5.2 简单的轴对称图形第第3课时 角平分线 同步练习 2025--2026学年北师大版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦角平分线性质与应用，通过基础选择、巩固填空、提升解答三层设计，实现从概念理解到综合推理的渐进式巩固，培养几何直观与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础（选择1-10）|角平分线性质、内心性质、作图原理|以生活情境（如建凉亭）和直接应用为主，考查概念辨析| |巩固（填空11-16）|距离计算、面积转化、简单推理|结合直角三角形、周长等，强化性质与计算结合| |提升（解答17-24）|全等证明、综合探究、拓展应用|通过多问证明（如第23题）和跨知识整合，培养逻辑推理与创新意识|

北师大版七年级数学下册第5章 3 简单的轴对称图形第第3课时 角平分线 一．选择题（共10小题） 1．一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边 的距离相等，凉亭的位置应选在（　　） A．△ABC三边的中垂线的交点 B．△ABC的三条中线的交点 （第1题） C．△ABC三条高所在直线的交点 D．△ABC三条角平分线的交点 2．下列各点中，到∠AOB两边距离相等的是（　　） A．点P B．点Q C．点M D．点N 3．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC于点E， DF⊥BC于点F，且BC＝4，DE＝2，则△BCD的面积是（　　） （第2题） A．4 B．2 C．8 D．6 4．如图，直线l、l′、l″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加 油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（　　） A．一处 B．二处 C．三处 D．四处 （第3题） 5．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为20，30，20，三条角平分线交 于点O，则S△ABO：S△BOC：S△CAO等于（　　） A．1：1：1 B．2：2：3 C．2：3：2 D．3：2：2 6．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，若AB＝10，AC＝8，则S△ABD：S△ACD＝（　　） （第4题） A．25：16 B．5：4 C．16：25 D．4：5 7．如图，用直尺和圆规作∠MAN的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（　　） A．AD＝AE B．AD＝DF C．DF＝EF D．AF⊥DE 8．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直，若AD＝8，则点P到BC的距离是（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 （第5题） （第6题） （第7题） （第8题） 9．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC， AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是（　　） （第9题） A．24 B．30 C．36 D．42 10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O是∠CAB、∠ABC平分线的 交点，且BC＝8cm，AC＝6cm，AB＝10cm，则点O到边AB的距离为（　　） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm （第10题） 二．填空题（共6小题） 11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，平分∠ABC， 则点D到AB的距离等于 　 　 ． （第11题） 12．如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于点D，AC＝3cm，则AE+DE＝　 　 cm． 13．在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，BC＝10，BD＝7，则点D到AB的距离为 　 　 ． 14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E， 若BC＝4，DE＝1.6，则BD= 　 ． 15．如图，已知△ABC的周长是20cm，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC 于点D，且OD＝3cm，则△ABC的面积是 　 　 cm2． 16．如图，BD平分∠ABC，AD平分△BAC的外角，MD∥BC，与AC相交于点N，与AB相交于点M，已知BM＝7cm，CN＝4cm，则MN的长为 　 　 ． （第12题） （第13题） （第15题） （第16题） 三．解答题（共8小题） 17．已知△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E． （1）求∠EDA的度数；（2）若AB＝10，AC＝8，DE＝3，求S△ABC． 18．已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上， PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．试说明：PM＝PN． 19．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E， S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，求AC长． 20．如图，△ABC中，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E． （1）若∠B＝40°，∠C＝76°，求∠EDA的度数． （2）若AB＝20，AC＝16，DE＝6，求△ABC的面积． 21．如图，在△ABC中，AB⊥BC，BE⊥AC于E，AF平分∠BAC交BE于点F，DF∥BC． （1）试说明：BF＝DF；（2）延长AF交BC于点G，试说明：BG＝DF． 22．如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求证：（1）AM⊥DM；（2）M为BC的中点． 23．如图①，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，且FG⊥AB于G，FH⊥BC于H．（1）求证：∠BEC＝∠ADC；（2）请你判断并FE与FD之间的数量关系，并证明；（3）如图②，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．请问，你在（2）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 北师大版七年级数学下册第5章 3 简单的轴对称图形第第3课时 角平分线 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B A D C B B C B B 一．选择题（共10小题） 1．如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　） A．△ABC三边的中垂线的交点 B．△ABC的三条中线的交点 C．△ABC三条高所在直线的交点 D．△ABC三条角平分线的交点 【分析】由角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，即可判断． 【解答】解：由角的平分线上的点到角的两边的距离相等，得到△ABC三条角平分线的交点到三条边的距离相等． 故选：D． 【点评】本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质． 2．下列各点中，到∠AOB两边距离相等的是（　　） A．点P B．点Q C．点M D．点N 【分析】根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等解答． 【解答】解：由图形可知，点Q在∠AOB的角平分线上， ∴点Q到∠AOB两边距离相等， 故选：B． 【点评】本题主要考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 3．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，且BC＝4，DE＝2，则△BCD的面积是（　　） A．4 B．2 C．8 D．6 【分析】根据角平分线的性质得出DE＝DF＝2，根据三角形的面积公式求出答案即可． 【解答】解：∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC， ∴DE＝DF， ∵DE＝2， ∴DF＝2， ∵BC＝4， ∴△BCD的面积S4， 故选：A． 【点评】本题考查了角平分线的性质和三角形的面积，注意：角平分线上的点到角的两边的距离相等． 4．如图，直线l、l′、l″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（　　） A．一处 B．二处 C．三处 D．四处 【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等作出图形即可得解． 【解答】解：如图所示，加油站站的地址有四处． 故选：D． 【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并是解题的关键，作出图形更形象直观． 5．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为20，30，20，三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BOC：S△CAO等于（　　） A．1：1：1 B．2：2：3 C．2：3：2 D．3：2：2 【分析】利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别是20，30，20，所以面积之比就是2：3：2． 【解答】解：过点O作OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F， ∵点O是内心， ∴OE＝OF＝OD， ∴S△ABO：S△BCO：S△CAO•AB•OE：•BC•OF：•AC•OD＝AB：BC：AC＝2：3：2， 故选：C． 【点评】本题主要考查了角平分线性质，三角形的面积公式，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 6．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，若AB＝10，AC＝8，则S△ABD：S△ACD＝（　　） A．25：16 B．5：4 C．16：25 D．4：5 【分析】先根据角平分线性质得到点D到AB和AC的距离相等，然后根据三角形面积公式得到S△ABD：S△ACD＝AB：AC． 【解答】解：∵AD平分∠BAC， ∴点D到AB和AC的距离相等， ∴S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝10：8＝5：4， 故选：B． 【点评】本题考查了角平分线性质和三角形的面积，能熟记角平分线性质是解此题的关键，角平分线上的点到角两边的距离相等． 7．如图，用直尺和圆规作∠MAN的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（　　） A．AD＝AE B．AD＝DF C．DF＝EF D．AF⊥DE 【分析】利用基本作图得到AF平分∠MAN，则根据角平分线的画法可对选项进行一一判断． 【解答】解：角平分线的作法如下：①以点A为圆心，AD长为半径作弧，分别交AM、AN于点D、E； ②分别以点D、E为圆心，DF长为半径作弧，两弧在∠MAN内相交于点F； ③作射线AF，AF即为∠MAN的平分线． 根据角平分线的作法可知，AD＝AE，DF＝EF， 根据等腰三角形的三线合一可知AF⊥DE， 故选：B． 【点评】本题考查了用直尺和圆规作角平分线的方法，掌握画法是解题的关键． 8．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直，若AD＝8，则点P到BC的距离是（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 【分析】过点P作PE⊥BC于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PA＝PE，PD＝PE，那么PE＝PA＝PD，又AD＝8，进而求出PE＝4即可． 【解答】解：如图，过点P作PE⊥BC于E， 由条件可知：PD⊥CD， ∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB， ∴PA＝PE，PD＝PE， ∴PE＝PA＝PD， ∵PA+PD＝AD＝8， ∴PA＝PD＝4， ∴PE＝4， 即点P到BC的距离是4． 故选：C． 【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并作辅助线是解题的关键． 9．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是（　　） A．24 B．30 C．36 D．42 【分析】过D作DH⊥AB交BA的延长线于H，根据角平分线的性质得到DH＝CD＝4，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：过D作DH⊥AB交BA的延长线于H， ∵BD平分∠ABC，∠BCD＝90°， ∴DH＝CD＝4， ∴四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△BCDAB•DHBC•CD6×49×4＝30， 故选：B． 【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键． 10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O是∠CAB、∠ABC平分线的交点，且BC＝8cm，AC＝6cm，AB＝10cm，则点O到边AB的距离为（　　） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 【分析】过O点作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，连接OC，如图，先根据角平分线的性质得到OD＝OE＝OF，再根据三角形面积公式得到•AB•ODAC•OEBC•OFAC•BC，即10×OD6×OD8×OD6×8，然后解方程求出OD即可． 【解答】解：过O点作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，连接OC，如图， ∵点O是∠CAB、∠ABC平分线的交点， ∴OD＝OE，OD＝OF， ∴OD＝OE＝OF， ∵S△AOB+S△AOC+S△BOC＝S△ABC， ∴•AB•ODAC•OEBC•OFAC•BC， 即10×OD6×OD8×OD6×8， 解得OD＝2， 即点O到边AB的距离为2cm． 故选：B． 【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形的面积公式． 二．填空题（共6小题） 11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，平分∠ABC，则点D到AB的距离等于 　5　 ． 【分析】由题意可求DC的长，由角平分线的性质可求解． 【解答】解：如图，过点D作DH⊥AB，垂足为H， ∵AC＝20，DCAD， ∴DC＝5， ∵BD平分∠ABC，∠C＝90°，DH⊥AB， ∴CD＝DH＝5， ∴点D到AB的距离等于5， 故答案为：5． 【点评】本题考查了角平分线的性质，熟练运用角平分线的性质是本题的关键． 12．如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于点D，AC＝3cm，则AE+DE＝　3　 cm． 【分析】根据角平分线的性质得出CE＝DE，求出AE+DE＝AC，再代入求出答案即可． 【解答】解：∵∠C＝90°， ∴AC⊥BC， ∵ED⊥AB，BE平分∠ABC， ∴DE＝EC， ∵AC＝3cm， ∴AE+DE ＝AE+CE ＝AC ＝3cm， 故答案为：3． 【点评】本题考查了角平分线的性质，能熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解此题的关键． 13．在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，BC＝10，BD＝7，则点D到AB的距离为 　3　 ． 【分析】过D作DE⊥AB于E，根据角平分线性质求出DE＝CD，即可得出答案． 【解答】解：如图，过D作DE⊥AB于E， ∵BC＝10，BD＝7， ∴CD＝BC﹣BD＝3， ∵∠C＝90°，AD平分∠BAC， ∴DE＝CD＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查了角平分线性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC＝4，DE＝1.6，则BD的长为 　2.4　 ． 【分析】由角平分线的性质可知CD＝DE＝1.6，得出BD＝BC﹣CD＝4﹣1.6＝2.4． 【解答】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°， ∴CD＝DE， ∵DE＝1.6， ∴CD＝1.6， ∴BD＝BC﹣CD＝4﹣1.6＝2.4． 故答案为：2.4 【点评】本题主要考查了角平分线的性质，熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 15．如图，已知△ABC的周长是20cm，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝3cm，则△ABC的面积是 　30　 cm2． 【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O到AB、AC、BC的距离都相等（即OE＝OD＝OF），从而可得到△ABC的面积等于周长的一半乘以3，代入求出即可． 【解答】解：∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB， ∴OE＝OF＝OD＝3（cm）， ∵△ABC的周长是20，OD⊥BC于D，且OD＝3cm， ∴S△ABCAB×OEBC×ODAC×OF （AB+BC+AC）×3 20×3 ＝30（cm2）， 故答案为：30． 【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，判断出三角形的面积与周长的关系是解题的关键． 16．如图，BD平分∠ABC，AD平分△BAC的外角，MD∥BC，与AC相交于点N，与AB相交于点M，已知BM＝7cm，CN＝4cm，则MN的长为 　3cm　 ． 【分析】过点D作DF⊥BC，交BC的延长线于点F，过点D在DH⊥AC，垂足为H，过点D作DG⊥AE，垂足为G，先利用角平分线的性质定理可得DG＝DF＝DH，从而利用角平分线的判定定理可得CD平分∠ACF，然后利用角平分线的定义和平行线的性质可得△MBD和△CDN是等腰三角形，从而可得MB＝MD＝7cm，CN＝DN＝4cm，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：过点D作DF⊥BC，交BC的延长线于点F，过点D在DH⊥AC，垂足为H，过点D作DG⊥AE，垂足为G， ∵BD平分∠ABC，DF⊥BF，DG⊥BA， ∴DG＝DF， ∵AD平分∠CAE，DH⊥AC，DG⊥AE， ∴DH＝DG， ∴DF＝DH， ∴CD平分∠ACF， ∴∠ACD＝∠DCF， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC， ∵DM∥BC， ∴∠CDM＝∠DCF，∠DBC＝∠MDB， ∴∠ABD＝∠MDB，∠ACD＝∠CDM， ∴MB＝MD＝7cm，CN＝DN＝4cm， ∴MN＝DM﹣DN＝7﹣4＝3（cm）， 故答案为：3cm． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 三．解答题（共8小题） 17．已知△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E． （1）求∠EDA的度数； （2）若AB＝10，AC＝8，DE＝3，求S△ABC． 【分析】（1）AD是△ABC的角平分线，则AD将∠BAC分成两个度数相等的角； （2）AD是△ABC的角平分线，则点D到∠BAC两边的距离相等． 【解答】解：（1）∵∠B＝50°，∠C＝70°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣50°﹣70°＝60°． ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAD∠BAC60°＝30°． ∵DE⊥AB， ∴∠DEA＝90°， ∴∠EDA＝180°﹣∠BAD﹣∠DEA＝180°﹣30°﹣90°＝60°； （2）如图，过D作DF⊥AC于点F， ∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB， ∴DF＝DE＝3， 又∵AB＝10，AC＝8， ∴S△ABCAB×DEAC×DF10×38×3＝27． 【点评】此题考查的是角平分线的性质，掌握角平分线上的点到两边的距离相等、三角形内角和等于180度是解决此题的关键． 18．已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．试说明：PM＝PN． 【分析】根据角平分线的定义可得∠ABD＝∠CBD，然后利用“边角边”证明△ABD和△CBD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB＝∠CDB，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可． 【解答】证明：∵BD为∠ABC的平分线， ∴∠ABD＝∠CBD， 在△ABD和△CBD中，， ∴△ABD≌△CBD（SAS）， ∴∠ADB＝∠CDB， ∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD， ∴PM＝PN． 【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，确定出全等三角形并得到∠ADB＝∠CDB是解题的关键． 19．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，求AC长． 【分析】过D作DF⊥AC于F，根据角平分线性质求出DF＝DE＝2，根据S△ADB+S△ADC＝7和三角形面积公式求出即可． 【解答】解： 过D作DF⊥AC于F， ∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DE＝2， ∴DE＝DF＝2， ∵S△ABC＝7， ∴S△ADB+S△ADC＝7， ∴7， ∴7， 解得：AC＝3． 【点评】本题考查了角的平分线性质，三角形面积公式的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等． 20．如图，△ABC中，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E． （1）若∠B＝40°，∠C＝76°，求∠EDA的度数． （2）若AB＝20，AC＝16，DE＝6，求△ABC的面积． 【分析】（1）先利用三角形内角和定理可得∠BAC＝64°，然后利用角平分线的定义可得∠DAB＝32°，再根据垂直定义可得∠DEA＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答； （2）过点D作DF⊥AC，垂足为F，先利用角平分线的性质可得DE＝DF＝6，然后根据△ABC的面积＝△ACD的面积+△ADB的面积，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）∵∠B＝40°，∠C＝76°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝64°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠DAB∠BAC＝32°， ∵DE⊥AB， ∴∠DEA＝90°， ∴∠ADE＝90°﹣∠DAB＝58°， ∴∠EDA的度数为58°； （2）过点D作DF⊥AC，垂足为F， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF＝6， ∵AB＝20，AC＝16， ∴△ABC的面积＝△ACD的面积+△ADB的面积 AC•DFAB•DE 16×620×6 ＝48+60 ＝108， ∴△ABC的面积为108． 【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 21．如图，在△ABC中，AB⊥BC，BE⊥AC于E，AF平分∠BAC交BE于点F，DF∥BC． （1）试说明：BF＝DF； （2）延长AF交BC于点G，试说明：BG＝DF． 【分析】（1）由角平分线的性质可得FE＝FH，由“ASA”可证△DEF≌△BHF，可得BF＝DF； （2）由等角的余角相等可得∠AFE＝∠AGB＝∠BFG，可得BF＝BG＝DF． 【解答】证明：（1）如图，延长DF交AB于H，延长AF交BC于G， ∵AB⊥BC，DF∥BC， ∴DH⊥AB， ∵AF平分∠BAC，BE⊥AC，DH⊥AB， ∴FE＝FH， 又∵∠DFE＝∠BFH，∠DEF＝∠BHF＝90°， ∴△DEF≌△BHF（ASA）， ∴BF＝DF； （2）∵AF平分∠BAC， ∴∠EAF＝∠BAG， ∵∠EAF+∠AFE＝90°，∠BAG+∠AGB＝90°， ∴∠AFE＝∠AGB， ∴∠BFG＝∠AGB， ∴BF＝BG， ∴BG＝DF． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，灵活运用全等三角形的性质是本题的关键． 22．如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求证： （1）AM⊥DM； （2）M为BC的中点． 【分析】（1）根据平行线的性质得到∠BAD+∠ADC＝180°，根据角平分线的定义得到∠MAD+∠ADM＝90°，根据垂直的定义得到答案； （2）作NM⊥AD，根据角平分线的性质得到BM＝MN，MN＝CM，等量代换得到答案． 【解答】解：（1）∵AB∥CD， ∴∠BAD+∠ADC＝180°， ∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC， ∴2∠MAD+2∠ADM＝180°， ∴∠MAD+∠ADM＝90°， ∴∠AMD＝90°， 即AM⊥DM； （2）作NM⊥AD交AD于N， ∵∠B＝90°，AB∥CD， ∴BM⊥AB，CM⊥CD， ∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC， ∴BM＝MN，MN＝CM， ∴BM＝CM， 即M为BC的中点． 【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握平行线的性质和角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 23．如图①，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，且FG⊥AB于G，FH⊥BC于H． （1）求证：∠BEC＝∠ADC； （2）请你判断并FE与FD之间的数量关系，并证明； （3）如图②，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．请问，你在（2）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【分析】（1）利用角平分线的性质以及三角形外角的性质得出即可； （2）首先过点F作FH⊥BC于H．作FG⊥AB于G，连接BF，根据角平分线的性质，可得FH＝FG，又由在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，求得∠GEF＝75°＝∠HDF，又由∠DHF＝∠EGF＝90°，利用AAS，即可证得△DHF≌△EGF，由全等三角形的对应边相等，即可证得FE＝FD； （3）过点F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N，连接BF，根据角平分线的性质，可得FN＝FM，由∠ABC＝60°，即可求得∠MFN＝120°，∠EFD＝∠AFC＝120°，继而求得∠DFM＝∠DFE，利用ASA，即可证得△DMF≌△ENF，由全等三角形的对应边相等，即可证得FE＝FD． 【解答】解：（1）∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线， ∴∠DAC＝∠DAB∠BAC＝15°，∠ACE∠ACB＝45°， ∴∠CDA＝∠BAD+∠ABD＝75°，∠BEC＝∠BAC+∠ECA＝75°， ∴∠BEC＝∠ADC； （2）相等， 理由：如图①，过点F作FH⊥BC于H．作FG⊥AB于G，连接BF， ∵F是角平分线交点， ∴BF也是角平分线， ∴HF＝FG，∠DHF＝∠EGF＝90°， ∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°， ∴∠BAC＝30°， ∴∠DAC∠BAC＝15°， ∴∠CDA＝75°， ∵∠HFC＝45°，∠HFG＝120°， ∴∠GFE＝15°， ∴∠GEF＝75°＝∠HDF， 在△DHF和△EGF中， ， ∴△DHF≌△EGF（AAS）， ∴FE＝FD； （3）成立． 理由：如图②，过点F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N，连接BF， ∵F是角平分线交点， ∴BF也是角平分线， ∴MF＝FN，∠DMF＝∠ENF＝90°， ∴四边形BNFM是圆内接四边形， ∵∠ABC＝60°， ∴∠MFN＝180°﹣∠ABC＝120°， ∵∠CFA＝180°﹣（∠FAC+∠FCA）＝180°（∠ABC+∠ACB）＝180°（180°﹣∠ABC）＝180°（180°﹣60°）＝120°， ∴∠DFE＝∠CFA＝∠MFN＝120°． 又∵∠MFN＝∠MFD+∠DFN，∠DFE＝∠DFN+∠NFE， ∴∠DFM＝∠NFE， 在△DMF和△ENF中， ∴△DMF≌△ENF（ASA）， ∴FE＝FD． 【点评】此题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．此题难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $