精品解析：四川省射洪中学校2026-2027学年高二上学期第一次综合素质测评数学试题

射洪中学高2025级高二上期第一次综合素质测评 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡对应题号的位置上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知点，点，则向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量的坐标运算即可得解. 【详解】解：∵设，，则， ∴. 故选：D. 2. 已知，，若，则x的值为（ ） A. 7 B. -8 C. 6 D. -5 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量垂直的坐标运算即可求参. 【详解】已知，， 因为， 则，. 故选：A. 3. 一个袋中装有大小、质地相同的3个红球和3个黑球，从中随机摸出3个球，设事件“至少有2个黑球”，下列事件中，与事件互斥而不互为对立的是（ ） A. 都是黑球 B. 恰好有1个黑球 C. 恰好有1个红球 D. 至少有2个红球 【答案】B 【解析】 【分析】利用对立事件、互斥事件的定义直接求解即可． 【详解】解：从装有大小和质地完全相同的3个红球和3个黑球的口袋内任取3个球， 在中，至少有2个黑球和都是黑球能同时发生，不是互斥事件，故错误， 在中，至少有2个黑球和恰有1个黑球不能同时发生，是互斥而不对立事件，故正确， 在中，至少有2个黑球和恰有1个红球能同时发生，不是互斥事件，故错误， 在中，至少有2个黑球和至少有2个红球事件不能同时发生，是对立事件，故错误． 故选：． 4. 不透明的盒子里面装有五个分别标有数字1、2、3、4、5的乒乓球，这些球除数字外，其他完全相同，一位学生随机摸出两个球，两个球的数字之和是偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】列举出所有样本点，然后由古典概型概率公式可得. 【详解】从分别标有数字1、2、3、4、5的乒乓球随机摸出两个球的样本空间为： ，共10个样本点， 其中数字之和是偶数的样本点有：，共4个. 所以数字之和是偶数的概率为. 故选：B 5. 在棱长为的正方体中，为中点，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以为原点，分别以，，所在的直线为，，轴，建立空间直角坐标系，求出和的坐标，由空间向量夹角公式即可求解. 【详解】如图：以为原点，分别以，，所在的直线为，，轴，建立空间直角坐标系，则，，，， 所以，， 所以， 故选：A. 6. 已知事件A，B，C满足，，，下列结论正确的是（ ） A. B，C互为对立事件 B. 若，则 C. 若A，B互斥，则 D. 若A，B相互独立，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据对立事件定义、集合包含关系、互斥事件概率公式、相互独立事件的概率公式逐项判断各选项正误. 【详解】选项 A ：互为对立事件的充要条件为两事件交集为空集且并集为样本空间， 仅无法推出B与C互为对立事件，故A错误； 选项B ：若，则， 因此，故B错误； 选项C ：若A与B互斥，根据互斥事件的概率加法公式， 可得，故 C正确； 选项D：若A与B相互独立，则A与也相互独立，， 因此，故D错误. 7. 在空间直角坐标系中，向量，则下列选项中正确的是（   ） A. 若，则 B. 向量是的一个单位向量 C. 若，则在上的投影向量为 D. 若为钝角，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量的模的坐标运算来判断A，空间单位向量的坐标运算来判断B，利用空间向量夹角为钝角的充要条件来判断D，利用投影向量计算来判断C. 【详解】由，，可得，故A错误； 由的单位向量是，故B错误； 由为钝角，则， 又当， 所以为钝角，则且，故D错误； 若，则，所以在上的投影向量为，故C正确. 8. 已知正方体的棱长为2，点P为线段上的动点，则点P到直线的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，求出一个与都垂直的向量的坐标，根据空间距离的向量求法即可求得答案. 【详解】以A为坐标原点，以为轴建立空间直角坐标系， 则， 故， 设， 则； 设为与都垂直的向量， 则，令，则， 因为由题意点P到直线的距离的最小值可认为是异面直线和的之间的长度， 故点P到直线的距离的最小值为， 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若空间中的满足，则三点共线 B. 空间中三个向量，若，则向量共面 C. 已知四点不共面，点满足：，则四点共面 D. 是空间的一组基底，若，，则不能为空间的一组基底 【答案】ABC 【解析】 【分析】选项A，对已知等式变形，根据向量共线条件判断；选项B、C，根据共面向量定理判断；选项D，利用反证法得不共面，所以可作基底. 【详解】，， 可得，所以三点共线，选项A正确； ，则存在实数，， 所以存在实数，，向量共面，选项B正确； ，，， 所以，即， 所以四点共面，选项C正确； 假设共面，则存在实数，使得， 即，即， 因为不共面，所以无解， 所以不共面，能为空间的一组基底，选项D错误. 10. 在一个密闭的盒子中放有大小和形状都相同，编号分别为1，2，3，4的4张卡牌，现从中依次不放回摸出两张卡牌，记事件“第一次摸出的卡牌的编号为奇数”，事件“摸出的两张卡牌的编号之和为5”，事件“摸出的两张卡牌中有编号为2的卡牌”，则下列说法正确的是（   ） A. B. 事件A与事件B相互独立 C. D. 事件B与事件C为互斥事件 【答案】AB 【解析】 【分析】根据给定条件，利用古典概率公式，结合相互独立事件、互斥事件及概率的基本性质逐项求解判断. 【详解】依次不放回摸出两张卡牌的样本空间， 事件. 对于A：，A正确； 对于B：， 则，因此事件与事件相互独立，B正确； 对于C：，C错误； 对于D：当摸出的两张卡牌编号为时，事件与事件同时发生，因此事件与事件不为互斥事件，D错误. 11. 在直四棱柱中，所有棱长均2，，分别为的中点，点在四边形内（包括边界）运动，下列结论中正确的是（ ） A. 平面∥平面 B. 若∥平面，则的最小值为 C. 当点在线段上运动时，四面体的体积为定值 D. 若且，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过证明两相交直线AM、MN分别与平面平行即可证明面与面平行，判断A；通过分析确定点Q的轨迹为线段MN，在△AMN中，当时，AQ取得最小值即为点A到直线MN的距离，利用空间向量求出点到直线的距离即可判断B；由平面知以Q为顶点的四面体的底面积与高均为定值，故体积为定值，判断C；用表示出Q点坐标，根据两点间的距离公式写出，将代入上式整理化简，最后根据几何意义求出最小值判断D. 【详解】因为M、P分别为的中点，所以且， 因为，所以，四边形ABPM为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面. 因为分别为的中点，所以， 又，所以， 因为平面，平面，所以平面. 因为,平面AMN，所以平面∥平面，A正确； 由A选项知，若∥平面，则点Q的轨迹为线段MN，在△AMN中，当时，AQ取得最小值即为点A到直线MN的距离. 因为 且，所以△ABD为等边三角形，取AB的中点为点E， 则有，所以在直四棱柱中， 以D为坐标原点，以DE、DC、为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示， , , , 点A到直线MN的距离为，B错误； 因为，平面，平面，所以平面， 当点在线段上运动时点Q到平面的距离为定值，所以四面体的体积为定值，C正确； ， ， 因为，所以，代入上式可得 ， 此式在平面直角坐标系中表示点到的距离之和， 其距离之和的最小值为点与点之间的距离，D正确. 故选：ACD 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量的坐标运算求得正确答案. 【详解】依题意，. 故答案为： 13. 一个布袋中装有2个黄球和3个蓝球，这5个球除颜色外完全相同，先从布袋中随机摸出一个球，放回后再随机摸出一个球，两次摸出的球颜色相同的概率是___________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意得，从布袋中随机摸出一个球，摸到黄球的概率为，摸到蓝球的概率为； 若两次摸出的球颜色相同，则这两次可能都是黄球，也可能都是蓝球，所以两次摸出的球颜色相同的概率为. 14. PA，PB，PC是从P点引出的三条射线，它们之间每两条的夹角都是60°，则直线PC与平面PAB所成的角的余弦值为_______________ 【答案】 【解析】 【详解】设直线PC与平面PAB所成的角为，根据三余弦定理得 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 抛掷一红一绿两颗质地均匀的正六面体骰子，记下骰子朝上面的点数，用表示红色骰子的点数，表示绿色骰子的点数，表示一次试验的结果，设“两个点数之和等于6”，“至少有一颗骰子的点数为4” （1）求事件，的概率； （2）求事件，的概率． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】(1)求出事件，的基本事件以及个数，利用古典概型的公式计算概率即可； (2)求出事件的基本事件以及个数，得出，再由得出答案. 【小问1详解】 ，样本点总数 “两个点数之和等于6”，即 则，所以 所以 “至少有一颗骰子的点数为4” 则， 所以，所以； 【小问2详解】 ，所以 所以 所以. 16. 如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，. （1）试用向量，，表示向量； （2）若，，，求的值. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算求出即可； （2）根据向量的运算性质代入计算即可. 【小问1详解】 ， ， 故 ∵点E为AD的中点， 故. 【小问2详解】 由题意得， 故， 故 . 17. 西安世园会志愿者招聘正如火如荼进行着，甲、乙、丙三名大学生跃跃欲试，已知甲能被录用的概率为，甲、乙两人都不能被录用的概率为，乙、丙两人都能被录用的概率为且甲、乙、丙三名大学生能否被录用相互独立． （1）乙、丙两人各自能被录用的概率； （2）求甲、乙、丙三人至少有两人能被录用的概率． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）分别设乙、丙被录用的概率为，根据题目描述条件列出方程组求解即可； （2）该事件包含四种情况，即三人都被录取（1种情况）、三人中两人被录用（3种情况），分别求概率后相加即可. 【小问1详解】 设乙、丙能被录用的概率分别为， 则有，解得， 所以乙、丙能被录用的概率分别为，． 【小问2详解】 设甲、乙、丙能被录用的事件分别为，则，，，且相互独立， 则三人至少有两人能被录用包括， 四种彼此互斥的情况，则其概率为： . 18. 如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，为棱上的点，且. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）设为棱上的点（不与，重合），且直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 【答案】18. 证明如下： 因为平面，平面，平面，所以，，又因为， 则以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 由已知可得 ，，，，， 所以，，. 因为，.所以， 又，平面，平面. ∴平面. 19. ； 20. . 【解析】 【分析】（1）由已知证得，，，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，根据向量垂直的坐标表示和线面垂直的判定定理可得证； （2）根据二面角的空间向量求解方法可得答案； （3）设，表示点Q，再利用线面角的空间向量求解方法，建立方程解得，可得答案. 【详解】（1）略 （2）设平面的法向量，由（1）可知， 设平面的法向量 因为，. 所以，即， 不妨设，得. ， 又由图示知二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为. （3）设，即.所以，即. 因为直线与平面所成角的正弦值为， 所以， 即，解得，即. 【点睛】向量法求二面角的步骤：建、设、求、算、取. 1、建：建立空间直角坐标系.以三条互相垂直的垂线的交点为原点，没有三垂线时需做辅助线;建立右手直角坐标系,让尽量多的点落在坐标轴上。 2、设：设所需点的坐标，并得出所需向量的坐标. 3、求：求出两个面的法向量. 4、算：运用向量的数量积运算，求两个法向量的夹角的余弦值； 5、取：根据二面角的范围和图示得出的二面角是锐角还是钝角,再取值. 19. 在平行四边形中，，，为上一点，且平分，将沿翻折至． （1）若平面平面． （i）求证：； （ii）已知F在线段BC上，且平面，求点到平面PEF的距离； （2）试判断锐二面角是否存在最大角，若存在，求出其正弦值，若不存在，说明理由． 【答案】（1）（i）因为，， 在中，由余弦定理，，， 所以，即，所以. 因为平面平面，平面平面， 平面，，所以平面． 因为平面，所以； （ii）； （2）存在， 【解析】 【分析】（1）（i）由余弦定理及勾股定理得，由面面垂直的性质定理得线面垂直，进而证明线线垂直； （ii）法1：建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，然后将线面距离转化为点面距离求解即可； 法2：先求出的面积，再由线面垂直的判定定理得平面，由线面垂直的性质定理得，可得，在中，由余弦定理及同角三角函数关系得，进而利用求解点到平面的距离，即可得解； （2）建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，可得夹角余弦值，设，结合二次函数性质可得，设锐二面角的大小为，可得，即可求解. 【小问1详解】 （i）略； （ii）因为平面，，平面，平面平面， 所以． 因为平分，所以， 所以，， 由（1）知，，，，平面． 法1：以为原点，，及垂直平面所在的直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 因为，，， 设平面的一个法向量为， 所以，即，令，则，， 所以， 设到平面的距离是，则， 所以点到平面的距离是； 法2：由，得， 所以的面积为． 由（1）知平面，平面，所以． 又，平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以，即； 在中，由余弦定理得，所以， 设到平面的距离为， 因为，所以， 所以，所以点到平面的距离是； 【小问2详解】 以为原点，，及垂直平面所在的直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，设， 因为，，所以，， 设平面的一个法向量为， 则，所以， 令，则， 又因为，， 设平面的一个法向量为， 所以，所以， 得， 所以， 令，则， 所以，设， 因为，， 所以当，即时，取得最小值，所以， 设锐二面角的大小为，因为，则， 所以锐二面角的正弦值的最大值为，由正弦函数的单调性知存在最大角. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 射洪中学高2025级高二上期第一次综合素质测评 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡对应题号的位置上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知点，点，则向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，若，则x的值为（ ） A. 7 B. -8 C. 6 D. -5 3. 一个袋中装有大小、质地相同的3个红球和3个黑球，从中随机摸出3个球，设事件“至少有2个黑球”，下列事件中，与事件互斥而不互为对立的是（ ） A. 都是黑球 B. 恰好有1个黑球 C. 恰好有1个红球 D. 至少有2个红球 4. 不透明的盒子里面装有五个分别标有数字1、2、3、4、5的乒乓球，这些球除数字外，其他完全相同，一位学生随机摸出两个球，两个球的数字之和是偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 在棱长为的正方体中，为中点，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知事件A，B，C满足，，，下列结论正确的是（ ） A. B，C互为对立事件 B. 若，则 C. 若A，B互斥，则 D. 若A，B相互独立，则 7. 在空间直角坐标系中，向量，则下列选项中正确的是（   ） A. 若，则 B. 向量是的一个单位向量 C. 若，则在上的投影向量为 D. 若为钝角，则 8. 已知正方体的棱长为2，点P为线段上的动点，则点P到直线的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若空间中的满足，则三点共线 B. 空间中三个向量，若，则向量共面 C. 已知四点不共面，点满足：，则四点共面 D. 是空间的一组基底，若，，则不能为空间的一组基底 10. 在一个密闭的盒子中放有大小和形状都相同，编号分别为1，2，3，4的4张卡牌，现从中依次不放回摸出两张卡牌，记事件“第一次摸出的卡牌的编号为奇数”，事件“摸出的两张卡牌的编号之和为5”，事件“摸出的两张卡牌中有编号为2的卡牌”，则下列说法正确的是（   ） A. B. 事件A与事件B相互独立 C. D. 事件B与事件C为互斥事件 11. 在直四棱柱中，所有棱长均2，，分别为的中点，点在四边形内（包括边界）运动，下列结论中正确的是（ ） A. 平面∥平面 B. 若∥平面，则的最小值为 C. 当点在线段上运动时，四面体的体积为定值 D. 若且，则的最小值为 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______． 13. 一个布袋中装有2个黄球和3个蓝球，这5个球除颜色外完全相同，先从布袋中随机摸出一个球，放回后再随机摸出一个球，两次摸出的球颜色相同的概率是___________． 14. PA，PB，PC是从P点引出的三条射线，它们之间每两条的夹角都是60°，则直线PC与平面PAB所成的角的余弦值为_______________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 抛掷一红一绿两颗质地均匀的正六面体骰子，记下骰子朝上面的点数，用表示红色骰子的点数，表示绿色骰子的点数，表示一次试验的结果，设“两个点数之和等于6”，“至少有一颗骰子的点数为4” （1）求事件，的概率； （2）求事件，的概率． 16. 如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，. （1）试用向量，，表示向量； （2）若，，，求的值. 17. 西安世园会志愿者招聘正如火如荼进行着，甲、乙、丙三名大学生跃跃欲试，已知甲能被录用的概率为，甲、乙两人都不能被录用的概率为，乙、丙两人都能被录用的概率为且甲、乙、丙三名大学生能否被录用相互独立． （1）乙、丙两人各自能被录用的概率； （2）求甲、乙、丙三人至少有两人能被录用的概率． 18. 如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，为棱上的点，且. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）设为棱上的点（不与，重合），且直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 19. 在平行四边形中，，，为上一点，且平分，将沿翻折至． （1）若平面平面． （i）求证：； （ii）已知F在线段BC上，且平面，求点到平面PEF的距离； （2）试判断锐二面角是否存在最大角，若存在，求出其正弦值，若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $