第14讲 反比例函数的图象和性质（暑假预习举一反三讲义）新九年级数学上册新教材人教版

第14讲 反比例函数的图象和性质（暑假预习讲义） 【新教材人教版】 【知识框架+3个知识归纳+12个题型+课后作业】 模块二 反比例函数的图象与性质 已知某面粉厂加工出了4吨面粉，厂方决定把这些面粉全部运往B市．则所需要的时间t(天)和每天运出的面粉总重量m(吨)之间有怎样的函数关系？你能在平面直角坐标系中画出这个图形吗？ 【知识点1 反比例函数的图象与性质】 1.描点法做图 步骤 解读 图示 ①列表 自变量通常取原点附近的相反数，如±1，±2，±3等，然后求出对应的y值 ②描点 以表中的各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点 ③连线 用光滑的曲线顺次连接各点并延伸，逐渐靠近坐标轴，但永不与坐标轴相交 2.反比例函数的性质 反比例函数 x，y的取值范围 0，0（与坐标轴无交点） k的符号 k＞0 k＜0 图象 函数图象由两支曲线组成，称为双曲线 图象对称性 函数图象的两支曲线关于原点成中心对称 图象的位置 两支曲线分别位于第一、三象限 两支曲线分别位于第二、四象限 函数变化趋势 在每一象限内，y的值随x值的增大而减小 在每一象限内，y的值随x值的增大而增大 【知识点2 k的几何意义】 1. 过图象上任意一点向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形的面积等于. 连接图象上任意一点与原点，并从该点向x轴，y轴作垂线，可得两个直角三角形， 这两个直角三角形的面积都等于 . 2. 若过反比例函数图象上的点向两坐标轴作垂线，已知两条垂线与两坐标轴围成图形的面积，则可得到的值，进而确定函数表达式. 【题型1 判断（画）反比例函数的图象】 【例1】如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的一支曲线是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质．根据图中的点的坐标结合反比例函数的解析式即可判断． 【详解】解：反比例函数经过点，则由图知，第④个符合题意， 故选：D． 【变式1-1】反比例函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数图象与性质，根据知反比例函数图象的两支分布在第一、三象限，故可得答案． 【详解】解：∵中， ∴反比例函数图象的两支分布在第一、三象限， 所以，选项C符合题意， 故选：C． 【变式1-2】定义新运算例如：．则函数的图象大致是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查新定义和反比例函数的图象，正确理解题意并结合反比例函数图象与系数的关系是解题关键． 按照题干给的新定义运算法则，对x的符号进行分类讨论，判断每种情况下，反比例函数的图象所在象限即可． 【详解】解：当时，，其图象在第一象限； 当时，，其图象在第二象限． 故选：B． 【变式1-3】已知反比例函数的图象经过点． (1)求的值； (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象； (3)根据图象，当时，直接写出的取值范围为_______． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法把代入反比例函数即可得到m的值； （2）根据反比例函数解析式，计算出反比例函数所经过的点，再画出图象即可； （3）根据函数的图象即可求得． 【详解】（1）解：把点代入，得 ， 解得； （2）解：由（1）反比例函数的解析式为， 列表如下， x … 1 2 4 … y … 1 2 4 … 描点，连线，该函数的图象如下， （3）解：由图象可知，当时，则或． 【题型2 已知反比例函数的图象判断解析式】 【例2】如图，某反比例函数的图像过点，则此反比例函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设反比例函数的一般形式，再将已知点的坐标代入求出系数，从而确定函数表达式． 【详解】解：设反比例函数的表达式为， 反比例函数图像过点， ， 反比例函数的表达式为． 【变式2-1】如图为反比例函数的图象，则k的值可以为______．（写出符合图象特征的一个值即可） 【答案】9（答案不唯一） 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，根据当时，k值越大，图象越远离坐标轴求解即可． 【详解】解：根据图象，， 故k的值可以为9， 故答案为：9（答案不唯一）． 【变式2-2】如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A． B．1 C．2 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质.由题意可得：k的取值应该满足，进而可得答案. 【详解】解：由题意可得：k的取值应该满足：，即， 所以k的值可能是6； 故选：D. 【变式2-3】如图，点在反比例函数上，点在反比例函数和的图象之间，轴，写出一个符合条件的点的坐标为______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查反比例函数图象及性质，点坐标特点等．根据题意利用反比例函数点坐标分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵轴， ∴点的横坐标等于点的横坐标等于，点的纵坐标大于点的纵坐标， ∵点在反比例函数和的图象之间，点在反比例函数上， ∴点的纵坐标小于时，的值，即点的纵坐标小于， ∴符合条件的点的横坐标为2，纵坐标大于1小于即可， 故答案为：（答案不唯一）． 【题型3 反比例函数图象的对称性】 【例3】如图，若直线与双曲线的一个交点坐标为，则其另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据反比例函数及一次函数图象的对称性即可解决问题． 【详解】解：由题意知， ∵反比例函数与一次函数的图象都关于坐标原点成中心对称， ∴两个函数图象的交点关于坐标原点成中心对称， ∵直线与双曲线的一个交点坐标为， ∴另一个交点的坐标为， 故选：D． 【变式3-1】若双曲线（）的图象经过点和，若，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数上点的坐标特征，反比例函数的性质，首先由得到和互为相反数，然后判断出点和关于原点对称，进而得到和3互为相反数，进而求解即可． 【详解】解：∵双曲线（）的图象经过点和， ∵， ∴和互为相反数， ∵反比例函数的图象关于原点对称， ∴点和关于原点对称， ∴和3互为相反数， ∴． 故答案为：． 【变式3-2】如图，点A、C是反比例函数图象上的点，且关于原点对称．过点A作轴于点B，若的面积为7，则反比例函数的表达式为__________． 【答案】 【分析】设反比例函数的表达式为，点的坐标为，即可表示出点和点的坐标，那么的面积就可以表示为，即可求解． 【详解】解：设反比例函数的表达式为，点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为， ∴的面积可以表示为， ∵的面积为7，即， 解得， ∴反比例函数的表达式为， 故答案为：． 【变式3-3】如图，在平面直角坐标系中，双曲线经过点，．直线，分别交该双曲线另一支于点C，D，顺次连接，，，．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】将点A代入中求出k，再将点B代入中，求出点B坐标，求出，的长，根据对称性得到，即可证明结论． 【详解】解：将代入中，得： ， ∴，将代入中， ∴，即， ∴，， ∴， 由反比例函数对称性可得：，， 即， ∴四边形是矩形． 【题型4 判断反比例函数的增减性】 【例4】反比例函数的图象如图所示，随着值的增大，值（   ）． A．减小 B．增大 C．不变 D．先增大后减小 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的性质．对于反比例函数，当时，在每一个象限内，函数值随着自变量的增大而减小；当时，在每一个象限内，函数值随着自变量的增大而增大． 根据反比例函数的性质：当时，在每一个象限内，函数值随着自变量的增大而减小即可解答． 【详解】解：由图可知，图象在第三象限， ∴， ∴函数值随着自变量的增大而减小． 故选：A． 【变式4-1】已知点在反比例函数的图像上，那么在每个象限内，该函数的值y随x的值增大而________．（填“增大”或“减小”） 【答案】增大 【分析】根据点在反比例函数图象上确定的符号，再结合反比例函数的性质判断随的变化规律． 【详解】解：点在反比例函数的图像上， ， ， ， ， 根据反比例函数的性质，当时，在每个象限内，随的增大而增大． 【变式4-2】若反比例函数 的图像经过点，则当时，y随x的增大而________（填“增大”或“减小”）． 【答案】增大 【分析】先利用待定系数法求出反比例函数的比例系数，再根据反比例函数的性质判断时随的变化趋势即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数的图像经过点， ∴， 解得， ∴反比例函数的图象经过第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大． ∴当时，随的增大而增大． 【变式4-3】已知，，为反比例函数图象上的两个不同的点，且，则的值是（   ） A．0 B．正数 C．负数 D．非负数 【答案】B 【分析】先判断反比例函数图象的增减性，再根据，可得与同号，分两种情况讨论：，或，，根据函数的增减性判断即可． 【详解】解：对于反比例函数，， 反比例函数的图象位于二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大， ， 与同号，即，或，， 若，，假设，则有， ，， ； 若，，假设，则有， ，， ； 综上，的值恒为正数． 【题型5 已知反比例函数的增减性求参数】 【例5】在反比例函数的图象上有两点，，当时，有，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据当时，有则判断函数图象所在象限，再根据所在象限判断的取值范围． 【详解】解：由条件可知反比例函数图象在第二，四象限， ， 解得：． 【变式5-1】在反比例函数中，都随的增大而减小，则的取值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用反比例函数的性质，先求出的取值范围，再判断各选项即可得到答案． 【详解】∵反比例函数中，随的增大而减小 ∴根据反比例函数性质，可得比例系数 解得 对选项逐一判断： A. ，不符合要求， B. ，不符合要求， C. 时，，原式不是反比例函数，不符合要求， D .，符合要求． 【变式5-2】函数的图像在每个象限内的值随的增大而增大，那么的取值范围是_____． 【答案】 【分析】对于反比例函数（，为常数），当时，函数的图像在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小；当时，函数的图像在第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大．据此列出关于的不等式求解即可． 【详解】解：∵函数的图像在每个象限内的值随的增大而增大， ∴， 解得：． 【变式5-3】已知点，在反比例函数的图象上，如果，那么的值为_____（写出一个符合条件的的值即可）． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数的性质，由点A和点B的横坐标大小关系及，可知函数图象在每个象限内y随x的增大而减小，故． 【详解】解：∵点，在反比例函数的图象上，且，， ∴在同一象限内，y随x的增大而减小， ∴， ∴k可取任意正数，如． 故答案为：1（答案不唯一）． 【题型6 判断反比例函数所在象限】 【例6】已知反比例函数的图象经过点，则其图象在______象限． 【答案】二、四 【分析】本题考查了反比例函数的性质，，当时，图象在一、三象限，当时，图象在二、四象限，正确掌握该性质是解题的关键．用待定系数法求出k的值，根据反比例函数的性质判断其图象所在的象限即可． 【详解】解：将点代入得，解得：， 因为，所以的图象在二、四象限． 故答案为：二、四． 【变式6-1】设为反比例函数图象上的两点，若时，，则点在第__________象限． 【答案】四 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，先根据反比例函数的比例系数判断图象所在的象限及每个象限内的增减性，再结合已知条件分析点A、B的位置关系，进而确定点B所在象限． 【详解】解：∵反比例函数的解析式为，且， ∴反比例函数的图象分布在第二四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大， 当点A和点B都在第二象限时，若，则，这与时，矛盾； 当点A和点B都在第四象限时，若，则，这与时，矛盾； 当点A在第二象限，点B在第四象限时，满足，且满足； 综上所述，点B在第四象限， 故答案为：四． 【变式6-2】对于反比例函数，下列说法错误的是（　　） A．图象位于第二、四象限 B．图象经过点 C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象位于第二、第四象限，且在每一象限内，随的增大而增大，故选项正确，选项错误； ∵， ∴图象经过点，故选项正确． 【变式6-3】已知是反比例函数，则函数的图像在第_______象限． 【答案】二、四 【分析】本题考查了反比例函数的图像分布，熟练判定反比例函数系数的正负性是解题的关键． 先根据反比例函数定义，列方程且，求出，得到函数，再由，得出图像在第二、四象限． 【详解】因为是反比例函数， 所以． 解得． 又因为，满足条件． 所以反比例函数的表达式为， 因为，当时，函数的图像在第二、四象限． 综上，函数的图像在第二、四象限． 故答案为：二、四． 【题型7 已知双曲线分布的象限求参数范围】 【例7】已知反比例函数的图象分布在第二、第四象限，则k的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的图像与性质，反比例函数图像分布在第二、四象限时，比例系数小于0，据此列出一元一次不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：反比例函数的图象分布在第二、四象限， ， 移项得， 系数化为得． 【变式7-1】在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过第一、三象限，则m的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质：当时，图象分别分布在第一、三象限；当时，图象分别分布在第二、四象限． 根据反比例函数的性质列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过第一、三象限， ∴， ∴． 故答案为： 【变式7-2】反比例函数，在同一坐标系中的图象如图所示，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数图像与性质，熟记反比例函数图像与性质，利用数形结合的思想是解决问题的关键． 由图象推出，再取时，推出的大小，即可解题． 【详解】解：由图知，在第四象限，在第三象限， ， 如图，当时，， ； 故选：B． 【变式7-3】在平面直角坐标系中，点，，分别在三个不同的象限．若反比例函数的图象经过其中两点，则m的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，推出点在第三象限是解题的关键． 根据已知条件得到点在第二象限，求得点一定在第三象限，由于反比例函数的图象经过其中两点，于是得到反比例函数的图象经过，，于是得到结论． 【详解】解：在第二象限，在第一象限，且点、、在三个不同象限， 又点的横坐标为， 在第三象限， 反比例函数的图象经过其中两点， ，两点在该反比例函数图象上， ， 解得． 故选：C． 【题型8 比较反比例函数值/自变量的大小】 【例8】已知点分别为函数的图象上的三个点．则的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据的符号判断函数图象所在象限和增减性，再结合各点横坐标判断点所在象限，进而比较值大小． 【详解】解：∵反比例函数 中，， ∴函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大， ∵ ， ∴点，都在第二象限， ∴． ∵， ∴点在第四象限， ∴． 综上可得，． 【变式8-1】已知点，都在反比例函数的图象上，则_____________（填“>”或“<”）． 【答案】> 【分析】先判断反比例函数比例系数的符号，确定函数图象所在象限，再根据两个点横坐标的符号判断纵坐标的正负，进而比较和的大小. 【详解】解：对于任意实数，都有， ， 反比例函数的图象位于第一，三象限， 点的横坐标， 点在第一象限，可得， 点的横坐标， 点在第三象限，可得， ， 即. 【变式8-2】若点，，都在反比例函数（为任意实数）的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断反比例函数比例系数的符号，确定函数图象所在象限和增减性，再根据三点纵坐标的大小比较横坐标的大小关系即可． 【详解】解：∵对于任意实数均有， ∴， ∴反比例函数的图象分别位于一，三象限，且在每一象限内，随的增大而减小， ∵， ∴点在第三象限，点，在第一象限， ∴，，， 又∵在第一象限内随的增大而减小，且， ∴， ∴． 【变式8-3】若点都在反比例函数为常数，且）的图像上，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征．将点代入反比例函数解析式求出m、n与k的关系，再根据比较大小即可． 【详解】解：∵点,,都在反比例函数的图像上， ∴将点代入解析式得：， ∴， ∵将点代入解析式得：， ∴， ∵， ∴，即． 故选：B． 【题型9 根据函数值的大小求参数范围】 【例9】若点，都在反比例函数（k是常数）的图象上，且，则a的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断出分子始终为负数，再根据k＜0，在同一象限时反比例函数y随x增大而增大得知，A、B两点在不同象限，即A在第二象限，B在第四象限，从而得出a的范围． 【详解】∵， ∴， ∴该反比例函数图象在第二和第四象限中均有随着的增加而递增， 又∵，， ∴A、B分别在不同的两个象限，即A在第二象限，B在第四象限， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象的增减性．解题的关键在于明确函数图象所在的象限及变化． 【变式9-1】已知A（-1，），B（2，）两点在双曲线上，且，则m的取 值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵A（，），B（2，）两点在双曲线上， ∴． ∵， ∴，解得． 故选D． 【变式9-2】点在反比例函数的图像上.若，则的范围是_________________. 【答案】-1＜a＜1 【分析】反比例函数中k＞0，则同一象限内y随x的增大而减小，由于y1＜y2，而a-1必小于a+1，则说明两点应该在不同的象限，得到a-1＜0＜a+1，从而得到a的取值范围． 【详解】解：∵在反比例函数y=中，k＞0， ∴在同一象限内y随x的增大而减小， ∵a-1＜a+1，y1＜y2 ∴这两个点不会在同一象限， ∴a-1＜0＜a+1，解得-1＜a＜1 故答案为：-1＜a＜1． 【变式9-3】反比例函数的图象经过，两点，其中且，则的范围是______. 【答案】k＞-1 【分析】由中x1＜x2＜0，且y1＞y2，得出在同一象限内y随x的增大而减小解答即可． 【详解】∵反比例函数y=的图象经过A（x1，y1），B（x2，y2）两点，其中x1＜x2＜0，且y1＞y2， ∴在同一象限内y随x的增大而减小， ∴k+1＞0，即k＞-1． 故答案为k＞-1． 【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 【题型10 反比例函数与不等式】 【例10】一次函数与反比例函数 的图象交于点，，当一次函数值大于反比例函数值时，x的取值范围是 （    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】画出一次函数和反比例函数的图象，根据图象解答即可． 【详解】解：如图所示： 由图象可知，当时，一次函数值大于反比例函数值． 【变式10-1】如图，反比例函数的图象经过点，若，则的范围为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查由函数图象解不等式，理解若时，求的范围指直线上方的反比例函数图象对应的的范围，即可得到答案，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：过点作轴的平行线，如图所示： 若时，求的范围指直线上方的反比例函数图象对应的的范围，则为， 故选：C． 【变式10-2】如图反比例函数的图象经过点，若，则x的范围是（  ）    A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】找到纵坐标为1的以及小于1的函数图象所对应的自变量的取值即可． 本题考查的是给定函数的取值范围确定自变量的取值，可直接由函数图象得出． 【详解】解：在第一象限纵坐标为1的以及小于1的函数图象所对应的自变量的取值为； 在第三象限纵坐标为1的以及小于1的函数图象所对应的自变量的取值为． 故选：C． 【变式10-3】反比例函数与一次函数的图像交于两点的横坐标分别是，则关于的不等式的解集的范围是______． 【答案】或． 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求关于x的不等式的解集可转化为一次函数的图象在反比例函数图象的下方所对应的自变量x取值范围问题，即可得解，熟练掌握反比例函数与一次函数的性质是解决此题的关键． 【详解】解：由题意画图如下， 观察图象可知，当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方， ∴关于x的不等式的解集为：或， 故答案为：或． 【题型11 反比例函数中k的几何意义】 【例11】如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C，点D为x轴负半轴上的一点，连接，则的面积为______． 【答案】 【分析】连接，可得，再根据反比例函数比例系数的几何意义，可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵轴， ∴轴， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上，点C在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 【变式11-1】反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，过点作轴于点，交的图象于点，轴于点，交的图象于点．当点的横坐标逐渐变大时，则四边形的面积（   ） A．先变大再变小 B．先变小再变大 C．不变 D．无法确定 【答案】C 【分析】此题主要考查了反比例函数中k的几何意义．根据反比例函数的图象和性质，特别是根据反比例函数k的几何意义，求得与的面积相等且都等于1，即可得出正确答案． 【详解】解：由于点C和点D均在同一个反比例函数的图象上， ∴， ∵点在的图象上， ∴矩形的面积是k， ∴四边形的面积，故为定值，不变， 故选：C． 【变式11-2】如图所示，平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，轴，分别交和的图象于C，B两点．若的面积是5，则k的值为（   ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】连接、，因为轴，可以得出，结合反比例函数的几何意义即，可求出的值． 【详解】解：如图所示：连接、， 轴， ， 的面积是5，， ， ， 又 图像在第二象限， ． 【变式11-3】如图，平面直角坐标系中，直线与双曲线在第二象限交于点，与轴交于点，点是双曲线上的点，线段轴，点在点下方． (1)求，的值； (2)若的面积为，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查一次函数和反比例函数图象的交点问题，根据围成图形面积求比例系数问题， （1）将代入，求出，即，再代入即可求出b； （2）求出，，结合，根据列方程解答即可． 【详解】（1）解：根据题意将代入，得，解得， ∴， 将代入得，解得； （2）解：∵， ∴ ， ∵线段轴，点在点下方， ∴当时，，即， ∴， ∴， ∴即， 解得． 【题型12 反比例函数与一次函数的交点问题】 【例12】在同一直角坐标系中，函数和的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据一次函数的图象排除B、C，再根据一次函数与反比例函数图象分析A、D即可． 【详解】解：∵， ∴一次函数的图象与y轴交于正半轴，B、C错误； A．由一次函数的图象可知，即，反比例函数图象应经过一、三象限，符合选项图象； D．由一次函数的图象可知，即，反比例函数图象应经过二、四象限，不符合选项图象． 【变式12-1】如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将点坐标代入到两个解析式，可以得到和，将其代入式子即可解决． 【详解】解：函数与的图象交于点， ，， ， ． 【变式12-2】如图，正方形位于第一象限，边长为3，横坐标为1的点在直线上，正方形的边分别平行于轴、轴．若双曲线与正方形公共点，则的最大值是 ________ 【答案】16 【分析】根据题意，根据正方形的性质求出点C的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：∵正方形的边长为3，横坐标为1的点在直线上， ∴，点C的坐标为， 当双曲线 经过点A时，， 当双曲线经过点C时，， ∴双曲线与正方形公共点，则k的取值范围是， ∴的最大值是； 故答案为16． 【变式12-3】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)若点是轴负半轴上一点，过点作轴交反比例函数的图象于点，连接，．当时，求点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为 (2)P点的坐标 【分析】（1）将代入中，得，将代入，解得：，即可求解； （2），当时，，得出，根据，列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：将代入中，得， 反比例函数的表达式为， 将代入，解得：， 一次函数的表达式为． （2） 中，当时，， ， ，且 ， ， 点的坐标． 模块三 课后作业 1．对于反比例函数，下列说法错误的是（　　） A．图象位于第二、四象限 B．图象经过点 C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象位于第二、第四象限，且在每一象限内，随的增大而增大，故选项正确，选项错误； ∵， ∴图象经过点，故选项正确． 2．函数的图象大致是（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象，函数图象平移规律，熟练掌握反比例函数的图象是解题关键． 根据反比例函数的判断函数的图象经过的象限和增减性，再根据图象平移规律判断即可求解． 【详解】解： ， 函数图象经过第二、四象限，且随的增大而增大， 函数的图象为函数的图象向上平移个单位长度． 故选：C． 3．已知一条过原点的直线与双曲线的一个交点为，则它们的另一个交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据过原点的直线与反比例函数构成的是中心对称图形，利用关于原点对称的点的特点横坐标相反，纵坐标也相反，解答即可． 本题考查了图象是中心对称图形，熟练掌握关于原点对称的点的特点横坐标相反，纵坐标也相反是解题的关键． 【详解】解：根据过原点的直线与反比例函数构成的是中心对称图形，且一个交点为， 则另一个交点为， 故选：C． 4．若反比例函数的图象在第二、第四象限内，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．任意实数 【答案】B 【分析】当反比例函数图象分布在第二、第四象限时，其比例系数小于0，据此列出不等式求解即可得到k的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、第四象限内， ∴，解得． 5．已知点，均在反比例函数（为常数）的图象上，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将点的横坐标代入反比例函数得到对应函数值，再根据已知的函数值大小关系列不等式，即可求解的取值范围． 【详解】解：∵ 点，在反比例函数的图象上， ∴ ，， ∵ ， ∴ ， 解得． 6．如图，点，分别在反比例函数和位于第一象限的图象上．分别过点，向轴作垂线，若阴影部分的面积为2，则的值为（   ） A． B．5 C．7 D．4 【答案】C 【分析】阴影部分的面积刚好等于以为斜边的大三角形的面积减去以为斜边的小三角形的面积，即可得． 【详解】解：如图， ∵点分别在反比例函数和位于第一象限的图象上， ∴，， 又阴影部分的面积为2， ∴, 解得：． 7．如图：直线与轴交于点，与双曲线交于点，过点作轴于点，且，则的值为（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】D 【分析】由轴于点，点且，点P在第二象限可得出点P的纵坐标为2，根据点P在直线上可进一步得出，再根据点在反比例函数的解析上，进而可求出k的值． 【详解】解：∵轴于点，且，点P在第二象限， ∴点P的纵坐标为2， ∵点P在直线上， ∴， 解得：， ∴， 把代入， 得：． 8．已知反比例函数的图象分别位于第二、第四象限，则实数k的值可以是______．（只需写出一个符合条件的实数） 【答案】-5（答案不唯一） 【分析】根据反比例函数的图象分别位于第二、四象限可知k＜0，进而问题可求解． 【详解】解：由反比例函数的图象分别位于第二、第四象限可知k＜0， ∴实数k的值可以是-5； 故答案为-5（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数的图象是解题的关键． 9．已知点在反比例函数的图象上，其中为常数，且，则点一定在第______象限．（填“一”，“二”，“三”或“四”） 【答案】一 【分析】本题考查了反比例函数的性质，判断点所在的象限，根据反比例函数中的，可知反比例函数经过第一、三象限，再根据点M点的横坐标判断点M所在的象限，即可解答 【详解】解：， 反比例函数的图象经过第一、三象限， 故点M可能在第一象限或者第三象限， 的横坐标大于0， 一定在第一象限， 故答案为：一． 10．如图是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条曲线于两点，若，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义，用反比例函数比例系数k的代数式分别表示的面积，利用求解即可． 【详解】解：如图设与y轴交于点C， 由反比例函数比例系数k的几何意义可知，，， ∵， ∴， ∴，即 故答案为：． 11．已知，点在反比例函数的图象上，点A在反比例函数的图象上，点，若，且，则____． 【答案】12 【分析】分别过点作过点平行于轴的直线的垂线，垂足分别为点，点，证明，得到，进而得到点的坐标为，再求出，即可得出结果． 【详解】解：分别过点作过点平行于轴的直线的垂线，垂足分别为点，点， 则，轴，轴， ∵ ， ∴，点的横坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点的纵坐标为，即， ∵轴， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为，即点的坐标为， ∵点在反比例函数的图象上，点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴． 12．如图所示是反比例函数的图象的一支．根据图象回答下列问题： (1)图象的另一支在哪个象限？常数的取值范围是什么？ (2)在这个函数图象的某一支上任取两点，，如果，试比较和的大小． 【答案】(1)第三象限， (2) 【分析】本题主要考查反比例函数的性质， （1）根据一支所处象限可求得另一支所在象限，同时可知反比例函数的系数大于零，即可解得答案； （2）根据反比例函数的性质，在图象的每一个象限内随增大而减小，即可求得答案． 【详解】（1）解：根据反比例图象的性质得，其中一支在第一象限，则另一支在第三象限， ∵图象在第一、三象限，则 ∴， （2）∵函数图象在第一、三象限，在每个象限内随增大而减小， ∴如果，则． 13．已知反比例函数（为常数）． (1)若该反比例函数的图像位于第二、四象限，求的取值范围； (2)当时，随值的增大而减小，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，解题的关键是掌握反比例函数为常数，中的符号对图象位置和增减性的影响． （1）根据反比例函数图象位于第二、四象限时，列不等式求解； （2）根据时随增大而减小，可知，列不等式求解． 【详解】（1）解：反比例函数的图象位于第二、四象限， 则比例系数， 解不等式得， 即； （2）解：当时，随值的增大而减小， 则比例系数， 解不等式得， 即． 14．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为，点B的坐标为． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)请你根据图象直接写出不等式的解集； (3)点E为y轴上一个动点，若，试求点E的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的交点，求一次函数关系式，求反比例函数关系式，根据交点求不等式的解集， 对于（1），将点代入反比例函数关系式求出m，再将点代入反比例函数关系式求出点B的坐标，然后根据待定系数法求出直线关系式； 对于（2），根据反比例函数图像在直线上方时反比例函数值大于一次函数值，结合交点坐标可得解集； 对于（3），设交点，求出直线与y轴交点的坐标，再根据求出答案即可. 【详解】（1）解：将点代入反比例函数关系式，得， ∴反比例函数. ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴点. ∵点在直线的图象上， ∴， 解得， ∴一次函数关系式为； （2）解：或. 观察图象，当时，； 当时，. 所以答案为：或； （3）解：如图所示， 当时，， ∴点. 设点，则， ∴， 解得或， ∴点或. 15．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．    (1)分别求出一次函数与反比例函数的表达式． (2)当时，请根据图象直接写出x的取值范围． (3)已知一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，在反比例函数的图象上是否存在点C，使得的面积等于面积的2倍．若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或 (3)存在，或 【分析】（1）运用待定系数法，即可求出函数表达式； （2）反比例函数的图象分两部分，结合两个交点，分情况讨论，时，点Q右侧，；时，点P右侧，； （3）根据（1）中函数的表达式，先求出点A，点B的坐标，与都以为底，要满足要求，的高必须是的两倍，即点C纵坐标的绝对值是点B纵坐标绝对值的两倍，得到纵坐标后，代入反比例函数表达式，即可求出结果． 【详解】（1）解： 过点， ， ，即． 过点， ，即，点， 过点，点， ∴ 解得， 即． （2）解：反比例函数的图象分两部分，结合两个交点，点，点，分情况讨论如下：     时，点Q右侧，即，满足； 时，点P右侧，即，满足； 综上所述或时，． （3）解： ， 与都以为底，要满足要求，的高必须是的两倍， 即点C纵坐标的绝对值是点B纵坐标绝对值的两倍， 设点C纵坐标为，点B纵坐标为，   ，即， ，即， 分别代入反比例函数，得或 所以点C的坐标为或． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 反比例函数的图象和性质（暑假预习讲义） 【新教材人教版】 【知识框架+3个知识归纳+12个题型+课后作业】 模块二 反比例函数的图象与性质 已知某面粉厂加工出了4吨面粉，厂方决定把这些面粉全部运往B市．则所需要的时间t(天)和每天运出的面粉总重量m(吨)之间有怎样的函数关系？你能在平面直角坐标系中画出这个图形吗？ 【知识点1 反比例函数的图象与性质】 1.描点法做图 步骤 解读 图示 ①列表 自变量通常取原点附近的相反数，如±1，±2，±3等，然后求出对应的y值 ②描点 以表中的各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点 ③连线 用光滑的曲线顺次连接各点并延伸，逐渐靠近坐标轴，但永不与坐标轴相交 2.反比例函数的性质 反比例函数 x，y的取值范围 0，0（与坐标轴无交点） k的符号 k＞0 k＜0 图象 函数图象由两支曲线组成，称为双曲线 图象对称性 函数图象的两支曲线关于原点成中心对称 图象的位置 两支曲线分别位于第一、三象限 两支曲线分别位于第二、四象限 函数变化趋势 在每一象限内，y的值随x值的增大而减小 在每一象限内，y的值随x值的增大而增大 【知识点2 k的几何意义】 1. 过图象上任意一点向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形的面积等于. 连接图象上任意一点与原点，并从该点向x轴，y轴作垂线，可得两个直角三角形， 这两个直角三角形的面积都等于 . 2. 若过反比例函数图象上的点向两坐标轴作垂线，已知两条垂线与两坐标轴围成图形的面积，则可得到的值，进而确定函数表达式. 【题型1 判断（画）反比例函数的图象】 【例1】如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的一支曲线是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式1-1】反比例函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】定义新运算例如：．则函数的图象大致是（   ）． A． B． C． D． 【变式1-3】已知反比例函数的图象经过点． (1)求的值； (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象； (3)根据图象，当时，直接写出的取值范围为_______． 【题型2 已知反比例函数的图象判断解析式】 【例2】如图，某反比例函数的图像过点，则此反比例函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图为反比例函数的图象，则k的值可以为______．（写出符合图象特征的一个值即可） 【变式2-2】如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A． B．1 C．2 D．6 【变式2-3】如图，点在反比例函数上，点在反比例函数和的图象之间，轴，写出一个符合条件的点的坐标为______． 【题型3 反比例函数图象的对称性】 【例3】如图，若直线与双曲线的一个交点坐标为，则其另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】若双曲线（）的图象经过点和，若，则的值是______． 【变式3-2】如图，点A、C是反比例函数图象上的点，且关于原点对称．过点A作轴于点B，若的面积为7，则反比例函数的表达式为__________． 【变式3-3】如图，在平面直角坐标系中，双曲线经过点，．直线，分别交该双曲线另一支于点C，D，顺次连接，，，．求证：四边形是矩形． 【题型4 判断反比例函数的增减性】 【例4】反比例函数的图象如图所示，随着值的增大，值（   ）． A．减小 B．增大 C．不变 D．先增大后减小 【变式4-1】已知点在反比例函数的图像上，那么在每个象限内，该函数的值y随x的值增大而________．（填“增大”或“减小”） 【变式4-2】若反比例函数 的图像经过点，则当时，y随x的增大而________（填“增大”或“减小”）． 【变式4-3】已知，，为反比例函数图象上的两个不同的点，且，则的值是（   ） A．0 B．正数 C．负数 D．非负数 【题型5 已知反比例函数的增减性求参数】 【例5】在反比例函数的图象上有两点，，当时，有，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】在反比例函数中，都随的增大而减小，则的取值可以是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】函数的图像在每个象限内的值随的增大而增大，那么的取值范围是_____． 【变式5-3】已知点，在反比例函数的图象上，如果，那么的值为_____（写出一个符合条件的的值即可）． 【题型6 判断反比例函数所在象限】 【例6】已知反比例函数的图象经过点，则其图象在______象限． 【变式6-1】设为反比例函数图象上的两点，若时，，则点在第__________象限． 【变式6-2】对于反比例函数，下列说法错误的是（　　） A．图象位于第二、四象限 B．图象经过点 C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小 【变式6-3】已知是反比例函数，则函数的图像在第_______象限． 【题型7 已知双曲线分布的象限求参数范围】 【例7】已知反比例函数的图象分布在第二、第四象限，则k的取值范围是________． 【变式7-1】在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过第一、三象限，则m的取值范围是________． 【变式7-2】反比例函数，在同一坐标系中的图象如图所示，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】在平面直角坐标系中，点，，分别在三个不同的象限．若反比例函数的图象经过其中两点，则m的值为（    ） A． B． C． D．1 【题型8 比较反比例函数值/自变量的大小】 【例8】已知点分别为函数的图象上的三个点．则的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【变式8-1】已知点，都在反比例函数的图象上，则_____________（填“>”或“<”）． 【变式8-2】若点，，都在反比例函数（为任意实数）的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】若点都在反比例函数为常数，且）的图像上，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【题型9 根据函数值的大小求参数范围】 【例9】若点，都在反比例函数（k是常数）的图象上，且，则a的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】已知A（-1，），B（2，）两点在双曲线上，且，则m的取 值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】点在反比例函数的图像上.若，则的范围是_________________. 【变式9-3】反比例函数的图象经过，两点，其中且，则的范围是______. 【题型10 反比例函数与不等式】 【例10】一次函数与反比例函数 的图象交于点，，当一次函数值大于反比例函数值时，x的取值范围是 （    ） A． B． C． D．或 【变式10-1】如图，反比例函数的图象经过点，若，则的范围为（    ） A． B． C． D．或 【变式10-2】如图反比例函数的图象经过点，若，则x的范围是（  ）    A． B． C．或 D．或 【变式10-3】反比例函数与一次函数的图像交于两点的横坐标分别是，则关于的不等式的解集的范围是______． 【题型11 反比例函数中k的几何意义】 【例11】如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C，点D为x轴负半轴上的一点，连接，则的面积为______． 【变式11-1】反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，过点作轴于点，交的图象于点，轴于点，交的图象于点．当点的横坐标逐渐变大时，则四边形的面积（   ） A．先变大再变小 B．先变小再变大 C．不变 D．无法确定 【变式11-2】如图所示，平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，轴，分别交和的图象于C，B两点．若的面积是5，则k的值为（   ） A． B．5 C． D． 【变式11-3】如图，平面直角坐标系中，直线与双曲线在第二象限交于点，与轴交于点，点是双曲线上的点，线段轴，点在点下方． (1)求，的值； (2)若的面积为，求的值． 【题型12 反比例函数与一次函数的交点问题】 【例12】在同一直角坐标系中，函数和的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式12-1】如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【变式12-2】如图，正方形位于第一象限，边长为3，横坐标为1的点在直线上，正方形的边分别平行于轴、轴．若双曲线与正方形公共点，则的最大值是 ________ 【变式12-3】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)若点是轴负半轴上一点，过点作轴交反比例函数的图象于点，连接，．当时，求点的坐标． 模块三 课后作业 1．对于反比例函数，下列说法错误的是（　　） A．图象位于第二、四象限 B．图象经过点 C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小 2．函数的图象大致是（    ） A．B．C．D． 3．已知一条过原点的直线与双曲线的一个交点为，则它们的另一个交点坐标是（   ） A． B． C． D． 4．若反比例函数的图象在第二、第四象限内，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．任意实数 5．已知点，均在反比例函数（为常数）的图象上，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．如图，点，分别在反比例函数和位于第一象限的图象上．分别过点，向轴作垂线，若阴影部分的面积为2，则的值为（   ） A． B．5 C．7 D．4 7．如图：直线与轴交于点，与双曲线交于点，过点作轴于点，且，则的值为（   ） A． B．3 C． D．4 8．已知反比例函数的图象分别位于第二、第四象限，则实数k的值可以是______．（只需写出一个符合条件的实数） 9．已知点在反比例函数的图象上，其中为常数，且，则点一定在第______象限．（填“一”，“二”，“三”或“四”） 10．如图是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条曲线于两点，若，则的值为___________． 11．已知，点在反比例函数的图象上，点A在反比例函数的图象上，点，若，且，则____． 12．如图所示是反比例函数的图象的一支．根据图象回答下列问题： (1)图象的另一支在哪个象限？常数的取值范围是什么？ (2)在这个函数图象的某一支上任取两点，，如果，试比较和的大小． 13．已知反比例函数（为常数）． (1)若该反比例函数的图像位于第二、四象限，求的取值范围； (2)当时，随值的增大而减小，求的取值范围． 14．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为，点B的坐标为． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)请你根据图象直接写出不等式的解集； (3)点E为y轴上一个动点，若，试求点E的坐标． 15．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．    (1)分别求出一次函数与反比例函数的表达式． (2)当时，请根据图象直接写出x的取值范围． (3)已知一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，在反比例函数的图象上是否存在点C，使得的面积等于面积的2倍．若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $