精品解析：贵州省黔南布依族苗族自治州瓮安第二中学2024-2025学年八年级下学期6月期中数学试题

贵州省瓮安第二中学2024-2025学年八年级 下学期6月期中数学试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列运算中错误是（ ） A. B. C. D. 2. 城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．如图，某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街清理出了一块可以绿化的空地（阴影部分）．若，，，，则这块可以绿化的空地（阴影部分）的面积为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算中错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（ ） A. OA＝OC，OB＝OD B. AB＝CD，AO＝CO C. AB＝CD，AD＝BC D. ∠BAD＝∠BCD，AB∥CD 5. 如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于、两点；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交边于点．若，，则线段的长为（ ） A. 3 B. C. D. 6. 已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在菱形中，，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 8. 下列说法不正确的是（ ） A. 四条边相等四边形是菱形 B. 矩形的对角线互相垂直且相等 C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D. 正方形的对角线相等 9. 按一定规律排列的单项式：，第个单项式为（ ） A. B. C. D. 10. 已知代数式，下列说法不正确的是（ ） A. 代数式有最大值 B. 代数式有最小值 C. 代数式值随a的增大而增大 D. 代数式值不可能为0 11. 如图，在正方形ABCD外取一点E，连接DE，AE，CE，过点D作DE的垂线交AE于点P，若DE＝DP＝1，PC＝．下列结论：①△APD≌△CED；②AE⊥CE；③点C到直线DE的距离为；④S正方形ABCD＝5+2，其中正确结论的序号为（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ①②③④ D. ①② 12. 如图，在，则的面积是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，请把正确答案填写在答题卡相应位置上．） 13. 如图，△AOB是等腰三角形，OA＝OB，点B在x轴的正半轴上，点A的坐标是（1，1），则点B的坐标是_____． 14. 如图，在中，，，，将从点A出发沿底边中线方向平移得到，当时，重叠部分的周长是_______． 15. 如图，四边形的对角线，相交于点O，若，，想要判断四边形是菱形，则可以添加一个条件是_____________． 16. 如图，等腰中，，，于点，的平分线分别交、于、两点，为的中点，的延长线交于点，连接，下列结论：①；②；③垂直平分；④，其中正确结论有________． 三、解答题（本大题共9小题，共98分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 18. 如图，在矩形中，，，延长到点E，使，连接．若动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着向终点E运动，连接．设点P运动的时间为t秒． （1）直接写出的长； （2）求当为何值时，和全等？ （3）是否存在，使为等腰三角形？若存在，请求出的值；若不存在，说明理由． 19. 如图，在中，，，，，求、的长 20. 有一块长方形纸板，嘉琪用如图1所示的方式，在纸板上截出两块面积分别为和的正方形纸板． （1）求截出的这两块正方形纸板的边长； （2）嘉琪用截出的两块正方形纸板按如图2所示的方式进行拼接，得到两个直角三角形（阴影部分），求这两个直角三角形的面积之和； （3）现有若干完全相同的长方形纸板，每个长方形纸板恰好可以截出两块面积分别为和的正方形，嘉琪打算将截完正方形后剩余的小长方形纸板再次进行裁剪拼接，铺满（2）中得到的两个直角三角形（阴影部分），那么她至少要用多少块这样的小长方形纸板？ 21. 如图，在中，点是对角线中点，某数学学习小组要在上找两点，，使四边形为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下： 甲方案 乙方案 分别取，中点， 作于点，于点 请回答下列问题： （1）选择其中一种你认为正确的方案进行证明； （2）在（1）的基础上，若，，求的面积． 22. 如图，在梯形中，，，，，，求梯形面积． 23. 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对四边形做了如下探究． （1）如图1，在正方形中，点、分别是、上的两点，连接、，，则的值为______． （2）如图2，在矩形中，，，点、分别是、上的两点，连接、，，求的值． （3）如图3，在四边形中，，为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，且，，．求的长． 24. 综合与实践 问题情境： 在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，E为边上任意一点，将沿折叠，点D的对应点为． 分析探究： （1）如图1，当，当点恰好落在边上时，三角形的形状为 ． 问题解决： （2）如图2，当E，F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由． （3）如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若的面积为24，，请直接写出线段的长． 25. 在正方形中，E是边上的一个动点（不与点B，C重合），连接，P为点B关于直线的对称点． （1）连接，作射线交射线于点F，依题意补全图1． ①若，求的大小（用含的式子表示）； ②用等式表示线段，和之间的数量关系，并证明； （2）已知，连接，若，M，N是正方形的对角线上的两个动点，且，连接，，直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 贵州省瓮安第二中学2024-2025学年八年级 下学期6月期中数学试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列运算中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键．根据二次根式的加法，减法，乘法运算可进行排除选项． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，故符合题意； B、，原计算正确，故不符合题意； C、，原计算正确，故不符合题意； D、，原计算正确，故不符合题意； 故选：A． 2. 城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．如图，某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街清理出了一块可以绿化的空地（阴影部分）．若，，，，则这块可以绿化的空地（阴影部分）的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，求阴影部分的面积，先根据勾股定理求出，再根据逆定理说明是直角三角形，然后根据得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴． ∵，， ∴，， ∴是直角三角形，， ∴． ∴这块可绿化的空地的面积为． 故选：C． 3. 下列运算中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：根据二次根式的运算法则分别判断即可： A、和不是同类根式，不可合并，故此选项运算错误，符合题意； B、，故此选项运算正确，不合题意； C、，故此选项运算故此选项运算正确，不合题意； D、，故此选项运算正确，不合题意． 故选A． 考点：二次根式的运算. 4. 如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（ ） A. OA＝OC，OB＝OD B. AB＝CD，AO＝CO C. AB＝CD，AD＝BC D. ∠BAD＝∠BCD，AB∥CD 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、∵OA=OC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意； B、由AB=CD，故选项B符合题意； C、∵AB=CD， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意； D、∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCD=180°， ∵∠BAD=∠BCD， ∴∠ABC+∠BAD=180°， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：B． 5. 如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于、两点；②分别以、为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交边于点．若，，则线段的长为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由尺规作图痕迹可知，BD是∠ABC的角平分线，过D点作DH⊥AB于H点，根据全等证明出BC=BH,设DC=DH=x则AD=AC-DC=8-x，BC=BH=6，AH=AB-BH=4，在Rt△ADH中，由勾股定理得到 ，由此即可求出x的值． 【详解】解：由尺规作图痕迹可知，BD是∠ABC的角平分线， 过D点作DH⊥AB于H点， ∵∠C=∠DHB=90°， ∴DC=DH， ， ∵∠C=∠DHB=90°，∠HBD=∠CBD，BD=BD ∴△BHD≌△BCD（AAS） ∴ BC=BH 设DC=DH=x，则AD=AC-DC=8-x，BC=BH=6，AH=AB-BH=4， 在Rt△ADH中，由勾股定理：， 代入数据：，解得，故， 故选：A． 【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图，在角的内部角平分线上的点到角两边的距离相等，勾股定理等相关知识点，熟练掌握角平分线的尺规作图是解决本题的关键． 6. 已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了实数的数轴表示，二次根式以及绝对值的化简，熟练掌握二次根式和绝对值的性质是解题的关键．根据数轴可知，，进而得到，，根据二次根式的性质，以及绝对值的性质进行化简计算即可． 【详解】解：根据实数a，b在数轴上的位置可得：，， ，， ，，， ， 故选：B． 7. 如图，在菱形中，，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质、30°角所对直角边等于斜边的一半等知识点，关键是熟练掌握菱形的性质． 连接，交于O．先证明是等边三角形，由，得到，即可得到，利用勾股定理求出的长度，进而求得的长度即可． 【详解】解：连接，交于O． ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 8. 下列说法不正确的是（ ） A. 四条边相等的四边形是菱形 B. 矩形的对角线互相垂直且相等 C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D. 正方形的对角线相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，菱形的判定，根据菱形的判定定理，正方形的性质定理以及矩形的性质定理判断即可，熟练掌握性质和判定定理是解题的关键． 【详解】、四边相等的四边形是菱形，此选项说法正确，不符合题意； 、矩形的对角线互相平分且相等，此选项说法不正确，故符合题意； 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，此选项说法正确，不符合题意； 、正方形的对角线相等，此选项说法正确，不符合题意； 故选：． 9. 按一定规律排列的单项式：，第个单项式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的探究规律，通过观察单项式的系数发现第n个单项式的系数为；由，发现第n个单项式的字母次数是，即可求解． 【详解】通过观察单项式的系数发现：第n个单项式的系数为， ∵， ∴第n个单项式的字母次数是， ∴第n个单项式为， 故选：C． 10. 已知代数式，下列说法不正确的是（ ） A. 代数式有最大值 B. 代数式有最小值 C. 代数式值随a的增大而增大 D. 代数式值不可能为0 【答案】D 【解析】 【分析】该题主要考查了二次根式的性质，解题的关键是求出a的取值范围； 根据二次根式的非负性即可求出，即可判断； 【详解】代数式， ， 即， 故当时，有最小值， 当时，有最大值， 当时，，解得， 故时，代数式值为0； a越大越大，越小，则越大， 故选：D． 11. 如图，在正方形ABCD外取一点E，连接DE，AE，CE，过点D作DE的垂线交AE于点P，若DE＝DP＝1，PC＝．下列结论：①△APD≌△CED；②AE⊥CE；③点C到直线DE的距离为；④S正方形ABCD＝5+2，其中正确结论的序号为（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ①②③④ D. ①② 【答案】B 【解析】 【分析】①利用同角的余角相等，易得，再结合已知条件用可证明两三角形全等；②利用①中的全等，可得，再结合三角形外角性质可证；③过点作的延长线于点，利用勾股定理可求，利用为等腰直角三角形，可证为等腰直角三角形，再利用勾股定理可求，；④在中，利用勾股定理可求，即是正方形的面积，从而可得答案． 【详解】解：①， ． ， 在正方形中，，， ． 在和中， ， ， 故①正确； ②， ， 又，， ． 即，故②正确； ③过点作的延长线于点，如图， ，， ． 又， ． ， ． ， ， 即点到直线的距离为，故③错误； ④，， 在中，， ， 故④正确． 综上所述，正确结论的序号为①②④， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，正方形面积的计算，勾股定理等知识，等腰直角三角形的性质，证明，进而结合全等三角形的性质分析是解题关键． 12. 如图，在，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，先求出，则，，则BE=CE=3，得到AD=BC=，再求出AB的长度，即可求出面积． 【详解】解：由题意，如图： 在中，有，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴△ABF和△BCE是等腰直角三角形， ∴BE=CE=3，AF=BF， ∴， ∴， ∴AF=BF=， ∴AB=， ∴的面积是：； 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，以及四边形的内角和等于360度，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行解题． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，请把正确答案填写在答题卡相应位置上．） 13. 如图，△AOB是等腰三角形，OA＝OB，点B在x轴正半轴上，点A的坐标是（1，1），则点B的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】勾股定理求得的长，根据，点B在x轴的正半轴上，即可求解． 【详解】根据勾股定理得：OA= ， ∴OB=OA=， ∵点B在x轴的正半轴上， ∴点B的坐标是（，0）， 故答案为（，0）． 【点睛】本题考查了勾股定理，坐标与图形，求得长是解题的关键． 14. 如图，在中，，，，将从点A出发沿底边中线方向平移得到，当时，重叠部分的周长是_______． 【答案】 【解析】 【分析】在中，，，，求出，根据直角三角形的性质得出，从而得出，即可得，根据，得出，，根据平移可得，证明是等边三角形，得出，证明，即可得，，即可求出三角形的周长． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， 根据平移可得， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴重叠部分的周长， 故答案为：． 【点睛】该题考查了平移的性质，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 15. 如图，四边形的对角线，相交于点O，若，，想要判断四边形是菱形，则可以添加一个条件是_____________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据菱形的判定方法进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， 如果添加，可以通过有一组邻边相等的平行四边形是菱形，判断四边形为菱形； 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定，平行线的性质，菱形的判定，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法． 16. 如图，等腰中，，，于点，的平分线分别交、于、两点，为的中点，的延长线交于点，连接，下列结论：①；②；③垂直平分；④，其中正确结论有________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】求出，，，证，即可判断①，证，推出，即可判断④；根据，得到，推出不是的中位线，于是得到不能垂直平分，故③错误；连接，利用等腰三角形的判定与性质得到，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判断②． 【详解】解：，，， ，，， ， 平分， ， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ①正确； 在和中， ， ， ， ， ， ④正确； 连接，如图， ∵， ， ∴， ∴． ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴为斜边上的中线， ∴， ∴为等腰三角形， ∴②正确； 若，则，若平分，则是的中位线， ， ， 不是的中位线， 不能垂直平分，故③错误； 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，直角三角形斜边上中线性质的应用，能正确证明推出两个三角形全等是解此题的关键，主要考查学生的推理能力． 三、解答题（本大题共9小题，共98分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查实数的运算、分式的运算： （1）根据求算术平方根和负整数指数幂、有理数的减法的运算法则计算即可； （2）先通分，然后求解即可． 【详解】（1）原式 （2）原式 将代入，得 原式 18. 如图，在矩形中，，，延长到点E，使，连接．若动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着向终点E运动，连接．设点P运动的时间为t秒． （1）直接写出的长； （2）求当为何值时，和全等？ （3）是否存在，使为等腰三角形？若存在，请求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）当或4或时，为等腰三角形 【解析】 【分析】（1）根据题可得，然后根据勾股定理即可求解； （2）根据题意，当，即，进而即可求解； （3）分三种情形：或或，分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴， 【小问2详解】 当，即时， 则， 【小问3详解】 若为等腰三角形，则或或， 当时， ，， ， ． 当时， ， ． 当时， ， ， 在中，， ， ， ，． 综上所述，当或或时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形端点性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论 思想思考问题． 19. 如图，在中，，，，，求、的长 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、三角形面积公式，由勾股定理得出，再由三角形面积公式计算即可得出的长． 【详解】解：在中，，，， ， ， ，即， ． 20. 有一块长方形纸板，嘉琪用如图1所示的方式，在纸板上截出两块面积分别为和的正方形纸板． （1）求截出的这两块正方形纸板的边长； （2）嘉琪用截出的两块正方形纸板按如图2所示的方式进行拼接，得到两个直角三角形（阴影部分），求这两个直角三角形的面积之和； （3）现有若干完全相同长方形纸板，每个长方形纸板恰好可以截出两块面积分别为和的正方形，嘉琪打算将截完正方形后剩余的小长方形纸板再次进行裁剪拼接，铺满（2）中得到的两个直角三角形（阴影部分），那么她至少要用多少块这样的小长方形纸板？ 【答案】（1）面积为的正方形边长为，，面积为的正方形边长为 （2）这两个直角三角形的面积之和为 （3）至少要用6块剩余小长方形纸板就可以将两个直角三角形（阴影部分）铺满 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的实际应用，理解题意是关键． （1）利用算术平方根的含义，结合二次根式的化简可得答案； （2）先列式，再利用二次根式的乘法运算计算即可； （3）先得到剩余小长方形纸板边长分别为和，可得剩余小长方形的面积为，从而可得答案． 【小问1详解】 解：， 面积为的正方形边长为， 同理，面积为的正方形边长为； 【小问2详解】 得到的这两个直角三角形的直角边长分别为和， 这两个直角三角形的面积之和为； 【小问3详解】 的正方形边长为，的正方形边长为 ∴剩余小长方形纸板的边长分别为和 ∴剩余小长方形的面积为 ∴至少要用6块剩余小长方形纸板就可以将两个直角三角形（阴影部分）铺满． 21. 如图，在中，点是对角线的中点，某数学学习小组要在上找两点，，使四边形为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下： 甲方案 乙方案 分别取，的中点， 作于点，于点 请回答下列问题： （1）选择其中一种你认为正确的方案进行证明； （2）在（1）的基础上，若，，求的面积． 【答案】（1）选择方案及证明见解析 （2）32 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． （1）甲方案，由平行四边形的性质得，，则，由，、分别是、的中点，得，可证明，得，，所以，则，即可证明四边形是平行四边形； 乙方案，由于点，于点，得，，由平行四边形的性质得，，则，可证明，得，即可证明四边形是平行四边形； （2）由，，推导出，则，所以，则，所以． 【小问1详解】 解：选甲方案， 证明：四边形是平行四边形， ，， ， 是对角线的中点， ， 、分别是、的中点， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， 四边形是平行四边形；故甲方案正确； 选乙方案， 证明：于点，于点， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形，故乙方案正确； 【小问2详解】 解：由（1）得， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积是32． 22. 如图，在梯形中，，，，，，求梯形的面积． 【答案】 【解析】 【分析】作、，垂足为点E、点F，证明四边形为矩形，根据直角三角形的性质求得，再根据勾股定理求得，由于，得到的长，求得的长度，利用梯形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图，作、，垂足为点E、点F， ∵，， ∴ ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了梯形的面积公式，勾股定理，矩形的判定与性质，含角直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质等，求得梯形的底边长是解题的关键． 23. 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对四边形做了如下探究． （1）如图1，在正方形中，点、分别是、上的两点，连接、，，则的值为______． （2）如图2，在矩形中，，，点、分别是、上的两点，连接、，，求的值． （3）如图3，在四边形中，，为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，且，，．求的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质得到，由此即可得到答案； （2）设与交于点G，证明，根据相似三角形的性质即可得到结论； （3）过点C作交的延长线于点H，证明，列出比例式，即可得到答案． 【小问1详解】 设与交于点G，如图1所示： ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， 故答案为：1； 【小问2详解】 如图2，设与交于点G， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 过点作交的延长线于点，如图所示： ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题是相似综合题，考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及正方形的性质，矩形的性质，灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理及作出合理的辅助线是解题的关键． 24. 综合与实践 问题情境： 在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，E为边上任意一点，将沿折叠，点D的对应点为． 分析探究： （1）如图1，当，当点恰好落在边上时，三角形的形状为 ． 问题解决： （2）如图2，当E，F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由． （3）如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若的面积为24，，请直接写出线段的长． 【答案】（1）等边三角形；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的性质及折叠的性质可得，，可得四边形是菱形，可知，根据即可得是等边三角形； （2）利用折叠的性质可得，，结合三等分点可知，进而可得，利用三角形外角性质可得，进而可知，可得四边形是平行四边形，再结合平行四边形的性质即可得与的数量关系； （3）由折叠可知：，，易知为等腰直角三角形，延长交于，可知，由平行四边形的性质可得，，，进而可知由的面积为24，，得，求得，可得，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是平行四边形， ∴，，则 由折叠可知：，，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴是等边三角形， 故答案为：等边三角形； （2），理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵E，F为边的三等分点， ∴， 由折叠可知：，， 则， ∴， 由三角形外角可知：， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴，则， ∴； （3）由折叠可知：，， ∴，则为等腰直角三角形， ∴， 延长交于，则 ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，，即， ∴ ∵的面积为24，，即：， ∴， 则， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的判定及性质，菱形的判定及性质，翻折的性质，等边三角形的判定，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键． 25. 在正方形中，E是边上的一个动点（不与点B，C重合），连接，P为点B关于直线的对称点． （1）连接，作射线交射线于点F，依题意补全图1． ①若，求的大小（用含的式子表示）； ②用等式表示线段，和之间的数量关系，并证明； （2）已知，连接，若，M，N是正方形的对角线上的两个动点，且，连接，，直接写出的最小值． 【答案】（1）补全图形见解析，①；②，证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）①根据题意补全图形，由轴对称的性质可得出，由正方形的性质可得出，，由三角形内角和定理即可得出 ②过点A作于点G，则，由等腰三角形三线合一的性质可得出，由①可知，，，即可求出，进一步可得出，由勾股定理可得出，由线段的和差关系可得出，变形即可得证． （2）由对称得，，结合等腰三角形的性质得点E为的中点，过点A作，且，则四边形为平行四边形，那么的最小值就等于，当点G，M，E三点共线时，取最小值，由题意得，过点G作交于点Q，作交延长线于点H，则四边形为矩形，有，，求得，对应有，，利用勾股定理求得，即可求得的最小值． 【小问1详解】 解：补全图形如下： ①∵点P与点B关于直线对称 ∴垂直平分，，且， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴ ②过点A作于点G，如下图：则 ∵， ∴， ∵， 由①可知，，， ∴ ∴， ∴ 在中，， ∴， 即． 【小问2详解】 由对称性得，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 则, ∴E为的中点， ∵， ∴， 过点A作，且， 则四边形为平行四边形， ∴，， ∴的最小值就等于， ∴当点G，M，E三点共线时，取最小值， ∵， ∴， 过点G作交于点Q，作交延长线于点H， 则四边形为矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 则的最小值为． 【点睛】本题主要考查轴对称的性质、正方形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理以及平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟悉正方形和等腰三角形的性质，作出辅助线和利用动态的思想找到对应的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$