精品解析：贵州黔南布依族苗族自治州2025-2026学年度第二学期八年级数学期中测试卷

贵州省黔南州2025-2026学年度第二学期八年级数学期中测试卷 一、单选题（共12题；共24分） 1. 要使二次根式有意义，则x取值可以是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 2. 下列各式是最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 以下列各组数为三边长的三角形中，能构成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. C. 6，7，10 D. 5. 如图，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面，树的顶端离树根，则这棵树在折断之前的高度是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，中，，分别以这个三角形的三边为边长向外作正方形，面积分别记为，，，若，则阴影部分面积为（ ） A. 8 B. 14 C. 16 D. 18 7. 如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点连接AF，BF，∠AFB =90°，且AB=8，BC= 14，则EF的长是 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 若一个四边形截去一个角后，可能为（　　）边形 A. 4或5 B. 3或4 C. 3或4或5 D. 4或5或6 9. 多边形的密铺在我们生活中经常遇见，例如用瓷砖拼铺房屋外墙面或地面等．下列正多边形中，只用一种不能密铺的是（ ） A. 正三角形 B. 正四边形 C. 正五边形 D. 正六边形 10. 如图，在中，E为的中点，恰好平分，若，则的周长为（ ） A. 9 B. 12 C. 18 D. 24 11. 如图，长方形内有两个相邻正方形．若两个正方形的面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（ ） A 1 B. C. D. 12. 下列说法正确的是（　　） A. 有一个角是直角，且对角线相等的四边形是矩形 B. 两组邻边相等的四边形是菱形 C. 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 D. 对角线互相平分且相等的四边形是正方形 二、填空题（共4题；共12分） 13. 化简：________． 14. 如下图：在中，，D、E、F分别是各边中点，，，则的周长=______cm． 15. 步行台阶每一层高，宽，长．一只蚂蚁从点爬到点，最短路程是______． 16. 如图，一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．已知，点D为边的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则_________cm． 三、解答题（共8题；共64分） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且． （1）求边的长； （2）连接，判断的形状； （3）求这块空地的面积． 20. 如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为，现要在空地中挖一个长方形水池（即图中阴影部分），其余部分种植草莓，其中长方形水池的长为，宽为． （1）求长方形空地的周长．（结果化为最简二次根式） （2）已知李明家种植的草莓售价为，且每平方米产草莓．若李明家将所种的草莓全部销售完，则销售收入为多少元？ 21. 如图，四边形为矩形，对角线，交于点O， 交的延长线于点E． （1）求证：； （2）若，求的度数． 22. 如图，菱形中，作，分别交的延长线于点E、F． （1）求证：； （2）若点E恰好是的中点，，求的值． 23. 阅读下列解题过程： ， ． 请回答下列问题： （1）观察上面的解答过程，请写出 ； （2）请你用含（为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律： ； （3）利用上面的解法，请化简：． 24. 【问题提出】：如图1，是菱形边上一点，是等腰三角形，，，交于点，探究与的数量关系． 【问题探究】 （1）先将问题特殊化，如图2．当时，求出的大小；（提示：可在边上取点，使．连接，构造全等三角形来解答问题） （2）再探究一般情形，如图1，求与的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵州省黔南州2025-2026学年度第二学期八年级数学期中测试卷 一、单选题（共12题；共24分） 1. 要使二次根式有意义，则x的取值可以是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得x-3≥0，再解即可． 【详解】解：二次根式要有意义，则x-3≥0， 即x≥3， 故选：D． 【点睛】此题考查二次根式有意义的条件，解题关键在于掌握二次根式定义． 2. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义判断：满足被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，就是最简二次根式，对各选项逐一判断即可. 【详解】解：A、是最简二次根式； B、，不是最简二次根式； C、时，，不是最简二次根式； D、的被开方数含分母，不是最简二次根式. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用． 利用二次根式的相应的运算法则对各项进行运算即可． 【详解】解：A、与不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意； B、，正确，故B符合题意； C、与不属于同类二次根式，不能运算，故C不符合题意； D、，错误，故D不符合题意； 故选：B． 4. 以下列各组数为三边长的三角形中，能构成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. C. 6，7，10 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出每个选项中两个较小数的平方和，再求出最大数的平方，比较两个数是否相等，若相等，就能构成直角三角形，不相等就不能构成直角三角形． 【详解】解：选项A：最长边为3，∵，，，∴不能构成直角三角形，不符合题意． 选项B：最长边为，∵，，∴，能构成直角三角形，符合题意． 选项C：最长边为10，∵，，，∴不能构成直角三角形，不符合题意． 选项D：三边长为，最长边为25，∵，，，∴不能构成直角三角形，不符合题意． 5. 如图，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面，树的顶端离树根，则这棵树在折断之前的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的应用，解题时要注意数形结合思想的应用． 根据勾股定理即可求得树折断之前的高度． 【详解】解：如图： ， ， ， 即， ， ∴这棵树在折断之前的高度． 故选：A． 6. 如图，中，，分别以这个三角形的三边为边长向外作正方形，面积分别记为，，，若，则阴影部分面积为（ ） A. 8 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了利用勾股定理求图形面积，关键是利用勾股定理将正方形面积的关系转化为线段长度的关系，进而求出阴影部分的面积． 【详解】解：在中，，根据勾股定理，得． ∵分别以三边为边长向外作正方形，面积记为， ∴，，， ∴． ∵， ∴， 解得，即． 观察图形，阴影部分为等腰直角三角形，其面积为． 故选：A． 7. 如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点连接AF，BF，∠AFB =90°，且AB=8，BC= 14，则EF的长是 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质得到DF=4，根据BC= 14，由三角形中位线定理得到DE=7，解答即可． 【详解】解：∵∠AFB=90°，点D是AB的中点， ∴DF= AB=4， ∵BC= 14，D、E分别是AB，AC的中点， ∴DE=BC=7， ∴EF=DE-DF=3， 故选：B 【点睛】本题考查了直角三角形的性质和中位线性质，掌握定理是解题的关键． 8. 若一个四边形截去一个角后，可能为（　　）边形 A. 4或5 B. 3或4 C. 3或4或5 D. 4或5或6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形，解题的关键是理解多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1条边，可能边的条数不变，也可能增加1条边． 根据多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1条边，可能边的条数不变，也可能增加1条边；据此求解即可． 【详解】解：若一个四边形截去一个角后，可能为3或4或5边形． 故选：C． 9. 多边形的密铺在我们生活中经常遇见，例如用瓷砖拼铺房屋外墙面或地面等．下列正多边形中，只用一种不能密铺的是（ ） A. 正三角形 B. 正四边形 C. 正五边形 D. 正六边形 【答案】C 【解析】 【分析】几何图形能否镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起等于，据此分析判断即可． 【详解】解：A. 正三角形的每个内角为，能整除，故不符合题意； B. 正四边形的每个内角为，能整除，故不符合题意； C. 正五边形的每个内角为，不能整除，故符合题意； D. 正六边形的每个内角为，能整除，故不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平面镶嵌（密铺）的知识，理解几何图形能镶嵌成平面的条件是解题关键． 10. 如图，在中，E为的中点，恰好平分，若，则的周长为（ ） A. 9 B. 12 C. 18 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质（平行四边形的对边平行）、平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定和线段中点的性质，进行解答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． ∵E为的中点， ∴， ∴，， ∴的周长为． 11. 如图，长方形内有两个相邻的正方形．若两个正方形的面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形的面积公式求出两个正方形的边长，再根据长方形的面积公式求解即可． 【详解】解：设面积为1的正方形的边长为a，面积为2的正方形的边长为b， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 12. 下列说法正确的是（　　） A. 有一个角是直角，且对角线相等的四边形是矩形 B. 两组邻边相等的四边形是菱形 C. 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 D. 对角线互相平分且相等的四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了特殊的平行四边形，根据特殊平行四边形的定义依次进行判断即可得；掌握特殊平行四边形的定义是解题的关键． 【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，选项说法错误，不符合题意； B、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，选项说法错误，不符合题意； C、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，选项说法正确，符合题意； D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 二、填空题（共4题；共12分） 13. 化简：________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了利用二次根式的性质进行化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，根据进行化简，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 14. 如下图：在中，，D、E、F分别是各边中点，，，则的周长=______cm． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和三角形的中位线，熟练掌握这两个定理是解题的关键； 先根据勾股定理求出的长，再根据三角形的中位线定理即可解决问题. 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵D、E、F分别是各边中点， ∴， ∴的周长cm； 故答案为：12. 15. 步行台阶每一层高，宽，长．一只蚂蚁从点爬到点，最短路程是______． 【答案】130 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，将蚂蚁行进过程中的多个平面展开形成一个矩形是解题的关键． 将阶梯的表面展开，形成一个矩形，根据勾股定理求解即可； 【详解】解：如图，阶梯的表面展开，形成一个矩形， ∵台阶阶梯每一层高，宽，长， ∴，， ∴在中，． 故答案为：130． 16. 如图，一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．已知，点D为边的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则_________cm． 【答案】3 【解析】 【分析】先读尺确定，再根据直角三角形的性质即可求出答案． 【详解】根据刻度尺可知． 在中，点D是的中点， ∴． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，理解“直角三角形的斜边中线是斜边的一半”是解题的关键． 三、解答题（共8题；共64分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据完全平方公式和平方差公式进行乘法运算，然后再去括号，合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先计算括号内的分式的加减，再把除法转化为乘法，可得化简的结果，再把代入化简后的代数式即可． 【详解】解： 当时，原式 19. 如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且． （1）求边的长； （2）连接，判断的形状； （3）求这块空地的面积． 【答案】（1） （2）是直角三角形 （3）这块空地的面积为 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积计算，掌握勾股定理和三角形面积公式是解题关键． （1）利用勾股定理以及线段中点的性质即可． （2）通过计算三条边的长度，根据勾股定理的逆定理来判断三角形的形状． （3）把四边形的面积分割成两个三角形的面积来计算． 【小问1详解】 解：， ． 在中， ，， ． 是的中点， ． 【小问2详解】 解：如图， ，是的中点， ． ，， ， ， 是直角三角形． 【小问3详解】 解：由（2）可知，是直角三角形，， ， 由（1）可知，， 这块空地得面积为：． 20. 如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为，现要在空地中挖一个长方形的水池（即图中阴影部分），其余部分种植草莓，其中长方形水池的长为，宽为． （1）求长方形空地的周长．（结果化为最简二次根式） （2）已知李明家种植的草莓售价为，且每平方米产草莓．若李明家将所种的草莓全部销售完，则销售收入为多少元？ 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】（1）根据长方形周长计算公式求解即可； （2）先求出种植草莓的面积，再根据草莓的售价和产量进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵长为，宽为， ∴周长为：； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， 答：销售收入为元． 21. 如图，四边形为矩形，对角线，交于点O， 交的延长线于点E． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形，熟练掌握矩形性质、平行四边形判定与性质，等腰三角形判定与性质，是解决问题的关键． （1）根据矩形性质，得到，，结合，得到四边形为平行四边形，得到，即得； （2）由知，，，由矩形性质知，得到，由三角形内角和定理即得． 【小问1详解】 ∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴． 22. 如图，菱形中，作，分别交的延长线于点E、F． （1）求证：； （2）若点E恰好是的中点，，求的值． 【答案】（1）证明：∵四边形是菱形 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）2 【解析】 【分析】（1）由菱形的性质可得，结合已知用角角边可证，再根据全等三角形的对应边相等可求解； （2）根据线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵点E恰好是的中点，且， ∴直线为的垂直平分线， ∴． 23. 阅读下列解题过程： ， ． 请回答下列问题： （1）观察上面的解答过程，请写出 ； （2）请你用含（为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律： ； （3）利用上面的解法，请化简：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，将分子和分母同时乘以，进行分母有理化，再进行化简可求出答案； （2）根据题意，将分子和分母同时乘以，进行分母有理化，然后合并化简即可得到答案； （3）根据，把所求式子的每一项进行化简，然后再相加可求出答案. 本题考查了分母有理化以及二次根式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：反复运用得 ． 24. 【问题提出】：如图1，是菱形边上一点，是等腰三角形，，，交于点，探究与的数量关系． 【问题探究】 （1）先将问题特殊化，如图2．当时，求出的大小；（提示：可在边上取点，使．连接，构造全等三角形来解答问题） （2）再探究一般情形，如图1，求与的数量关系． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定等等： （1）在上截取，使，连接，先证明得到，再由正方形的性质得到，，则，可得到，则，进而得到． （2）在上截取，使，连接，证明，得到，由菱形的性质得到，，则．再由即可得到结论． 【小问1详解】 解：在上截取，使，连接． ， ， ． ， ． ． ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ， ， ∴ ． 【小问2详解】 解：在上截取，使，连接． ， ， ． ， ． ． ∵四边形是菱形， ∴，， ，， ， ． ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $