第十章 概率（复习讲义）高一数学人教A版必修第二册

该高中数学概率复习讲义通过知识框架系统梳理了随机事件、古典概型、事件独立性等核心内容，用表格对比呈现事件关系与运算，清晰展示互斥与对立事件的区别，构建“概念-性质-应用”的递进知识脉络，突出概率公式及性质的内在联系。 讲义亮点在于分层题型设计，如结合电路元件状态分析样本空间培养数学抽象，通过抽奖问题应用古典概型公式提升数学运算，每个题型配易错点解析。基础学生可掌握公式应用，优秀学生能深化逻辑推理，助力教师实施精准复习教学。

第十章 概率（复习讲义） 1、了解随机试验、样本点、样本空间及随机事件等概念的学习,达成数学抽象及逻辑推理的核心素养. 2、了解事件、基本事件、随机事件、必然事件、不可能事件的概念；会求随机试验的有限样本空间、基本事件的个数. 3、理解事件的包含关系,事件相等、并事件(或和事件)、交事件(或积事件)的概念；理解互斥事件与对立事件的概念,弄清其关系；能根据集合间的关系判断事件的关系；能用并事件(或和事件)、交事件(或积事件)、互斥事件与对立事件的概念解决实际问题. 4、了解古典概型的概念及特点，通过利用古典概型概率公式解决简单的概率计算问题,培养数学建模及数学运算的核心素养. 5、通过具体实例,抽象出概率的性质；理解概率性质及互斥事件和对立事件的概率公式的应用. 6、了解频率与概率的关系,理解频率的稳定性，能利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法；会用随机模拟求概率. 7、结合具体实例学习事件独立性的概念，通过利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题,提升数学建模、逻辑推理与数学运算的核心素养. 一、随机事件与概率 1、有限样本空间与随机事件 (1)随机试验：对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验. (2)有限样本空间 样本点：随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，用表示. 样本空间：全体样本点的集合称为试验的样本空间，用表示. 有限样本空间：如果一个随机试验有个可能结果，则称为有限样本空间. (3)随机事件：随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示. 随机事件：样本空间的子集称为随机事件，简称事件. 基本事件：只包含一个样本点的事件称为基本事件. 事件发生：在每次试验中，当且仅当中某个样本点出现时，称为事件发生. 必然事件： 不可能事件： 必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形，这样每个事件都是样本空间的子集. 2、事件的关系和运算 定义 符号 包含关系 如果事件A发生，则事件B一定发生，我们就称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) B⊇A(或A⊆B) 相等关系 若B⊆A且A⊆B A＝B 并事件 (或和事件) 事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B) 交事件 (或积事件) 事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或AB) 互斥 事件 如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件(A∩B＝)，则称事件A与事件B互斥 A∩B＝ 对立 事件 如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B＝Ω，且A∩B＝，那么称事件A与事件B互为对立 P(A)＋P(B)＝1 注：互斥与对立事件是两个事件的关系，互斥事件不可能同时发生，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件． 3、古典概型 (1)概率：对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率. 事件的概率用表示. (2)古典概型的特点：①有限性：样本空间的样本点只有有限个；②等可能性：每个样本点发生的可能性相等. (3)古典概型概率计算公式：设试验是古典概型，样本空间包含n个样本点，事件包含其中的k个样本点，则事件发生的概率. 4、概率的基本性质 性质1：对任意事件，都有. 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即. 性质3：如果事件与事件互斥，那么. 性质4：如果事件与事件互为对立事件，那么,. 性质5：如果，那么. 性质6： 设，是一个随机试验中的两个事件，有. 二、事件的相互独立性 1、定义：对任意两个事件A与B，如果成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立． 概念理解：（1）事件A与B相互独立式事件A的发生不影响事件B发生的概率，事件B的发生不影响事件A发生的概率； （2）由连个事件相互独立的定义，容易验证必然事件、不可能事件都与任意事件相互独立，这是因为必然事件总会发生，不会受任何事件是否发生的影响；同样不可能事件总不会发生，也不会受任何事件是否发生的影响，当然他们也不影响其他事件是否发生。 2、性质：如果事件A与事件B相互独立，则与，与，与也都相互独立。 3、两个相互独立事件同时发生的概率乘法： 事件与事件相互独立，则 4、推广：两个事件的相互独立可以推广到个事件的相互独立性，即 若事件相互独立， 则这个事件同时发生的概率 三、判断事件是否相互独立的方法 1、直接法：若事件A的发生对事件B的发生概率没有影响，反之亦然，则这两个事件是相互独立的，这是从定性的角度进行判断。 2、公式法：若对两事件A，B有P(AB)=P(A)P(B)，则事件A，B相互独立. 用相互独立事件的乘法公式解题的步骤： （1）用恰当的字母表示题中有关事件； （2）根据题设条件，分析事件间的关系； （3）将需要计算概率的事件表示为所设事件的乘积或若干个事件的乘积之和(相互乘积的事件之间必须满足相互独立)； （4）利用乘法公式计算概率． 3、相互独立事件的概率计算公式 已知两个事件A，B相互独立，它们的概率分别为P(A)，P(B)，则有 事件 表示 概率 A，B同时发生 P(A)P(B) A，B都不发生 A，B恰有一个发生 A，B中至少有一个发生 A，B中至多有一个发生 四、频率与概率 1、频率的稳定性：一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称其为频率的稳定性，可以用频率fn(A)估计概率P(A). 2、频率与概率的区别与联系 ①频率是概率的近似，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率，频率本身是随机的，试验前是不能确定的． ②概率揭示随机事件发生的可能性的大小，是一个确定的常数，与试验的次数无关，概率可以通过频率来测量，某事件在n次试验中发生了nA次，当试验次数n很大时，就将作为事件A发生的概率的近似值，即． ③求一个随机事件的概率的方法是根据定义通过大量的重复试验用事件发生的频率近似地作为它的概率；任何事件A的概率P(A)总介于0和1之间，即0≤P(A)≤1，其中必然事件概率是1，不可能事件概率是0. 题型一 有限样本空间与随机事件 1．（24-25高一下·安徽六安·期末）给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（    ） ①“从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件； ②“当x为某一实数时，可使”是不可能事件； ③“明天上海要下雨”是必然事件； ④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【分析】根据必然事件，不可能事件和随机事件的定义逐个分析判断即可. 【详解】对于①，从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件，所以①正确， 对于②，“当x为某一实数时，可使”是不可能事件，所以②正确， 对于③，“明天上海要下雨”是不确定的，是随机事件，所以③错误， 对于④，“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件，所以④正确. 故选：C 2．（24-25高一下·全国·课后作业）试验：“任取一个两位数，观察个位数字与十位数字的和的情况”，则该试验的样本空间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合样本空间的概念即可求解． 【详解】由题意可知，考查的是个位数字与十位数字的和的情况， 因此样本空间中的样本点为和的结果，个位数字取值从0到9，十位数字取值从1到9， 所以该试验的样本空间为. 故选：B． 3．（25-26高一下·江西南昌·期末）给出关于满足的非空集合的四个命题，其中错误的命题是（   ） A．若任取，则是必然事件 B．若任取，则是不可能事件 C．若任取，则是随机事件 D．若任取，则是必然事件 【答案】B 【分析】根据非空集合满足的子集关系，依次分析各选项即可判断. 【详解】因为非空集合满足, 所以，对于A，根据子集的定义，任意必然有，这是必然事件，A选项正确； 对于B，当时，仍有可能，例，，取满足但，故B选项错误； 对于C，任取，则或都有可能，是随机事件，故C选项正确； 对于D，任取，则一定成立，是必然事件，故D选项正确. 故选：B 4．（25-26高一下·全国·课后作业）将一枚骰子先后抛掷两次，若先后出现的点数分别为，，则方程有实数根的样本点个数为（   ） A．18 B．19 C．20 D．21 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用列举法求出样本点个数. 【详解】一枚骰子先后抛掷两次，样本点一共有36个，由方程有实数根，得， 样本点中满足此条件的有， ，共19个. 故选：B． 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）同时投掷两枚大小质地完全相同的骰子，用表示出现的结果，其中分别为两枚骰子向上的点数，则该事件的所有结果种数为______________． 【答案】36 【分析】根据古典概型知识解答即可. 【详解】在这个试验中，和应视为2种不同的结果， 所以可知共有种结果． 故答案为：36. 6．如图，一个电路中有A、B、C三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效．把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常．    (1)写出随机试验的样本空间； (2)写出下列事件相应的样本空间的子集： ①“恰好两个元件正常”；②“电路是通路”；③“电路是断路”． [提示：这个电路的工作状态可用表示，其中分别用和表示元件A、B和C的可能状态，1表示元件处于“正常”状态，0表示元件处于“失效”状态] 【答案】(1)样本空间 (2)①；②；③ 【分析】（1）电路中有3个元器件，每个元器件都有正常或失效两种可能，并用1和0分别表示 ，由此得到样本空间. （2）由（1）的信息求出恰好两个元件正常，电路是通路，电路是断路的集合. 【详解】（1）分别用和表示元件A，B和C的可能状态，则这个电路的工作状态可用表示， 进一步地，用1表示元件的“正常”状态，用0表示“失效”状态， 则样本空间. （2）“恰好两个元件正常”等价于，且中恰有两个为1，得集合. “电路是通路”等价于，，且中至少有一个是1，得集合. “电路是断路”等价于，，或，得集合. 题型二 事件的关系与运算 1．（24-25高一下·安徽淮北·期末）掷两枚骰子，设事件两骰子出现点数之和为奇数，两骰子出现点数之和为偶数，则（   ） A．事件和事件是互斥但不对立事件 B． C．事件和事件是对立事件 D．以上均不对 【答案】C 【详解】由互斥事件和对立事件的定义知，事件和事件互斥且对立，所以A错误，C正确， 又（必然事件），所以B错误. 2．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A表示随机事件“两枚炮弹都击中飞机”，事件B表示随机事件“两枚炮弹都未击中飞机”，事件C表示随机事件“恰有一枚炮弹击中飞机”，事件D表示随机事件“至少有一枚炮弹击中飞机”，则下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定的试验过程，分析事件含有的基本事件情况逐项判断即可. 【详解】对于A，“至少有一枚炮弹击中飞机”包含两种情况：一种是恰有一枚炮弹击中飞机， 另一种是两枚炮弹都击中飞机，即发生，必发生，因此，A正确； 对于B，显然事件是事件的对立事件，因此，B正确； 对于C，“恰有一枚炮弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没击中或第一枚没击中第二枚击中，因此，C正确； 对于D，包含该试验的所有样本点，为必然事件，而事件表示“两个炮弹都击中飞机或者都没击中飞机”， 因此，D错误. 故选：D 3．（25-26高一下·贵州遵义·期末）一个袋子中有大小和质地相同的5个小球，其中有3个红球和2个白球．从袋中不放回地依次随机摸出2个小球（每次取1个小球），记事件“两次都摸到红球”，事件“两次都摸到白球”，事件“两次摸到的小球颜色不同”，事件“两次摸到的小球颜色相同”，则下列事件互为对立事件的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】由互斥事件、对立事件的概念依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，事件“两次都摸到红球”，事件“两次都摸到白球”， 从袋中不放回地依次随机摸出2个小球有可能是一红球和一白球，即事件A，B都不发生， 故A，B互斥，但并集不等于样本空间，故不是对立事件，A错误； 对于B，事件“两次都摸到红球”，事件“两次摸到的小球颜色不同”， 从袋中不放回地依次随机摸出2个小球有可能两个白球，即事件A，C都不发生， 故A，C互斥，但并集不等于样本空间，不是对立事件，B错误； 对于C，事件“两次都摸到白球”，事件“两次摸到的小球颜色不同”， 从袋中不放回地依次随机摸出2个小球有可能两个红球，即事件B，C都不发生， 故B，C互斥，但并集不等于样本空间，不是对立事件，C错误； 对于D，事件“两次摸到的小球颜色不同”，事件“两次摸到的小球颜色相同”， 由于从袋中不放回地依次随机摸出2个小球的颜色要么是相同的， 要么不同， 故，故与是对立事件， 故选：D 4．（多选题）甲、乙两人参加某商场举行的抽奖活动，中奖名额不限，设事件为“甲中奖”，事件为“乙中奖”，事件为“甲、乙中至少有一人中奖”，则下列说法错误的是（   ） A．与互斥 B．与对立 C．与互斥 D．与对立 【答案】ABD 【分析】根据题意，结合互斥事件、对立事件的概念，逐项判定，即可求解. 【详解】与可以同时发生，所以与不互斥，故A错误； 与可以同时发生，所以与不互斥也不对立，故B错误； 为甲乙都中奖，为甲乙都不中奖，与不可能同时发生，所以与互斥，故C正确； 若事件发生，则事件一定发生，故与不是互斥事件，更不是对立事件，故D错误. 故选：ABD 5．（多选题）（25-26高一下·全国·课后作业）在一次试验中，事件，，发生的概率分别为0.2，0.3，0.5，则下列说法错误的是（    ） A．与是互斥事件，也是对立事件 B．是必然事件 C． D．事件，，的关系不确定 【答案】ABC 【分析】根据给定条件，结合互斥事件、对立事件、必然事件的意义举反例说明ABC错误. 【详解】选项ABC错误，反例如下： 在一个箱子中有白球、黄球和红球若干，从中任取一球，取到红球的事件的概率为0.2， 取到黄球的事件的概率为0.3，取到黄球或红球的事件的概率为0.5， 显然与既不是互斥事件，也不是对立事件，A错误； 是“取到黄球或红球”，不是必然事件，B错误； ，C错误， 由条件无法确定事件的关系，D正确. 故选：ABC 6．（多选题）如图，一个电路中有四个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效．记“电路是通路”，“电路是断路”，“至少三个元件正常”，“恰有三个元件正常”，则（    ） A．与互斥，但不对立 B．与互斥，但不对立 C． D． 【答案】BC 【分析】分析各事件的含义，结合事件的互斥性和对立性判断选项A，B；分析的关联，判断选项C；分析的关联判断选项D． 【详解】选项A：电路不可能同时通路和断路，故，互斥成立； 全集是所有元件状态组合，覆盖了通路和断路所有情况，故是对立事件，故A错误； 选项B：表示至多两个元件正常，表示恰有三个元件正常， ，互斥成立，仅覆盖正常数，未包含 “四个元件都正常”，故不对立，故B正确； 选项C：恰有三个元件正常时，必有一个元件失效，由电路图可知： 任意三个元件正常时，电路均保持通路，即必然发生， ，故C正确； 选项D：“电路是断路”， 表示至多两个元件正常， 若正常，失效，此时正常元件数为2，但电路为通路， 故发生时不一定发生，故D错误． 故选：BC． 题型三 常规古典概型 1．已知袋子里有大小和质地完全相同的4个球，其中3个红球，1个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则两次都是红球的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用古典概型的概率公式求解即可. 【详解】依题意，不放回地依次随机摸出2个球，则两次都是红球的概率是. 故选：A. 2．（25-26高一下·河南驻马店·期末）袋子中有四个小球，分别写有“文、明、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率.利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“文、明、中、国”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数： 232  321  230  023  123  021  132  220  001 231  130  133  231  013  320  122  103  233 由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用频率估计概率的方法求解. 【详解】因为随机模拟产生了以下18组随机数： ， 其中恰好第三次就停止包含的基本事件有：023,123,132共3个， 所以由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为， 故选：B 3．（24-25高一下·江苏无锡·期末）将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷次，观察向上的点数，则点数和为的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出样本点的总数，并列举出事件“点数和为”所包含的样本点，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷次，观察向上的点数，共有个样本点， 其中事件“点数和为”所包含的样本点为：、、、，共种， 故所求概率为. 4．（25-26高一·全国·寒假作业）将四位数2025的各个数字打乱顺序重新排列，则所组成的不同的四位数（含原来的四位数）中两个2不相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用列举法求古典概型的概率即可． 【详解】将2025各个数字打乱顺序重新排列所组成的不同四位数（含原来的四位数）的基本事件有：2205、2250、5220、5022、2025、2520、2052、2502、5202共9个，所组成的不同四位数（含原来的四位数）中两个2不相邻的基本事件有：2025、2520、2052、2502、5202共5个，所以所组成的不同四位数（含原来的四位数）中两个2不相邻的概率为． 故选：A． 5．（24-25高一下·吉林·期末）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据古典概型概率公式计算. 【详解】不超过20的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，随机选取两个不同的数共有28种情况， 其中和等于30的有，这两种情况， 所以所求概率为． 故选：C. 6．（25-26高一下·贵州遵义·期末）购买手办盲盒是当下青年人的潮流之一，国产动漫手办越来越受欢迎.若某种手办盲盒产品共有三种玩偶，任意一种玩偶出现的概率相等，则购买3个盲盒能集齐3种玩偶的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定的条件，求出买3个盲盒的基本事件数，再求出集齐3种玩偶的基本事件数即可，根据古典概型求概率. 【详解】总情况数：每个盲盒有3种可能，个盲盒的总情况数为，即27种， 符合条件的情况数：要集齐三种玩偶，需在3个盲盒中包含所有3种玩偶， 共有种情况， 则购买3个盲盒能集齐3种玩偶的概率为. 故选：D 7．甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由列举法求解古典概型概率问题即可. 【详解】画出树状图：    甲、乙、丙、丁四人排成一列共有24种排法，其中丙不在排头，且甲或乙在排尾的排法共有8种，所以所求概率为． 故选：B. 题型四 概率的基本性质 1．已知事件，互斥，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由互斥事件的概率公式和对立事件概率计算公式即可求解. 【详解】， 又， 所以， 所以， 故选：D 2．袋子中有一些大小质地完全相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或白球的概率为，摸出的球是红球或黑球的概率为，则摸出的球是红球的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，设摸出红球的概率为，摸出白球的概率为，摸出黑球的概率为，由互斥事件的概率性质建立关于的等式，求解即可． 【详解】根据题意，设摸出红球的概率为，摸出白球的概率为，摸出黑球的概率为， 所以，，且， 所以，， ， 解得：， 故选：C． 3．依次投掷硬币3次，至少有一次出现正面的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对立事件可求概率. 【详解】依次投掷硬币3次，观察是否出现正面，样本空间共有个样本点， 记“一次正面都没有出现”为事件，则中有1个样本点， 故，故至少有一次出现正面的概率为， 故选：D. 4．设一个随机事件的样本空间为，事件，则下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】对于A，任意事件的概率都满足，故成立； 对于B，因是事件的对立事件，则，所以，故成立； 对于C，因为，则事件包含事件所有的样本点，所以，故成立； 对于D，由，仅能说明事件和事件的并集为样本空间，但并未说明事件和事件是否互斥， 由概率的加法公式，因此，只有当，即时，才成立，故不一定成立. 5．已知，则下列结果正确的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据事件的互斥，对立关系逐个分析选项. 【详解】对于A， ， ，A选项错误； 对于B，，B选项正确； 对于C，，C选项错误； 对于D，，D选项错误； 故选：B 6．黄山市境内风光奇绝，拥有12处国家级重点风景名胜区，在五一假期期间展现出独特的旅游魅力．对于两个旅游景点，通过大数据观测发现，游客选择景点出游的概率为，选择景点出游的概率为，两个景点都不选的概率为，则两个景点都选的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】记事件 为“选择景点 ”，事件 为“选择景点 ”，先由对立事件求得再根据一般事件的概率加法公式即可求得结果. 【详解】记事件 为“选择景点 ”，事件 为“选择景点 ”， 则事件为“两个景点都不选”，事件为“两个景点都选”. 由题意得， 由得，， ∴. 故选：B. 7．甲、乙两人下一盘棋，甲获胜的概率是0.4，甲不输的概率为0.8，则他们下成和棋的概率为________． 【答案】0.4 【分析】设事件，分析事件的关系，即可求得结果. 【详解】“甲获胜”为事件，“甲、乙和棋”为事件， 则，∴ 所以 故答案为：0.4 8．已知，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则_____. 【答案】0.4/ 【分析】根据概率的加法公式计算即可. 【详解】因为，，， ， 解得. 故答案为：0.4. 题型五 古典概型结合统计、结合概率的基本性质 1．（24-25高一下·河北邯郸·期末）抛掷一红一绿两颗质地均匀的正方体骰子，记下骰子朝上面的点数.若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果.设“两个点数之积是偶数”，“至少有一颗骰子的点数为5”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据古典概型的概率公式，结合概率的加法公式求解. 【详解】基本事件空间为： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共36个基本事件. 事件包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.共27个， 所以. 事件包含的基本事件有：，，，，，，，，，，.共11个基本事件. 所以. 事件包含的基本事件有： ，， ， ， ，.共6个基本事件. 所以. 根据概率的加法公式可得：. 故选：D 2．一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“第一次向下的数字为2或3”，事件为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（    ） A． B．事件与事件互斥 C．事件与事件相互独立 D． 【答案】C 【分析】对于A，根据古典概型的概率公求解判断，对于B，根据互斥事件的定义分析判断，对于C，根据独立事件的定义分析判断，对于D，根据和事件的概率公式求解判断. 【详解】对于A，因为有4个数字，向下的数字为2或3的有2种，所以，错误； 对于B，由题意，事件和事件有可能同时发生，如第一次向下的数字为2，第二次向下的数字为1，所以B错误， 对于C，因为两次数字和为奇数的有：，共8种，所以， 第一次数字为2或3，且两次数字和为奇数的有：，4种，所以， 因为，所以，所以事件与事件相互独立，所以C正确， 对于D，，所以D错误. 故选：C 3．（24-25高一下·江苏无锡·阶段检测）某商场开展20周年店庆购物抽奖活动（100%中奖），凡购物满500元的顾客均可参加该活动，活动方式是在电脑上设置一个包含1，2，3，4，5，6的6个数字编号的滚动盘，随机按下启动键后，滚动盘上的数字开始滚动，当停止时滚动盘上出现一个数字，若该数字是大于5的数，则获得一等奖，奖金为150元；若该数字是小于4的奇数，则获得二等奖，奖金为100元；若该数字出现其它情况，则获得三等奖，奖金为50元.现某顾客依次操作两次，则该顾客奖金之和为200元的概率为___________. 【答案】 【分析】根据古典概型，分情况计算求解. 【详解】由题意得，抽奖两次滚动盘上出现两个数字的情况为，，共36种情况， 两次抽奖奖金之和为200元包括三种情况： ①第一次与第二次都中二等奖，其包含的情况为，概率为； ②第一次中一等奖，第二次中三等奖，其包含的情况为，概率为； ③第一次中三等奖，第二次中一等奖，其包含的情况为，概率为， 所以该顾客两次抽奖后获得奖金之和为200元的概率为. 故答案为：. 4．（24-25高一下·天津·期末）读书可以增长知识，开拓视野，修身怡情．树人中学为了解本校学生课外阅读情况，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全校学生中抽出一个容量为100的样本，其中男生40名，女生60名．经调查统计，分别得到40名男生一周课外阅读时间（单位：小时）的频数分布表和60名女生一周课外阅读时间（单位：小时）的频率分布直方图． 男生一周阅读时间频数分布表 小时 频数 9 25 3 3 (1)由以上频率分布直方图估计该校女生一周阅读时间的众数和分位数； (2)由以上频数分布表和频率分布直方图估计总样本的平均数； (3)从一周课外阅读时间为的样本学生中按比例分配抽取6人，再从这6人中任意抽取2人． ①用适当的符号表示试验的可能结果，写出试验的样本空间； ②设事件为“恰好抽到一男生一女生”，写出事件的集合表示形式，并求事件的概率． （注：以各组的区间中点值代表该组的各个值） 【答案】(1)众数是3；75%分位数为 (2) (3) 【分析】(1)根据频率分布直方图，结合众数、百分位数的求法计算即可； (2)根据频数分布表直接求出男生一周课外阅读时间平均数，根据频率分布直方图，结合平均数的求法求出女生一周课外阅读时间的平均数，即可求出总样本的平均数； (3)根据频数分布表与频率分布直方图求出一周课外阅读时间为的男生与女生人数，结合古典概型的概率公式计算即可. 【详解】（1）由女生一周阅读时间的频率分布直方图知，阅读时间的众数是3， 由可知，75%分位数位于4到6之间， 设女生一周阅读时间的75%分位数为，， 解得； （2）由频数分布表估计男生一周课外阅读时间平均数 由频率分布直方图估计女生一周课外阅读时间的平均数 所以估计总样本的平均数 （3）由频数分布表，频率分布直方图知，一周课外阅读时间为的学生中男生有3人， 女生有（人） 若从中按比例分配抽取6人，则男生有1人，记为， 女生有5人，记为，，，，， 则样本空间， 共有15个样本点. 记事件 “恰好一男一女”，则 故所求概率. 5．（25-26高一下·安徽合肥·阶段检测）2026年的《政府工作报告》中有这样的描述：“培育壮大新兴产业和未来产业.实施产业创新工程，鼓励央企国企带头开放应用场景，打造集成电路、航空航天、生物医药、低空经济等新兴支柱产业. 建立未来产业投入增长和风险分担机制，培育发展未来能源、量子科技、生物制造、具身智能、脑机接口、6G等未来产业.”某市科技馆为此推出“未来科技体验周”，设置6张外观完全相同的数字体验券，其中4张为“具身智能券”，2张为“航空航天券”. (1)若小明、小红两人从中各随机抽取1张体验券（抽取后不放回），求两人抽到的体验券类型恰好不同的概率； (2)若小华先从中随机抽取1张体验券，记录类型后放回并充分搅匀，再随机抽取1张，求小华两次抽取中至少有一次抽到“航空航天券”的概率； (3)该科技馆拟制定一项互动规则来决定“智能社”与“空天社”哪个社团优先体验新项目：从6张体验券中一次性随机抽取2张，若2张券类型相同，则“智能社”优先，若2张券类型不同，则“空天社”优先，请通过计算判断该规则是否公平，并说明理由. 【答案】(1) (2) (3)该规则不公平，理由见解析. 【分析】（1）确定不放回抽样，通过列举所有等可能样本点，找出 “类型不同” 的样本点，利用古典概型概率公式计算，即目标事件数除以总样本数. （2）采用 “正难则反” 策略，先求两次都没抽到航空航天券的对立事件概率，再用 1 减去该概率得到至少抽到一次的概率.   （3）类比第一问的不放回抽样，分别可以得到两张券类型相同、不同的概率，比较概率大小判断规则是否公平. 【详解】（1）记“两人抽到的体验券类型恰好不同”为事件A. 设4张“具身智能券”为，，，，2张“航空航天券”为，. 两人从中各随机抽取1张体验券，应用枚举法，可知样本空间为 ， 共有15个样本点， ，有8个样本点， 故. （2）记小华两次抽取中至少有一次抽到“航空航天券”为事件B，则小华两次都没有抽到“航空航天券”为. 小华抽取一次没有抽到“航空航天券”的概率为， 则， 所以. （3）该规则不公平. 理由如下： 一次性抽取2张相当于不放回抽样，由（1）知，“智能社”优先的概率为，“空天社”优先的概率为， 因为，所以该规则不公平. 【点睛】古典概型需明确抽样方式（放回 / 不放回），用列举法或组合数算样本点；遇 “至少” 问题用对立事件简化. 6．（25-26高一下·河南南阳·阶段检测）某次茶话会上，共安排4个节目，其中有2个歌唱节目、1个舞蹈节目、1个小品节目，按任意次序排出一个节目单，试求下列事件的概率： (1)两个歌唱节目相邻； (2)舞蹈和小品至少有1个在最前或最后． 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据古典概型列举样本空间的基本事件总数，从而设事件A：两个歌唱节目相邻，确定事件A发生的样本总数，从而得概率； （2）设事件B：舞蹈和小品至少有1个在最前或最后，结合对立事件关系确定，从而得所求概率. 【详解】（1）记2个歌唱节目为，记1个舞蹈节目为，1个小品节目为， 则按任意次序排出一个节目单的样本空间是： bamn，banm，bman，bmna，bnam，bnma，mabn，manb，mban，mbna，mnab，mnba， nabm，namb，nbam，nbma，nmab，nmba，共24件， 设事件A：两个歌唱节目相邻，事件A包含的样本点有 abmn，abnm，bamn，banm，mabn，mban，mnab，mnba，nabm，nbam，nmab，nmba，共12个， 则；即两个歌唱节目相邻的概率是. （2）设事件B：舞蹈和小品至少有1个在最前或最后，则事件B的对立事件：舞蹈和小品排在中间， 而事件包含的样本点有，共4件， 所以 7．从某次测试中随机抽取100份测试卷进行成绩调查，发现抽取的测试卷的成绩都在40~100之间，将抽取的测试卷按成绩分成六组：，，，，，，画出如图所示的频率分布直方图． (1)求a的值和抽取测试卷的成绩的中位数（精确到0.1）； (2)采用比例分配的分层随机抽样方法从成绩在和的测试卷中抽取5份，再从这5份测试卷中随机抽取3份了解答题情况，求这3份测试卷成绩至少有一份在的概率． 【答案】(1)，中位数为 (2) 【分析】（1）利用频率分布直方图的性质建立方程求解，利用频率分布直方图中位数定义求解即可. （2）利用分层抽样的性质求解抽取的人数，再求出整体样本空间和符合条件的事件，最后利用古典概型概率公式求解概率即可. 【详解】（1）由频率分布直方图可得，解得． 又由频率分布直方图可得， ，，的频率依次为， 所以前3组的频率为， 前4组的频率为， 故中位数在区间上，因此中位数为． （2）采用比例分配的分层抽样从和抽取5份测试卷， 由于，故成绩在的测试卷中抽取份数为，记作； 成绩在的测试卷中抽取份数为，记作， 则从抽取的5份测试卷中随机抽取3份测试卷的所有可能样本点构成的样本空间为： ， 共有10个样本点，即． 设事件“这3份测试卷成绩至少有一份在”， 则， 共有9个样本点，故， 则． 这3份测试卷成绩至少有一份在的概率为. 题型六 相互独立事件与互斥事件的判断 1．（25-26高一下·天津·期末）分别抛掷质地均匀的两枚硬币．设事件 “第一枚硬币正面朝上”， “第二枚硬币反面朝上”．则事件与关系描述正确的为（　　） A．互斥 B．相互独立 C．互为对立 D．相等 【答案】B 【详解】对于A，因为事件和事件可以同时发生，所以不是互斥事件，所以A错误； 对于B，，，，所以事件和事件相互独立，所以B正确； 对于C，事件和事件可以同时发生，所以不是对立事件，所以C错误； 对于D，分别抛掷两枚质地均匀的硬币，按顺序共出现（正正）（正反）（反正）（反反）四种情况， 事件包括（正正）（正反）两个基本事件，事件包括（正反）（反反）两种情况，所以不相等，所以D错误． 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）一袋中装有100只球．其中有20只白球，在有放回的摸球中，记“第一次摸得白球”，“第二次摸得白球”，则事件与是（   ） A．相互独立事件 B．对立事件 C．互斥事件 D．无法判断 【答案】A 【分析】根据相互独立事件的定义判断. 【详解】由于采用有放回地摸球，所以每次是否摸到白球互不影响， ，， ， ， 所以事件与是相互独立事件. 故选：A. 3．某同学制作了一个质地均匀的正四面体形骰子，在其中三个面分别写上一个数字1、2、3，第四个面写了三个数字1，2，3，随机抛掷一次，事件表示向下的面上有数字1，事件表示向下的面上有数字2，事件表示向下的面上有数字3，则（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件互斥 D．事件与事件相互独立 【答案】B 【详解】由题意可得，，， 对于A，表示向下的面同时有数字1和2，即面4，所以，故A错误； 对于B，的情况只有面4，故， 又，满足，故B正确； 对于C，表示同时有数字1、2和3，即面4，所以，故C错误； 对于D，表示向下的面有数字2或3，包含面2、面3、面4，共3个面， 故，表示向下的面有数字1，且有数字2或3，即面4， 故，所以， 不满足独立事件定义，故D错误． 4．（多选题）从装有除颜色外完全相同的2个红球（编号为1，2）和2个白球（编号为3，4）的口袋中，依次不放回地随机摸出2个球，表示事件“恰有1个白球”，表示事件“恰有2个白球”，表示事件“取到了编号为1的小球”，D表示事件“第一次取到的球编号为奇数”，E表示事件“两次取到的球编号和为偶数”，则下列结论正确的是（   ） A．事件，互为对立事件 B． C．事件，为相互独立事件 D．事件，为相互独立事件 【答案】BCD 【分析】根据对立事件、古典概型以及独立事件的相关概念，可得答案. 【详解】对于A，，{恰有或个白球}全部情况，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，，则，故C正确； 对于D，，，，则，故D正确. 故选：BCD. 5．（多选题）（25-26高一下·辽宁辽阳·期末）某省开展慈善文化进机关、进企业、进乡村、进社区、进家庭活动，通过讲座、公益市集、志愿服务等形式，重点帮扶特殊困难群体.现有，，共3场慈善知识竞赛和慰问活动需要安排志愿者，小林从右图中四张同样大小的卡片中随机抽取一张，卡片上的字母代表小林参加的活动场次，例如抽到写有字母的卡片代表小林参加场活动，若抽到写有3个字母的卡片代表小林参加3场活动，则（     ） A．“小林参加场活动”与“小林参加场活动”互斥 B．“小林参加场活动”与“小林参加场活动”相互独立 C．“小林不参加场活动”与“小林不参加场活动”相互独立 D．“小林不参加场活动”与“小林参加场或场活动”相互独立 【答案】BC 【分析】由互斥事件的定义即可判断A，由相互独立的定义若，则事件 相互独立即可判断BCD. 【详解】若选到第一张卡片，则小林同时参加3场活动，故A错误. “小林参加A场活动”的概率为，“小林参加B场活动”的概率为， “小林同时参加A场和B场活动”的概率为，因为， 所以“小林参加场活动”与“小林参加场活动”相互独立，故B正确. “小林不参加A场活动”的概率为，“小林不参加B场活动”的概率为， “小林同时不参加A场与B场活动”的概率为，因为， 所以“小林不参加场活动”与“小林不参加场活动”相互独立，C正确. “小林参加场或场活动”的概率为，“小林不参加场活动，参加场或场活动”的概率为， 因为，所以“小林不参加场活动”与“小林参加场或场活动”不相互独立， 故D错误. 故选：BC. 题型七 独立事件的乘法公式与推广 1．（25-26高一下·江西宜春·阶段检测）甲、乙两名同学做同一道数学题，甲做对的概率为，乙做对的概率为，两人做题互不影响，下列说法错误的是（ ） A．两人都做对的概率是 B．恰好有一人做对的概率是 C．两人都做错的概率是 D．至少有一人做对的概率是 【答案】C 【分析】根据独立事件的乘法公式可判断A；根据对立事件的概率计算结合独立事件的概率公式可判断B，C，D. 【详解】设事件A表示“甲做对”，事件B表示“乙做对”，则，. 对于A，两人都做对的概率为，故A正确； 对于B，恰好有一人做对的概率为，故B正确； 对于C，两人都做错的概率为，故C错误； 对于D，至少有一人做对的概率为，故D正确． 2．在某地区的一个电视节目中某“专家”说1枚防空导弹的拦截率为70%，连发3枚这种防空导弹就有210%的拦截率．你认为发射3枚拦截率为70%的导弹，至少1枚拦截成功的概率为（    ） A．210% B．100% C．97.3% D．70% 【答案】C 【详解】因为一枚都没拦截成功的概率， 所以至少一枚拦截成功的概率为． 3．某个部件由三个元件按图所示的方式连接而成，元件或元件正常工作，且元件正常工作，则该部件正常工作．各个元件正常工作的概率均为，且相互独立，那么该部件正常工作的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】记事件元件正常工作，记事件该部件正常工作，则，利用独立事件和互斥事件的概率公式可得出所求事件的概率. 【详解】记事件元件正常工作，记事件该部件正常工作， 则，且、、相互独立， 由题意可得， 所以 . 4．已知5张奖券中只有2张有奖，甲、乙、丙3名同学依次不放回地各随机抽取1张，设甲、乙、丙中奖的概率分别为，则（   ） A．最大 B．最大 C．最大 D． 【答案】D 【分析】计算甲中奖的概率，直接利用古典概型，乙中奖的情况，全概率公式，丙中奖的情况用全概率公式分多种情况计算. 【详解】计算甲中奖概率：甲第一个抽取，5张奖券共2张有奖，因此； 计算乙中奖概率，乙中奖分两种情况： 甲中奖后乙中奖：概率为； 甲未中奖后乙中奖：概率为； ； 计算丙中奖概率，分情况计算丙中奖情况： 甲中、乙中、丙中：； 甲中、乙不中、丙中：； 甲不中、乙中、丙中：； 甲不中、乙不中、丙中：； ； 因此. 5．乒乓球比赛现采用五局三胜制，即最多打五局，谁先赢三局谁胜．甲、乙两人进行乒乓球比赛，甲在每局比赛中获胜的概率为，乙在每局比赛中获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．已知前两局比赛中，甲、乙各胜1局，则最终乙获胜的概率为_____________． 【答案】/ 【分析】讨论{第3局乙负，第4，5局乙胜}、{第3局乙胜，第4局乙负，第5局乙胜}、{第3，4局乙胜}三种情况，应用独立事件乘法、互斥事件加法求概率即可. 【详解】乙最后的胜利包含三种情况： 一是第3局乙负，第4，5局乙胜，此时乙胜的概率为； 二是第3局乙胜，第4局乙负，第5局乙胜，此时乙胜的概率为； 三是第3，4局乙胜，此时乙胜的概率为 乙获胜的概率为． 故答案为： 6．小明参加一项积分晋级赛，规则如下：初始积分为10分，每场比赛胜则加5分，负则减5分，平则积分不变；当积分达到0分（淘汰出局）或20分（晋级成功）时终止比赛，否则继续比赛；若三场比赛后仍未终止，则判定为晋级成功并终止比赛.已知每场比赛结果相互独立，小明每场比赛胜、负、平的概率分别为，，，则比赛终止时小明积分为0分的概率为________. 【答案】 【分析】先明确积分为0分终止的所有可能比赛场次情况，上述情况的概率相加，得到比赛终止时积分为0分的总概率. 【详解】要计算比赛终止时小明积分为0分的概率，仅需考虑三场以内终止且得到0分的所有情况： 情况1：第二场比赛终止，得到0分： 初始积分10分，要第二场得到0分，必须前两场两连败：第一场负，积分变为（未终止），第二场再负，积分变为（终止）； 概率为：； 情况2：第三场比赛终止，得到0分： 前两场未终止，且前两场结束后积分为5分，第三场负得到0分， 积分为5分说明总变化为，只能是1负1平，共两种排列且两种排列都不会在前两场提前终止， 前两场得到5分的概率为：，第三场负的概率为，因此该情况概率： ； 总概率为两种情况相加：. 7．（25-26高一下·江西宜春·阶段检测）为选拔运动员参加第十五届全运会，某省对名青年选手进行专项成绩考核（满分分），考核成绩的频率分布直方图如图所示． (1)从得分在中，按，分层，采用分层随机抽样的方法抽取人，再从人中随机抽取人进行考核，求至少有人分数低于分的概率； (2)现通过两项考核选拔参赛运动员，每项的结果分为三个等级．若在两项考核中，至少一项为级，且另一项不低于级，则获得参赛资格．已知甲、乙的考核结果互相不受影响，且甲在每项考核中取得等级的概率分别是；乙在每项考核中取得等级的概率分别是．求甲、乙能同时获得参赛资格的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据频率分布直方图计算得出，再利用分层抽样求出各层人数，利用古典概型计算公式可求得概率； （2）利用独立事件乘法公式计算可得结果. 【详解】（1）由题意得，， 解得． 因为按、分2层，采用分层随机抽样的方法抽取5人， 所以从成绩在中抽出的人数为，分别记为M、N、Q， 从成绩在中抽出的人数为：，分别记为m、n， 从5人中抽取2人进行考核，样本空间为， 则，记“至少有1人分数低于80分”为事件R， 则． 即，因此． 故5人中至少有1人分数低于80分的概率为． （2）记甲获得参赛资格的概率为，乙获得参赛资格的概率为， 由题意可得，， ． 由于甲、乙的考核结果互相不受影响，所以甲获得参赛资格与乙获得参赛资格相互独立． 则甲、乙能同时获得参赛资格的概率为． 8．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）甲､乙两名同学在遵义会议会址“红色研学趣味挑战赛”中轮流进行“投弹模拟”（每人每次模拟投弹一次），约定甲先投且先击中目标者获胜，一直到有人获胜或每人都已投弹3次时挑战结束.设甲每次投弹命中的概率为，乙每次投弹命中的概率为，且各次模拟投弹互不影响. (1)求甲在本次挑战赛中获胜的概率； (2)求挑战结束时，乙只进行了2次投弹模拟的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据互斥事件和的概率公式及独立事件同时成立的概率公式求解即可； （2）写出投弹结束时乙只投了2个球的事件，由互斥事件的和的概率公式，独立事件概率公式求解. 【详解】（1）设Ak，Bk分别表示甲、乙在第k次投弹时击中，， 则，， 记“甲在本次挑战赛中获胜”为事件C，则 ， 所以甲在本次挑战赛中获胜的概率为. （2）记“挑战结束时，乙只进行了2次投弹模拟”为事件D， 则 ， 所以挑战结束时，乙只进行了2次投弹模拟的概率为. 题型八 随机模拟 1．（24-25高一下·河南漯河·期末）天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为．我们通过设计模拟实验的方法求概率．由计算机产生1～5的随机数，当出现随机数1，3，5时，表示天下雨，利用计算产生20组随机数：423，123，425，344，124，453，524，332，152，342，534，443，521，541，125，432，324，151，314，245．则这三天中恰有两天下雨的概率近似为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知：共20个随机数，其中随机数1，3，5出现2次的有9次，结合古典概型运算求解. 【详解】由题意可知：共20个随机数， 其中随机数1，3，5出现2次的有123，453，332，152，534，521，541，125，314，共9次， 所以这三天中恰有两天下雨的概率近似为. 故选：C. 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）在用计算器模拟抛硬币试验时，假设计算器只能产生0～9之间的随机数，则可以用4，5，6，7，8，9来代表正面.( )（填正确或者错误） 【答案】错误 【分析】利用正面与反面出现的概率大小判断即可. 【详解】由于正面出现的概率为，因此应该用其中的5个数表示正面，错误； 故答案为：错误 3．（24-25高一下·广西南宁·期末）在用随机数（整数）模拟“有5个男生和5个女生，从中抽选4人，求选出2个男生2个女生的概率”时，可让计算机产生的随机整数，并且代表男生，用代表女生．因为是选出4个，所以每4个随机数作为一组．通过模拟试验产生了10组随机数： 6830 4725 7056 6431 7840 4523 7834 2604 6346 0952 由此估计“选出2个男生2个女生”的概率为______ 【答案】/ 【分析】根据数据统计选出2个男生2个女生的种数，再用古典概型概率公式求解． 【详解】由数据得“选出2个男生2个女生”的种数有：6830，4725，7840，7834，6346，0952共6个， 所以“选出2个男生2个女生”的概率为. 故答案为：． 4．（25-26高一下·全国·单元测试）在一个试验中，某种豚鼠被感染病毒的概率为，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染．经随机模拟产生了如下20组随机数： 192 907 966 925 271 932 812 458 569 683 257 393 127 556 488 730 113 537 989 431 据此估计三只豚鼠中恰有两只被感染的概率为______． 【答案】/ 【分析】先找出三只豚鼠中恰有两只被感染的随机数组，再根据古典概率计算公式计算即可. 【详解】20组随机数中，表示恰有两只被感染的有192，271，932，812，393，127，共有6组， 故估计三只豚鼠中恰有两只被感染的概率为． 故答案为： 基础巩固通关测 1．（24-25高一下·甘肃天水·期末）在2025年6月21日天水市公祭伏羲活动期间，有人提出了这样一个问题：伏羲八卦中每一卦由三个爻组成（“”为阳爻，“”为阴爻）.从八卦中随机抽取一卦，那么抽到恰好含有两个阳爻的卦的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据古典概率的公式计算即可. 【详解】由八卦图可知，抽到恰好含有两个阳爻的情况有3种，所以抽到恰好含有两个阳爻的概率为. 故选：B 2．（24-25高一下·广东深圳·期末）已知两个随机事件和，其中，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， ． 3．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）掷一枚质地均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件，则（    ） A．B包含A B．A与B对立 C．A与B互斥 D．A与B相互独立 【答案】D 【详解】对于A，因为，，因此不包含，故A错误； 对于BC，因为，， 因此与不是对立事件，也不是互斥事件，故BC错误； 对于D，由于，，而， 故，所以， 所以A与B相互独立，故D正确． 4．袋子中有6个大小质地完全相同的球，其中1个白球、2个红球、3个黄球，从中不放回地依次摸出两只球，则至少有一个红球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用古典概型，分有一个红球和有两个红球的情况来求解． 【详解】解：有一个红球时：， 有两个红球时：， 故， 故选：C． 5．某种细胞如果不能分裂则死亡，并且一个细胞死亡的概率为，分裂为两个细胞的概率为．现有两个这样的细胞，则两次分裂后还有细胞存活的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用独立事件概率乘积公式计算，再结合对立事件概率公式计算求解. 【详解】一个细胞的谱系经过两轮演化后仍存活的概率为， 因此两个细胞经过两轮演化后还有细胞存活的概率是． 6．（24-25高一下·黑龙江绥化·期末）从某校高一年级学生60名女生中，经调查偏理科的40人，偏文科的20人，利用分层抽样抽取6人，随机抽取3人，至少有2人偏理科的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分层抽样得到抽取6人中偏理科和偏文科的人数，利用列举法求古典概型的概率. 【详解】60名女生中，偏理科与偏文科的人数比为， 所以分层抽样抽取6人，偏理科的人数为，设为， 偏文科的人数为，设为， 故随机抽取3人，一共有以下情况， ， ， ，共20种情况， 其中至少有2人偏理科的情况为 ， ， 共16种情况，所以随机抽取3人，至少有2人偏理科的概率是. 故选：D 7．（2025高一·全国·专题练习）现有4张卡片，正面分别标有1，2，3，4，背面完全相同，将卡片洗匀，背面向上放置，甲、乙两人轮流抽取卡片，每人每次抽取一张，抽取后不放回，甲先抽，抽完为止，最后每人将各自抽到卡片的点数相加，点数大的一方获胜，则甲获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由列举法解决古典概型概率问题即可. 【详解】本题的样本空间如图． 由图知，样本点的个数为，要使甲获胜，那么甲拿到卡片的点数只能是，，和四类情况， 所以甲获胜的样本点数为8，所求概率为， 故选：B. 8．如图，一个系统由4个部件组成，当甲、乙都正常工作，或丙、丁都正常工作时，系统就能正常工作.若每个部件的可靠度均为，而且这四个部件互不影响，则系统的可靠度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】记甲、乙都正常工作为事件，记丙、丁都正常工作为事件，计算出、，利用对立事件的概率公式可求得系统的可靠度为. 【详解】记甲、乙都正常工作为事件，记丙、丁都正常工作为事件， 因为每个部件的可靠度均为 所以，， 当且仅当事件或事件发生时，系统正常工作， 当且仅当事件和事件都不发生时，系统不工作. 因此，系统的可靠度为 9．（多选题）（24-25高一下·内蒙古锡林郭勒·期末）从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都是白球”互斥而非对立的事件是以下事件中的哪几个（    ） A．事件“两球都不是白球” B．事件“两球恰有一白球” C．事件“两球至少有一个白球” D．事件“两球不都是白球” 【答案】AB 【分析】由对立事件，互斥事件的定义结合题意逐一判断即可. 【详解】从口袋内一次取出2个球，这个试验的样本空间 (白，白)，(红，红)，(黑，黑)，(红，白)，(红，黑)，(黑，白)，包含6个基本事件， 当事件“两球都为白球”发生时，事件“两球都不是白球”和事件“两球恰有一白球”不可能发生，满足互斥事件的定义， 且“两球都为白球”不发生时，事件“两球都不是白球”不一定发生，事件“两球恰有一白球”不一定发生，故非对立事件，故A、B正确； “两球都为白球”发生时，事件“两球至少有一个白球”可以发生，故不是互斥事件，故C错误； 事件“两球不都是白球”意思是“两球至少有一个不是白球”与事件“两球都是白球”是对立事件， 故D错误. 故选：AB 10．（多选题）（24-25高一下·全国·课后作业）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，记事件“两次都击中飞机”，事件“两次都没击中飞机”，事件“恰有一次击中飞机”，事件“至少有一次击中飞机”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】A选项，事件A包含于事件D；B选项，事件B，D不能同时发生，B正确；C选项，根据事件运算得到C正确；D选项，，，D错误. 【详解】对于A，事件A包含于事件D，故A正确； 对于B，由于事件B，D不能同时发生，故，故B正确； 对于C，至少有一次击中飞机包含两种情况： 两次都击中飞机和恰有一次击中飞机，故，故C正确； 对于D，由于，不是必然事件，而为必然事件，故D不正确． 故选：ABC 11．（多选题）（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）在一次随机试验中，三个事件，，发生的概率分别是0.2，0.3，0.5，则下列说法正确的是（    ） A．与是互斥事件，也是对立事件 B．不一定是必然事件 C． D． 【答案】BD 【分析】根据三个事件，，不一定两两互斥，结合概率运算公式和互斥、对立的概念，即可求解. 【详解】对于选项A：因为，，不一定是两两互斥事件，无法判断与是不是互斥事件，是不是对立事件，所以A不正确； 对于选项B：因为，，不一定是两两互斥事件，所以不一定是必然事件，所以B正确； 对于选项C：，所以C不正确； 对于选项D：，所以D正确； 故选：BD. 12．（多选题）已知随机事件满足，则（    ） A．若事件互斥，则 B．若，则 C．若，则 D．若事件互斥，则 【答案】AC 【分析】利用互斥事件的定义及性质判断AD；利用包含事件的性质求解判断BC. 【详解】对于A选项，因为事件互斥，所以，故A正确； 对于B选项，因为，所以，故B错误； 对于C选项，因为，所以，故C正确； 对于D选项，事件与事件是互斥事件，则为必然事件，所以，故D错误． 故选：AC． 13．（多选题）如图，一个质地均匀的正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷这个八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为.表示事件“数字为质数”，表示事件“数字为偶数”，表示事件“数字大于4”，表示事件“数字为8”，则（   ） A．与相互独立 B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立 【答案】BC 【分析】运用独立事件的概率乘法公式计算，即可判断各选项. 【详解】依题意， 则，，，，， 所以，，，， 故与相互独立，与相互独立，与不相互独立，与不相互独立. 故选：BC. 14．（多选题）（25-26高一下·辽宁·期末）在学校运动会开幕式上，100名学生组成一个方阵进行表演，他们按照性别（M（男）、F（女））及年级（（高一）、（高二）、（高三））分类统计的人数如下表，若从这100名学生中随机选一名学生，则下列概率正确的是（   ） 性别 M 14 20 18 F 17 21 10 A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据频数，结合古典概型公式依次求概率即可. 【详解】对于A，，故错误； 对于B，因为从这100名学生中随机选一名学生，不是男生就是女生，故事件与互为对立事件，故，正确； 对于C，，故正确； 对于D，由题， 所以，故错误 故选：BC 15．（25-26高一下·全国·单元测试）已知A，B，C，D四个开关控制着1，2，3，4号四盏灯，只要打开开关A则1，4号灯就会亮，只要打开开关B则2，3号灯就会亮，只要打开开关C则3，4号灯就会亮，只要打开开关D则2，4号灯就会亮．开始时，A，B，C，D四个开关均未打开，四盏灯也都没亮．现随意打开A，B，C，D这四个开关中的两个不同的开关，则2号灯亮的概率为______． 【答案】 【分析】由古典概型概率计算公式求解即可. 【详解】由题意，随意打开A，B，C，D这四个开关中的两个不同的开关， 所有可能的结果为AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6种， 其中只有结果为AC时2号灯不会亮，其余情况2号灯均会亮， 所以2号灯亮的概率为． 故答案为：. 16．在如图所示的电路图中，开关a，b，c正常工作的概率分别为，且是相互独立的，则灯亮的概率是__________. 【答案】 【分析】利用相互独立事件同时发生乘法公式，结合对立事件来求解即可. 【详解】设“开关a，b，c正常工作”分别为事件，由题意可知事件是相互独立的， 则灯亮这一事件为，所以 故答案为：. 17．（2024高一下·全国·专题练习）保险柜的密码由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的四个数字组成，假设一个人记不清自己的保险柜密码，只记得密码全部由奇数组成且按照递增顺序排列，则最多输入2次就能开锁的概率是_______. 【答案】#0.4 【分析】根据给定条件，利用列举法计算古典概率，再用互斥事件的概率公式计算作答. 【详解】密码全部由奇数组成且按照递增顺序排列的结果有： ，共5个，它们等可能， 最多输入2次就能开锁的事件， 输入1次能开锁为事件， 第2次输入才能开锁为事件， 事件是事件和事件的和，且它们互斥， ，， 则， 最多输入2次就能开锁的概率是. 故答案为：. 18．（25-26高一下·江西九江·期末）河流与河流是水库的主要水源，只要河流A，B之一不缺水，水库就不缺水．根据经验知道河流A，B不缺水的概率分别是0.8和0.6，同时不缺水的概率是0.5，则水库缺水的概率为_________． 【答案】0.1/ 【分析】设相应事件，可知，根据事件的关系运算求解即可. 【详解】记“河流不缺水”为事件，“河流不缺水”为事件，“水库不缺水”为事件，则水库缺水为事件， 由，且， 可得， 所以水库缺水的概率． 故答案为： 19．第十五届中国国际航空航天博览会将于2024年11月在珠海国际航展中心组织，某城市为了了解居民对航空航天知识的认知程度，针对不同社区不同年龄和不同职业的人举办了一次“航空航天”知识竞赛，满分100分（90分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图： (1)根据频率分布直方图，估计这人年龄的第85百分位数； (2)现从以上各组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取20人，担任“航空航天”的宣传使者.若有甲（年龄31），乙（年龄34），丙（年龄42）三人已确定入选宣传使者，现计划从第三组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙、丙三人中至少有一人被选上的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据频率分布直方图求出各组的频率，再计算第百分位数即可； （2）根据频率由分层抽样求出第三组和第五组抽取的人数，利用古典概型概率公式及对立事件计算得解. 【详解】（1）由频率分布直方图得：年龄在的频率分别为， 由各组频率知第百分位数， 由，解得， 所以第85百分位数为. （2）由第三组、第五组的频率可知第三组抽取人，第五组抽取人， 不妨设除甲、乙、丙外的五人为，于是从第三组和第五组被抽到的使者中抽取2人的所有情况为： 甲，甲，甲，甲，甲，甲乙，甲丙，乙, 乙, 乙, 乙，乙，乙丙，丙, 丙, 丙, 丙，丙，，共28种， 其中甲、乙、丙都没抽到的有，共10种， 所以甲､乙、丙三人至少有一人被选上的概率为：. 20．（24-25高一下·贵州遵义·期中）甲､乙两人进行象棋比赛，采用五局三胜制，每局均无平局，已知每局比赛甲获胜的概率为，且甲､乙每局比赛的结果互不影响. (1)求三局比赛结束的概率； (2)求四局比赛结束且甲获胜的概率； (3)若第一局甲获胜，求最终乙赢得比赛的概率. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用相互独立事件及互斥事件的概率公式计算得解. （2）利用相互独立事件的概率公式计算得解. （3）利用相互独立事件及互斥事件的概率公式计算得解. 【详解】（1）比赛三局，甲获胜的概率；乙获胜的概率， 所以三局比赛结束的概率为. （2）四局比赛结束且甲获胜，则前3局甲输1局，第4局胜，其概率为. （3）第一局甲获胜，最终乙赢得比赛的事件为，乙连赢3局的概率为， 第2，3，4局乙输1局，第5局赢的概率为， 所以. 能力提升进阶练 1．（25-26高一下·辽宁沈阳·期末）已知某运动员每次投篮命中的概率为，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：用计算机产生之间的随机整数，以每个随机整数（不足三位的整数，其百位或十位用0补齐）为一组，代表三次投篮的结果，指定数字0，1，2，3，4表示命中，数字5，6，7，8，9表示未命中.如图，在R软件的控制台，输入“sample（0：999，20，replace=F）”，按回车键，得到0~999范围内的20个不重复的整数随机数，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出基本事件的个数以及符合条件的事件的个数，进而结合古典概型概率公式即可求出结果. 【详解】在20个不重复的数中，表示该运动员三次投篮恰有两次命中的有633，309，016，543，247，062共6个， 所以据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为. 故选：A 2．有3双不同颜色的手套，如果从中随机取出2只，取出的手套一只是左手一只是右手的，但颜色不同的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据古典概型概率计算公式，通过列举法，写出所有可能的情况，求出结果即可. 【详解】设3双不同颜色的手套分别为，其中左手为，右手为， 则随机取出两个由15种不同的情况，分别为， 符合条件的有6种情况，分别为， 则取出的2只手套一只是左手一只是右手的，但颜色不同的概率为； 故选：C. 3．（24-25高一下·陕西·期末）连续抛掷两次一枚质地均匀的硬币，分别记录下每次抛掷的结果，记事件“正面向上的次数大于反面向上的次数”，事件“第次抛掷的结果为正面向上”（其中），则有（    ） A．事件与事件是互斥事件 B．事件与事件是相互对立事件 C． D． 【答案】D 【分析】对A，根据互斥事件的定义判断；对B，根据相互独立事件的定义判断；对C，求得，，即可判断；对D，求得即可判断. 【详解】根据题意，试验的结果有：正正，正反，反反，反正. 则事件包含：正正，事件：正正，正反，事件：正正，反正. 对于A，事件与事件不是互斥事件， 它们有可能同时发生，故A错误； 对于B，试验结果除了和外，还有其它结果如反反，所以事件与事件不是相互对立事件，故B错误； 对于C，， ， 所以，故C错误； 对于D，，，所以，故D正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是理清事件包含：正正，事件：正正，正反，事件：正正，反正. 4．袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列说法正确的是（ ） A．取出的3个球颜色相同的概率为 B．取出的3个球颜色全不相同的概率为 C．取出的3个球颜色不全相同的概率为 D．取出的3个球无红球的概率为 【答案】C 【分析】应用古典概型计算各个选项即可. 【详解】设取得黄、红、白球分别为， 有放回地取球3次， 共 27种等可能结果， 其中颜色相同的结果有3种，其概率为，故A错误； 颜色全不相同的结果有6种，其概率为，故B错误； 颜色不全相同的结果有 24种,其概率为，故C正确； 无红球的结果有8种，其概率为，故D错误． 故选：C 5．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定打6局，每局必分胜负，无平局．每局比赛中，获胜方得1分，失败方得0分．已知甲在每局比赛中获胜的概率是，乙在每局比赛中获胜的概率为，且各局结果相互独立．在整个比赛过程中，甲的累计得分始终不小于乙的累计得分的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分甲赢3局，乙赢3局、甲赢4局，乙赢2局、甲赢5局，乙赢1局、甲赢6局，乙赢0局，结合要求计算出每种情况的排列数，再独立事件的乘法和概率加法公式求解． 【详解】情况一：甲赢3局，乙赢3局，且甲的累计得分始终不小于乙的累计得分， 符合题意的获胜情况有：甲乙甲乙甲乙、甲乙甲甲乙乙、甲甲乙乙甲乙、甲甲乙甲乙乙、 甲甲甲乙乙乙共5种，此时概率； 情况二：甲赢4局，乙赢2局， 从6局中选4局甲赢，有种， 其中不符合题意的获胜情况有：乙乙甲甲甲甲、 乙甲乙甲甲甲、乙甲甲乙甲甲、 乙甲甲甲乙甲、乙甲甲甲甲乙、甲乙乙甲甲甲共6种， 则符合题意的获胜情况有9种，此时概率； 情况三：甲赢5局，乙赢1局， 符合题意的情况有种，此时概率； 情况四：甲赢6局，乙赢0局，此时概率； 综上，概率． 6．田忌赛马的故事一直为人所津津乐道，共体现了博弈的魅力.已知甲有三匹马，乙有三匹马，这些马之间比赛获胜的概率如下表所示.甲和乙进行三轮赛马游戏，每轮比赛甲和乙各选择一匹马比拼胜负，且每匹马至多进行两轮比赛，最终胜的轮数多的人获胜.在比赛之前，甲和乙先根据下表采用最优的选马策略选出所有参赛的马，并确定它们的参赛顺序，有下列两个命题： ①若，甲最优的选马策略为让马出战一次，马出战两次； ②若，，三轮游戏结束后，甲赢的概率为. 马与马对弈时，马获胜的概率 则下列说法正确的是（   ） A．命题①正确，命题②正确 B．命题①正确，命题②错误 C．命题①错误，命题②正确 D．命题①错误，命题②错误 【答案】B 【分析】为获得胜利，甲、乙会优先选择对阵所有对手平均胜率更高的马匹参赛. 【详解】对于命题①，若，赢的概率高于和， 所以甲优先选择对阵所有对手胜率更高的马匹参赛， 尽可能多出战，但最多出战两次，所以让出战两次， 又因为赢的概率高于，所以马出战一次，故①正确； 对于命题②，若，， 胜率表为： 甲方较优的参赛马应为一次、两次；乙方为了降低甲胜率，应取两次、一次. 这时不管怎么排顺序，甲三轮单场胜率只会出现两类情况： 一种是.则甲至少赢两轮的概率为 另一种是. 则甲至少赢两轮的概率为 这两个值都不是，如果把双方的出战顺序也按随机来计算，概率会是，也不是. 故命题②错误. 7．（2025高一下·全国·专题练习）一场数字游戏在两个非常聪明的学生甲、乙之间进行，老师在黑板上写出2，3，4，…，2026，共2025个正整数，然后裁判随意擦去一个数，接下来由乙、甲两人轮流擦去其中一个数（即乙先擦去其中一个数，然后甲再擦去一个数），如此下去．若最后剩下的两个数为互质数（公因数只有1的两个非零自然数叫作互质数，如2和3是互质数，9和10是互质数），则判甲胜；否则判乙胜．按照这种游戏规则，甲获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据裁判擦去的是奇数还是偶数分类考虑，分析得出若擦去的是奇数，则乙一定获胜；若擦去的是偶数，则甲一定获胜，由此根据古典概型概率公式计算即得． 【详解】由于甲、乙都非常聪明，所以他们获胜的关键要看裁判擦去哪个数． 注意2，3，4，…，2026中有1012个奇数，1013个偶数． 若裁判擦去的是奇数，则乙一定获胜．理由如下： 乙不管甲擦去什么数，只要还有奇数，就擦去奇数，这样最后剩下两个数一定都是偶数， 从而所剩两数不是互质数，故乙胜． 若裁判擦去的是偶数，则甲一定获胜．理由如下： 设裁判擦去的是2m，则将余下的数配成1012对，每对数由一奇一偶的相邻两数组成， 如，，…，，，…，， 这样，不管乙擦去什么数，甲只要擦去所配对中的另一个数，最后剩下两个相邻的整数，它们为互质数， 故甲必获胜．所以甲获胜的概率为裁判擦去的是偶数的概率，即为． 故选：C 8．（25-26高一下·北京·期末）若图G的关联结点（加黑的粗点）构成的点集记为V，V可划分为两个子集和，且图中的每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中，则将图G称为二部图．现有下列六个图，若从这六个图中任选两个，则正确的是（  ） A．这两个图都是二部图的概率为 B．这两个图至少有一个是二部图的概率为 C．这两个图不都是二部图的概率为 D．这两个图恰有一个是二部图的概率为 【答案】B 【分析】根据二部图的定义得到图与图不是二部图，其他四个图都是二部图.从这六个图中任选两个，利用列举法列出所有的选择，利用古典概型求出对应的概率. 【详解】对于图，图中出现了，则该三角形必然有一条边的两个顶点分在一个子集内， 这显然不符合二部图的定义，图也是如此，所以图与图不是二部图. 除了这两个图，其他四个图都是二部图. 例如，对于图，当时，图中的每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中； 对于图，当时，图中的每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中. 从这六个图中任选两个，所有的选择为 ， ， ，共15种. 这两个图都是二部图的选择共有种，这两个图至少有一个是二部图的选择共有种， 这两个图不都是二部图的选择共有种，这两个图恰有一个是二部图的选择共有种， 故这两个图都是二部图的概率为，故A错误； 这两个图至少有一个是二部图的概率为，故B正确； 这两个图不都是二部图的概率为，故C错误； 这两个图恰有一个是二部图的概率为，故D错误. 故选：B. 9．（多选题）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（   ） A．甲与乙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互独立 D．乙与丁相互独立 【答案】ABD 【分析】根据独立事件概率关系，求出每个事件的概率，并逐一判断即可. 【详解】设甲，乙，丙，丁事件分别为,则， 事件“两次取出的球的数字之和是6”的样本点有， 样本总量为，故， 事件“两次取出的球的数字之和是7” 的样本点有， 故， 对于A，，故正确； 对于B，，故正确； 对于C，，故错误； 对于D，，故正确， 故选：ABD. 10．（多选题）（24-25高一下·贵州遵义·阶段检测）有四张同样大小的卡片，上面标有数字，如图所示.从这四张卡片中随机抽取一张，设事件：“抽到的卡片上有数字”，，则下列事件相互独立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】明确基本事件，用独立事件定义逐一验证选项. 【详解】四张卡片的内容： 卡片1：包含数字1,2,3； 卡片2：包含数字1； 卡片3：包含数字2； 卡片4：包含数字3. 含有数字1的卡片：卡片1、卡片2，∴ 含有数字2的卡片：卡片1、卡片3，∴ 含有数字3的卡片：卡片1、卡片4，∴ 同时含有数字1和2的卡片：卡片1，∴ 同时含有数字1和3的卡片：卡片1，∴ 同时含有数字2和3的卡片：卡片1，∴ 同时含有数字1和2和3的卡片：卡片1，∴ ∵，∴事件相互独立，A选项正确； ∵，∴事件相互独立，B选项正确； ∵，∴事件相互独立，C选项正确； ∵，∴事件不相互独立，D选项不正确； 故选：ABC. 11．（多选题）（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）某市四所高中的足球队（分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”）进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时，下列说法正确的是（   ） A．甲队积分为9分的概率为 B．四支球队的积分总和可能为15分 C．丙队积分为3分的概率为 D．甲队胜2场且乙队胜2场的概率为 【答案】ABD 【分析】甲队积分为9分，则甲队三场比赛全胜，结合独立事件的概率公式判断A；选项B举例说明；选项C分析事件包含的情况，根据互斥事件和独立事件概率公式求解；选项D分析事件包含的情况，根据互斥事件和独立事件概率公式求解. 【详解】甲队积分为9分，则甲队三场比赛全胜，所以概率为， 选项A正确； 四支球队共6场比赛，例如甲胜乙、丙、丁，而乙、丙、丁之间平， 即甲得9分，乙、丙、丁各得2分， 四支球队的积分总和为15分， 选项B正确； 丙队积3分的情况为胜1平0负2或者胜0平3负0， 胜1平0负2的概率为， 胜0平3负0的概率为， 丙队积分为3分的概率为， 选项C错误； 若甲胜乙，甲队以胜1场，乙队以负1场，甲还需对丙丁胜1场，乙需对丙丁全胜， 概率为， 若乙胜甲，乙队以胜1场，甲队以负1场，乙还需对丙丁胜1场，甲需对丙丁全胜， 概率为， 若甲乙平，甲需对丙、丁全胜，乙需对丙、丁全胜， 概率为， 甲队胜2场且乙队胜2场的概率为 选项D正确. 12．设是一个随机试验中的两个事件，且，则________ 【答案】 【分析】根据对立事件的概率与互斥事件的概率计算公式求解即可. 【详解】因为， 因为互斥， 所以 ， 解得，所以 故答案为：. 13．某站台经过统计发现，一号列车准点到站的概率为，二号列车准点到站的概率为，一号列车准点到站或者二号列车不准点到站的概率为，记“一号列车准点到站且二号列车不准点到站”为事件，“一号列车不准点到站且二号列车准点到站”为事件，则______. 【答案】 【分析】设出事件，记“一号列车准点到站”为事件，“二号列车准点到站”为事件， 根据事件的关系和运算法则得到，，相加得到答案. 【详解】记“一号列车准点到站”为事件，“二号列车准点到站”为事件， 则，，， 由，故， 则，则， 故， 而，即，故， 则. 故答案为： 14．（24-25高一下·辽宁·期末）算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具.现有一把初始状态的算盘如图所示，自右向左，分别表示个位、十位、百位、千位等，上面一粒珠子（简称上珠）代表，下面一粒珠子（简称下珠）代表，五粒下珠表示的数的大小等于同组一粒上珠表示的数的大小.例如，个位拨动一粒上珠，十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字.现将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件“表示的四位数能被整除”，“表示的四位数能被整除”，则__________. 【答案】/ 【分析】利用古典概型的概率公式计算出、，即可求出的值. 【详解】因为只拨动一粒珠子至梁上，因此数字只表示或， 因为个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上， 所以所得的四位数的个数为个， 能被整除的四位数，数字和各出现个，这样的四位数有：、、、、、，共个， 所以， 能被整除的四位数，个位数为，则这样的四位数为：、、、、、、、，共个， 所以， 所以，. 故答案为：. 15．在如下图的的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有1个方格被选中，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最小值是_____. 8 27 32 62 3 23 37 63 6 27 38 66 5 26 39 66 【答案】126 【分析】先按列分析，可知十位数是固定的，利用列举法写出所有个位数的可能结果，即可求解. 【详解】先按列分析，每列必选出一个数，所选4个数的十位数字分别为0，2，3，6， 若选中方格中的4个数之和的最小值，则需要个位数之和最小， 每种选法可标记为，分别表示第一、二、三、四列的个位数字， 则所有的可能结果为： ， ， ， ， 此时最小为， 所以选中的方格中，的4个数之和最小，为. 故答案为：126. 【点睛】关键点点睛：关解决本题的关键是先确定十位数，再确定个位数，利用列举法写出所有的可能结果. 16．为提高服务质量，某社区居委会进行了居民对社区工作满意度的问卷调查．随机抽取了100户居民的问卷进行评分统计，评分的频率分布直方图如图所示，数据分组依次为： (1)求的值； (2)求这100户居民问卷评分的中位数； (3)若根据各组的频率的比例采取分层抽样的方法，从评分在和内的居民中共抽取6户居民，查阅他们答卷的情况，再从这6户居民中选取4户进行专项调查，求这4户居民中恰有1户的评分在内的概率． 【答案】(1)0.02； (2)77.5分； (3). 【分析】（1）根据已知条件，由频率分布直方图中各组矩形面积之和等1，即可求出的值. （2）结合频率分布直方图的性质，以及中位数的定义，即可求解. （3）根据已知条件，结合分层抽样的定义，列举法及古典概型的概率公式，即可求解. 【详解】（1）由频率分布直方图，得，解得 . （2）由频率分布直方图，得数据落在的频率为， 数据落在的频率为， 因此中位数，有, 解得， 所以中位数为77.5分. （3）评分在对应的频率为0.1，0.2， 从评分在和内的居民中共抽取6人， 则评分在占2人，记为，评分在占4人，记为， 从6人中选取4人的样本空间 ，共15个样本点， 这4户居民中恰有1户的评分在内的事件 ，其8个样本点， 所以这4户居民中恰有1户的评分在内的概率. 17．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）“猜灯谜”又叫“打灯谜”，是元宵节的一项活动，出现在南宋时期.开始时是好事者把谜语写在纸条上，贴在五光十色的彩灯上供人猜.因为谜语既能启迪智慧又饶有兴趣，所以流传过程中深受社会各阶层的欢迎.在一次猜灯谜活动中，共有30道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了15道，乙同学猜对了10道，丙同学猜对了道.假设对每位同学而言，他们猜对每道灯谜的可能性都相等. (1)任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率； (2)任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出相应事件后，利用相互独立事件概率乘法公式进行求解即可； （2）利用对立事件的概率关系及相互独立事件概率乘法公式即可求出的值. 【详解】（1）设“甲猜对灯谜”为事件，“乙猜对灯谜”为事件， “任选一道灯谜，恰有一个人猜对”为事件C， 由题意得，，，且事件A、B相互独立， 则 . 所以任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为. （2）设“丙猜对灯谜”为事件D， “任选一道灯谜，甲、乙、丙三个人都没有猜对”为事件E， 由题意知，甲、乙、丙三个人中至少有一个人猜对的概率为， 则其对立事件“三个人都没有猜对”的概率为， 因此 ， 解得. 18．全国执业医师证考试分实践技能考试与医学综合笔试两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则执业医师考试“合格”，并颁发执业医师证书．甲、乙、丙三人在实践技能考试中“合格”的概率依次为、、，在医学综合笔试中“合格”的概率依次为、、，所有考试是否合格互不影响． (1)假设甲、乙、丙三人同时进行实践技能考试与医学综合笔试两项考试，谁获得执业医师证书的可能性最大？请说明理由． (2)这三人进行实践技能考试与医学综合笔试两项考试后，求恰有两人获得执业医师证书的概率． 【答案】(1)乙获得执业医师证书的可能性最大，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式，计算甲乙丙获得执业医师证书的概率，比较大小，即可得解. （2）分三种情况，结合互斥事件的概率加法公式以及独立事件的乘法公式，即可得解. 【详解】（1）记甲、乙、丙三人在实践技能考试中“合格”依次为事件，在医学综合笔试中“合格”依次为事件. 因为所有考试是否合格互不影响，所以与，与，与相互独立. 因此甲获得执业医师证书的概率； 乙获得执业医师证书的概率； 丙获得执业医师证书的概率， 所以. 故乙获得执业医师证书的可能性最大. （2）记甲、乙、丙三人获得执业医师证书依次为事件，则，，. 由于事件相互独立，则恰有两人获得执业医师证书的概率 . 故有两人获得执业医师证书的概率为. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章 概率（复习讲义） 1、了解随机试验、样本点、样本空间及随机事件等概念的学习,达成数学抽象及逻辑推理的核心素养. 2、了解事件、基本事件、随机事件、必然事件、不可能事件的概念；会求随机试验的有限样本空间、基本事件的个数. 3、理解事件的包含关系,事件相等、并事件(或和事件)、交事件(或积事件)的概念；理解互斥事件与对立事件的概念,弄清其关系；能根据集合间的关系判断事件的关系；能用并事件(或和事件)、交事件(或积事件)、互斥事件与对立事件的概念解决实际问题. 4、了解古典概型的概念及特点，通过利用古典概型概率公式解决简单的概率计算问题,培养数学建模及数学运算的核心素养. 5、通过具体实例,抽象出概率的性质；理解概率性质及互斥事件和对立事件的概率公式的应用. 6、了解频率与概率的关系,理解频率的稳定性，能利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法；会用随机模拟求概率. 7、结合具体实例学习事件独立性的概念，通过利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题,提升数学建模、逻辑推理与数学运算的核心素养. 一、随机事件与概率 1、有限样本空间与随机事件 (1)随机试验：对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验. (2)有限样本空间 样本点：随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，用表示. 样本空间：全体样本点的集合称为试验的样本空间，用表示. 有限样本空间：如果一个随机试验有个可能结果，则称为有限样本空间. (3)随机事件：随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示. 随机事件：样本空间的子集称为随机事件，简称事件. 基本事件：只包含一个样本点的事件称为基本事件. 事件发生：在每次试验中，当且仅当中某个样本点出现时，称为事件发生. 必然事件： 不可能事件： 必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形，这样每个事件都是样本空间的子集. 2、事件的关系和运算 定义 符号 包含关系 如果事件A发生，则事件B一定发生，我们就称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) B⊇A(或A⊆B) 相等关系 若B⊆A且A⊆B A＝B 并事件 (或和事件) 事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B) 交事件 (或积事件) 事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或AB) 互斥 事件 如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件(A∩B＝)，则称事件A与事件B互斥 A∩B＝ 对立 事件 如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B＝Ω，且A∩B＝，那么称事件A与事件B互为对立 P(A)＋P(B)＝1 注：互斥与对立事件是两个事件的关系，互斥事件不可能同时发生，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件． 3、古典概型 (1)概率：对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率. 事件的概率用表示. (2)古典概型的特点：①有限性：样本空间的样本点只有有限个；②等可能性：每个样本点发生的可能性相等. (3)古典概型概率计算公式：设试验是古典概型，样本空间包含n个样本点，事件包含其中的k个样本点，则事件发生的概率. 4、概率的基本性质 性质1：对任意事件，都有. 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即. 性质3：如果事件与事件互斥，那么. 性质4：如果事件与事件互为对立事件，那么,. 性质5：如果，那么. 性质6： 设，是一个随机试验中的两个事件，有. 二、事件的相互独立性 1、定义：对任意两个事件A与B，如果成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立． 概念理解：（1）事件A与B相互独立式事件A的发生不影响事件B发生的概率，事件B的发生不影响事件A发生的概率； （2）由连个事件相互独立的定义，容易验证必然事件、不可能事件都与任意事件相互独立，这是因为必然事件总会发生，不会受任何事件是否发生的影响；同样不可能事件总不会发生，也不会受任何事件是否发生的影响，当然他们也不影响其他事件是否发生。 2、性质：如果事件A与事件B相互独立，则与，与，与也都相互独立。 3、两个相互独立事件同时发生的概率乘法： 事件与事件相互独立，则 4、推广：两个事件的相互独立可以推广到个事件的相互独立性，即 若事件相互独立， 则这个事件同时发生的概率 三、判断事件是否相互独立的方法 1、直接法：若事件A的发生对事件B的发生概率没有影响，反之亦然，则这两个事件是相互独立的，这是从定性的角度进行判断。 2、公式法：若对两事件A，B有P(AB)=P(A)P(B)，则事件A，B相互独立. 用相互独立事件的乘法公式解题的步骤： （1）用恰当的字母表示题中有关事件； （2）根据题设条件，分析事件间的关系； （3）将需要计算概率的事件表示为所设事件的乘积或若干个事件的乘积之和(相互乘积的事件之间必须满足相互独立)； （4）利用乘法公式计算概率． 3、相互独立事件的概率计算公式 已知两个事件A，B相互独立，它们的概率分别为P(A)，P(B)，则有 事件 表示 概率 A，B同时发生 P(A)P(B) A，B都不发生 A，B恰有一个发生 A，B中至少有一个发生 A，B中至多有一个发生 四、频率与概率 1、频率的稳定性：一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称其为频率的稳定性，可以用频率fn(A)估计概率P(A). 2、频率与概率的区别与联系 ①频率是概率的近似，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率，频率本身是随机的，试验前是不能确定的． ②概率揭示随机事件发生的可能性的大小，是一个确定的常数，与试验的次数无关，概率可以通过频率来测量，某事件在n次试验中发生了nA次，当试验次数n很大时，就将作为事件A发生的概率的近似值，即． ③求一个随机事件的概率的方法是根据定义通过大量的重复试验用事件发生的频率近似地作为它的概率；任何事件A的概率P(A)总介于0和1之间，即0≤P(A)≤1，其中必然事件概率是1，不可能事件概率是0. 题型一 有限样本空间与随机事件 1．（24-25高一下·安徽六安·期末）给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（    ） ①“从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件； ②“当x为某一实数时，可使”是不可能事件； ③“明天上海要下雨”是必然事件； ④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 2．（24-25高一下·全国·课后作业）试验：“任取一个两位数，观察个位数字与十位数字的和的情况”，则该试验的样本空间为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·江西南昌·期末）给出关于满足的非空集合的四个命题，其中错误的命题是（   ） A．若任取，则是必然事件 B．若任取，则是不可能事件 C．若任取，则是随机事件 D．若任取，则是必然事件 4．（25-26高一下·全国·课后作业）将一枚骰子先后抛掷两次，若先后出现的点数分别为，，则方程有实数根的样本点个数为（   ） A．18 B．19 C．20 D．21 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）同时投掷两枚大小质地完全相同的骰子，用表示出现的结果，其中分别为两枚骰子向上的点数，则该事件的所有结果种数为______________． 6．如图，一个电路中有A、B、C三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效．把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常．    (1)写出随机试验的样本空间； (2)写出下列事件相应的样本空间的子集： ①“恰好两个元件正常”；②“电路是通路”；③“电路是断路”． [提示：这个电路的工作状态可用表示，其中分别用和表示元件A、B和C的可能状态，1表示元件处于“正常”状态，0表示元件处于“失效”状态] 题型二 事件的关系与运算 1．（24-25高一下·安徽淮北·期末）掷两枚骰子，设事件两骰子出现点数之和为奇数，两骰子出现点数之和为偶数，则（   ） A．事件和事件是互斥但不对立事件 B． C．事件和事件是对立事件 D．以上均不对 2．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A表示随机事件“两枚炮弹都击中飞机”，事件B表示随机事件“两枚炮弹都未击中飞机”，事件C表示随机事件“恰有一枚炮弹击中飞机”，事件D表示随机事件“至少有一枚炮弹击中飞机”，则下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·贵州遵义·期末）一个袋子中有大小和质地相同的5个小球，其中有3个红球和2个白球．从袋中不放回地依次随机摸出2个小球（每次取1个小球），记事件“两次都摸到红球”，事件“两次都摸到白球”，事件“两次摸到的小球颜色不同”，事件“两次摸到的小球颜色相同”，则下列事件互为对立事件的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 4．（多选题）甲、乙两人参加某商场举行的抽奖活动，中奖名额不限，设事件为“甲中奖”，事件为“乙中奖”，事件为“甲、乙中至少有一人中奖”，则下列说法错误的是（   ） A．与互斥 B．与对立 C．与互斥 D．与对立 5．（多选题）（25-26高一下·全国·课后作业）在一次试验中，事件，，发生的概率分别为0.2，0.3，0.5，则下列说法错误的是（    ） A．与是互斥事件，也是对立事件 B．是必然事件 C． D．事件，，的关系不确定 6．（多选题）如图，一个电路中有四个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效．记“电路是通路”，“电路是断路”，“至少三个元件正常”，“恰有三个元件正常”，则（    ） A．与互斥，但不对立 B．与互斥，但不对立 C． D． 题型三 常规古典概型 1．已知袋子里有大小和质地完全相同的4个球，其中3个红球，1个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则两次都是红球的概率是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·河南驻马店·期末）袋子中有四个小球，分别写有“文、明、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率.利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“文、明、中、国”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数： 232  321  230  023  123  021  132  220  001 231  130  133  231  013  320  122  103  233 由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江苏无锡·期末）将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷次，观察向上的点数，则点数和为的概率是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一·全国·寒假作业）将四位数2025的各个数字打乱顺序重新排列，则所组成的不同的四位数（含原来的四位数）中两个2不相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·吉林·期末）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（    ）． A． B． C． D． 6．（25-26高一下·贵州遵义·期末）购买手办盲盒是当下青年人的潮流之一，国产动漫手办越来越受欢迎.若某种手办盲盒产品共有三种玩偶，任意一种玩偶出现的概率相等，则购买3个盲盒能集齐3种玩偶的概率为（    ） A． B． C． D． 7．甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（    ） A． B． C． D． 题型四 概率的基本性质 1．已知事件，互斥，且，，则（   ） A． B． C． D． 2．袋子中有一些大小质地完全相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或白球的概率为，摸出的球是红球或黑球的概率为，则摸出的球是红球的概率为（　　） A． B． C． D． 3．依次投掷硬币3次，至少有一次出现正面的概率是（    ） A． B． C． D． 4．设一个随机事件的样本空间为，事件，则下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 5．已知，则下列结果正确的是（） A． B． C． D． 6．黄山市境内风光奇绝，拥有12处国家级重点风景名胜区，在五一假期期间展现出独特的旅游魅力．对于两个旅游景点，通过大数据观测发现，游客选择景点出游的概率为，选择景点出游的概率为，两个景点都不选的概率为，则两个景点都选的概率为（   ） A． B． C． D． 7．甲、乙两人下一盘棋，甲获胜的概率是0.4，甲不输的概率为0.8，则他们下成和棋的概率为________． 8．已知，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则_____. 题型五 古典概型结合统计、结合概率的基本性质 1．（24-25高一下·河北邯郸·期末）抛掷一红一绿两颗质地均匀的正方体骰子，记下骰子朝上面的点数.若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果.设“两个点数之积是偶数”，“至少有一颗骰子的点数为5”，则（   ） A． B． C． D． 2．一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“第一次向下的数字为2或3”，事件为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（    ） A． B．事件与事件互斥 C．事件与事件相互独立 D． 3．（24-25高一下·江苏无锡·阶段检测）某商场开展20周年店庆购物抽奖活动（100%中奖），凡购物满500元的顾客均可参加该活动，活动方式是在电脑上设置一个包含1，2，3，4，5，6的6个数字编号的滚动盘，随机按下启动键后，滚动盘上的数字开始滚动，当停止时滚动盘上出现一个数字，若该数字是大于5的数，则获得一等奖，奖金为150元；若该数字是小于4的奇数，则获得二等奖，奖金为100元；若该数字出现其它情况，则获得三等奖，奖金为50元.现某顾客依次操作两次，则该顾客奖金之和为200元的概率为___________. 4．（24-25高一下·天津·期末）读书可以增长知识，开拓视野，修身怡情．树人中学为了解本校学生课外阅读情况，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全校学生中抽出一个容量为100的样本，其中男生40名，女生60名．经调查统计，分别得到40名男生一周课外阅读时间（单位：小时）的频数分布表和60名女生一周课外阅读时间（单位：小时）的频率分布直方图． 男生一周阅读时间频数分布表 小时 频数 9 25 3 3 (1)由以上频率分布直方图估计该校女生一周阅读时间的众数和分位数； (2)由以上频数分布表和频率分布直方图估计总样本的平均数； (3)从一周课外阅读时间为的样本学生中按比例分配抽取6人，再从这6人中任意抽取2人． ①用适当的符号表示试验的可能结果，写出试验的样本空间； ②设事件为“恰好抽到一男生一女生”，写出事件的集合表示形式，并求事件的概率． （注：以各组的区间中点值代表该组的各个值） 5．（25-26高一下·安徽合肥·阶段检测）2026年的《政府工作报告》中有这样的描述：“培育壮大新兴产业和未来产业.实施产业创新工程，鼓励央企国企带头开放应用场景，打造集成电路、航空航天、生物医药、低空经济等新兴支柱产业. 建立未来产业投入增长和风险分担机制，培育发展未来能源、量子科技、生物制造、具身智能、脑机接口、6G等未来产业.”某市科技馆为此推出“未来科技体验周”，设置6张外观完全相同的数字体验券，其中4张为“具身智能券”，2张为“航空航天券”. (1)若小明、小红两人从中各随机抽取1张体验券（抽取后不放回），求两人抽到的体验券类型恰好不同的概率； (2)若小华先从中随机抽取1张体验券，记录类型后放回并充分搅匀，再随机抽取1张，求小华两次抽取中至少有一次抽到“航空航天券”的概率； (3)该科技馆拟制定一项互动规则来决定“智能社”与“空天社”哪个社团优先体验新项目：从6张体验券中一次性随机抽取2张，若2张券类型相同，则“智能社”优先，若2张券类型不同，则“空天社”优先，请通过计算判断该规则是否公平，并说明理由. 6．（25-26高一下·河南南阳·阶段检测）某次茶话会上，共安排4个节目，其中有2个歌唱节目、1个舞蹈节目、1个小品节目，按任意次序排出一个节目单，试求下列事件的概率： (1)两个歌唱节目相邻； (2)舞蹈和小品至少有1个在最前或最后． 7．从某次测试中随机抽取100份测试卷进行成绩调查，发现抽取的测试卷的成绩都在40~100之间，将抽取的测试卷按成绩分成六组：，，，，，，画出如图所示的频率分布直方图． (1)求a的值和抽取测试卷的成绩的中位数（精确到0.1）； (2)采用比例分配的分层随机抽样方法从成绩在和的测试卷中抽取5份，再从这5份测试卷中随机抽取3份了解答题情况，求这3份测试卷成绩至少有一份在的概率． 题型六 相互独立事件与互斥事件的判断 1．（25-26高一下·天津·期末）分别抛掷质地均匀的两枚硬币．设事件 “第一枚硬币正面朝上”， “第二枚硬币反面朝上”．则事件与关系描述正确的为（　　） A．互斥 B．相互独立 C．互为对立 D．相等 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）一袋中装有100只球．其中有20只白球，在有放回的摸球中，记“第一次摸得白球”，“第二次摸得白球”，则事件与是（   ） A．相互独立事件 B．对立事件 C．互斥事件 D．无法判断 3．某同学制作了一个质地均匀的正四面体形骰子，在其中三个面分别写上一个数字1、2、3，第四个面写了三个数字1，2，3，随机抛掷一次，事件表示向下的面上有数字1，事件表示向下的面上有数字2，事件表示向下的面上有数字3，则（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件互斥 D．事件与事件相互独立 4．（多选题）从装有除颜色外完全相同的2个红球（编号为1，2）和2个白球（编号为3，4）的口袋中，依次不放回地随机摸出2个球，表示事件“恰有1个白球”，表示事件“恰有2个白球”，表示事件“取到了编号为1的小球”，D表示事件“第一次取到的球编号为奇数”，E表示事件“两次取到的球编号和为偶数”，则下列结论正确的是（   ） A．事件，互为对立事件 B． C．事件，为相互独立事件 D．事件，为相互独立事件 5．（多选题）（25-26高一下·辽宁辽阳·期末）某省开展慈善文化进机关、进企业、进乡村、进社区、进家庭活动，通过讲座、公益市集、志愿服务等形式，重点帮扶特殊困难群体.现有，，共3场慈善知识竞赛和慰问活动需要安排志愿者，小林从右图中四张同样大小的卡片中随机抽取一张，卡片上的字母代表小林参加的活动场次，例如抽到写有字母的卡片代表小林参加场活动，若抽到写有3个字母的卡片代表小林参加3场活动，则（     ） A．“小林参加场活动”与“小林参加场活动”互斥 B．“小林参加场活动”与“小林参加场活动”相互独立 C．“小林不参加场活动”与“小林不参加场活动”相互独立 D．“小林不参加场活动”与“小林参加场或场活动”相互独立 题型七 独立事件的乘法公式与推广 1．（25-26高一下·江西宜春·阶段检测）甲、乙两名同学做同一道数学题，甲做对的概率为，乙做对的概率为，两人做题互不影响，下列说法错误的是（ ） A．两人都做对的概率是 B．恰好有一人做对的概率是 C．两人都做错的概率是 D．至少有一人做对的概率是 2．在某地区的一个电视节目中某“专家”说1枚防空导弹的拦截率为70%，连发3枚这种防空导弹就有210%的拦截率．你认为发射3枚拦截率为70%的导弹，至少1枚拦截成功的概率为（    ） A．210% B．100% C．97.3% D．70% 3．某个部件由三个元件按图所示的方式连接而成，元件或元件正常工作，且元件正常工作，则该部件正常工作．各个元件正常工作的概率均为，且相互独立，那么该部件正常工作的概率为（   ） A． B． C． D． 4．已知5张奖券中只有2张有奖，甲、乙、丙3名同学依次不放回地各随机抽取1张，设甲、乙、丙中奖的概率分别为，则（   ） A．最大 B．最大 C．最大 D． 5．乒乓球比赛现采用五局三胜制，即最多打五局，谁先赢三局谁胜．甲、乙两人进行乒乓球比赛，甲在每局比赛中获胜的概率为，乙在每局比赛中获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．已知前两局比赛中，甲、乙各胜1局，则最终乙获胜的概率为_____________． 6．小明参加一项积分晋级赛，规则如下：初始积分为10分，每场比赛胜则加5分，负则减5分，平则积分不变；当积分达到0分（淘汰出局）或20分（晋级成功）时终止比赛，否则继续比赛；若三场比赛后仍未终止，则判定为晋级成功并终止比赛.已知每场比赛结果相互独立，小明每场比赛胜、负、平的概率分别为，，，则比赛终止时小明积分为0分的概率为________. 7．（25-26高一下·江西宜春·阶段检测）为选拔运动员参加第十五届全运会，某省对名青年选手进行专项成绩考核（满分分），考核成绩的频率分布直方图如图所示． (1)从得分在中，按，分层，采用分层随机抽样的方法抽取人，再从人中随机抽取人进行考核，求至少有人分数低于分的概率； (2)现通过两项考核选拔参赛运动员，每项的结果分为三个等级．若在两项考核中，至少一项为级，且另一项不低于级，则获得参赛资格．已知甲、乙的考核结果互相不受影响，且甲在每项考核中取得等级的概率分别是；乙在每项考核中取得等级的概率分别是．求甲、乙能同时获得参赛资格的概率． 8．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）甲､乙两名同学在遵义会议会址“红色研学趣味挑战赛”中轮流进行“投弹模拟”（每人每次模拟投弹一次），约定甲先投且先击中目标者获胜，一直到有人获胜或每人都已投弹3次时挑战结束.设甲每次投弹命中的概率为，乙每次投弹命中的概率为，且各次模拟投弹互不影响. (1)求甲在本次挑战赛中获胜的概率； (2)求挑战结束时，乙只进行了2次投弹模拟的概率. 题型八 随机模拟 1．（24-25高一下·河南漯河·期末）天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为．我们通过设计模拟实验的方法求概率．由计算机产生1～5的随机数，当出现随机数1，3，5时，表示天下雨，利用计算产生20组随机数：423，123，425，344，124，453，524，332，152，342，534，443，521，541，125，432，324，151，314，245．则这三天中恰有两天下雨的概率近似为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）在用计算器模拟抛硬币试验时，假设计算器只能产生0～9之间的随机数，则可以用4，5，6，7，8，9来代表正面.( )（填正确或者错误） 3．（24-25高一下·广西南宁·期末）在用随机数（整数）模拟“有5个男生和5个女生，从中抽选4人，求选出2个男生2个女生的概率”时，可让计算机产生的随机整数，并且代表男生，用代表女生．因为是选出4个，所以每4个随机数作为一组．通过模拟试验产生了10组随机数： 6830 4725 7056 6431 7840 4523 7834 2604 6346 0952 由此估计“选出2个男生2个女生”的概率为______ 4．（25-26高一下·全国·单元测试）在一个试验中，某种豚鼠被感染病毒的概率为，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染．经随机模拟产生了如下20组随机数： 192 907 966 925 271 932 812 458 569 683 257 393 127 556 488 730 113 537 989 431 据此估计三只豚鼠中恰有两只被感染的概率为______． 基础巩固通关测 1．（24-25高一下·甘肃天水·期末）在2025年6月21日天水市公祭伏羲活动期间，有人提出了这样一个问题：伏羲八卦中每一卦由三个爻组成（“”为阳爻，“”为阴爻）.从八卦中随机抽取一卦，那么抽到恰好含有两个阳爻的卦的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·广东深圳·期末）已知两个随机事件和，其中，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）掷一枚质地均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件，则（    ） A．B包含A B．A与B对立 C．A与B互斥 D．A与B相互独立 4．袋子中有6个大小质地完全相同的球，其中1个白球、2个红球、3个黄球，从中不放回地依次摸出两只球，则至少有一个红球的概率是（    ） A． B． C． D． 5．某种细胞如果不能分裂则死亡，并且一个细胞死亡的概率为，分裂为两个细胞的概率为．现有两个这样的细胞，则两次分裂后还有细胞存活的概率是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·黑龙江绥化·期末）从某校高一年级学生60名女生中，经调查偏理科的40人，偏文科的20人，利用分层抽样抽取6人，随机抽取3人，至少有2人偏理科的概率是（   ） A． B． C． D． 7．（2025高一·全国·专题练习）现有4张卡片，正面分别标有1，2，3，4，背面完全相同，将卡片洗匀，背面向上放置，甲、乙两人轮流抽取卡片，每人每次抽取一张，抽取后不放回，甲先抽，抽完为止，最后每人将各自抽到卡片的点数相加，点数大的一方获胜，则甲获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 8．如图，一个系统由4个部件组成，当甲、乙都正常工作，或丙、丁都正常工作时，系统就能正常工作.若每个部件的可靠度均为，而且这四个部件互不影响，则系统的可靠度为（    ）    A． B． C． D． 9．（多选题）（24-25高一下·内蒙古锡林郭勒·期末）从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都是白球”互斥而非对立的事件是以下事件中的哪几个（    ） A．事件“两球都不是白球” B．事件“两球恰有一白球” C．事件“两球至少有一个白球” D．事件“两球不都是白球” 10．（多选题）（24-25高一下·全国·课后作业）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，记事件“两次都击中飞机”，事件“两次都没击中飞机”，事件“恰有一次击中飞机”，事件“至少有一次击中飞机”，则（   ） A． B． C． D． 11．（多选题）（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）在一次随机试验中，三个事件，，发生的概率分别是0.2，0.3，0.5，则下列说法正确的是（    ） A．与是互斥事件，也是对立事件 B．不一定是必然事件 C． D． 12．（多选题）已知随机事件满足，则（    ） A．若事件互斥，则 B．若，则 C．若，则 D．若事件互斥，则 13．（多选题）如图，一个质地均匀的正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷这个八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为.表示事件“数字为质数”，表示事件“数字为偶数”，表示事件“数字大于4”，表示事件“数字为8”，则（   ） A．与相互独立 B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立 14．（多选题）（25-26高一下·辽宁·期末）在学校运动会开幕式上，100名学生组成一个方阵进行表演，他们按照性别（M（男）、F（女））及年级（（高一）、（高二）、（高三））分类统计的人数如下表，若从这100名学生中随机选一名学生，则下列概率正确的是（   ） 性别 M 14 20 18 F 17 21 10 A． B． C． D． 15．（25-26高一下·全国·单元测试）已知A，B，C，D四个开关控制着1，2，3，4号四盏灯，只要打开开关A则1，4号灯就会亮，只要打开开关B则2，3号灯就会亮，只要打开开关C则3，4号灯就会亮，只要打开开关D则2，4号灯就会亮．开始时，A，B，C，D四个开关均未打开，四盏灯也都没亮．现随意打开A，B，C，D这四个开关中的两个不同的开关，则2号灯亮的概率为______． 16．在如图所示的电路图中，开关a，b，c正常工作的概率分别为，且是相互独立的，则灯亮的概率是__________. 17．（2024高一下·全国·专题练习）保险柜的密码由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的四个数字组成，假设一个人记不清自己的保险柜密码，只记得密码全部由奇数组成且按照递增顺序排列，则最多输入2次就能开锁的概率是_______. 18．（25-26高一下·江西九江·期末）河流与河流是水库的主要水源，只要河流A，B之一不缺水，水库就不缺水．根据经验知道河流A，B不缺水的概率分别是0.8和0.6，同时不缺水的概率是0.5，则水库缺水的概率为_________． 19．第十五届中国国际航空航天博览会将于2024年11月在珠海国际航展中心组织，某城市为了了解居民对航空航天知识的认知程度，针对不同社区不同年龄和不同职业的人举办了一次“航空航天”知识竞赛，满分100分（90分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图： (1)根据频率分布直方图，估计这人年龄的第85百分位数； (2)现从以上各组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取20人，担任“航空航天”的宣传使者.若有甲（年龄31），乙（年龄34），丙（年龄42）三人已确定入选宣传使者，现计划从第三组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙、丙三人中至少有一人被选上的概率. 20．（24-25高一下·贵州遵义·期中）甲､乙两人进行象棋比赛，采用五局三胜制，每局均无平局，已知每局比赛甲获胜的概率为，且甲､乙每局比赛的结果互不影响. (1)求三局比赛结束的概率； (2)求四局比赛结束且甲获胜的概率； (3)若第一局甲获胜，求最终乙赢得比赛的概率. 能力提升进阶练 1．（25-26高一下·辽宁沈阳·期末）已知某运动员每次投篮命中的概率为，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：用计算机产生之间的随机整数，以每个随机整数（不足三位的整数，其百位或十位用0补齐）为一组，代表三次投篮的结果，指定数字0，1，2，3，4表示命中，数字5，6，7，8，9表示未命中.如图，在R软件的控制台，输入“sample（0：999，20，replace=F）”，按回车键，得到0~999范围内的20个不重复的整数随机数，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（    ） A． B． C． D． 2．有3双不同颜色的手套，如果从中随机取出2只，取出的手套一只是左手一只是右手的，但颜色不同的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·陕西·期末）连续抛掷两次一枚质地均匀的硬币，分别记录下每次抛掷的结果，记事件“正面向上的次数大于反面向上的次数”，事件“第次抛掷的结果为正面向上”（其中），则有（    ） A．事件与事件是互斥事件 B．事件与事件是相互对立事件 C． D． 4．袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列说法正确的是（ ） A．取出的3个球颜色相同的概率为 B．取出的3个球颜色全不相同的概率为 C．取出的3个球颜色不全相同的概率为 D．取出的3个球无红球的概率为 5．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定打6局，每局必分胜负，无平局．每局比赛中，获胜方得1分，失败方得0分．已知甲在每局比赛中获胜的概率是，乙在每局比赛中获胜的概率为，且各局结果相互独立．在整个比赛过程中，甲的累计得分始终不小于乙的累计得分的概率是（    ） A． B． C． D． 6．田忌赛马的故事一直为人所津津乐道，共体现了博弈的魅力.已知甲有三匹马，乙有三匹马，这些马之间比赛获胜的概率如下表所示.甲和乙进行三轮赛马游戏，每轮比赛甲和乙各选择一匹马比拼胜负，且每匹马至多进行两轮比赛，最终胜的轮数多的人获胜.在比赛之前，甲和乙先根据下表采用最优的选马策略选出所有参赛的马，并确定它们的参赛顺序，有下列两个命题： ①若，甲最优的选马策略为让马出战一次，马出战两次； ②若，，三轮游戏结束后，甲赢的概率为. 马与马对弈时，马获胜的概率 则下列说法正确的是（   ） A．命题①正确，命题②正确 B．命题①正确，命题②错误 C．命题①错误，命题②正确 D．命题①错误，命题②错误 7．（2025高一下·全国·专题练习）一场数字游戏在两个非常聪明的学生甲、乙之间进行，老师在黑板上写出2，3，4，…，2026，共2025个正整数，然后裁判随意擦去一个数，接下来由乙、甲两人轮流擦去其中一个数（即乙先擦去其中一个数，然后甲再擦去一个数），如此下去．若最后剩下的两个数为互质数（公因数只有1的两个非零自然数叫作互质数，如2和3是互质数，9和10是互质数），则判甲胜；否则判乙胜．按照这种游戏规则，甲获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一下·北京·期末）若图G的关联结点（加黑的粗点）构成的点集记为V，V可划分为两个子集和，且图中的每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中，则将图G称为二部图．现有下列六个图，若从这六个图中任选两个，则正确的是（  ） A．这两个图都是二部图的概率为 B．这两个图至少有一个是二部图的概率为 C．这两个图不都是二部图的概率为 D．这两个图恰有一个是二部图的概率为 9．（多选题）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（   ） A．甲与乙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互独立 D．乙与丁相互独立 10．（多选题）（24-25高一下·贵州遵义·阶段检测）有四张同样大小的卡片，上面标有数字，如图所示.从这四张卡片中随机抽取一张，设事件：“抽到的卡片上有数字”，，则下列事件相互独立的是（   ） A． B． C． D． 11．（多选题）（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）某市四所高中的足球队（分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”）进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时，下列说法正确的是（   ） A．甲队积分为9分的概率为 B．四支球队的积分总和可能为15分 C．丙队积分为3分的概率为 D．甲队胜2场且乙队胜2场的概率为 12．设是一个随机试验中的两个事件，且，则________ 13．某站台经过统计发现，一号列车准点到站的概率为，二号列车准点到站的概率为，一号列车准点到站或者二号列车不准点到站的概率为，记“一号列车准点到站且二号列车不准点到站”为事件，“一号列车不准点到站且二号列车准点到站”为事件，则______. 14．（24-25高一下·辽宁·期末）算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具.现有一把初始状态的算盘如图所示，自右向左，分别表示个位、十位、百位、千位等，上面一粒珠子（简称上珠）代表，下面一粒珠子（简称下珠）代表，五粒下珠表示的数的大小等于同组一粒上珠表示的数的大小.例如，个位拨动一粒上珠，十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字.现将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件“表示的四位数能被整除”，“表示的四位数能被整除”，则__________. 15．在如下图的的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有1个方格被选中，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最小值是_____. 8 27 32 62 3 23 37 63 6 27 38 66 5 26 39 66 16．为提高服务质量，某社区居委会进行了居民对社区工作满意度的问卷调查．随机抽取了100户居民的问卷进行评分统计，评分的频率分布直方图如图所示，数据分组依次为： (1)求的值； (2)求这100户居民问卷评分的中位数； (3)若根据各组的频率的比例采取分层抽样的方法，从评分在和内的居民中共抽取6户居民，查阅他们答卷的情况，再从这6户居民中选取4户进行专项调查，求这4户居民中恰有1户的评分在内的概率． 17．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）“猜灯谜”又叫“打灯谜”，是元宵节的一项活动，出现在南宋时期.开始时是好事者把谜语写在纸条上，贴在五光十色的彩灯上供人猜.因为谜语既能启迪智慧又饶有兴趣，所以流传过程中深受社会各阶层的欢迎.在一次猜灯谜活动中，共有30道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了15道，乙同学猜对了10道，丙同学猜对了道.假设对每位同学而言，他们猜对每道灯谜的可能性都相等. (1)任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率； (2)任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求的值. 18．全国执业医师证考试分实践技能考试与医学综合笔试两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则执业医师考试“合格”，并颁发执业医师证书．甲、乙、丙三人在实践技能考试中“合格”的概率依次为、、，在医学综合笔试中“合格”的概率依次为、、，所有考试是否合格互不影响． (1)假设甲、乙、丙三人同时进行实践技能考试与医学综合笔试两项考试，谁获得执业医师证书的可能性最大？请说明理由． (2)这三人进行实践技能考试与医学综合笔试两项考试后，求恰有两人获得执业医师证书的概率． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $