专题8.5 空间直线、平面的平行（9类必考点）讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

专题8.5 空间直线、平面的平行 【知识梳理】 1 【考点1：等角定理】 4 【考点2：判断或证明线面平行】 6 【考点3：线面平行的性质】 10 【考点4：由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置】 14 【考点5：由线面平行求线段长度】 17 【考点6：判断或证明面面平行】 21 【考点7：面面平行证明线线平行】 26 【考点8：面面平行证明线面平行】 29 【考点9：面面平行证明面面平行】 33 【知识梳理】 1．直线与直线平行 (1)基本事实 ①自然语言：平行于同一条直线的两条直线平行. ②符号语言：a,b,c是三条不同的直线，若a∥b，b∥c，则a∥c. ③作用：判断或证明空间中两条直线平行. (2)空间等角定理 ①自然语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. ②符号语言：如图(1)(2)所示，在∠AOB与∠A'O'B'中，OA∥O'A'，OB∥O'B'，则∠AOB=∠A'O'B' 或∠AOB+∠A'O'B'=. 2．直线与平面平行 (1)判定定理 ①自然语言 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行. ②图形语言 ③符号语言 . 该定理可简记为“若线线平行，则线面平行”. (2)性质定理 ①自然语言 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行. ②图形语言 ③符号语言 . 该定理可简记为“若线面平行，则线线平行”. (3)性质定理的作用 ①作为证明线线平行的依据.当证明线线平行时，可以证明其中一条直线平行于一个平面，另一条直线是过第一条直线的平面与已知平面的交线，从而得到两条直线平行. ②作为画一条与已知直线平行的直线的依据.如果一条直线平行于一个平面，要在平面内画一条直线与已知直线平行，可以过已知直线作一个平面与已知平面相交，交线就是所要画的直线. 3．平面与平面平行 (1)判定定理 ①自然语言 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行. ②图形语言 ③符号语言 . 该定理可简记为“若线面平行，则面面平行”. (2)判定定理的推论 ①自然语言 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行. ②图形语言 ③符号语言 . (3)性质定理 ①自然语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行. ②图形语言 ③符号语言 . 该定理可简记为“若面面平行，则线线平行”. (4)两个平面平行的其他性质 ①两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面. ②平行直线被两个平行平面所截的线段长度相等. ③经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. ④两条直线同时被三个平行平面所截，截得的线段对应成比例. ⑤如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行. 【注】 1．垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α//β. 2．平行于同一个平面的两个平面平行，即若α//β，β//γ，则α//γ. 3．垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a//b. 4．若α//β，aα，则a//β. 4．平行关系的相互转化及综合应用 (1)证明线线平行的常用方法 ①利用线线平行的定义：在同一平面内，不相交的两条直线是平行直线. ②利用基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行. ③利用三角形的中位线定理：三角形的中位线平行且等于底边的一半. ④利用平行线分线段成比例定理. ⑤利用线面平行的性质定理. ⑥利用面面平行的性质定理. ⑦利用反证法：假设两条直线不平行，然后推出矛盾，进而得出两条直线是平行的. (2)证明线面平行的常用方法 ①利用线面平行的定义：直线与平面没有公共点. ②利用直线与平面平行的判定定理：a，a∥b，b，则a∥.使用定理时，一定要说明“平面外 一条直线与此平面内的一条直线平行”，若不注明，则证明过程不完整.因此，要证明a∥，则必须在平面内找一条直线b，使得a∥b，从而达到证明的目的，这三个条件缺一不可. ③利用面面平行的性质：若平面∥平面，直线a，则a∥. ④利用反证法.这时“平行”的否定有“在平面内”和“与平面相交”两种，只有在排除“直线在平面内”和“直线与平面相交”这两种位置关系后才能得到“直线与平面平行”的结论，在这一点上往往容易出错，应引起重视. (3)平面与平面平行的判定方法 ①根据定义：证明两个平面没有公共点，但有时直接证明非常困难. ②根据判定定理：要证明两个平面平行，只需在其中一个平面内找两条相交直线，分别证明它们平行 于另一个平面，则这两个平面平行. ③根据判定定理的推论：在一个平面内找到两条相交的直线分别与另一个平面内两条相交的直线平行， 则这两个平面平行. ④根据平面平行的传递性：若两个平面都平行于第三个平面，则这两个平面平行. ⑤利用反证法. (4)平行关系的相互转化 常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种关系不是孤立的，而是相互联系、相互转 化的，如图所示. 【考点1：等角定理】 1．（25-26高一下·全国·课后作业）若，，且，则等于（    ） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】C 【详解】因为，，且，根据等角定理， 可得或． 2．（多选）（25-26高一下·新疆省直辖县级单位·月考）如图所示，在四面体中，M，N，P，Q，E分别是的中点，则下列说法正确的是（    ） A．四边形是菱形 B． C． D．四边形为矩形 【答案】BC 【分析】由由等角定理即可判断BC，由三角形的中位线即可判断四边形形状判断A，D. 【详解】由三角形中位线的性质知，，，， 所以，所以四边形为平行四边形，但不能确定是否为菱形或矩形，故AD不正确． 在中中位线定理得同理在中，由中位线定理得, 所以由等角定理知，，所以B正确; 在中，由中位线定理得 所以, 所以由等角定理可知，，,, 所以，所以C正确; 故选：BC． 3．（2026高二·上海·专题练习）已知空间中的两个角和，若，则_____. 【答案】 【分析】根据等角定理可得. 【详解】由等角定理可知与相等或互补， 所以或. 故答案为：或. 4．（25-26高二上·上海·期中）空间中两个角和，若，则的大小是______ 【答案】或 【分析】根据和相等或者互补即可求解. 【详解】因为， 所以和相等或者互补， 所以或. 故答案为:或. 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，已知直线，为异面直线，为直线上三点，，，为直线上三点，分别为，，，，的中点.若，则______. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用三角形中位线的性质、平行公理及等角定理求解. 【详解】由分别是，的中点，得，同理， 则，，又的两边和的两边的方向分别相同， 因此，所以. 【考点2：判断或证明线面平行】 1．（25-26高三·北京·二轮复习）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，G，F分别是线段，的中点.求证：平面. 【答案】证明见解析 【详解】连接，因为四边形为正方形，G是线段的中点， 所以G是线段的中点. 又因为F是线段的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面. 2．（2026高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，分别为CD，PA的中点.证明：平面PBC； 【答案】证明见解析 【分析】利用线面平行的判定定理，结合三角形中位线的性质及平行四边形的性质推理得证. 【详解】取PB中点，连接，由分别为的中点， 得且，且， 则，且，因此四边形为平行四边形， 则，而平面平面， 所以平面. 3．（2026高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，．若是棱的中点，证明：平面； 【答案】证明见解析 【分析】设与的交点为，连接，结合中位线定理，利用线面平行的判定定理证明即可. 【详解】设与的交点为，连接， 因为是菱形，所以是线段的中点， 又是棱的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面. 4．（2026高三·全国·专题练习）如图，在四棱台中，上、下底面均为正方形，底面，，，，点为棱的中点.    求证：平面； 【答案】证明见解析 【分析】要证明线面平行，需要通过证明线线平行得到线面平行，即证明. 【详解】证明：连接交于点，如图所示：    由是正方形得为的中点， 因为为的中点，所以为的中位线， 于是，又因为平面，平面， 所以平面. 5．（25-26高一下·重庆·月考）如图，在正方体中，．、、分别为、、中点． (1)求三棱锥的表面积； (2)求证：平面． 【答案】(1)4 (2)证明见解析 【分析】（1）借助正方体的结构特征求出三棱锥的表面积. （2）利用线面平行的判定定理证明即可. 【详解】（1）在正方体中，，、、两两垂直， 因为、、分别为、、中点，所以， 则，. 等腰底边上的高. 所以三棱锥的表面积为： . （2） 连接，，设与的交点为，连接. 因为、是正方体中对边、的中点， 所以，， 所以四边形是平行四边形，所以为中点. 又为中点，所以. 又平面，平面， 所以平面. 【考点3：线面平行的性质】 1．（25-26高一下·福建龙岩·期中）已知a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】B 【分析】根据线面、面面平行的性质定理与判定定理判断即可. 【详解】已知a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面， 若，，则或，A选项错误； 若，，，则由线面平行的性质定理可知，，B选项正确； 若，，则或，C选项错误； 若，，则或与异面，D选项错误. 2．（25-26高三·北京·二轮复习）已知四棱锥中，底面为直角梯形，平面，，，，是的中点.为的中点，为上一点，平面，证明：为中点. 【答案】证明见解析 【详解】如图，取的中点为，由三点确定一个平面，交于点， 由平面，平面， 平面平面，可得， 又因为为的中点，所以，， 又因为，所以， 由平面，平面，所以平面， 又因为平面，平面平面，所以， 又因为，所以， 则四边形是平行四边形，故， 又因为， 是的中点.， 所以，结合， 可得是的中位线，即为中点. 3．（25-26高三·北京·二轮复习）如图，在多面体中，四边形，均为矩形，点为线段上一点，且平面.若平面，求证：点是的中点. 【答案】证明见解析 【分析】根据给定条件，利用线面平行的性质推理得证. 【详解】连接，交于点，连接， 由平面，平面，平面平面，得， 在矩形中，点为线段的中点，所以点是的中点. 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，为平面外一点，分别是的中点．记平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并加以证明． 【答案】直线//平面，证明见解析 【分析】利用线面平行的判定、性质推理判断并证明. 【详解】直线平面，证明如下： 分别是的中点，得， 又平面，且平面，则平面， 而平面，且平面平面，因此， 又平面，平面，所以平面. 5．（2026·江苏南京·模拟预测）在正三棱锥中，平面，垂足为点O，过O作平面与棱，，，交于点D，E，F，G. (1)求证：E，O，F三点共线； (2)若四边形为平行四边形，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）因为是平面与平面的交线，由平面基本事实即可得E，O，F三点共线； （2）由线面平行的性质结合条件可得，易得为重心，则，进而可. 【详解】（1）因为平面，平面，所以平面. 同理平面，所以平面平面. 又因为平面，平面，所以. 即E，O，F三点共线. （2）若四边形为平行四边形，则. 又平面，平面，所以平面. 又平面，平面平面，所以. 在正三棱锥中，平面， 则为正三角形的中心，即为重心. 连接并延长交于点Q，则. 由（1）可知，.又，则. 所以. 【考点4：由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置】 1．（25-26高二上·河南南阳·月考）如图，一个正四棱台的上底边长是下底边长的一半，经过点的平面与直线交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正四棱台的性质，作出面与直线的交点，进而求出结果. 【详解】连接，且，连接并延长交直线于，连接，如下图所示， 因为，所以面，所以面， 由正四棱台性质可知，，所以四点共面， 所以直线和直线相交，交点即为经过点的平面与直线交于点； 因为正四棱台的上底边长是下底边长的一半，则，则， 所以，可得. 故选：A. 2．（25-26高二上·上海浦东新·月考）如图，已知点在平行四边形所在平面外，为线段上靠近的三等分点，为线段上一点，当平面时，___________． 【答案】 【分析】连接，连接，利用平行线分线段成比例定理及线面平行的性质列式求解. 【详解】连接，连接，由，为线段上靠近的三等分点， 得，，由平面，平面平面， 平面，得，所以. 故答案为： 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，已知正三棱柱（底面是正三角形，侧面是矩形的棱柱）中，是上的点，是的中点，且平面．试判断点在上的位置，并给出证明． 【答案】为的中点，证明见解析 【分析】取的中点，连接，，设与交于点，结合图形，根据线面平行的性质定理得出，从而可证得是的中点，继而判断点在上的位置. 【详解】为的中点，证明如下： 取的中点，连接，， 设与交于点，易证且． 易知，，，共面， 因为平面，平面，且平面平面． 所以． 在平行四边形中，因为，且，所以是的中点， 所以点为的中点． 4．（25-26高三·全国·二轮复习）如图，四棱锥中，底面是菱形，，分别是棱，上的点，平面，且.求证：. 【答案】证明见解析 【分析】设，连接交于点，连接，过点作，交于点，根据线面平行的性质证明，再利用相似比即可得出结论. 【详解】如图，设，连接交于点，连接， 平面，平面，平面平面， ， 为的中点，， 过点作，交于点，则， ，，，即. 5．（25-26高一下·全国·单元测试）在四棱锥中，O为与的交点，平面，是正三角形，，． (1)求异面直线和所成角的大小； (2)若点E为棱上一点，且平面，求的值． 【答案】(1)． (2)． 【分析】（1）根据异面直线的定义可得为所求角，即可利用线面垂直的性质求解； （2）根据线面平行的性质可得，即可由相似求解. 【详解】（1）因为，所以异面直线和所成角为和所成角，即． 因为是正三角形，， 所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以是等腰直角三角形， 所以， 即异面直线和所成角为． （2）因为平面，平面， 平面平面，所以，所以， 因为，，所以， 所以． 【考点5：由线面平行求线段长度】 1．（25-26高三上·贵州贵阳·期中）如图，四棱锥 的所有棱长都等于 5，点 在线段 上，且满足 ，过 三点的平面与交于点，则四边形的周长为（   ） A． B．16 C．14 D． 【答案】A 【分析】通过四棱锥 的所有棱长都等于 5，确定其为正四棱锥，再结合余弦定理求得，即可求解. 【详解】四棱锥 的所有棱长都等于 5， 所以四棱锥为正四棱锥， 所以是正方形， 因为；又平面，平面， 所以平面； 又平面平面， 所以，所以； 因为，所以，所以； 中，，所以； 同理， 所以四边形DEFC的周长为， 故选：A． 2．（23-24高一下·上海嘉定·期末）如图，是棱长为2的正方体的棱上一点，且面，则线段的长度是_________. 【答案】 【分析】连接与相交于点，则点是的中点，利用线面平行的性质定理可得，即点是的中点，求出可得答案. 【详解】连接与相交于点，连接，则点是的中点， 平面平面， 因为平面，所以， 可得点是的中点， 所以, 故答案为：, 3．