第03讲 巧用正、余弦定理解三角形问题（8大重难点题型）期末讲义-2025-2026学年高一数学下学期人教A版必修第二册

第03讲 巧用正、余弦定理解三角形问题 目录 01 题型归纳目录 2 02 知识点梳理 3 知识点1、正弦定理 3 知识点2、余弦定理 3 知识点3、三角形中的常见结论 3 知识点4、用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 3 知识点5、实际问题中的常用角 4 03 重难点题型 5 题型一：正、余弦定理的基础应用 5 题型二：判定三角形形状 6 题型三：三角形解的个数分析 8 题型四：三角形周长与面积计算 10 题型五：解三角形实际应用 13 题型六：正余弦定理与三角函数综合 16 题型七：新定义问题 20 题型八：跨知识点综合题型 27 04 过关检测 32 知识点1、正弦定理 （其中为外接圆的半径）． 常用变形： （1）； （2）； （3）； （4），，． 知识点2、余弦定理 ，，， ，， 知识点3、三角形中的常见结论 （1）． （2） 在三角形中大边对大角， 大角对大边：． （3）任意两边之和大于第三边， 任意两边之差小于第三边． （4）的面积公式 ①（ 表示边上的高）； ②； ③（为内切圆半径）； ④，其中． 知识点4、用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等． 知识点5、实际问题中的常用角 （1）仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫仰角，目标视线在水平视线下方的角叫俯角（如图①）． （2）方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等． （3）方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）． （4）坡度＝，即坡角的正切值． 题型一：正、余弦定理的基础应用 例1．（25-26高一下·山东济宁·期中）在中，，是角，所对的边，，，，则边的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由正弦定理得，，所以. 例2．（25-26高一下·陕西榆林·期中）在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据正弦定理知， 因为，，， 所以， 又因为，所以，所以． 例3．（25-26高一下·湖南株洲·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】在中由正弦定理，可得： 已知，则，且， 代入上式：，解得. 变式1．（25-26高一下·天津蓟州·期中）在△ABC中，满足，则（　　） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【解析】由余弦定理得：，又因为， 所以. 变式2．（25-26高一下·吉林长春·期中）在中，，，，则（    ） A．3 B． C． D．6 【答案】C 【解析】由题设，应用余弦定理可得. 题型二：判定三角形形状 例4．（25-26高一上·上海杨浦·期末）已知的三个内角A，B，C满足，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【解析】 ， ，或， 当时，因为，所以，因此该三角形是直角三角形； 当时，可得， 由正弦定理可得：，所以由，可得，因此该三角形是等腰三角形， 综上所述：该三角形是等腰或直角三角形. 故选：D 例5．（24-25高一下·河南安阳·期末）在中，，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】A 【解析】方法一  ，， ， ， ，或， 又由可知，，， ，为直角三角形．故A正确. 方法二 ：记的内角所对的边分别为，由正弦定理、余弦定理及题设条件可得，且， 化简得，，即， 为直角三角形.故A正确. 故选：A. 例6．（24-25高一下·河北承德·期末）在中，已知，则一定是（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．锐角三角形 【答案】B 【解析】因为，所以由正弦定理得， 又， 所以，，即， 所以一定是等腰三角形， 故选：B. 变式3．（25-26高一下·上海浦东新·期中）在中，角的对边分别为，已知，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】在中，由正弦定理，为外接圆半径. 得，. 将其代入已知条件，可得. 化简得，因为，所以. 因此有两种情况： ①，即，此时为等腰三角形； ②，即，则，此时为直角三角形. 综上，的形状为等腰三角形或直角三角形. 题型三：三角形解的个数分析 例7．（25-26高一下·陕西咸阳·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，的有两解，则b的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在中，，， 由正弦定理可得： ， 因为，且时，时， 要使有两解， 则的取值有两个，一个锐角，一个钝角， 由于，且为三角形内角， 所以的取值范围是， 同时有两解时的取值要满足， 由，可得， 又因为，可得， 综上，的取值范围为. 例8．（25-26高一下·重庆·期中）的内角，，的对边分别为，，，，，若有两解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】方法一： 已知是锐角，固定角、边，画： 把角固定，一边固定射线，另一边为线段且. 过点向作高， ，这是点到直线的最短距离， 边是的长， ：以为圆心、为半径画圆， 和射线交于两个不同点，能构成两个不同三角形，两解， 即三角形有两解的条件为 ， 计算 ， 所以 的取值范围为 . 方法二： 已知，，由余弦定理：， 代入得，整理为：， 有两解等价于上述关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根， 设方程两根为，满足：， 解得: . 两根之和：，恒成立， 两根之积： ⇒ ⇒ ， 综上所述，的取值范围：. 例9．（25-26高一下·上海宝山·期中）下列条件判断三角形解的情况，正确的是（   ） A．，有两解 B．，有一解 C．，无解 D．，有一解 【答案】D 【解析】对于A,由正弦定理，则， 则三角形是直角三角形，只有1解，故A错误； 对于B,由正弦定理，则， ，故，可能是锐角或钝角，故三角形有两解，故B错误； 对于C,由正弦定理，则， ，故，三角形只有1解，故C错误； 对于D,，为钝角且，故必为锐角， 三角形有1解，故D正确． 变式4．（25-26高一下·浙江杭州·期中）在中，角所对的边长分别为．若，则这样的三角形解的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．不确定 【答案】C 【解析】因为，所以 所以，即， 所以这样的三角形解的个数为2个，如图. 变式5．（25-26高一下·江苏镇江·期中）在中，内角，若满足条件的三角形有且仅有两个，则边长的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 如图所示，在中，内角，作于， 要使满足条件的三角形有且仅有两个，则，其中， 即，因此边长的取值范围为，故A正确. 题型四：三角形周长与面积计算 例10．（2026·山东菏泽·二模）在中，它的内角，，的对边分别为，，，且，. (1)若，求； (2)若，求的面积. 【解析】（1）因为，，， 所以由正弦定理得：， 因为，所以或. 所以当时，，符合题意； 所以当时，，符合题意. （2）在中，因为， 所以， 把，， 代入得， 又因为， 所以，，所以， 所以， 所以的面积为. 例11．（25-26高一下·吉林长春·期中）记的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，的面积为，求的周长． 【解析】（1）由，得，即， 由，得，则，所以. （2）由（1）知，由及的面积为， 得，解得， 在中，由余弦定理，可得 ， 所以的周长为. 例12．（25-26高一下·重庆沙坪坝·期中）在三角形中，角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若，三角形的面积为，求三角形的周长. 【解析】（1）因为，由余弦定理可得， 整理可得，则， 且，所以. （2）因为，，且，即，则 又因为的面积为，即，则， 可得，即， 所以周长. 变式6．（25-26高一下·北京顺义·期中）在中，． (1)求； (2)若，求边． 【解析】（1）由可得, 由于,故， （2），故， 进而，故 变式7．（25-26高一下·新疆乌鲁木齐·期中）已知分别为三个内角的对边，满足 (1)求； (2)若的周长为，面积为，求． 【解析】（1）由正弦定理，则， 代入并化简得， ， 由余弦定理得， ， ． （2）已知，则， ，解得， 由余弦定理可知， 即， 化简得，解得． 题型五：解三角形实际应用 例13．（25-26高一下·湖南益阳·期中）海面上有一座小岛，一艘小船在观测点测得小岛在北偏西方向．小船从出发，沿北偏东方向匀速航行海里到达处，此时发现小岛正好在小船正西方向，则此时小船与小岛距离_________海里． 【答案】2 【解析】 由题意可得 小岛正好在小船正西方向， 由正弦定理可得：，即，解得. 例14．（25-26高一下·江苏淮安·期中）如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内且相距20米的两个测量基点与．现测量得，在点处测得塔顶的仰角分别为，若河宽至少12米，则塔高______米．    【答案】 【解析】由题意知，平面，，，，. 因为平面，所以，. 在中，，所以. 在中，，所以. 在中，由余弦定理得，， 即，整理得， 即，解得或. 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 故. 例15．（25-26高一下·天津武清·期中）某船行驶到甲地看1号灯塔时，在甲地的北偏东75°方向上，两地相距海里；在甲地看2号灯塔时，在甲地的南偏西60°方向上，两地相距4海里．该船由甲地向正南航行到乙地时，再看1号灯塔，则1号灯塔在乙地的北偏东30°方向上，则2号灯塔与乙地之间的距离是________海里． 【答案】 【解析】由题意可知， 在中，利用正弦定理可知， 在中，由余弦定理可知， 即2号灯塔与乙地之间的距离是海里. 变式8．（25-26高一下·陕西榆林·期中）如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得米，，则塔高__________米（结果保留整数）.（参考数据） 【答案】27 【解析】因为米，， 所以． 由正弦定理，，可得， 在直角中，因为，所以， 即塔高为. 变式9．（25-26高一下·内蒙古赤峰·期中）《中国建筑史》（梁思成著）载：“大雄殿之左侧白塔凌空，高十三级，甚峻拔”.该塔位于莲溪县赤城镇白塔街，坐西向东，为四方形楼格式砖石塔，塔身白色，共十三层，自宋代始建以来至今已余年，充分体现了中国传统建筑技术水平.某数学兴趣小组为了测得塔高，如下图，在点测得塔底位于北偏东方向上的点处，塔顶的仰角为，在的正东方向且距点的点测得塔底位于北偏西方向上（，，在同一水平面），则塔的高度约为____________（结果精确到整数，参考数据：） 【答案】36 【解析】由题设，在中， ， 由正弦定理得， ， 则m， 在中，由， 则, 所以m. 题型六：正余弦定理与三角函数综合 例16．（24-25高一下·广东广州·期中）已知函数.在中，，且. (1)求的大小： (2)若，，求的面积. 【解析】（1），在中，，所以， 因为，所以， 则有：或， 即或，因为，所以，即， 所以. （2）因为，， 则，即， 所以. 例17．（23-24高一下·北京顺义·期末）已知函数．在中，，且． (1)求的大小； (2)若，，求的面积． 【解析】（1） 因为且，所以， 又，所以， 则 因此 （2）由余弦定理得 因为， 所以的面积为. 例18．（25-26高一下·广东广州·期中）已知函数，且恒成立. (1)求的解析式； (2)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，的面积为，求的周长. 【解析】（1）由，得，而，则， 由恒成立，可知，即，， 因此，解得，而，则， 所以的解析式为. （2）由（1）得，，而，解得， 由，解得， 由余弦定理得， 所以的周长为． 变式10．（25-26高一下·江苏扬州·期中）已知向量，设函数. (1)求函数的周期及单调递增区间； (2)在中，内角的对边分别为，且，求的面积. 【解析】（1） 所以函数的周期； 解得， 函数的单调递增区间为 （2）由得.因为，解得或. 若，由正弦定理得，无解，舍去， （方法1）若，由正弦定理得， 因为，所以有两或， 当时，， 当时，， 因此三角形的面积为或. （方法2）若，由余弦定理得 解得：或 当时， 当时， 因此三角形的面积为或. 变式11．（25-26高一下·四川遂宁·期中）已知向量，．设． (1)求的单调递减区间; (2)在中，角所对的边分别为．若，，的面积为，且，求的值． 【解析】（1） ， 得 ， 正弦函数 的单调递减区间为 ， 令，则 ， 解得 ， 故的单调递减区间为 ； （2）代入得， 因为 ，所以 ， 因此，解得， 由三角形面积公式， 代入， 得，解得， 由余弦定理，代入，， 得 ， 将 代入上式得 ， 把代入得 ， 因为，由大边对大角性质得，故. 题型七：新定义问题 例19．（25-26高一下·上海普陀·期中）如图，已知，设，是平面内相交成角的两条射线，，分别为与，同向的单位向量，称为“-仿射坐标系”.在-仿射坐标系中，若，记. (1)在-仿射坐标系中，若，求； (2)在-仿射坐标系中，若，，且，的夹角为，求； (3)在-仿射坐标系中，，分别在射线，上，且.若，，分别为，的中点，求的最大值. 【解析】（1）已知是单位向量，夹角为，故，，. 因为，，所以， 则，即. （2）已知，，则，. 进而. . 已知夹角为，故，即， 解得. （3）设，，则. ，则. 由，，，则. 因为，所以. 因为为中点，所以； 因为为中点，所以. 所以. 在中，由正弦定理得，，即，， 所以 (其中) 所以. 因此，故， 所以的最大值为. 例20．（25-26高一下·广东江门·期中）已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的互生向量，同时称函数为向量的互生函数． (1)若函数，试求的互生向量； (2)若向量的互生函数为，求函数在上的增区间； (3)若向量的互生函数为，在中，，，若点G为该的外心，求的值． 【解析】（1）利用诱导公式化简：， 根据定义，的互生向量为，得，因此. （2）根据定义，向量的互生函数为， 因此， 正弦函数的单调递增区间满足， 解得，结合，得增区间为. （3）根据定义，向量的互生函数为，因此. 为三角形内角，故，. 设外接圆半径为，由正弦定理，代入得. 为外心，故，由圆周角定理得圆心角， 因此， 即. 例21．（25-26高一下·江西萍乡·期中）在平面直角坐标系中，已知为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”. (1)设函数，写出的“相伴向量”； (2)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，记向量的相伴函数，若且，求的最大值； (3)已知，将（2）中的函数图象上所有的点向左平移个单位长度，再把横坐标伸长为原来的倍，纵坐标伸长为原来的倍，得到函数的图象，试问的图象上是否存在一点，使得?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 参考公式： ． 【解析】（1）函数，     所以的“相伴向量”为； （2）依题意，，由，得， 又，即，则， 又，由正弦定理，得，， 即， 由，得，则，的取值范围为， 所以有最大值. （3）由（2）知， 则， 设，由，得， 由，得，则， 即，于是． 由，得，则， 而，因此当且仅当时，和同时等于， 所以在图象上存在点，使得. 变式12．（25-26高一下·陕西西安·期中）定义非零向量的“相伴函数”为.向量称为函数的“相伴向量”（其中为坐标原点）. (1)设，写出函数的相伴向量； (2)已知的内角，，的对边分别为，，，记向量的相伴函数为.若，，且角的平分线，求边上的高及边上的中线长； (3)已知，，为（2）中的函数，，请问在的图象上是否存在一点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由. 【解析】（1）因为， 所以函数的相伴向量； （2）依题意，， 由，得， 又，即，则， 因为角的平分线，且， 所以由三角形面积公式，得， 即，化简，得， 由余弦定理可得， 化简，得，解得，或舍去， 设边上的高为， 由三角形面积公式，得； 设的中点为， 所以有，平方，得 ， 所以； （3）由（2）知， 则， 设，由，得， 由，得，则， 即，于是． 由，得，则， 而，因此当且仅当时，和同时等于， 所以在图象上存在点，使得. 变式13．（25-26高一下·湖南益阳·期中）在平面几何中，三角形的“莱莫恩点”是一个具有优美性质的特殊点，其定义如下：记的内角，，所对的边分别为，，，内一点到三边，，的距离，，满足，称点为的“莱莫恩点”． (1)若在中，，，，求常数的值； (2)在（1）的条件下，若，求，的值； (3)若，且满足，试判断的形状，并说明理由． 【解析】（1）已知，满足，故为直角三角形，面积， 又，且， 所以 ，又， 所以，解得. （2）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 则， 设，则到直线的距离， 到直线的距离，故， 由，即，得， 解得. （3）若，则，整理得， 延长交于，则， 所以， 又，所以， 所以，即， 所以， 又由得， 所以，所以， 由，得，整理得，即，所以， 由正弦定理，得，又，故， 所以，所以是等腰三角形. 题型八：跨知识点综合题型 例22．（25-26高一下·上海奉贤·期中）如图所示，在中，在线段上，满足，是线段的中点，过点的直线与线段，分别交于点，，设，． (1)当时，请用与表示； (2)求证：为定值； (3)设的面积为，的面积为，求的最小值． 【解析】（1）由可知为的三等分点， ． ， ， ，即，． ． 为中点，且E，O，F共线， ，则, ，解得． ． （2），． ，， 是的中点， ． ． ，，三点共线， ． 整理得，即． 为定值3． （3）． 由（2）知， ． 令，则， ，，． ． ， 当时，分母取最大值． 的最小值为． 例23．（25-26高一下·上海普陀·期末）在△ABC中，三内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足. (1)证明：△ABC为直角三角形； (2)若，，的平分线交BC于D，求线段AD的长； (3)当，时，设表示成的形式，求的最值. 【解析】（1）依题意得， 则， 又， 所以，从而， 又有意义，所以，即， 故为直角三角形. （2）由（1）知，，而的平分线交BC于D， 得， 因为， 即， 所以 所以． 故线段AD的长为. （3）由（1）知，在中，，则， 所以，， 故，. 令， 由得，且，则. 令，则， 则， 显然在上单调递增，则在上单调递减， 所以当时，即，即时，. 例24．（24-25高一下·吉林长春·期中）在中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，． (1)求A； (2)若，，D为线段BC内一点，且，求线段AD的长； (3)法国著名科学家柯西在数学领域有非常高的造诣；很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如对于任意的，都有被称为柯西不等式；若，求：的最小值． 【解析】（1）由， 得， 即， 在中，由正弦定理得， 由余弦定理得，而，所以． （2）由，得， 则， 所以； （3）依题意， ． 当且仅当为正三角形时取等号，所以所求的最小值为48． 变式14．（25-26高一下·福建厦门·期中）阅读下面的两个材料： 材料一：我国南宋的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”：若把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，记小斜为，中斜为，大斜为，则三角形的面积为.这个公式称之为秦九韶公式； 材料二：希腊数学家海伦在其所著的《度量论》（或称《测地术》）中给出了用三角形的三条边长表示三角形的面积的公式，即已知三角形的三条边长分别为，则它的面积为，其中，这个公式称之为海伦公式. 现已知的三条边为，，，请你解答下面问题： (1)根据海伦公式求这个三角形的面积； (2)若为边上的中点，求中线的长度； (3)请根据秦九韶公式，证明海伦公式. 【解析】（1）由题意得：， 由海伦公式得：. （2）在中，因为为边上的中点，由余弦定理知，①② 又因为， 两式相加得：， 因为，所以， 所以，即. （3）证明： ， 设， 所以 . 1．（25-26高一下·全国·期末）已知中，内角，，所对边长分别为，，，且，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由及，得， 而，则，所以的面积. 故选：C 2．（25-26高一上·广东深圳·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【解析】在中，因为，所以由正弦定理得， 由及正弦定理得 ， 即，因为，所以，所以， 又，所以，所以，得，则， 所以由余弦定理可得，所以. 故选：D 3．（25-26高一下·青海海东·期中）已知，，分别为的三个内角，，的对边，，且，则面积的最大值为(     ) A． B．2 C． D． 【答案】A 【解析】由正弦定理，将角化边， 得，整理得. 由余弦定理，得，又，故. 将代入，得. 由基本不等式，得，解得，当且仅当时取等号. 又三角形面积， 因此，，即面积的最大值为. 4．（25-26高一下·四川内江·期中）在中，角、、的对边分别为、、，的面积记为，且，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由， 则， 所以， 在中，有， 故． 5．（25-26高一下·福建福州·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且面积为．若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在△ABC中，，而， 由，得，又，，则， 由正弦定理得，解得，由，得， 所以． 6．（25-26高一下·重庆沙坪坝·期中）已知锐角三角形中角的对边分别为，且，不等式对于任意满足条件的此三角形恒成立，则实数的最大值为（    ） A．不存在 B． C． D． 【答案】B 【解析】， 在中，由正弦定理得 由题意，得 由，解得. ∵在上都是单调递减函数， ∴在上单调递减 故，即实数的最大值为. 7．（25-26高一下·重庆·期中）如图，在中，，为中点，，若，则的最小值是（    ）    A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【解析】已知，，所以，化简得. 由是中点，，所以， 化简得，进而. 因为，所以. 由基本不等式，且，所以，当且仅当， 即，最小值为. 8．（25-26高一下·宁夏·期中）为了测量垂直于地面的两座塔塔尖之间的距离，某数学建模活动小组构建了如图所示的几何模型．若米，米，，，，则塔尖之间的距离为（    ）米． A．80 B．120 C． D． 【答案】C 【解析】由题得到米，米， 所以由余弦定理得到， 即， 所以米. 9．（多选题）（25-26高一下·湖南株洲·期中）若有一个，下面说法正确的是（   ） A．在中，若，则为等腰直角三角形 B．在中，，，，若此三角形恰有两解，则实数的取值范围是 C．在中，三边之比为，则此三角形的最大内角为 D．在中，，且最大边与最小边是方程的两个实根，则的外接圆半径 【答案】BCD 【解析】对于A，因为，， 所以或，所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形，故A错误； 对于B，因为恰有两解， 所以，即，解得，故B正确； 对于C，不妨设三边的长分别为， 则对应的角最大，设为， 则， 所以，即三角形的最大内角为，故C正确； 对于D，设所对的边分别为， 因为最大边与最小边是方程的两个实根，易知两根不相等， 故不是等边三角形. 若为最大角，则， 若为最小角，则，所以角既不是最大角也不是最小角， 即边既不是最大边也不是最小边， 因为最大边与最小边是方程的两个实根， 所以， 由余弦定理得，所以， 所以的外接圆半径，故D正确. 10．（多选题）（25-26高一下·新疆乌鲁木齐·期中）已知的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，O为的外心，，，的面积S满足.若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】对于A，由余弦定理知，， ，， ，即，， ，，， A选项正确； 对于B，， B选项错误； 对于D，为的外心，为中点，则，如图所示， 所以，同理 ， ①， ②， 由①②得，，，，D选项错误； 对于C，，C选项正确. 11．（多选题）（25-26高一下·吉林长春·期中）已知的三个内角，，的对边分别为，，，且满足， ，则下列说法正确的是（    ） A． B．或 C．面积的最大值为 D．周长的取值范围为 【答案】ACD 【解析】因为，且， 则， 由正弦定理得， 所以， 整理得，而， 故，故， 所以，而为三角形内角， 故，所以，故A正确，B错误. 而，则． 由基本不等式（当且仅当时取等号），已知， 故，解得（当且仅当时取等号）． 因此，故C正确 周长，由余弦定理， 故，而，故， 故．因此周长的取值范围为． 12．（多选题）（25-26高一下·江苏盐城·期中）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.下列说法正确的有（    ） A． B．的取值范围为 C．取值范围为 D．若的平分线交于，，，则 【答案】ABD 【解析】选项A：由正弦定理 ，得 ， 代入得： ， 所以， 所以， 由，得 ，故 ， 于是 ，在三角形中，解得 ，即 ，故选项A正确； 选项C：因为△ABC为锐角三角形，所以 ， 解得：，故 ，故选项C错误； 选项B： ， 因为，令 ，则 ， 函数 在该区间单调递增， ，， 所以，故选项B正确； 选项D：因为，且为锐角，得： 由 ，得：， 所以， 因为 AD是的平分线， 由面积关系，得： 所以， 因为，代入得：， 两边同除以：， 由三角恒等式，得： 又因为 ，所以 ，故选项D正确. 13．（25-26高一下·河北唐山·期中）中，，，，D为线段的中点，点E，F分别在线段，上．若为正三角形，则的面积为________． 【答案】/ 【解析】在中，，，， 设，则， 在中，，， 在中，，，则， ， 又，为正三角形， 则，即， ，则， ， 的面积为． 14．（25-26高一下·四川内江·期中）在中，所对的边分别为，已知且，若面积为4，则__________. 【答案】/ 【解析】因为， 所以， 所以， 所以， 由正弦定理可得：，又，所以， 因为面积为4，所以，① 由余弦定理可得：， 所以，② ①②可得：，即， 所以. 15．（25-26高一下·广东广州·期中）在三角形中，为边上的一点，若，，，，则__________. 【答案】2 【解析】在中，，所以. 在中，，所以. 所以 . 因为为边上的一点，所以， 即， 则， 整理得，解得. 16．（25-26高一下·黑龙江大庆·期中）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且. (1)求A； (2)若，的面积为，求b，c； (3)若，求周长的取值范围； 【解析】（1）由余弦定理可得. 已知，即. 代入得，又，故. （2）（2），，由，得， 解得.又，得， 即. 联立，解得，. （3）设周长为，则. ，，由正弦定理得，解得，. ，，. ，； ，则，，即. 周长的取值范围为. 17．（25-26高一下·四川眉山·期中）已知函数（，，）的部分图象如图， (1)求函数的最小正周期T； (2)在中，，D是的中点，，设，,，求的面积． 【解析】（1）． （2）由图可知，，，解得，．∴， ∵，∴．∴， ∵，∴． ∵，即，∴． 设，． ∵，∴， ∵，， ∴分别在和中，由余弦定理得， ∴． 在中，由余弦定理得． ∴，∴（舍），或，即． 所以，的面积为 18．（25-26高一下·重庆·期中）定义：对于非零向量，若函数，则称为向量的“互助函数”，向量为函数的“互助向量”. (1)已知，若函数的“互助向量”为，求的最大值； (2)向量为函数的“互助向量”，的一条边长度等于的最大值，边上的高等于，以的各边为直径向外分别作三个半圆，求这三个半圆围成的平面区域上任意两点间距离的最大值； (3)若函数为向量的“互助函数”，，.判断，，能否作为三边长？若能，给出证明；若不能，请说明理由. 【解析】（1）因为函数， 所以其“互助向量”，所以. 所以 . 当时，取得最大值，为. （2）由题意知，，其中，. 所以，设内角所对的边长分别为， 由三角形的面积公式可得， 即，又，所以，所以. 由余弦定理得，所以. 不妨设边上的中点分别为，在上取一点，在上取一点， 由两点间线段最短可得， 当且仅当四点共线时，等号成立， 所以距离的最大值， 又， 当且仅当时，等号成立， 所以两点间距离的最大值为. （3）能作为三边长. 证明：因为函数为向量的“互助函数”，所以， 令，，， 因为.所以， ； ， 又，所以，即，故； 同理可证得：， 即任意两边之和大于第三边，所以能作为三边长. 19．（25-26高一下·天津南开·期中）在中，角，，所对的边分别为，，．满足． (1)求角的大小： (2)设，． （ⅰ）求的值； （ⅱ）求的值． 【解析】（1）由， 根据正弦定理得，， 可得， 因为，故，则， 又，所以； （2）由（1）知，，且，， （i）则，即， 解得或（舍），故； （ii）由， 得， 解得，则， 则，， 由， 所以 所以. 20．（25-26高一下·天津滨海新区·期中）在中，内角的对边分别为，已知. (1)求角； (2)若的面积为，且. ①求的周长； ②求. 【解析】（1）由正弦定理得，， 由，得， ，，又，所以. （2）①由，得. 由及正弦定理，得，所以， 所以，又，所以. 所以的周长为. ②根据上述分析可知，，， 由正弦定理，因为，所以是锐角， 所以， 可得， 计算可得． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 巧用正、余弦定理解三角形问题 目录 01 题型归纳目录 2 02 知识点梳理 3 知识点1、正弦定理 3 知识点2、余弦定理 3 知识点3、三角形中的常见结论 3 知识点4、用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 3 知识点5、实际问题中的常用角 4 03 重难点题型 5 题型一：正、余弦定理的基础应用 5 题型二：判定三角形形状 5 题型三：三角形解的个数分析 6 题型四：三角形周长与面积计算 6 题型五：解三角形实际应用 7 题型六：正余弦定理与三角函数综合 9 题型七：新定义问题 10 题型八：跨知识点综合题型 12 04 过关检测 15 知识点1、正弦定理 （其中为外接圆的半径）． 常用变形： （1）； （2）； （3）； （4），，． 知识点2、余弦定理 ，，， ，， 知识点3、三角形中的常见结论 （1）． （2） 在三角形中大边对大角， 大角对大边：． （3）任意两边之和大于第三边， 任意两边之差小于第三边． （4）的面积公式 ①（ 表示边上的高）； ②； ③（为内切圆半径）； ④，其中． 知识点4、用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等． 知识点5、实际问题中的常用角 （1）仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫仰角，目标视线在水平视线下方的角叫俯角（如图①）． （2）方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等． （3）方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）． （4）坡度＝，即坡角的正切值． 题型一：正、余弦定理的基础应用 例1．（25-26高一下·山东济宁·期中）在中，，是角，所对的边，，，，则边的值为（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一下·陕西榆林·期中）在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一下·湖南株洲·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式1．（25-26高一下·天津蓟州·期中）在△ABC中，满足，则（　　） A． B．或 C． D．或 变式2．（25-26高一下·吉林长春·期中）在中，，，，则（    ） A．3 B． C． D．6 题型二：判定三角形形状 例4．（25-26高一上·上海杨浦·期末）已知的三个内角A，B，C满足，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 例5．（24-25高一下·河南安阳·期末）在中，，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 例6．（24-25高一下·河北承德·期末）在中，已知，则一定是（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．锐角三角形 变式3．（25-26高一下·上海浦东新·期中）在中，角的对边分别为，已知，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 题型三：三角形解的个数分析 例7．（25-26高一下·陕西咸阳·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，的有两解，则b的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例8．（25-26高一下·重庆·期中）的内角，，的对边分别为，，，，，若有两解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例9．（25-26高一下·上海宝山·期中）下列条件判断三角形解的情况，正确的是（   ） A．，有两解 B．，有一解 C．，无解 D．，有一解 变式4．（25-26高一下·浙江杭州·期中）在中，角所对的边长分别为．若，则这样的三角形解的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．不确定 变式5．（25-26高一下·江苏镇江·期中）在中，内角，若满足条件的三角形有且仅有两个，则边长的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型四：三角形周长与面积计算 例10．（2026·山东菏泽·二模）在中，它的内角，，的对边分别为，，，且，. (1)若，求； (2)若，求的面积. 例11．（25-26高一下·吉林长春·期中）记的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，的面积为，求的周长． 例12．（25-26高一下·重庆沙坪坝·期中）在三角形中，角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若，三角形的面积为，求三角形的周长. 变式6．（25-26高一下·北京顺义·期中）在中，． (1)求； (2)若，求边． 变式7．（25-26高一下·新疆乌鲁木齐·期中）已知分别为三个内角的对边，满足 (1)求； (2)若的周长为，面积为，求． 题型五：解三角形实际应用 例13．（25-26高一下·湖南益阳·期中）海面上有一座小岛，一艘小船在观测点测得小岛在北偏西方向．小船从出发，沿北偏东方向匀速航行海里到达处，此时发现小岛正好在小船正西方向，则此时小船与小岛距离_________海里． 例14．（25-26高一下·江苏淮安·期中）如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内且相距20米的两个测量基点与．现测量得，在点处测得塔顶的仰角分别为，若河宽至少12米，则塔高______米．    例15．（25-26高一下·天津武清·期中）某船行驶到甲地看1号灯塔时，在甲地的北偏东75°方向上，两地相距海里；在甲地看2号灯塔时，在甲地的南偏西60°方向上，两地相距4海里．该船由甲地向正南航行到乙地时，再看1号灯塔，则1号灯塔在乙地的北偏东30°方向上，则2号灯塔与乙地之间的距离是________海里． 变式8．（25-26高一下·陕西榆林·期中）如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得米，，则塔高__________米（结果保留整数）.（参考数据） 变式9．（25-26高一下·内蒙古赤峰·期中）《中国建筑史》（梁思成著）载：“大雄殿之左侧白塔凌空，高十三级，甚峻拔”.该塔位于莲溪县赤城镇白塔街，坐西向东，为四方形楼格式砖石塔，塔身白色，共十三层，自宋代始建以来至今已余年，充分体现了中国传统建筑技术水平.某数学兴趣小组为了测得塔高，如下图，在点测得塔底位于北偏东方向上的点处，塔顶的仰角为，在的正东方向且距点的点测得塔底位于北偏西方向上（，，在同一水平面），则塔的高度约为____________（结果精确到整数，参考数据：） 题型六：正余弦定理与三角函数综合 例16．（24-25高一下·广东广州·期中）已知函数.在中，，且. (1)求的大小： (2)若，，求的面积. 例17．（23-24高一下·北京顺义·期末）已知函数．在中，，且． (1)求的大小； (2)若，，求的面积． 例18．（25-26高一下·广东广州·期中）已知函数，且恒成立. (1)求的解析式； (2)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，的面积为，求的周长. 变式10．（25-26高一下·江苏扬州·期中）已知向量，设函数. (1)求函数的周期及单调递增区间； (2)在中，内角的对边分别为，且，求的面积. 变式11．（25-26高一下·四川遂宁·期中）已知向量，．设． (1)求的单调递减区间; (2)在中，角所对的边分别为．若，，的面积为，且，求的值． 题型七：新定义问题 例19．（25-26高一下·上海普陀·期中）如图，已知，设，是平面内相交成角的两条射线，，分别为与，同向的单位向量，称为“-仿射坐标系”.在-仿射坐标系中，若，记. (1)在-仿射坐标系中，若，求； (2)在-仿射坐标系中，若，，且，的夹角为，求； (3)在-仿射坐标系中，，分别在射线，上，且.若，，分别为，的中点，求的最大值. 例20．（25-26高一下·广东江门·期中）已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的互生向量，同时称函数为向量的互生函数． (1)若函数，试求的互生向量； (2)若向量的互生函数为，求函数在上的增区间； (3)若向量的互生函数为，在中，，，若点G为该的外心，求的值． 例21．（25-26高一下·江西萍乡·期中）在平面直角坐标系中，已知为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”. (1)设函数，写出的“相伴向量”； (2)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，记向量的相伴函数，若且，求的最大值； (3)已知，将（2）中的函数图象上所有的点向左平移个单位长度，再把横坐标伸长为原来的倍，纵坐标伸长为原来的倍，得到函数的图象，试问的图象上是否存在一点，使得?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 参考公式： ． 变式12．（25-26高一下·陕西西安·期中）定义非零向量的“相伴函数”为.向量称为函数的“相伴向量”（其中为坐标原点）. (1)设，写出函数的相伴向量； (2)已知的内角，，的对边分别为，，，记向量的相伴函数为.若，，且角的平分线，求边上的高及边上的中线长； (3)已知，，为（2）中的函数，，请问在的图象上是否存在一点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由. 变式13．（25-26高一下·湖南益阳·期中）在平面几何中，三角形的“莱莫恩点”是一个具有优美性质的特殊点，其定义如下：记的内角，，所对的边分别为，，，内一点到三边，，的距离，，满足，称点为的“莱莫恩点”． (1)若在中，，，，求常数的值； (2)在（1）的条件下，若，求，的值； (3)若，且满足，试判断的形状，并说明理由． 题型八：跨知识点综合题型 例22．（25-26高一下·上海奉贤·期中）如图所示，在中，在线段上，满足，是线段的中点，过点的直线与线段，分别交于点，，设，． (1)当时，请用与表示； (2)求证：为定值； (3)设的面积为，的面积为，求的最小值． 例23．（25-26高一下·上海普陀·期末）在△ABC中，三内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足. (1)证明：△ABC为直角三角形； (2)若，，的平分线交BC于D，求线段AD的长； (3)当，时，设表示成的形式，求的最值. 例24．（24-25高一下·吉林长春·期中）在中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，． (1)求A； (2)若，，D为线段BC内一点，且，求线段AD的长； (3)法国著名科学家柯西在数学领域有非常高的造诣；很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如对于任意的，都有被称为柯西不等式；若，求：的最小值． 变式14．（25-26高一下·福建厦门·期中）阅读下面的两个材料： 材料一：我国南宋的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”：若把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，记小斜为，中斜为，大斜为，则三角形的面积为.这个公式称之为秦九韶公式； 材料二：希腊数学家海伦在其所著的《度量论》（或称《测地术》）中给出了用三角形的三条边长表示三角形的面积的公式，即已知三角形的三条边长分别为，则它的面积为，其中，这个公式称之为海伦公式. 现已知的三条边为，，，请你解答下面问题： (1)根据海伦公式求这个三角形的面积； (2)若为边上的中点，求中线的长度； (3)请根据秦九韶公式，证明海伦公式. 1．（25-26高一下·全国·期末）已知中，内角，，所对边长分别为，，，且，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·广东深圳·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的值为（    ） A．2 B．3 C． D． 3．（25-26高一下·青海海东·期中）已知，，分别为的三个内角，，的对边，，且，则面积的最大值为(     ) A． B．2 C． D． 4．（25-26高一下·四川内江·期中）在中，角、、的对边分别为、、，的面积记为，且，则=（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·福建福州·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且面积为．若，且，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·重庆沙坪坝·期中）已知锐角三角形中角的对边分别为，且，不等式对于任意满足条件的此三角形恒成立，则实数的最大值为（    ） A．不存在 B． C． D． 7．（25-26高一下·重庆·期中）如图，在中，，为中点，，若，则的最小值是（    ）    A．4 B．2 C． D． 8．（25-26高一下·宁夏·期中）为了测量垂直于地面的两座塔塔尖之间的距离，某数学建模活动小组构建了如图所示的几何模型．若米，米，，，，则塔尖之间的距离为（    ）米． A．80 B．120 C． D． 9．（多选题）（25-26高一下·湖南株洲·期中）若有一个，下面说法正确的是（   ） A．在中，若，则为等腰直角三角形 B．在中，，，，若此三角形恰有两解，则实数的取值范围是 C．在中，三边之比为，则此三角形的最大内角为 D．在中，，且最大边与最小边是方程的两个实根，则的外接圆半径 10．（多选题）（25-26高一下·新疆乌鲁木齐·期中）已知的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，O为的外心，，，的面积S满足.若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 11．（多选题）（25-26高一下·吉林长春·期中）已知的三个内角，，的对边分别为，，，且满足， ，则下列说法正确的是（    ） A． B．或 C．面积的最大值为 D．周长的取值范围为 12．（多选题）（25-26高一下·江苏盐城·期中）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.下列说法正确的有（    ） A． B．的取值范围为 C．取值范围为 D．若的平分线交于，，，则 13．（25-26高一下·河北唐山·期中）中，，，，D为线段的中点，点E，F分别在线段，上．若为正三角形，则的面积为________． 14．（25-26高一下·四川内江·期中）在中，所对的边分别为，已知且，若面积为4，则__________. 15．（25-26高一下·广东广州·期中）在三角形中，为边上的一点，若，，，，则__________. 16．（25-26高一下·黑龙江大庆·期中）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且. (1)求A； (2)若，的面积为，求b，c； (3)若，求周长的取值范围； 17．（25-26高一下·四川眉山·期中）已知函数（，，）的部分图象如图， (1)求函数的最小正周期T； (2)在中，，D是的中点，，设，,，求的面积． 18．（25-26高一下·重庆·期中）定义：对于非零向量，若函数，则称为向量的“互助函数”，向量为函数的“互助向量”. (1)已知，若函数的“互助向量”为，求的最大值； (2)向量为函数的“互助向量”，的一条边长度等于的最大值，边上的高等于，以的各边为直径向外分别作三个半圆，求这三个半圆围成的平面区域上任意两点间距离的最大值； (3)若函数为向量的“互助函数”，，.判断，，能否作为三边长？若能，给出证明；若不能，请说明理由. 19．（25-26高一下·天津南开·期中）在中，角，，所对的边分别为，，．满足． (1)求角的大小： (2)设，． （ⅰ）求的值； （ⅱ）求的值． 20．（25-26高一下·天津滨海新区·期中）在中，内角的对边分别为，已知. (1)求角； (2)若的面积为，且. ①求的周长； ②求. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $