5.2 第3课时 角平分线的性质及作法&思想方法专题 关于等腰三角形分类讨论思想的运用-【学海风暴】2024-2025学年新教材七年级下册数学同步备课（北师大版2024）

第3课时角平分线的性质及作法 1.B2.C3.D4.125.PQ≥2 6.解：因为AD平分∠CAB,DE⊥AB,∠C=90°， 所以∠C=∠BED=90°，DC=DE. DC-DE 在△DCF和△DEB中，∠C=∠BED, FC=BE, 所以△DCF≌△DEB(SAS),所以BD=DF. 7.D8.65 9.解：如图，点P即为所求. 10.A11.C 12.解：(1)因为EF⊥AB,∠AEF=50°， 所以∠FAE=90°-∠AEF=40°. 因为∠BAD=100°，所以∠CAD=180°-∠BAD一 ∠FAE=40°， 所以∠FAE=∠CAD,即AC为∠DAF的平分线. 又因为EF⊥AB,EG⊥AD,所以EF=EG 因为BE是∠ABC的平分线，EF⊥AB,EH⊥BC,所 以EF=EH,所以EG=EH. (2)设EG=x. 由(1)，得EF=EH=EG=x. 因为SAcD=15,AD=4,CD=8, 所以2AD·EG+2CD·EH=15, 即4x+8x=30,解得x=号，所以EF=x=号，所以 S-号AB.EF-合X7X号-要 13.解：(1)如图，过点D分别作DE⊥AB于点E,DF⊥ AC交AC的延长线于点F,则∠F=∠DEB=90°. 因为AD平分∠BAC,所以DE=DF. 因为∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD=180°， 所以∠B=∠FCD. ∠F=∠DEB, 在△DFC和△DEB中， ∠FCD=∠B, DF=DE, 所以△DFC≌△DEB(AAS),所以DB=DC (2)2a 思想方法专题关于等腰三角形 分类讨论思想的运用 1.C2.D3.54.3或135.C6.A 7.C变式题D 8.57.5°，57.5°，65°或65°，65°，50°或32.5°，32.5°，115 9.35°或40°或55°10.C11.30°或120°或150 12.25或115° 应用技巧专题轴对称的性质及其应用 1.A2.B 3.解：因为D是AB边上的中点， 所以AD=BD. 由折叠，得AD=DF,所以BD=DF, 所以∠B=∠DFB=45°， 所以∠BDF=180°-∠B-∠DFB=90°. 4.解：因为点P关于OA的对称点Q恰好落在线段 MN上， 所以OA垂直平分PQ, 所以QM=PM=3cm, 所以QN=MN-QM=5.5-3=2.5(cm) 因为点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上， 所以OB垂直平分PR, 所以RN=PN=4cm, 所以QR=QN+RN=2.5+4=6.5(cm). 5.解：(1)120 (2)因为点P关于11，L2的对称点分别为P,P2, 所以OP,=OP=OP2=3. 因为PP2=5, 所以△POP,的周长为OP,+OP2+PP,=3+3+5 =11. 6.解：(1)由折叠的性质可知，CE=-AC=6,DE=AD. 因为BC=8,所以BE=BC一CE=2, 所以△BDE的周长=DE+BD+BE=AD+BD+BE =AB+BE=10+2=12. (2)由折叠的性质可知，∠BCD=∠ACD=号∠ACB =45°，∠CDE=∠ADC, 所以∠ADC=180°-∠BDC=∠B+∠BCD=37°+ 45°=82°， 所以∠CDE=82°， 7.B8.A9.C10.B11.C12.B13.D14.C 15.3 65E2 17.解：(1)轴对称图形面积相等 (2)如图（答案不唯一）. 下册参考答案 179第3课时 角平 已课内基础闯关 -------------------------0 知识点① 角平分线的性质 1.已知OP平分∠AOB,点C在OP上，则下图 中线段CD与CE一定相等的是() D D C 0 2.(教材变式)如图，在Rt△ABC中，∠B 90°，AD平分∠BAC,交BC于点D,过点D 作DE⊥AC,交AC于点E.若BD=5,则 DE的长为 A.3 B.4 C.5 D.6 第2题图 第3题图 3.如图，E为∠BAC的平分线AP上一点，AB =4,△ABE的面积为12，则点E到直线AC 的距离为 ( A.3 B.4 C.5 D.6 4.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分 ∠BAC交BC于点D,DE⊥AB,垂足为E. 若BC=8,BE=4,则△BDE的周长为 第4题图 第5题图 5.如图，OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,Q 是射线OM上的一个动点.若PA=2,则PQ 的取值范围是 6.如右图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分 ∠CAB,过点D作DE⊥AB于点E,在CA 分线的性质及作法 边上截取FC,使FC=BE. 试说明：BD=DF. 知识点②角平分线的尺规作图 7.(2024烟台)某班开展“用直尺和圆规作角平 分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如图 所示，其中射线OP为∠AOB的平分线的有 第7题图 A.1个B.2个C.3个 D.4个 8.如图，在∠AOB中，以点O A 为圆心，任意长为半径作 弧，交OA于点M,交OB 0 于点N,分别以点M,N为 第8题图 圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧交于 点C,作射线OC,过点C作CD⊥OA于点 D,CE∥OA交OB于点E.若∠CEB=50°， 则∠OCD的度数为 9.随着新能源共享汽车的普及，某新能源共享 汽车公司计划在M区建立一个集中充电点 P,设计要求如下：集中充电点P到公路 OA,OB的距离相等，并且到两个小区C,D 的距离也相等.请用尺规在图上标出点P(不 写作法，保留作图痕迹). A -B c 下册第五章 81 ⊙课外拓展提高 10.（2024南昌一模)如图，在△ABC中，∠B 30°，∠C=50°.通过观察尺规作图的痕迹， ∠DAE的度数是 A.35° B.60° C.70° D.85° 第10题图 第11题图 11.如图，AD∥BC,∠ABC的平分线BP与 ∠BAD的平分线AP相交于点P,作PEI AB,垂足为E.若PE=3,则两平行线AD 与BC间的距离为 A.3 B.5 C.6 D.8 12.如下图，在△ABC中，点D在BC边上， ∠BAD=100°，∠ABC的平分线交AC于 点E,过点E分别作EF⊥AB,EG⊥AD, EH⊥BC,垂足分别为F,G,H,且∠AEF =50°，连接DE. (1)试说明：EG=EH; (2)若AB=7,AD=4,CD=8,且S△AcD= 15,求△ABE的面积. 七年级数学BS版 色综合能力提升 13.【感知】如图①，AD平分∠BAC,∠B+∠C =180°，∠B=90°，易知DB=DC. 【探究】(1)如图②，AD平分∠BAC,∠B+ ∠C=180°，∠B<90°，试说明：DB=DC; 【应用】(2)如图③，在四边形ABDC中，AD 平分∠BAC,∠B=45°，∠C=135°，DE⊥ AB,且BE=a,则AB-AC= (用含a的代数式表示). 知识要点归纳 1.角的轴对称性：角是轴对称图形，有一条对称 轴，角平分线所在的直线是它的对称轴. B 2.角平分线的性质：角平分线 上的点到这个角的两边的距离 相等.如右图，OP平分∠AOBO A (∠1=∠2)，PC⊥OA于点C, PD⊥OB于点D,那么PC=PD, 3.角平分线的性质实际上概括起来就是“一分二 直一结论”，即在运用时必须满足三个条件：一个 平分，两个垂直，然后才能得到一个结论 思想方法专题关于等腰 题型⑦腰和底不明确时进行分类讨论 1.(2024枣庄台儿庄区期末)等腰三角形的一 边长为5cm,另一边长为6cm,那么它的周 长为 ( A.16 cm B.17 cm C.16cm或17cm D.11 cm 2.定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值 称为这个等腰三角形的“优美比”.若等腰三 角形ABC的周长为20，其中一边长为8，则 它的“优美比”为 A司 R C.号或2 D或号 3.如图所示的正方形网格中，网 格线的交点称为格点.已知A 和B是两个格点，如果C也是 图中的格点，且使得△ABC为 第3题图 等腰三角形，则点C的个数为 4.已知等腰三角形的三边长分别为13,10一x, x十6，则该等腰三角形的底边长为 题型②顶角和底角不明确时进行分类讨论 5.等腰三角形的一个角是50°，则它一腰上的 高与底边的夹角是 A.259 B.40° C.25°或40° D.不能确定 6.已知一个等腰三角形两内角的度数之比为 1:4,则这个等腰三角形顶角的度数是 ( A.20°或120° B.30°或120° C.20°或100° D.30°或100 7.若等腰三角形的一个内角是80°，则它的底 角的度数为 A.50° B.80° C.50°或80 D.20°或80° 三角形分类讨论思想的运用 变式题已知等腰三角形ABC中，∠A= 50°，则∠B的度数为 A.50 B.65 C.50或65 D.50°或65°或80° 题型③ 等腰三角形形状不明确时进行分类 讨论 8.等腰三角形一腰上的高与一边的夹角为25°，这 个三角形的各个内角的度数为 9.已知△ABC中，AB=AC,∠BAC =40°，D为直线BC上异于B,C 的一点.若△ABD是等腰三角形，扫码学解题 则∠D的度数为 题型④其他类型 10.如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=30°.若 以点C为圆心，CA的长为半径作弧，交直 线BC于点P,连接AP,则∠BAP的度数 是 () A.45 B.135° C.45°或135° D.30°或135 B 130 A 第10题图 第11题图 11.如图，线段AB的端点A在直线1上，AB 与1的夹角为30°，点C在直线1上.若 △ABC是等腰三角形，则这个等腰三角形 顶角的度数是 12.如图，在三角形纸片ABC 中，AB=AC,∠B=20°，DB 是边BC上的动点，将三角 形纸片沿AD对折，使点B 第12题图 落在点B'处.当B'D⊥BC时，∠BAD的度 数为 下册第五章 83