（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，四边形是梯形，，且平面，，与平面分别交于点，，且点是的中点，，，则_________． 【答案】5 【分析】运用线面平行的性质得到线线平行，结合梯形中位线性质解题即可. 【详解】因为平面，平面，平面平面，所以， 又点是的中点，，所以是梯形的中位线，结合已知有． 故答案为：5. 4．（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，，是的另一侧的点，，线段分别交于，若，则________，________． 【答案】 9 【分析】根据点的位置关系求出线段 AC 的长度；利用线面平行的性质定理得到，利用对应边成比例即可求出 EG 的长度. 【详解】在平面的下方，是与平面的交点，在直线上，因此线段， 因,，故三点可确定平面 ，平面 ,且，平面与平面,故. 则有，即有 ，代入，解得 . 5．（25-26高一下·江苏苏州·月考）在棱长为1的正方体中，分别为，的中点. (1)求五面体的体积； (2)若在线段上，平面，求的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将五面体拆成三棱锥和四棱锥，根据正方体的结构特征，以及锥体的体积公式，即可求解； （2）设，，证得，在矩形中，求得的长，根据，得到为平行四边形，结合. 【详解】（1）解：如图所示，将五面体拆成三棱锥和四棱锥， 在三棱锥中，可得， 又由正方体中，平面，，且为的中点， 所以到平面的距离等于到平面的距离，即三棱锥的高为， 在四棱锥中，可得， 又由正方体中，平面，且为的中点， 所以到平面的距离等于为，即四棱锥的高为， 所以五面体的体积. （2）解：设，，则平面平面， 又因为平面，且平面，所以， 在矩形中，由，可得， 又因为，所以四边形为平行四边形，所以 ， 所以. 【考点6：判断或证明面面平行】 1．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，分别为正方体对应棱的中点，则平面与平面的位置关系是________. 【答案】平行 【分析】根据面面平行的判定定理判断即可. 【详解】如图，分别取，，的中点，，，连接. 在正方体中，易知，. 因为，为中点，所以，，同理，， 所以，. 同理，，，，， 则平面与平面为同一平面. 因为，，且与相交，平面，与相交，，平面， 所以平面平面，即平面平面. 2．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，不在同一直线上的三点在平面α上，点、、在平面β上，且．求证：平面平面β． 【答案】证明见解析 【分析】利用平行四边形的判定与性质先证线线平行，再证线面平行，最后可证面面平行. 【详解】因为，所以四边形为平行四边形，则， 又，所以，同理得， 由已知得，，且，所以平面平面β. 3．（2026高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，平面，，，，，，证明：平面平面 【答案】证明见解析 【分析】利用面面平行的判定定理证明即可得出结论. 【详解】连接，如下图所示： 由于平面，平面，则. 且，，则. 又，则，故. 又，则，又， 则四边形为平行四边形，则. 又平面，平面， 则平面； 由于，，则.又， 则， 则，则，则. 平面，平面， 则平面； 又平面，结合平面，平面， 可得平面平面. 4．（25-26高三·北京·二轮复习）如图，正三角形和平行四边形在同一个平面内，AB，DE的中点分别为F，G.将沿直线AB翻折到，设CE的中点为H.求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【详解】因为四边形为平行四边形，F、G分别为的中点， 所以四边形为平行四边形，所以. 因为平面，平面，所以平面， 又H、G分别为的中点，所以. 平面，平面，所以平面， 因为FD、平面，， 所以平面平面. 5．（25-26高一下·北京朝阳·月考）如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且． (1)求证：平面； (2)已知点是棱上的一点，且，求证：平面平面． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）作辅助线，利用三角形相似得到比例关系，进而可得线线平行，结合判定定理可证结论. （2）作辅助线，根据题意可证平面，平面，进而可得面面垂直. 【详解】（1）连接、分别交于点H、O，连接， 在正方体中，且， 所以，则， 同理可得，所以，所以， 又平面，平面，所以平面. （2）连接，因为点分别为棱的中点，则， 因为，，则， 可得，则， 且平面，平面，则平面， 取的中点，连接， 因为分别为的中点，则， 又因为分别为的中点，则，， 且，，则，， 可知为平行四边形，则，可得， 且平面，平面，则平面， 又因为，平面，所以平面平面. 【考点7：面面平行证明线线平行】 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知P为△所在平面外一点，平面平面，且交线段于点，若，则:（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行平面的性质得出线线平行，再由面积比等于相似比的平方计算. 【详解】∵平面平面，平面平面，平面平面， ，同理可得， ， ∴，又， ∴，则. 2．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，是所在平面外一点，平面平面，线段分别交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由面面平行得到，再由相似三角形得到面积比为相似比的平方，即可得到相似比，求解即可． 【详解】由题意可知：平面，得，. 又由等角定理得，故， 根据相似三角形得到面积比为相似比的平方可得： ，即. 故选：D. 3．（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）已知平面平面是外一点，过点的直线与分别交于，过点的直线与分别交于且，，，则的长为（    ） A．16 B． C．24 D．20 【答案】BC 【分析】由点在平面与平面的同侧时和点在平面与平面之间时进行求解． 【详解】连接，，当点在的延长线上，即点在平面与平面的同侧时，如图（1） 由平面平面，平面平面，平面平面， 得，则， 由，，，得，所以； 当点在线段上，即点在平面与平面之间时，如图（2）， 同理得，而，，， 则，解得，因此. 所以的长为或24． 4．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，已知，分别交于，且，，，则与的关系为________，________. 【答案】 平行 【详解】因为平面，平面，且，所以， 又，，所以. 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，平面平面，，分别在，内，线段，，共点于，在平面和平面之间，若，，，，求的面积． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用面面平行的性质证得线线平行，进而证得三角形相似，再利用相似三角形性质求出面积. 【详解】由，则，所在平面与平面，平面的交线分别为，， 而平面平面，则有，， 同理，， 因此，它们的面积之比为， 又的面积为， 所以的面积为. 【考点8：面面平行证明线面平行】 1．（25-26高一下·浙江丽水·期中）四棱锥的底面为平行四边形，如图所示，点是棱上一点，，若且满足平面，则________． 【答案】/0.5 【分析】连接BD，交AC于点O，连接OE，利用中位线性质和线面平行的判定证明平面ACE，结合平面ACE，则证明平面平面ACE，再利用面面平行的性质则有，即可得到答案. 【详解】如图，连接BD，交AC于点O，连接OE， 由四边形是平行四边形，得， 在线段PE上取点G，使得，由，得， 连接BG，FG，则，由平面，平面， 得平面，而平面，，平面， 因此平面平面，又平面平面，平面平面， 则，所以. 2．（25-26高三·上海·二轮复习）在棱长为2的正方体中，是棱的中点，点满足，点在侧面内，且平面，则点的轨迹长度为_________． 【答案】/ 【分析】利用面面平行判定定理可证明平面平面，即可得平面，所以即为点的轨迹，求出的长即可. 【详解】如图，取上靠近的三等分点，的中点，连接，， 则在正方形中，可得. 又平面，平面，所以平面. 又因为分别是的中点，所以，且， 可知四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面. 因为平面，， 所以平面平面. 又点在侧面内，且平面， 所以即为点的轨迹，. 故答案为： 3．（25-26高二上·北京海淀·期末）如图，在棱长为4的正方体中．点是棱的中点，动点在面内，包括边界），若平面，则线段长度的取值范围是_____．    【答案】 【分析】通过构造面面平行的方法，判断出点的轨迹，从而求得的取值范围. 【详解】设分别是的中点，连接. 根据正方体的性质可知， 由于平面，平面， 所以平面， 又因，可得，则得， 由于平面，平面，所以平面， 由于平面， 所以平面平面， 因为平面，所以平面， 而平面，平面，平面平面， 故点的轨迹即线段. ， 三角形是等腰三角形，底边上的高为， 所以的取值范围是. 故答案为：    4．（25-26高三·全国·二轮复习）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，，分别为棱，的中点，且，.证明：平面. 【答案】证明见解析 【分析】取中点G，连接，通过平面，平面，得到平面平面，即可求证. 【详解】证明：如下图，取中点G，连接， 因为E，F分别为棱BC，PA的中点，G为AD中点，所以， 由在平面内，不在平面内，故平面， 由在平面内，不在平面内，故平面， 又且都在平面内，所以平面平面， 因为平面，所以平面. 5．（25-26高三·全国·二轮复习）如图，在六面体中，侧面是直角梯形，，，底面是矩形，且.设，二面角的大小为，六面体的体积为.求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】由面面平行的判定定理可得平面平面，然后由面面平行的性质定理即可证明. 【详解】 因为底面是矩形，所以， 因为平面，平面，故平面， 在直角梯形中，， 因为平面，平面，故平面， 又因为，平面， 故平面平面， 又因为平面，故平面. 【考点9：面面平行证明面面平行】 1．（25-26高三上·上海·月考）已知、、是三条不重合的直线，、、是三个不重合的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】根据线面、面面的位置关系逐项判断，即可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，若，，，，则、平行或相交，A错； 对于B选项，若，，则、平行或相交，B错； 对于C选项，若，，则或，C错； 对于D选项，若，，则，D对. 故选：D. 2．（25-26高三下·湖南岳阳·开学考试）a，b，c为三条不重合的直线，，，为三个不重合的平面，现给出下面六个命题： ①，，则；②若，，则； ③，，则；④若，，则； ⑤若，，则；⑥若，，则. 其中真命题的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据空间中线线平行、线面平行、面面平行的判定定理和性质定理判断即可. 【详解】，，为三条不重合的直线，，，为三个不重合的平面， ①，，则，满足直线与直线平行的传递性，所以①正确； ②，，则，可能平行，可能相交，也可能异面，所以②不正确； ③，，则，可能平行，也可能相交，所以③不正确； ④，，则，满足平面与平面平行的性质，所以④正确； ⑤，，则或，所以⑤不正确； ⑥，，则或，所以⑥不正确； 故选：C. 3．（25-26高二下·河南信阳·月考）在一次通用技术实践课上，木工小组需要将正方体木块截去一角，要求截面经过面对角线上的点（如图），且与平面平行，已知，，则截面面积等于________. 【答案】 【分析】连接交于点，连接、，过点作与平行的直线分别交、于点、，在上取点使，证明出平面平面，计算出的面积，即可得解. 【详解】如图，连接交于点，连接、. 因为且，故四边形为平行四边形，所以，， 因为平面，平面，所以，平面， 同理可证平面， 因为，、平面，所以，平面平面， 故截面平行于平面. 过点作与平行的直线分别交、于点、，在上取点使. ，，，. 因为平面，平面，所以，平面， 又因为，平面，平面，所以，平面， 因为，、平面，所以，平面平面， 易得，故， 因为， 易知是边长为的等边三角形，所以，， 因此，. 故答案为：. 4．（25-26高三·河北·一轮复习）如图所示正四棱锥，，P为侧棱上的点．且，求： (1)正四棱锥的表面积； (2)侧棱上是否存在一点E，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 【答案】(1)； (2)在侧棱上存在一点，使平面，满足． 【分析】（1）根据棱锥的表面积的计算公式即可求出结果； （2）分析可得在侧棱上存在一点，使平面，满足．证得平面平面，根据面面平行的性质定理即可证出结论. 【详解】（1）正四棱锥中，，， 侧面的高， 正四棱锥的表面积． （2） 在侧棱上存在一点，使平面，满足． 理由如下： 取中点为，因为，则， 过作的平行线交于，连接，． 在中，有， 平面，平面，平面， 由于，． 又由于， 平面，平面，平面， ，平面平面，得平面. 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.5 空间直线、平面的平行 【知识梳理】 1 【考点1：等角定理】 4 【考点2：判断或证明线面平行】 5 【考点3：线面平行的性质】 7 【考点4：由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置】 9 【考点5：由线面平行求线段长度】 11 【考点6：判断或证明面面平行】 13 【考点7：面面平行证明线线平行】 16 【考点8：面面平行证明线面平行】 17 【考点9：面面平行证明面面平行】 19 【知识梳理】 1．直线与直线平行 (1)基本事实 ①自然语言：平行于同一条直线的两条直线平行. ②符号语言：a,b,c是三条不同的直线，若a∥b，b∥c，则a∥c. ③作用：判断或证明空间中两条直线平行. (2)空间等角定理 ①自然语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. ②符号语言：如图(1)(2)所示，在∠AOB与∠A'O'B'中，OA∥O'A'，OB∥O'B'，则∠AOB=∠A'O'B' 或∠AOB+∠A'O'B'=. 2．直线与平面平行 (1)判定定理 ①自然语言 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行. ②图形语言 ③符号语言 . 该定理可简记为“若线线平行，则线面平行”. (2)性质定理 ①自然语言 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行. ②图形语言 ③符号语言 . 该定理可简记为“若线面平行，则线线平行”. (3)性质定理的作用 ①作为证明线线平行的依据.当证明线线平行时，可以证明其中一条直线平行于一个平面，另一条直线是过第一条直线的平面与已知平面的交线，从而得到两条直线平行. ②作为画一条与已知直线平行的直线的依据.如果一条直线平行于一个平面，要在平面内画一条直线与已知直线平行，可以过已知直线作一个平面与已知平面相交，交线就是所要画的直线. 3．平面与平面平行 (1)判定定理 ①自然语言 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行. ②图形语言 ③符号语言 . 该定理可简记为“若线面平行，则面面平行”. (2)判定定理的推论 ①自然语言 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行. ②图形语言 ③符号语言 . (3)性质定理 ①自然语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行. ②图形语言 ③符号语言 . 该定理可简记为“若面面平行，则线线平行”. (4)两个平面平行的其他性质 ①两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面. ②平行直线被两个平行平面所截的线段长度相等. ③经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. ④两条直线同时被三个平行平面所截，截得的线段对应成比例. ⑤如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行. 【注】 1．垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α//β. 2．平行于同一个平面的两个平面平行，即若α//β，β//γ，则α//γ. 3．垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a//b. 4．若α//β，aα，则a//β. 4．平行关系的相互转化及综合应用 (1)证明线线平行的常用方法 ①利用线线平行的定义：在同一平面内，不相交的两条直线是平行直线. ②利用基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行. ③利用三角形的中位线定理：三角形的中位线平行且等于底边的一半. ④利用平行线分线段成比例定理. ⑤利用线面平行的性质定理. ⑥利用面面平行的性质定理. ⑦利用反证法：假设两条直线不平行，然后推出矛盾，进而得出两条直线是平行的. (2)证明线面平行的常用方法 ①利用线面平行的定义：直线与平面没有公共点. ②利用直线与平面平行的判定定理：a，a∥b，b，则a∥.使用定理时，一定要说明“平面外 一条直线与此平面内的一条直线平行”，若不注明，则证明过程不完整.因此，要证明a∥，则必须在平面内找一条直线b，使得a∥b，从而达到证明的目的，这三个条件缺一不可. ③利用面面平行的性质：若平面∥平面，直线a，则a∥. ④利用反证法.这时“平行”的否定有“在平面内”和“与平面相交”两种，只有在排除“直线在平面内”和“直线与平面相交”这两种位置关系后才能得到“直线与平面平行”的结论，在这一点上往往容易出错，应引起重视. (3)平面与平面平行的判定方法 ①根据定义：证明两个平面没有公共点，但有时直接证明非常困难. ②根据判定定理：要证明两个平面平行，只需在其中一个平面内找两条相交直线，分别证明它们平行 于另一个平面，则这两个平面平行. ③根据判定定理的推论：在一个平面内找到两条相交的直线分别与另一个平面内两条相交的直线平行， 则这两个平面平行. ④根据平面平行的传递性：若两个平面都平行于第三个平面，则这两个平面平行. ⑤利用反证法. (4)平行关系的相互转化 常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种关系不是孤立的，而是相互联系、相互转 化的，如图所示. 【考点1：等角定理】 1．（25-26高一下·全国·课后作业）若，，且，则等于（    ） A． B． C．或 D．不能确定 2．（多选）（25-26高一下·新疆省直辖县级单位·月考）如图所示，在四面体中，M，N，P，Q，E分别是的中点，则下列说法正确的是（    ） A．四边形是菱形 B． C． D．四边形为矩形 3．（2026高二·上海·专题练习）已知空间中的两个角和，若，则_____. 4．（25-26高二上·上海·期中）空间中两个角和，若，则的大小是______ 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，已知直线，为异面直线，为直线上三点，，，为直线上三点，分别为，，，，的中点.若，则______. 【考点2：判断或证明线面平行】 1．（25-26高三·北京·二轮复习）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，G，F分别是线段，的中点.求证：平面. 2．（2026高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，分别为CD，PA的中点.证明：平面PBC； 3．（2026高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，．若是棱的中点，证明：平面； 4．（2026高三·全国·专题练习）如图，在四棱台中，上、下底面均为正方形，底面，，，，点为棱的中点.    求证：平面； 5．（25-26高一下·重庆·月考）如图，在正方体中，．、、分别为、、中点． (1)求三棱锥的表面积； (2)求证：平面． 【考点3：线面平行的性质】 1．（25-26高一下·福建龙岩·期中）已知a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，则 2．（25-26高三·北京·二轮复习）已知四棱锥中，底面为直角梯形，平面，，，，是的中点.为的中点，为上一点，平面，证明：为中点. 3．（25-26高三·北京·二轮复习）如图，在多面体中，四边形，均为矩形，点为线段上一点，且平面.若平面，求证：点是的中点. 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，为平面外一点，分别是的中点．记平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并加以证明． 5．（2026·江苏南京·模拟预测）在正三棱锥中，平面，垂足为点O，过O作平面与棱，，，交于点D，E，F，G. (1)求证：E，O，F三点共线； (2)若四边形为平行四边形，求的值. 【考点4：由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置】 1．（25-26高二上·河南南阳·月考）如图，一个正四棱台的上底边长是下底边长的一半，经过点的平面与直线交于点，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·上海浦东新·月考）如图，已知点在平行四边形所在平面外，为线段上靠近的三等分点，为线段上一点，当平面时，___________． 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，已知正三棱柱（底面是正三角形，侧面是矩形的棱柱）中，是上的点，是的中点，且平面．试判断点在上的位置，并给出证明． 4．（25-26高三·全国·二轮复习）如图，四棱锥中，底面是菱形，，分别是棱，上的点，平面，且.求证：. 5．（25-26高一下·全国·单元测试）在四棱锥中，O为与的交点，平面，是正三角形，，． (1)求异面直线和所成角的大小； (2)若点E为棱上一点，且平面，求的值． 【考点5：由线面平行求线段长度】 1．（25-26高三上·贵州贵阳·期中）如图，四棱锥 的所有棱长都等于 5，点 在线段 上，且满足 ，过 三点的平面与交于点，则四边形的周长为（   ） A． B．16 C．14 D． 2．（23-24高一下·上海嘉定·期末）如图，是棱长为2的正方体的棱上一点，且面，则线段的长度是_________. 3．（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，四边形是梯形，，且平面，，与平面分别交于点，，且点是的中点，，，则_________． 4．（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，，是的另一侧的点，，线段分别交于，若，则________，________． 5．（25-26高一下·江苏苏州·月考）在棱长为1的正方体中，分别为，的中点. (1)求五面体的体积； (2)若在线段上，平面，求的长度. 【考点6：判断或证明面面平行】 1．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，分别为正方体对应棱的中点，则平面与平面的位置关系是________. 2．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，不在同一直线上的三点在平面α上，点、、在平面β上，且．求证：平面平面β． 3．（2026高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，平面，，，，，，证明：平面平面 4．（25-26高三·北京·二轮复习）如图，正三角形和平行四边形在同一个平面内，AB，DE的中点分别为F，G.将沿直线AB翻折到，设CE的中点为H.求证：平面平面. 5．（25-26高一下·北京朝阳·月考）如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且． (1)求证：平面； (2)已知点是棱上的一点，且，求证：平面平面． 【考点7：面面平行证明线线平行】 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知P为△所在平面外一点，平面平面，且交线段于点，若，则:（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，是所在平面外一点，平面平面，线段分别交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）已知平面平面是外一点，过点的直线与分别交于，过点的直线与分别交于且，，，则的长为（    ） A．16 B． C．24 D．20 4．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，已知，分别交于，且，，，则与的关系为________，________. 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，平面平面，，分别在，内，线段，，共点于，在平面和平面之间，若，，，，求的面积． 【考点8：面面平行证明线面平行】 1．（25-26高一下·浙江丽水·期中）四棱锥的底面为平行四边形，如图所示，点是棱上一点，，若且满足平面，则________． 2．（25-26高三·上海·二轮复习）在棱长为2的正方体中，是棱的中点，点满足，点在侧面内，且平面，则点的轨迹长度为_________． 3．（25-26高二上·北京海淀·期末）如图，在棱长为4的正方体中．点是棱的中点，动点在面内，包括边界），若平面，则线段长度的取值范围是_____．      4．（25-26高三·全国·二轮复习）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，，分别为棱，的中点，且，.证明：平面. 5．（25-26高三·全国·二轮复习）如图，在六面体中，侧面是直角梯形，，，底面是矩形，且.设，二面角的大小为，六面体的体积为.求证：平面. 【考点9：面面平行证明面面平行】 1．（25-26高三上·上海·月考）已知、、是三条不重合的直线，、、是三个不重合的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 2．（25-26高三下·湖南岳阳·开学考试）a，b，c为三条不重合的直线，，，为三个不重合的平面，现给出下面六个命题： ①，，则；②若，，则； ③，，则；④若，，则； ⑤若，，则；⑥若，，则. 其中真命题的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（25-26高二下·河南信阳·月考）在一次通用技术实践课上，木工小组需要将正方体木块截去一角，要求截面经过面对角线上的点（如图），且与平面平行，已知，，则截面面积等于________. 4．（25-26高三·河北·一轮复习）如图所示正四棱锥，，P为侧棱上的点．且，求： (1)正四棱锥的表面积； (2)侧棱上是否存在一点E，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $