5.1轴对称及其性质 自主达标测试题 2025-2026学年北师大版七年级数学下册

**基本信息** 以“基础巩固-综合应用-拓展提升”分层设计，覆盖轴对称及等腰三角形核心知识点，通过梯度题型培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|轴对称性质、等腰三角形概念|选择1（对称轴识别）、填空11（内角计算）等直接应用概念| |中档|等边三角形性质、全等判定|选择7（分类讨论顶角）、解答18（等边三角形全等证明）强化推理| |提升|动态几何、综合证明|选择10（动点问题）、解答23（面积法探究线段关系）发展几何直观|

5.1轴对称及其性质 自主达标测试题 2025-2026学年北师大版七年级数学下册一．选择题（共10小题） 1．等腰三角形的对称轴是（　　） A．顶角的角平分线 B．底边上的高 C．底边上的中线 D．底边上的高所在的直线 2．若等腰三角形的周长是26cm，一边长为11cm，则腰长是（　　）cm． A．11 B．7.5或11 C．7.5 D．4 （第3题） 3．如图，△ABC是等边三角形，AB＝6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到E，使CE＝CD，则BE=（　　） A．7 B．8 C． D．9 4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，DA⊥AC，则∠ADB＝（　　） A．100° B．115° C．130° D．145° （第4题） 5．如图，△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，且BD＝BC＝AD，则∠A=（　　） A．30° B．36° C．45° D．72° 6．如图所示，△ABC中，AB＝10，AC＝8，角平分线BD、CD交于点D，过点D 作EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F，则△AEF的周长是（　　） A．10 B．8 C．9 D．18 （第5题） 7．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是35°，则顶角的度数是（　　） A．55° B．125° C．125°或55° D．55°或145° 8．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F，若BF＝AC，则∠ABC=（　　） A．40° B．45° C．50° D．60° 9．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M，P是直线MN上一动点，点H为BC的中点．若BC＝5，△ABC的面积是30，则PB+PH的最小值为（　　） A．5 B．6 C．12 D．24 10．如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE=（　　） A． B． C． D．不能确定 （第6题） （第8题） （第9题） （第10题） 二．填空题（共5小题） 11．（1）如果等腰三角形一个底角为40°，则顶角度数为 　 　 ． （2）如果等腰三角形一个内角为100°，则底角度数为 　 　 ． （3）如果等腰三角形一个内角为40°，则顶角度数为 　 　 ． （第13题） 12．一个等腰三角形，若其中两边的长分别为2cm和3cm，则此三角形的周长为　 　 ，若其中两边的长分别为2cm和5cm，则此三角形的周长为 　 　 ． 13．如图AB＝A1B，A1C＝A1A2，A2D＝A2A3，A3E＝A3A4，…，以此类推，若∠B＝20°，则∠An＝　 14．如图，P、Q是△ABC边BC上两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，∠B＝　 ∠BAC＝　 　 ． 15．在等腰△ABC中，AB＝AC，AC腰上的中线BD将三角形周长分 为15和21两部分，则这个三角形的底边长为　 　 ． 三．解答题（共8小题） 16．如图，△ABC，AB＝AC，点M、N分别在BC所在直线上， （第14题） 且AM＝AN．求证：BM＝CN． 17．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE＝∠BAD． 18．如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且BD＝CE，AD与BE相交于点F． （1）试说明△ABD≌△BCE；（2）求∠AFE的度数． 19．已知：如图，AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝ED，F是CD的中点，求证：AF⊥CD． 20．现有等腰三角形纸片，如果能从一个角的顶点出发，将原纸片一次剪开成两块等腰三角形纸片，问此时的等腰三角形的顶角的度数？ 21如图，D是等边三角形ABC内一点，且DB＝DA，BP＝AB，∠DBP＝∠DAC．求∠P的度数． 22．已知，如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D是BC边上的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且BE＝AF，求证：ED⊥FD． 23．如图，在△ABC中，AB＝AC，过BC上任意一点D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高．（1）若AB＝6，DE＝2，DF＝3，求△ABC的面积；（2）求证：DE+DF＝CG； （3）若D在底边BC的延长线上，探究DE，DF，CG之间的数量关系，并说明理由． 5.1轴对称及其性质 自主达标测试题 2025-2026学年北师大版七年级数学下册参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B D B B D C B C B 一．选择题（共10小题） 1．等腰三角形的对称轴是（　　） A．顶角的角平分线 B．底边上的高 C．底边上的中线 D．底边上的高所在的直线 【分析】本题除了要根据等腰三角形的性质进行求解外，还要注意图形的对称轴是直线，而不是线段． 【解答】解：根据等腰三角形的性质可知：顶角平分线、底边的中、底边的高所在的直线是等腰三角形的对称轴． 故选：D． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和轴对称的性质；要注意的是图形的对称轴是直线，而等腰三角形的顶角平分线，底边上的高，底边上的中线都是线段． 2．若等腰三角形的周长是26cm，一边长为11cm，则腰长是（　　）cm． A．11 B．7.5或11 C．7.5 D．4 【分析】题中给出了周长和一边长，而没有指明这边是否为腰长，则应该分两种情况进行分析求解． 【解答】解：①当11cm为腰长时，则腰长为11cm，底边＝26﹣11﹣11＝4cm，因为11+4＞11，所以能构成三角形； ②当11cm为底边时，则腰长＝（26﹣11）÷2＝7.5cm，因为7.5+7.5＞11，所以能构成三角形． 故选：B． 【点评】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的综合运用，关键是利用三角形三边关系进行检验． 3．如图，△ABC是等边三角形，AB＝6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到E，使CE＝CD，则BE长为（　　） A．7 B．8 C． D．9 【分析】根据等边三角形的性质，可得BC＝AB＝AC＝6，，即可求解． 【解答】解：由题意可知：BC＝AB＝AC＝6， ∵BD是∠ABC的平分线，CE＝CD， ∴， ∴BE＝BC+CE＝9． 故选：D． 【点评】本题主要查了等边三角形的性质，角平分线的定义，熟练掌握各知识点是解题的关键． 4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，DA⊥AC，则∠ADB＝（　　） A．100° B．115° C．130° D．145° 【分析】根据等边对等角得出∠B＝∠C，根据∠BAC＝130°即可求出∠C的度数，由DA⊥AC得出∠DAC＝90°，从而求出∠ADC的度数，问题得解． 【解答】解：在△ABC中，AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵∠BAC＝130°， ∴∠B＝∠C25°， ∵DA⊥AC， ∴∠DAC＝90°， ∴∠ADC＝90°﹣25°＝65°， ∴∠ADB＝180°﹣∠ADC＝180°﹣65°＝115°， 故选：B． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 5．如图，△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，且BD＝BC＝AD，则∠A的度数为（　　） A．30° B．36° C．45° D．72° 【分析】利用等边对等角得到三对角相等，设∠A＝∠ABD＝x，表示出∠BDC与∠C，列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出∠A的度数． 【解答】解：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， ∵BD＝BC＝AD， ∴∠A＝∠ABD，∠C＝∠BDC， 设∠A＝∠ABD＝x，则∠BDC＝2x，∠C， 可得2x， 解得：x＝36°， 则∠A＝36°， 故选：B． 【点评】此题考查了等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解本题的关键． 6．如图所示，△ABC中，AB＝10，AC＝8，角平分线BD、CD交于点D，过点D作EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F，则△AEF的周长是（　　） A．10 B．8 C．9 D．18 【分析】利用已知给出的平行线及角平分线的性质可得到许多对角是相等的，根据等校对等边的性质可得线段相等，进行等量代换周长可得． 【解答】解：∵EF∥BC， ∴∠2＝∠3． 又BD是∠ABC的平分线， ∴∠1＝∠3． ∴∠2＝∠1． 于是ED＝EB． 同理，FD＝FC． △AEF的周长为：（AE+ED）+（AF+FD）＝（AE+EB）+（AF+FC）＝10+8＝18． 故选：D． 【点评】本题考查了平行线的性质和角平分线的定义几等腰三角形的判定；根据等角对等边，可以将周长转化为三角形两边长，有效的对线段进行转移是正确解答本题的关键． 7．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是35°，则顶角的度数是（　　） A．55° B．125° C．125°或55° D．55°或145° 【分析】分别从△ABC是锐角三角形与钝角三角形去分析求解即可求得答案． 【解答】解：如图（1）， ∵AB＝AC，BD⊥AC， ∴∠ADB＝90°， ∵∠ABD＝35°， ∴∠A＝55°； 如图（2）， ∵AB＝AC，BD⊥AC， ∴∠BDC＝90°， ∵∠ABD＝35°， ∴∠BAD＝55°， ∴∠BAC＝125°； 综上所述，它的顶角度数为：55°或125°． 故选：C． 【点评】此题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键． 8．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F，若BF＝AC，则∠ABC的大小是（　　） A．40° B．45° C．50° D．60° 【分析】先利用AAS判定△BDF≌△ADC，从而得出BD＝DA，即△ABD为等腰直角三角形．所以得出∠ABC＝45°． 【解答】解：∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于E， ∴∠BEA＝∠ADC＝90°． ∵∠FBD+∠BFD＝90°，∠AFE+∠FAE＝90°，∠BFD＝∠AFE， ∴∠FBD＝∠FAE， 在△BDF和△ADC中，， ∴△BDF≌△ADC（AAS）， ∴BD＝AD， ∴∠ABC＝∠BAD＝45°， 故选：B． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、HL． 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 9．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M，P是直线MN上一动点，点H为BC的中点．若BC＝5，△ABC的面积是30，则PB+PH的最小值为（　　） A．5 B．6 C．12 D．24 【分析】连接AP，AH，先求出BH的长．由于△ABC是等腰三角形，点H是BC边的中点，故AH⊥BC，再根据勾股定理求出AH的长，由MN是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线MN的对称点为点A，可推出AH的长为PB+PH的最小值，由此即可得出结论． 【解答】解：连接AP，AH，如图所示： ∵AB＝AC，点H为BC中点， ∴AH⊥BC， ∴△ABC的面积是30， ∴BC•AH＝30， ∵BC＝5， ∴AH＝12， ∵MN是线段AB的垂直平分线， ∴点B关于直线MN的对称点为点A， ∴AP＝BP， ∴PB+PH＝PA+PH≥AH， ∴AH的长为PB+PH的最小值， ∴PB+PH的最小值为12． 故选：C． 【点评】本题考查轴对称﹣最短路线问题，勾股定理，等腰三角形的性质，能将两线段的和的最小值用一条线段的长表示是解答本题的关键． 10．如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（　　） A． B． C． D．不能确定 【分析】过P作PF∥BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP＝PF＝QC，根据等腰三角形性质求出EF＝AE，证△PFD≌△QCD，推出FD＝CD，推出DEAC即可． 【解答】解：过P作PF∥BC交AC于F． ∵PF∥BC，△ABC是等边三角形， ∴∠PFD＝∠QCD，△APF是等边三角形， ∴AP＝PF＝AF， ∵PE⊥AC， ∴AE＝EF， ∵AP＝PF，AP＝CQ， ∴PF＝CQ． ∵在△PFD和△QCD中， ， ∴△PFD≌△QCD（AAS）， ∴FD＝CD， ∵AE＝EF， ∴EF+FD＝AE+CD， ∴AE+CD＝DEAC， ∵AC＝1， ∴DE． 故选：B． 【点评】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中． 二．填空题（共5小题） 11．（1）如果等腰三角形一个底角为40°，则顶角度数为 　100°　 ． （2）如果等腰三角形一个内角为100°，则底角度数为 　40°　 ． （3）如果等腰三角形一个内角为40°，则顶角度数为 　40°或100°　 ． 【分析】（1）已知给出了一个底角为40°，利用三角形的内角和定理即可解本题； （2）根据等腰三角形的性质分两种情况：当顶角为100°时，当底角为100°时进行计算，再根据三角形内角和定理进行判断即可； （3）根据题意可分当顶角为40°时和底角为40°时进行分类求解即可． 【解答】解：（1）因为等腰三角形一个底角为40°，所以其顶角＝180°﹣40°×2＝100°． 故答案为：100°； （2）当顶角为100°时，底角为40°， 当底角为100°时，两底角的和为100°+100°＝200°＞180°，不满足三角形内角和定理， ∴底角的度数为40°． 故答案为：40°； （3）当顶角为40°时； 当底角的度数为40°时，顶角的度数为180°﹣40°×2＝100°； 综上所述：它的顶角的度数为40°或100°； 故答案为：40°或100°． 【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质． 12．一个等腰三角形，若其中两边的长分别为2cm和3cm，则此三角形的周长为　7cm或8cm　 ，若其中两边的长分别为2cm和5cm，则此三角形的周长为 　12cm　 ． 【分析】分两种情况：当等腰三角形的腰长为2cm，底边长为3cm时，当等腰三角形的腰长为3cm，底边长为2cm时；分两种情况：当等腰三角形的腰长为2cm，底边长为5cm时，当等腰三角形的腰长为5cm，底边长为2cm时，然后分别进行计算即可解答． 【解答】解：分两种情况： 当等腰三角形的腰长为2cm，底边长为3cm时， ∴此三角形的周长＝2+2+3＝7（cm）， 当等腰三角形的腰长为3cm，底边长为2cm时， ∴此三角形的周长＝3+3+2＝8（cm）， 综上所述：一个等腰三角形，若其中两边的长分别为2cm和3cm，则此三角形的周长为7cm或8cm； 分两种情况： 当等腰三角形的腰长为2cm，底边长为5cm时， ∵2+2＝4＜5， ∴不能组成三角形， 当等腰三角形的腰长为5cm，底边长为2cm时， ∴此三角形的周长＝5+5+2＝12（cm）， 综上所述：一个等腰三角形，若其中两边的长分别为2cm和5cm，则此三角形的周长为12cm； 故答案为：7cm或8cm；12cm． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分两种情况讨论是解题的关键． 13．如图，已知AB＝A1B，A1C＝A1A2，A2D＝A2A3，A3E＝A3A4，…，以此类推，若∠B＝20°，则∠An＝　　 ． 【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA1A的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度数，找出规律即可得出∠An的度数． 【解答】解：∵在△ABA1中，∠B＝20°，AB＝A1B， ∴∠BA1A80°， ∵A1A2＝A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角， ∴∠CA2A140°； 同理可得， ∠DA3A2＝20°，∠EA4A3＝10°， ∴∠An． 故答案为：． 【点评】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键． 14．已知：如图，P、Q是△ABC边BC上两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，∠APQ＝　60　 度，∠B＝　30　 度，∠BAC＝　120　 度． 【分析】由题可知△APQ是等边三角形，然后根据其三个角均为60°和已知条件求解． 【解答】解：∵PQ＝AP＝AQ ∴∠APQ＝∠AQP＝∠PAQ＝60° ．∵BP＝QC＝AP＝AQ ∴∠B＝∠BAP＝30°，∠C＝∠CAQ＝30° ∴∠BAC＝120°． 故填60、30、120． 【点评】此题主要是发现一个等边三角形，再进一步根据等腰三角形的性质结合三角形的外角性质进行计算． 15．在等腰△ABC中，AB＝AC，AC腰上的中线BD将三角形周长分为15和21两部分，则这个三角形的底边长为　16或8　 ． 【分析】本题由题意可知有两种情况，AB+AD＝15或AB+AD＝21．从而根据等腰三角形的性质及三角形三边关系可求出底边为8或16． 【解答】解：∵BD是等腰△ABC的中线，可设AD＝CD＝x，则AB＝AC＝2x， 又知BD将三角形周长分为15和21两部分， ∴可知分为两种情况 ①AB+AD＝15，即3x＝15，解得x＝5，此时BC＝21﹣x＝21﹣5＝16； ②AB+AD＝21，即3x＝21，解得x＝7；此时等腰△ABC的三边分别为14，14，8． 经验证，这两种情况都是成立的． ∴这个三角形的底边长为8或16． 故答案为：16或8． 【点评】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；注意：求出的结果一定要检验时符合三角形三边性质．分类讨论是正确解答本题的关键． 三．解答题（共8小题） 16．如图，△ABC，AB＝AC，点M、N分别在BC所在直线上，且AM＝AN．求证：BM＝CN． 【分析】根据等腰三角形的性质可以得出∠ABC＝∠ACB，∠M＝∠N，再由平角的性质可以得出∠ABM＝∠ACN，就可以得出△AMB≌△ANC，就可以得出结论． 【解答】证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB． ∵∠ABC+∠ABM＝180°，∠ACB+∠ACN＝180°， ∴∠ABM＝∠ACN． ∵AM＝AN， ∴∠M＝∠N． 在△AMB和△ANC中， ， ∴△AMB≌△ANC（AAS）， ∴BM＝CN． 【点评】本题考查了等腰时间性的性质的运用，平角的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 17．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE＝∠BAD． 【分析】根据三角形三线合一的性质可得∠CAD＝∠BAD，根据同角的余角相等可得：∠CBE＝∠CAD，再根据等量关系得到∠CBE＝∠BAD． 【解答】证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线， ∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD， ∵BE⊥AC， ∴∠BEC＝∠ADC＝90°， ∴∠CBE＝90°﹣∠C，∠CAD＝90°﹣∠C， ∴∠CBE＝∠CAD， ∴∠CBE＝∠BAD． 【点评】考查了余角的性质，等腰三角形的性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合． 18．如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且BD＝CE，AD与BE相交于点F． （1）试说明△ABD≌△BCE； （2）求∠AFE的度数． 【分析】（1）根据等边三角形的性质可得到AB＝BC，∠ABD＝∠C，结合条件可证明△ABD≌△BCE； （2）由（1）可得∠BAD＝∠FBD，结合外角的性质可求得∠AFE． 【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝BC，∠ABD＝∠C＝60°， 在△ABD和△BCE中 ∴△ABD≌△BCE（SAS）； （2）解：由（1）有△ABD≌△BCE， ∴∠BAF＝∠FBD， ∴∠AFE＝∠BAF+∠ABF＝∠ABF+∠FBD＝∠ABD＝60°． 【点评】本题主要考查等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质，掌握等边三角形的三边、三个内角都相等是解题的关键，注意外角性质的利用． 19．已知：如图，AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝ED，F是CD的中点，求证：AF⊥CD． 【分析】如图，连接AC、AD．通过全等三角形的判定定理SAS证得△ABC≌△AED，则对应边相等：AC＝AD；然后根据等腰三角形“三线合一”的性质证得结论． 【解答】证明：如图，连接AC、AD． 在△ABC与△AED中， ， ∴△ABC≌△AED（SAS）， ∴AC＝AD． 又∵F是边CD的中点， ∴AF⊥CD． 【点评】本题考查了全等三角形判定与性质熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 20．现有等腰三角形纸片，如果能从一个角的顶点出发，将原纸片一次剪开成两块等腰三角形纸片，问此时的等腰三角形的顶角的度数？只有一种情况吗？ 【分析】根据等腰三角形的性质可得到几组相等的角，再根据三角形外角的性质可得到∠C与∠A之间的关系，最后根据三角形内角和定理不难求解． 【解答】解：有四种情况， ①如图（1）， ∵AB＝AC，AD＝BD＝BC， ∴∠ABC＝∠C＝∠BDC，∠A＝∠ABD， ∵∠BDC＝2∠A， ∴∠ABC＝2∠A， ∵∠A+∠ABC+∠C＝180°， ∴5∠A＝180°， ∴∠A＝36°． ②如图（2） AD＝BD，BC＝CD，设∠A＝β，则∠ABD＝β， ∴∠1＝2β＝∠2， ∵∠ABC＝∠C， ∴∠C＝∠2+∠β， ∴∠C＝3β， ∴7β＝180°， ∴β； 即∠A； ③如图（3） AD＝DB＝DC， 则∠BAC＝90°． ④如图（4）， ∵AB＝AC＝CD，AD＝BD， ∴∠B＝∠C＝∠BAD＝β，∠CAD＝∠CDA＝α， ∵∠ADC＝∠BAD+∠B， ∴α＝2β， ∵3β+α＝180°， ∴5β＝180°， ∴β＝36°，α＝72°， ∴∠BAC＝α+β＝108°， 故原等腰三角形纸片的顶角为36°或或90°或108°． 【点评】此题主要考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质及三角形内角和定理的综合运用． 21．附加题（供有兴趣的同学选择使用） 如图，D是等边三角形ABC内一点，且DB＝DA，BP＝AB，∠DBP＝∠DAC．求∠P的度数． 【分析】根据等边三角形的性质就可以得出△ADC≌△BDC，就可以求出∠ACD＝∠BCD＝30°，再证明△BDP≌△ADC就可以得出∠P＝∠ACD，从而得出结论． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝BC，∠ACB＝60°． 在△ADC和△BDC中， ， ∴△ADC≌△BDC（SSS）， ∴∠ACD＝∠BCD． ∵∠ACD+∠BCD＝∠ACB＝60°， ∴∠ACD＝∠BCD＝30°． ∵BP＝AB， ∴BP＝AC． 在△BDP和△ADC中， BP＝AC，∠DBP＝∠DAC，BD＝AD， ∴△BDP≌△ADC（SAS）， ∴∠P＝∠ACD， ∴∠P＝30°． 答：∠P＝30°． 【点评】本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 22．已知，如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D是BC边上的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且BE＝AF，求证：ED⊥FD． 【分析】连接AD，先证明△BED≌△AFD，然后利用等角代换可求出∠EDF为直角，继而得证． 【解答】证明：连接AD，则AD＝BD，如图所示： ∵AF＝BE，∠B＝∠DAC＝45°， ∴△BED≌△AFD， ∴∠ADF＝∠BDE， 又∵∠BDE+∠EDA＝90°， ∴∠EDF＝∠ADF+∠EDA＝90°， 即ED⊥DF． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，比较简单，属于基础题，解答关键是正确作出辅助线． 23．如图，在△ABC中，AB＝AC，过BC上任意一点D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高． （1）若AB＝6，DE＝2，DF＝3，求△ABC的面积； （2）求证：DE+DF＝CG； （3）若D在底边BC的延长线上，探究DE，DF，CG之间的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）连接AD，根据三角形ABC的面积＝三角形ABD的面积+三角形ACD的面积，即可求出答案； （2）连接AD，根据三角形ABC的面积＝三角形ABD的面积+三角形ACD的面积，进行分析证明； （3）类似（2）的思路，仍然用计算面积的方法来确定线段之间的关系．即三角形ABC的面积＝三角形ABD的面积﹣三角形ACD的面积 【解答】解：（1）连接AD，∵AB＝AC，AB＝6， ∴AC＝6， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴S△ABC＝S△ABD+S△ACDAB•DEAC•DF6×26×3＝15； （2）连接AD，∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴S△ABC＝S△ABD+S△ACDAB•DEAC•DF， ∵AB＝AC， ∴S△ABCAB•DEAB•DFAB（DE+DF）， ∵CG⊥AB， ∴S△ABCAB•CG， ∴AB（DE+DF）AB•CG， ∴DE+DF＝CG； （3）DE﹣DF＝CG． 理由：连接AD，则S△ABD＝S△ABC+S△ACD， 即AB•DEAB•CGAC•DF ∵AB＝AC， ∴DE＝CG+DF， 即DE﹣DF＝CG． 【点评】此题时三角形综合题，主要考查了三角形的面积的计算，利用面积的和差计算三角形的面积是解本题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/5/30 15:42:28；用户：姚怀洪；邮箱：13927028828；学号：38450005 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $