命卷大赛 2026届福建省泉州市高考数学自编模拟卷

**基本信息** 含4道原创题，融合古寺钟鼓楼分组（文化传承）、零件尺寸误差正态分布（科学情境），梯度覆盖函数、几何、概率等模块，适配高考模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|集合、复数、向量、抛物线|第7题以古寺钟分组考数列与逻辑推理，体现数学眼光| |多选题|3/18|立体几何、函数性质|第10题正方体中点线面关系，考查空间观念与推理能力| |填空题|3/15|概率、双曲线、函数零点|第14题含参函数零点问题，需数学思维分析取值范围| |解答题|5/77|解三角形、立体几何、统计、椭圆、导数|第17题零件误差正态分布，用数学语言解决实际问题；第19题导数综合考查创新应用能力|

2026年福建省命卷比赛作品 2026届福建省高考数学自编模拟卷 参考答案 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A C D B C B A 二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分。 题号 9 10 11 答案 ABD BC AC 3、 填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 客观题详细解析 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1.答案：B 解题过程： 1.解集合B：由，因式分解得，解得，即。 2.求交集：已知，则。 2.答案：A 解题过程： 1.由，得。 2.分子分母同乘化简： · 。 3.复数的虚部为（虚部为实数，不含）。 3.答案：C 解题过程： 1.将目标函数变形：。 2.根据三角函数图像平移规则“左加右减（针对本身）”，只需将的图像向右平移个单位长度。 4.答案：D 解题过程： 1.计算：，，则。 2.由，得数量积为0： · ，即。 3.解得，。 5.答案：B 解题过程： 1.抛物线的焦点，准线方程为。 2.根据抛物线定义：抛物线上任一点到焦点的距离等于到准线的距离。 3.设，则，解得。 6.答案：C 解题过程： 1.求导判断单调性：，定义域为，。 2.在区间上，，故，单调递增。 3.最大值在处取得：。 7.答案：B 考点：等差数列求和、组合逻辑推理 解题思路：先根据总层数和与等差数列求和公式建立方程，结合分组约束验证首项合理性。 解题过程： 1.计算所有钟的总层数和： · 。 2.设等差数列首项为，公差为3，6项和为： · 。 3.由总层数和等于等差数列和，得，解得，。 4.验证约束条件：第5层2口钟最多分到2组，每组1口，对应等差数列中两项（满足层数和≥13），剩余组无第5层钟，符合所有条件。 8.答案：A 解题过程： 1.集合中每个分量，共个点。 2.随机变量。 3.由对称性，每个的数学期望。 4.根据期望的线性性质：。 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9.答案：ABD 解题过程： 1.计算新样本平均数：原样本6个数据平均数为3，总和为。加入新数据3后，新总和为，新平均数，故A正确。 2.原样本标准差：原方差为2，标准差，故B正确。 3.计算新样本方差：原方差，得。新方差，故D正确，C错误。 10.答案：BC 考点：空间向量在立体几何中的应用 解题过程： 建立空间直角坐标系，设，则各点坐标为： 。 选项A：，，数量积，故两直线垂直，夹角为，A错误。 选项B：，，且，，故平面平面，B正确。 选项C：平面的法向量，平面方程为。点到平面的距离，C正确。 选项D：三棱锥的体积，利用等体积法： ，点E到平面的距离，平面的方程是，E(2,2,1)代入，所以距离是，那体积是，对于，底面积是，高是点E到平面的距离，所以体积是2，D错误。 11.答案：AC 解题过程： 函数，定义域为，。 选项A：当时，。令得。时，时，故是极小值点，A正确。 选项B：当时，令得。极小值，又，时，故有两个零点，故B错误。 选项C：当时，的极小值，故恒成立，故C正确。 选项D：当时，，。切线方程为，化简得，D错误。 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.答案： 解题过程： 1.总选法：从5人中选2人，共种。 2.对立事件（全是女生）的选法：种。 3.至少有1名男生的概率：。 13.答案： 解题过程： 1.由渐近线方程，得。 2.焦距，故，由，得。 3.解得，，故双曲线标准方程为。 14.答案： 考点：分段函数零点、韦达定理、导数求值域 解题过程： 1.分析图像：时，；时，。有四个零点，故。 2.设： 对，方程即，由韦达定理得。 对，得，，故。 3.化简表达式：。 4.令，，求导得，故单调递增。 5.值域：，，故取值范围为。 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15．（满分13分） 【答案】 (1) （6分） (2) （7分） 解： (1) 由正弦定理，得。-----------------------------------------------------------2分 已知，故。-------------------------------------------------1分 因为，所以。 展开右边：。--------------------------------------------------------------2分 整理得：，即，。 因为，所以。---------------------------------------------------------------------------------1分 (2) 由三角形面积公式：。-----------------------------------------------------2分 代入，得，解得。----------------------------------------------------------1分 由余弦定理：。--------------------------------------------------------------------2分 代入，，得。 变形得：。---------------------------------------------------------------------------1分 则，故（边长为正）。-------------------------1分 16．（满分15分） 【答案】 (1) （5分） (2) （10分） (1)证明： 连接，因为分别为的中点，----------------------------------------------------------------1分 所以是的中位线，故。----------------------------------------------------------------2分 又平面，平面，-------------------------------------------------------------------1分 根据线面平行判定定理，得平面。-----------------------------------------------------------1分 (2) 解： 以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系。-----------------------1分 各点坐标：。---------------------1分 求平面的法向量： ，。 设平面的法向量为，则： 令，得，，故。-----------------------------------------------------3分 求平面的法向量： ，。 设平面的法向量为，则： · 令，得，，故。-----------------------------------------------------------3分 计算两平面夹角的余弦值： 设平面与平面的夹角为，则： 。------------------------------------------------------1分 故平面与平面夹角的余弦值为。--------------------------------------------------------------1分 17．（满分15分） 【答案】 (1) （6分） (2) （9分） 解： (1)样本平均数。---------2分 样本方差，-----------------------------------------------------------------------------2分 计算得： 。---2分 (2) (i) 当时，。----------------------------------------------------------------------------2分 合格品要求，则。--------------------1分 (ii) 由(1)知，则。--------------------------------------------------------------------2分 计算。-----------------------------------------------------1分 由附条件，， 线性插值得。----------------------------------------------------------------------1分 服从二项分布，--------------------------------------------------------------------------1分 故数学期望。------------------------------------------------------------------1分 18．（满分17分） 【答案】 (1) （4分） (2) （13分） 解： (1) 椭圆过点，故。-----------------------------------------------------------------------------1分 离心率，得，-----------------------------------------------------------------------------------1分 则。---------------------------------------------------------------------------------1分 故椭圆的方程为。--------------------------------------------------------------------------------1分 (2) 证明： 设直线的方程为，，。--------------------------------------------------1分 联立，消去得： 。---------------------------------------------------------------------------------2分 由韦达定理：，。--------------------------------------------------------2分 直线的方程为，令，得。 同理。------------------------------------------------------------------------------------------------2分 以为直径的圆的方程为： 。----------------------------------------------------------------------2分 令，得。 计算。 代入韦达定理结果： 。--------------------------------------2分 则。----------------------------------------------------------------------------1分 故，解得或。 因此，以线段为直径的圆过定点和。------------------------------------------------------1分 19．（满分17分） 【答案】 (1)（6分） (2)（3分） (3)（8分） 解： (1) 函数，定义域为。 求导得。----------------------------------------------------------------1分 令，判别式。-------------1分 当，即时，，，在上单调递增。----------2分 当，即或时： 若，的对称轴，且，故在上恒成立，单调递增。 若，的两根为，，且。 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减。----------------------------------------------2分 综上，当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减。 (2)证明如下： 当时，。 要证，即证对任意恒成立。 令，。-----------------------------------------------------------------------------1分 求导得在时恒成立，-------------------------------------------------1分 故在上单调递减，， 即，故得证。------------------------------------------------------------------1分 (3) 证明：由(1)知，存在两个极值点当且仅当。 因为是的两个极值点，所以是方程的两根， 由韦达定理得：，。 则，故。-----------1分 不妨设，则，令，则，即，。 要证， 先化简左边： 代入，得： 因此原不等式等价于： 即证。----------------------------------------------------------------------------------3分 将，代入，左边， 右边。 故只需证（）。 因为，，两边同乘得： ， 即证（）。 令（）， 求导得。 令（）， 则在时恒成立， 故在上单调递减，， 因此在时恒成立， 故在上单调递减，，-------------------------------------3分 即成立， 故原不等式得证。------------------------------------------------------------------------------1分 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年福建省命卷比赛作品 2026届福建省高考数学自编模拟卷 多维细目表 题号 题型 分值 考查模块 考查知识点 难度系数 关键能力 命题指向 1 单选题 5 集合与常用逻辑用语 一元二次不等式的解法、集合的交集运算 0.85 运算求解能力 考查集合基本运算与一元二次不等式的基础求解，落实双基 2 单选题 5 复数 复数的四则运算、复数虚部的概念 0.8 运算求解能力 考查复数代数形式的运算，区分虚部与虚部系数的概念 3 单选题 5 三角函数 三角函数图象的平移变换（相位变换） 0.75 直观想象能力、运算求解能力 考查“左加右减”的平移规律，强调自变量系数对平移量的影响 4 单选题 5 平面向量 平面向量的坐标运算、向量垂直的充要条件 0.8 运算求解能力、逻辑推理能力 考查向量垂直的坐标表示，落实向量运算的基本法则 5 单选题 5 圆锥曲线 抛物线的定义、焦半径公式 0.75 运算求解能力、逻辑推理能力 考查抛物线定义的直接应用，突出定义法解题的重要性 6 单选题 5 函数与导数 利用导数判断函数单调性、求闭区间上的最值 0.65 运算求解能力、逻辑推理能力 考查导数在函数性质研究中的基础应用，结合基本初等函数的单调性 7 单选题 5 数列与逻辑推理 等差数列的通项公式、前n项和公式、分类讨论思想 0.45 数学建模能力、逻辑推理能力、运算求解能力 以古寺铜钟为文化背景，结合多约束条件考查等差数列的实际应用，体现数学文化与逻辑推理的结合 8 单选题 5 概率统计与向量 离散型随机变量的数学期望、向量的数量积运算 0.4 数据分析能力、运算求解能力、逻辑推理能力 综合集合、向量与概率统计知识，考查多模块知识的融合应用 9 多选题 6 概率统计 样本平均数、方差、标准差的定义与性质 0.7 数据分析能力、运算求解能力 考查样本数字特征的基本性质，注重概念的理解与辨析 10 多选题 6 立体几何 异面直线所成的角、面面平行的判定定理、点到平面的距离、三棱锥的体积公式 0.55 空间想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力 以正方体为载体，全面考查立体几何核心知识点，兼顾几何法与向量法的应用 11 多选题 6 函数与导数 利用导数研究函数的极值、零点个数、曲线的切线方程 0.45 逻辑推理能力、运算求解能力、数形结合能力 考查导数在函数综合问题中的应用，渗透分类讨论与数形结合思想 12 填空题 5 概率统计 古典概型的概率计算、对立事件的概率公式 0.8 运算求解能力、逻辑推理能力 考查古典概型的基础计算，鼓励学生运用间接法简化运算 13 填空题 5 圆锥曲线 双曲线的标准方程、渐近线方程、焦距与a,b,c的关系 0.75 运算求解能力 考查双曲线的基本性质，落实圆锥曲线中基本量的计算 14 填空题 5 函数 分段函数的图象与性质、函数的零点、数形结合思想 0.3 逻辑推理能力、直观想象能力、运算求解能力 考查分段函数零点问题，结合函数图象分析参数范围，体现数形结合的核心思想 15 解答题 13 解三角形 正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式 0.7 运算求解能力、逻辑推理能力 考查正余弦定理在解三角形中的综合应用，注重边角互化思想的落实 16 解答题 15 立体几何 线面平行的判定定理、利用空间向量求二面角的余弦值 0.55 空间想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力 以四棱锥为载体，考查空间线面位置关系的证明与空间角的计算，体现向量法在立体几何中的工具作用 17 解答题 15 概率统计 样本方差的计算、正态分布的概率计算、二项分布的数学期望 0.5 数据分析能力、数学建模能力、运算求解能力 以工业生产为实际背景，考查统计与概率知识的实际应用，培养学生的数据处理能力 18 解答题 17 圆锥曲线 椭圆的标准方程与性质、直线与椭圆的位置关系、圆过定点问题 0.35 运算求解能力、逻辑推理能力、综合分析能力 考查直线与椭圆的综合问题，探究圆过定点的规律，体现代数方法解决几何问题的思想 19 解答题 17 函数与导数 利用导数研究函数的单调性、不等式的证明、极值点问题 0.25 逻辑推理能力、综合分析能力、运算求解能力 全面考查导数在函数综合问题中的应用，涉及不等式证明与极值点分析，体现数学的严谨性与逻辑性 试卷整体说明 1. 题型与分值：严格遵循2026年高考数学题型标准，共8道单选题（40分）、3道多选题（18分）、3道填空题（15分）、5道解答题（77分），总分150分，考试时间120分钟。 2. 难度分布：基础题（难度系数≥0.7）共58分，中档题（0.4≤难度系数<0.7）共60分，难题（难度系数<0.4）共32分，整体难度梯度符合高考“3:5:2”的命题原则。 3. 知识覆盖：全面覆盖高中数学核心模块，其中函数与导数33分、概率统计32分、立体几何21分、圆锥曲线22分、解三角形13分、数列5分、平面向量5分、三角函数5分、复数5分、集合5分，各模块分值比例合理，重点突出。 4. 命题特色：第7题融入中华优秀传统文化，第17题结合工业生产实际，体现数学的应用价值；第14题、第19题设计新颖，注重考查学生的综合分析能力与创新思维，符合新高考命题方向。 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年福建省命卷比赛作品 2026届福建省高考数学自编模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上，用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号，将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用塑料橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则（ ） A. B.] C. D. 2.若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3.为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A.向左平移个单位长度 B.向左平移个单位长度 C.向向右平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 4.已知向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 5.已知抛物线的焦点为，点在上，且，则点的横坐标为（ ） A. B. C. D. 6.(原创)函数（ ） A.1 B. C. D.2 7. (原创)某古寺的钟鼓楼依山而建，楼内悬挂的铜钟自上而下共排列5层，第1层有12口钟，第2层有11口钟，第3层有7口钟，第4层有4口钟，第5层有2口钟，共36口钟。现将这36口钟分为6组，每组6口钟，满足以下三个条件：①第1层的钟恰好平均分配到各组中； ②每组钟所在层数之和（每口钟的层数与其数量乘积的和）构成一个公差为3的等差数列 ③每组中来自第5层的钟最多1口. 则该等差数列的首项为（ ） A.5 B.6 C.7 D.8 8.设集合，点.从中随机取一个点，定义随机变量为向量与向量的数量积，则的数学期望为（ ） A.0 B. C. D.1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.有一组样本数据，其平均数为，方差为。现加入一个新数据，得到一组新的样本数据。记原样本数据的标准差为，新样本数据的平均数为，方差为，则（ ） A. B. C. D. 10.(原创)在正方体中，棱长为2，为的中点，则下列说法正确的有（ ） A.直线与直线所成的角为 B.平面∥平面 C.点到平面的距离为​ D.三棱锥的体积为 11.已知函数（），则（ ） A.当时，的极小值点为 B.当时，有1个零点 C.存在实数，使得恒成立 D.当时，曲线在点处的切线方程为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.从名男生和名女生中任选人参加社区服务活动，则选出的人中至少有名男生的概率为______． 13.已知双曲线的一条渐近线方程为，且焦距为，则的标准方程为______． 14.已知函数，若函数有四个不同的零点，且，则的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，的面积为，求的值． 16.(15分) 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，分别为的中点． (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 17.（15分） (原创)某工厂生产一种精密零件，其尺寸误差（单位：微米）服从正态分布，从该批零件中随机抽取件，测量其尺寸误差，数据如下： (1)求该批零件尺寸误差的样本方差（结果保留三位小数）； (2)已知该批零件的合格品是指尺寸误差的绝对值不超过微米的产品． ()若，从该批零件中任取一件，求该产品为合格品的概率； ()以(1)中样本方差作为的估计值，记为从该批零件中任取的件产品中的合格品件数，求的数学期望． 附：若，则，，，。 18.(17分) 已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求椭圆的方程； (2)设过点的直线交椭圆于两点（不同于点），直线分别与直线交于点．证明：以线段为直径的圆过定点，并求出该定点的坐标． 19.(17分) 已知函数 + ，其中． (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：对任意的恒成立； (3)若存在两个极值点，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $