； (3)若点为所在平面内一点，且满足，求的取值范围. 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）由正弦定理，将化为 交叉相乘得： 展开： 因，故，即 因为锐角三角形，，得 故 （2）由，且 由正弦定理，得： 展开，则： 因,故 （3）因为 所以 同理所以 因此，即为的外心，所以，且 表达式化简为： 因 故 【变式10-2】（25-26高一下·广东珠海·阶段检测）如图，的内角，，的对边分别是，为边上的中点，，且，    (1)求以及的边长； (2)设，分别为边，上的动点，线段交于，设，，， ①求证： ②四边形的面积为面积的，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)①证明见解析；② 【分析】（1）根据正弦定理得到，根据向量数量积的运算律得到，进而求出，结合余弦定理求解即可. （2）①设，，，根据向量的线性运算得到，结合平面向量基本定理即可得证. ②根据向量数量积的运算律及①得到，根据面积关系得到，进而得到，代入化简得，结合的范围求值域即可. 【详解】（1）由及正弦定理，得. 又为边上的中点，所以， 则， 所以. 所以，则. 所以的边长 （2）①设，，， 所以，. 由于，所以. 由、、三点共线，可得，所以. ② 由，得. 又， 所以. 由于，，所以， 则，所以， 故. 题型十一 解三角形与三角函数的综合（跨章节） 解｜题｜技｜巧 解三角形与三角函数综合解题策略 1.边角转换：依托正、余弦定理，实现边与三角函数式互化。 2.式子化简：运用和差、二倍角、诱导公式整理表达式。 3.限定范围：结合三角形内角和，锁定角度取值区间。 4.求值计算：代入公式求角、边长与三角形面积。 5.最值求解：转化为三角函数型函数，结合单调性求范围最值。 6.结果核验：依据三边关系、角度范围剔除不合理答案。 【典例11】（24-25高一下·江西·期末）如图所示，曲线与y轴的交点为B，与x轴在y轴的左、右两侧的第一个交点分别为C，D，且的面积为1，M是BC的中点． (1)证明：． (2)若． （ⅰ）求函数的最小正周期； （ⅱ）设的外接圆交直线CD于点N（D，N为两个不同的点），求BN的长度． 【答案】(1)证明见解析； (2)（ⅰ）；（ⅱ）. 【详解】（1）设函数的最小正周期为T， 因为C，D分别为W与x轴在y轴的左、右两侧的第一个交点， 所以， 因为B为W与y轴的交点，所以， 因为的面积为1，所以，整理得． （2）（ⅰ）由（1）知，，，， 所以，故，， 所以，整理得， 所以，解得，所以， 故，故最小正周期为． （ⅱ）由（ⅰ）知，，故，，，， 故，，，，， 在中，，所以， 因为N在的外接圆上，所以，故， 由正弦定理，，解得． 【变式11-1】（24-25高一下·江西丰城九中·月考）设函数（，），该函数图像上相邻两个最高点间的距离为，且为奇函数. (1)求的解析式； (2)在锐角中，角的对边分别为，，，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由函数图像上相邻两个最高点间的距离为，所以可得，解得， 所以函数解析式为， 又因为为奇函数，所以，又，所以， 所以， （2）， 由正弦定理得， ， ． ，．， ，，所以，所以， 由（1）知， 所以 ， 又因为，所以， 所以， 所以的取值范围为. 【变式11-2】（2026·辽宁·模拟预测）已知函数，将曲线向左平移个单位长度，得到曲线． (1)求的单调递增区间； (2)在中，内角，，的对边分别为，，，锐角满足，的面积为，求的最小值． 【答案】(1)； (2)2 【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数性质求出单调递增区间. （2）由（1）求出，进而求出锐角，再利用三角形面积公式、余弦定理及基本不等式求出最小值. 【详解】（1）函数， 由，，解得，， 所以函数的单调递增区间为. （2）由（1）得，由，得， 由，得，则，解得， 由的面积为，得，解得， 由余弦定理得，当且仅当时取等号， 因此，所以a的最小值为2. 题型十二 解三角形的新定义题 答｜题｜模｜板 先吃透题目给出的全新定义、规则与判定条件，拆解核心关系式.结合正余弦定理、三角恒等变换转化边角关系.紧扣三角形内角范围、三边约束筛选取值.按定义标准列式推理，逐一验证条件，排除不符合情形，严谨推导得出答案. 【典例12】（24-25高一下·江西宜春·期末）定义：函数为向量的“跟随函数”，向量为函数的“原向量”． (1)设函数，的“原向量”分别为，，若，的夹角为锐角，求实数的取值范围． (2)已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中，AD平分∠BAC并与BC交于点D，向量的“跟随函数”为，且． （ⅰ）若，求AD的长； （ⅱ）求AD长度的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）． 【分析】（1）利用两角差的余弦公式化简，即可求出，再得到，依题意，且，不同向，即可得到不等式组，解得即可； （2）（ⅰ）首先得到解析式，即可求出，再由正弦定理求出，再由等面积法计算可得；（ⅱ）由得到，从而转化为的三角函数，即可得解. 【详解】（1）因为， 所以．由，得． 因为，的夹角为锐角，所以，且，不同向， 则，解得且， 故实数的取值范围为． （2）因为向量的“跟随函数”为， 所以． 又，所以，因为，则， 所以，所以． 又，所以由正弦定理可得， 则，． （ⅰ）因为，所以． 由余弦定理得， 即，则． 所以， ． 由，可得，则． （ⅱ）由，可得， 则． 因为，所以， 则． 令，则，由，得， 则． 由，可得，显然函数在上单调递增， 故长度的取值范围为． 【变式12-1】（24-25高一下·江西景德镇·期末）是直线外一点，点在直线上（点与点，任一点均不重合），我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，.在中，角，，的对边分别是，，，点在射线上. (1)若是角的平分线，且，由点对施以视角运算，求的值； (2)若，，，由点对施以视角运算，，求的周长； (3)若，，由点对施以视角运算，，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由新定义结合正弦定理即可求解； （2）根据所给定义及条件得到，再由余弦定理求得即可求出，从而求出三角形的周长； （3）依题意可得，由等面积法得到，从而得到，再由乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】（1）因为是角的平分线，所以且在线段上， 所以， 又，所以； （2）因为点在射线上，，且，所以在线段外，且， 所以， 所以， 【变式12-2】（25-26高一下·吉林·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，对任意两个向量，，作，．当，不共线时，记以，为邻边的平行四边形的面积为；当，共线时，规定 ． (1)分别根据下列已知条件求： ①，； ②，； (2)若向量（，，）， 证明： (3)若，，是以为圆心的单位圆上不同的点，记，，．当时，求的最大值． 【答案】(1)5；0 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由题意，根据新定义即可求解； （2）由新定义可证得，，即可证明； （3）作图并设，由推得，进而，设，代入坐标，联立推得，根据题意将化成，利用基本不等式即可求得其最大值. 【详解】（1）因为，，因为， 故不共线，又， 所以 ； 又，，所以，故共线， 所以 ； （2）当，不共线时，； 当，共线时， ， 因为向量，共线，所以， 所以，共线时，关系依然成立， 因为向量，且向量， 则， 所以， ， 所以； （3）    如图，在平面直角坐标系中作出单位圆，设，， 则， 由可得，则. 设，（，，），即得 ，则得， 由可得，即， 由（2）可得 , 因，由可得， 即，当且仅当时等号成立， 的最大值为. 【点睛】方法点睛：学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是平面向量的数量积的坐标表示. 期末基础通关练（测试时间：20分钟） 1．（25-26高一下·北京顺义·期中）在中，． (1)求； (2)若，求边． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理即可求解， （2）根据面积公式可得，进而根据余弦定理求解即可. 【详解】（1）由可得, 由于,故， （2），故， 进而，故 2．（25-26高一下·北京顺义·期中）已知在 中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c， (1)求A的大小; (2)若，判断下列三个条件是否能使存在且唯一，并对满足条件的求出的周长. ①边上的高线长为， ②， ③ 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分 【答案】(1) (2)选择条件①，的周长为；选择条件②，的周长为； 选择条件③，不符合要求. 【分析】（1）根据正弦定理进行边角转化，再结合三角函数关系得到A的大小. （2）对于每个条件，分别根据已知条件结合正弦定理、余弦定理以及三角形的性质来判断是否存在且唯一，若存在则求出其周长. 【详解】（1）已知在中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，， 根据正弦定理可得， 在中，可知， 则，即， 又，所以. （2）选择条件①，边上的高线长为， 由（1）知，则， 由余弦定理得， 所以存在且唯一，其周长为. 选择条件②，， 由（1）知，由余弦定理知，则， 整理得，而，解得， 所以存在且唯一，其周长为. 选择条件③，， 由（1）知，由正弦定理得， 因为，则， 所以存在两解，不符合要求. 3．（浙江金华市卓越联盟2025-2026学年第二学期5月阶段联考高二数学试题）记三角形的内角，，的对边分别为，，，的面积为S． 已知． (1)求； (2)若，点是线段的中点，求线段的最大值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用三角形面积公式和余弦定理，推得，结合内角范围，即可求得角； （2）由余弦定理可得，由平方结合向量数量积运算，得，利用正弦定理结合三角恒等变换求得的范围，进而求得答案. 【详解】（1）由，则， 化简得，又，故. （2）由余弦定理可得，即， 又， 所以 ， 又由正弦定理可得， 所以，， 所以 ， 由题意得，则，所以， 所以，所以，所以线段最大值为. 4．（25-26高一下·上海·阶段检测）已知向量，且， (1)求函数的单调递减区间； (2)已知的三个内角分别为，其对应边分别为，若有，，且的面积为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量垂直的坐标运算性质结合辅助角公式化简得到的解析式，再根据正弦函数的单调区间求解； （2） 先由求出角，再结合面积公式求出，最后用余弦定理推导的值。 【详解】（1）因为，所以 ， 即 ， 整理得， 令，则， 解得， 即的单调递减区间为； （2） ， 即， 因为为三角形内角，故，则， 因此，解得， 由题意知，三角形面积， 由面积公式 ，代入得 解得， 由余弦定理，代入已知条件得： ， 整理得，因此 ，， 即. 5．（25-26高一下·湖南益阳·期中）如图，在平面四边形中，，． (1)若，，，求的大小； (2)若，，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理、余弦定理求解即可. （2）根据，得到，结合诱导公式得到，在中，得到，在中，根据余弦定理列方程求解即可. 【详解】（1）在中，由余弦定理得 ， 所以. 由正弦定理得，所以， 因为，所以，，所以， 故. （2）设，则， 因为，所以，则. 在中，，即. 在中，由余弦定理得， 即，整理得，解得或（舍去）. 当时，，，，能构成三角形，满足条件. 故. 期末重难突破练（测试时间：20分钟） 1．（25-26高一下·宁夏·期中）为测量某景区内一座古塔的高度，由于塔底无法直接到达，测量小组在河对岸选取了两个观测点进行测量．首先在点处测得塔顶的仰角为，然后沿河岸步行米到达点处，在点处测得塔顶A的仰角为．已知，且观测点与塔底都在同一水平面内． (1)求古塔的高度； (2)求的面积； (3)若从观测点向后（沿的延长线）退至点，要使在处测得塔顶的仰角为，求后退距离． 【答案】(1)10 (2) (3)（米） 【分析】（1）设，则，再利用余弦定理求解； （2）先利用余弦定理求出，得到，再由面积公式求解； （3）先求，再由进行计算． 【详解】（1）设， 在直角三角形中，因为，故， 同理， 在中，，由余弦定理有， 所以，故（负解舍去）， 所以古塔的高度为米； （2）由（1）的分析可得，同理，而， 故， 而为三角形内角，故， 故（平方米）； （3）由题设有，由（1）可得， 故，故后退距离为米. 2．（2025·江苏·模拟预测）在中，角的对边分别为，． (1)若，求的周长； (2)若的内切圆、外接圆半径分别为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理求出，即可求解的周长， （2）利用余弦定理可得，即可确定c的取值范围，进而利用正弦定理和面积公式，表示，利用基本不等式即可求解范围. 【详解】（1），，由余弦定理得，， ，解得，或（舍去） ， 的周长为. （2）由余弦定理得，，整理得，， ， ，即， 由正弦定理得，，， ，， ， 令，，， 函数在上单调递增，，即的取值范围是. 3.（25-26高一下·山东泰安·月考）已知的内角，，所对的边分别为，，，且. (1)求； (2)若，求的取值范围； (3)若该三角形为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式化简求值即可. （2）由正弦定理及辅助角公式求解即可. （3）根据正弦定理及辅助角公式求出的解析式，结合锐角三角形求出角的范围，进而求的 范围即可. 【解答】（1）因为，由正弦定理得， 化简得， 又因为，则，可得， 即，又，所以. （2）因为，， 由正弦定理得， 则，， 可得， 因为，则， 可得，所以. （3）由正弦定理得， 则，， 可得， 因为该三角形为锐角三角形，所以，，均为锐角，且， 所以，解得，则，所以， 因此. 4.（2026·湖北襄阳·一模）在中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，M为边BC所在直线上一点． (1)若，AM平分∠BAC，，，求的周长； (2)若，且，求的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)最大值；最小值4 【分析】（1）根据三角形面积公式及余弦定理化简计算求解； （2）根据三角形面积公式可得，根据余弦定理化简可得，再利用三角恒等变换结合正弦型函数性质可得最大值，利用基本不等式可得最小值. 【解答】（1）由题意得 所以① 又② 由①②解得，所以的周长为； （2）∵， 又，∴ ∴ 当且仅当，即时取“”， 又，当且仅当时取“”， 所以的最大值，最小值4． 期末综合拓展练（测试时间：25分钟） 1．（25-26高一下·广东珠海·阶段检测）在中，角所对的边分别为，． (1)求角； (2)若，为锐角三角形，求的周长的取值范围； (3)若，为锐角三角形，且为的外心，满足，求的取值范围； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理、两角和的正弦公式及诱导公式求解即可. （2）根据正弦定理及辅助角公式，结合正弦型三角函数的性质求解即可. （3）根据向量数量积的运算律结合为的外心得到，即，同理可得，联立求得，，进而得到；根据正弦定理及两角差的正弦公式得到，结合求出的范围，再结合对勾函数的性质求解即可. 【详解】（1）由正弦定理得，， 即， 又，所以，所以， 又，所以. （2）由正弦定理，从而 ， 由为锐角三角形，得，解得， 从而，则，， 故的周长的取值范围. （3）取中点，连接，    因为为的外心，所以，所以， 又， 所以， 故，即， 同理，， 故，即， 联立解得，. 故. 由正弦定理得， 由（2）知，，所以，所以， 则，当且仅当时，等号成立. 因此. 故的取值范围为. 2．（24-25高一下·广东广州·期末）已知的三个内角的对边分别为设，的面积为S． (1)求证：； (2)已知，，求的内切圆半径r； (3)已知，且，求S的最大值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）利用余弦定理求角，利用平方关系转化为角的正弦，再利用正弦面积公式来求解化简即可证明； （2）利用内切圆圆心把一个三角形分割成三个高为的三角形，再由等面积法求解即可； （3）利用边化角来求出，再结合海伦面积公式，利用消元，即可得二次函数的最大值来求解. 【详解】（1）由余弦定理得：， 所以， 再由三角形面积公式： ， 由于得：； （2）已知，则，由的内切圆半径r， 可用等面积法知：； （3）由，结合正弦定理边化角和内角和定理可得：， 因为，所以，再由，可知：， 所以， 根据海伦公式可知： ， 当时，，此时. 3．（25-26高一下·广东佛山·期中）如图1，山顶P在水平地面的垂直投影点为B，A在B的正东方，在A处测得山顶P的仰角为．从A沿南偏西（方位角按标准定义：从正南向西偏转）的方向前行200米后到达C处，在C处测得山顶P的仰角为，已知山高PB大于100米，测量仪器的高度忽略不计．    (1)求山高； (2)如图2，山顶P到G处已修建一条索道，现计划从G处到山脚F处修建一条近似为直线段的下山步行栈道．G在山顶P下方的山体上，K在竖直线段PB上，H在水平地面的线段FB上，满足，，且F、H、B共线，P、K、B共线．在山脚F处测得山顶P的仰角为，，（），已知人在该步行栈道下山时，每行走一米所消耗的能量为焦耳，若人从G沿这条直线段下山栈道步行至F全程消耗的总能量不超过400焦耳，求角的最大值． 【答案】(1)米； (2) 【分析】（1）设米，由题意可得，，，在中，由余弦定理求解即可； （2）设，由已知条件可得，从而可得，进一步可得，由,可得，平方后得，利用换元法和三角函数的性质求解即可. 【详解】（1）设米， 由题意可知, 在中，，在中，， 在中，由余弦定理可得：， 即，， 又因为，解得， 所以山高米； （2）由题意可知为等腰直角三角形，所以设， 又因为，四边形为矩形， 所以， 又因为,所以， 在中，，所以， 又因为，所以，解得， 所以，所以， 由题意可得，所以， 整理得：， 所以， 令， 因为，所以， 则有，即，解得， 即， 又因为，所以，所以， 所以的最大值为. 4．（24-25高一下·江西上饶·期末）若中的一个内角等于中的一个内角，则称和为同源三角形，这组相等的内角称为同源三角形和的同源角． (1)若在中，，，，判断和等腰直角三角形是否为同源三角形，并说明理由． (2)如图，同源三角形和的同源角为和，且． ①求； ②若，求面积的最大值． 【答案】(1)和等腰直角三角形为同源三角形，理由见解析 (2)①；② 【分析】（1）由已知，利用正弦定理可得在中，即可说明和等腰直角三角形是否为同源三角形． （2）①由已知，利用三角形和，和的面积之比为边之间的关系之比，计算可得； ②由已知及①，设，可知，在中，利用余弦定理可由表示出，利用同角间的关系可表示出，进而表示出，利用二次函数求出最大值，开方后即可得到面积的最大值． 【详解】（1）和等腰直角三角形为同源三角形，理由如下： 在中，，， 由正弦定理， 得， 由，得，所以， 因为在等腰直角三角形中，存在大小为的内角， 所以和等腰直角三角形为同源三角形． （2）①由题意得，，，四点共线，设在边上的高为， 则，，的高均为， 因为，， 则，， ， 所以， ， 则， ， 两式相乘得， 所以． ②若，因为，则， 由①知，设，则，由，得． 在中，， 得， 则． 由，得，当时，的面积取得最大值，且最大值为． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $