《5.2简单的轴对称图形》 同步练习 2025-2026学年北师大版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦轴对称图形性质与应用，通过基础巩固、中档综合、提升拓展三层设计，实现从概念理解到复杂推理的递进，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|垂直平分线/角平分线性质、等腰三角形概念|以生活情境题（如集合地选址）考查单一知识点，强化概念辨析| |中档层|三线合一、尺规作图、周长计算|结合图形变换（如垂直平分线与周长关系），培养空间观念| |提升层|动态几何、多性质综合证明|通过探究性问题（如规律总结、最值问题），发展逻辑推理与模型意识|

2025-2026学年北师大版七年级数学下册《5.2简单的轴对称图形》 同步自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1.如图，三个小朋友相约周末出去玩，图中点A、B、C代表三人的家所在的位置，为公平 起见，集合地应定在以下什么位置，可以使三个小朋友的家到集合地的距离相等？() A.在△ABC三条高线所在的直线的交点处B.在△ABC三条中线的交点处 C.在△ABC三条边的垂直平分线的交点处D.在△ABC三条角平分线的交点处 2.若等腰三角形中有一个角等于100°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（). A.40o B.100° C.40°或100°D.80 3.下列说法：①等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；②等腰三角形的两腰上的中 线长相等；③等腰三角形的腰一定大于其腰上的高；④等腰三角形的一边长为8，一边长为 16,那么它的周长是32或40.其中不正确的（) A.①③ B.①④ C.①③④ D.①②③④ 4.如图所示，OP平分∠BOA,PC⊥OAPD⊥OB,垂足分别是C,D,则下列结论中错 误的是（) B A.PC=PD B.OC=OD C.OC=OP D.∠CPO=∠DPO 5,如图，墙上钉了一根木条，小明想检验这根木条是否水平，他拿来一个测平仪，在这个 测平仪中，AB=AC,BC边的中点D处挂了一个重锤，小明将BC边与木条重合，观察此 时重锤是否过A点，如果过A点，那么这根木条就是水平的，他作出判断的依据是() B D A.垂线段最短 B.三角形三条高所在的直线交于一点 C.角平分线上的点到角两边的距离相等D.等腰三角形“三线合一” 6.尺规作图：在△ABC(AB≠AC)的边BC上找一点P,使∠BAP=∠CAP.下列作 法正确的是() C. 0 7.如图，在△ABC中，点E在边AC上，DE是AB的垂直平分线，△ABC的周长为19， △BCE的周长为12，则线段AB的长为() A.9 B.8 C.7 D.6 8.某市计划在公路1旁修建一个飞机场M,现有如下四种方案，则机场M到A、B两个城 市之间的距离之和最短的方案是() A M A A M 二、填空题（满分24分） 9.如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB=AD=CD.若∠C=35°，则∠B= 10.如图，DE垂直平分线段AB于点E,DF垂直平分线段BC于点F.若AD=6,则 CD= 11.如图，在△ABC中，CB、CF分别平分∠ACB和∠ACB的外角，DE=6,EF//BC ,则DF=· 12.如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，∠B=20°，根据尺规作图的痕迹可知， ∠ADE= 13.如图，在等腰△ABC中，AD是底边BC上的中线，E是腰AB上一点，连接ED,F是 ED延长线上一点，连接CF,若CB平分∠ACF,AC=6,AE=2,则CF的长为 14.如图，在△ABC中，DE,DF分别是BC,AB边的垂直平分线，连接AD,BD,CD, 若∠ACB=70°，则∠BAD= 15.如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线PQ与△ABC的外角平分线交于点P,过点 P作PD⊥BC于点D,PE⊥AC于点E.若BC=6,AC=4.则CE的长度是· B 16.如图，ABCD,BE和CE分别平分∠ABC和∠BCD,AD过点E,且与AB互相垂直， 点P为线段BC上一动点，连接PE,若AD=8,则PE的最小值为 B D 三、解答题（满分72分） 17.(8分)尺规作图（要求：不写作法，保留作图痕迹） A ⊙ (1)在如图所示的△ABC中，作BC的垂直平分线交BC与点D交AC于点E: (2)在如图所示的△ABC中，作∠ACB的角平分线交AB于点F. 18.(8分)在一条公路旁有A,B两个工厂，要在公路旁修一个汽车站，请分别按如下要求 确定汽车站M的位置： B B A A. ① ② ③ ●B (1)在图①中，要求车站M到AB两厂的距离相等； (2)在图②中，要求车站M到AB两厂的距离之和AM+BM最短： (3)在图③中，要求车站M到AB两厂的距离之差AM一BM最大. 19.(10分)如图，AD为△ABC的角平分线，点E、F分别在AB、AC上，且 ∠AED=∠AFD,连接EF交AD于点O.求证：AD垂直平分EF, A B 20.(11分)如图，己知在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D,AC边的垂直平 分线l2交BC于点E,1与l2相交于点0，连接0B,OC,若△ADE的周长为8cm, △0BC的周长为18cm. (1)求线段BC的长； (2)连接0A,求证：OB=0C (3)求线段0A的长； 21.(11分)如图，在△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点N,交BC的延 长线于点M. 图① 图② (1)如图①，若∠A=40°，求∠BMN的度数， (2)若∠A=70°，如图②，其余条件不变，求∠BMN的度数. (3)你发现了什么样的规律？请证明你发现的规律 22.(12分)如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点， DE⊥AB,垂足为E,过点B作BG‖AC交DE的延长线于点G,连接CG,交AD于点F. E G (1)求证：△DBE≌△GBE; (2)求证：AD⊥CF; (3)连接AG,判断△ACG的形状，并说明理由. 23.(12分)在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D,BE平分∠ABC,且BE⊥AC 于E,并与CD相交于点F A D (1)求证：△ABE兰△CBE; (2)求证：BD=CD; (3)求证：△BDF≌△CDA: (4)求证：CE=专BF. 参考答案 1.解：：由三角形内角和定理可知，任意一个三角形三个内角和为180°， :当等腰三角形中有一个角等于100°，则这个角只能是等腰三角形的顶角， :由三角形内角和定理可知这个等腰三角形的顶角的度数为100°， 故选：B 2.解：根据垂直平分线性质可知，垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，所以集 合地应定在△ABC三条边的垂直平分线的交点处， 故选：C 3.解：：等腰三角形的顶角的平分线，底边上的高，底边上的中线，三线合一， ①错误； 如图1， 图1 AB=AC,AE=EB,AD=DC, .DC=BE,∠DCB=∠EBC, 在△BDC和△CEB中， BC=CB ∠BCD=∠CBE CD=BE .△BDC≌△CEB(SAS), :BD=CE, .②正确； 如图2， 图2 当△ABC为等腰直角三角形时，等腰三角形的腰等于其腰上的高， ③错误： :等腰三角形的一边长为8，一边长为16， 只能三边是16,16,8， 它的周长是40， ④错误： 故选：C 4.解：OP平分∠BOA,PC⊥OAPD⊥OB, PC=PD,故选项A正确； 又：P0=P0, Rt△ODP≌Rt△OCP(HL), .OC=OD,∠CPO=∠DPO,故选项B、D正确； 由垂线段最短可知：OC<OP,故选项C错误； 故选：C. 5.解：：AB=AC,D为BC边的中点， ·AD为等腰△ABC的底边BC上的高. 又：AD自然下垂， .BC处于水平位置 故他作出判断的依据是等腰三角形“三线合一” 故选D。 6.解：由题意，得：AP平分∠BAC, 只需作∠BAC的角平分线即可， 如图： 故选D. 7.解：：DE是AB的垂直平分线， :AE=BE, :△ABC的周长为19，△BCE的周长为12， .AB+BC+AC=19,BE+BC+CE=12, .AB+BC+AC-(BE+BC+CE)=AB+BC+AC-AE-BC-CE=AB=7, 故选：C 8.解：作点A关于直线1的对称点A,连接AA交直线1于M, 根据两点之间线段最短，可知机场M到A、B两个城市之间的距离之和最短 故选：B. 9.解：：AD=CD, ∴∠DAC=∠C=35°， .∠ADB=∠DAC+∠C=70o, AB=AD, ∠B=∠ADB=70°， 故答案为：70 10.解：：DE垂直平分线段AB于点E,AD=6, .BD=AD=6, :DF垂直平分线段BC于点F, :.CD=BD=6, 故答案为：6. 11.解：如图， CE平分∠ACB, ∠ACE=∠BCE, EF/BC .∠FEC=∠BCE, .∠ACE=∠FEC, 同理∠DCF=∠CFD, DE=DC,CD=DF, :DF=DE=6. 故答案是：6. 12.解：由作图方法可知，AD平分∠BAC,DE⊥AB, :∠C=90°，∠B=20°， ∠CAB=180°-90°-20°=70°， :AD平分∠BAC, :∠DAE=∠CAB=35°， ∠ADE=180°-90°-∠DAE=55°. 故答案为：55°. 13.解：：在等腰△ABC中，AD是底边BC上的中线，AC=6, .AB=AC=6,BD=CD, ∠B=∠ACB, CB平分∠ACF, .∠DCF=∠ACB, .∠DCF=∠B, :∠BDE=∠CDF, △BDE≌△CDF(ASA), :BE=CF, AE=2, :BE=AB-AE=4, CF=4. 故答案为：4. 14.解：：DE,DF分别是BC,AB边的垂直平分线， :CD=BD,AD=BD, :CD AD ·∠CAD=∠ACD,∠DBC=∠BCD,∠BAD=∠DBA, ·∠CAD+∠DBC=∠ACD+∠BCD=∠ACB=70·, ·∠BAD+∠DBA=180·-∠ACB-(∠CAD+∠DBC)=40°， :∠BAD=X400=20°. 故答案为：20 15.解：连接AP,BP, :CP平分∠DCE,PD⊥BC,PE⊥AC, ∴PD=PE, 在Rt△CPD和Rt△CPE中， ∫CP=CP PD-PE :.Rt△CPD≌Rt△CPE(HL), :CD=CE PQ是AB的垂直平分线， ∴AP=BP, 在Rt△APE和Rt△BPD中， (AP=BP (PD=PE' .Rt△APE≌Rt△BPD(HL), :AE=BD, .CE=AE-AC=BD-AC=(BC-CD)-AC=BC-CE-AC, 整理得：2CE=BC-AC=6-4=2, CE=1, 故答案为：1. A B 16.解：过E作EH⊥BC于H, B :ABIICD,AD⊥AB, AD⊥CD :BE和CE分别平分∠ABC和∠BCD, ∴AE=EH,DE=EH, ..AE=DE=AD=4, EH=4, :PE≥EH, ·.PE的最小值为4 17.(1)解：如图，DE即为所求， D 米 (2)解：如图，CF即为所求， 米 18.(1)解：如图①，点M即为所求作： E ① (2)解：如图②，点M即为所求作； B ② (3)解：如图③，点M即为所求作， B B 19.证明：：AD是△ABC的角平分线， ·∠BAD=∠CAD 在△AED和△AFD中， I∠EAD=∠FAD ∠AED=∠AFD AD-AD △AED≌△AFD(AAS), ∴AE=AF,DE=DF, ·点A、D都在EF的垂直平分线上， ·AD垂直平分EF, 20.(1)解：：1是AB边的垂直平分线， :DA=DB, :12是AC边的垂直平分线， :.EA=EC. :△ADE的周长为8cm, :BC=BD+DE+EC=DA+DE+EA=8 (cm), .BC=8cm; (2)证明：连接0A, :11是AB边的垂直平分线， ·0A=0B, :12是AC边的垂直平分线， ÷0A=0C, :.0B=0C; (3)解：：△0BC的周长为18cm, .0B+0C+BC=18cm, BC=8cm, :0B=0C=5(cm), 0A=OB, :0A=5cm. 21.(1)解：：AB=AC,∠A=40°， ∠B=(180°-∠A)=70°. :MN垂直平分AB, ·∠BMN=90°-70°=20°. (2)解：由(1)可知，∠B=专(180°-∠A)=55°. :MN垂直平分AB, .∠BMN=90°-55°=35°. (3)解：规律是∠BMN=专∠A, 证明：设∠A=a,则有∠B=专(180°-)， ∠BMN=90°-专(180°-a)=&. 22.(1)证明：：三角形ABC为等腰直角三角形， &AC=BC,∠CAB=∠CBA=45°， :BG‖AC :∠CBG=90°， ∴∠GBE=∠CBG-∠CBA=45°=∠DBE, :DE⊥AB, ∠DEB=∠GEB=90°， 在△DBE和△GBE中 I∠DEB=∠GEB BE=BE N∠DBE=∠GBE ·△DBE≌△GBE(ASA): (2)证明：：△DBE≌△GBE, ·GB=BD, :D为BC的中点， ·CD=BD=BG, 在△ACD和△CBG中 AC=BC ∠ACD=∠CBG CD=BG ·△ACD≌△CBG(SAS), ∠BCG=∠CAD, ∠BCG+∠CDA=∠CAD+∠CDA=90o, ·∠CFD=90°， AD⊥CF; (3)解：△ACG为等腰三角形，理由如下： :△ACD≌△CBG, :CG=AD, DE=EG,DG⊥AB, ·DG垂直平分AB, .AG=AD=CG, :△ACG为等腰三角形 23.(1)证明：：BE平分∠ABC, ·∠ABE=∠CBE, :BE⊥AC, :∠AEB=∠CEB=90°， 在△ABE与△CBE中， ∠ABE=∠CBE BE-BE 、∠AEB=∠CEB=90 ·△ABE≌△CBE(ASA); (2)证明：：CD⊥AB, :∠BDC=90o, :∠DCB+∠ABC=90o, :∠ABC=45°， .∠DCB+45°=90°， :∠DCB=45°， ·∠DCB=∠ABC=45°， ·∠DCB=∠DBC, BD=CD; (3)证明：：CD⊥AB, ÷∠A+∠ACD=90°，∠BDF=90°， :BE⊥AC, ÷∠A十∠ABE=90°，∠CDA=90°， ·∠ABE=∠ACD,∠BDF=∠CDA=90°， ·∠FBD=∠ACD, 在△BDF与△CDA中， ∠FBD=∠ACD BD=CD N∠BDF=∠CDA=90 :△BDF≌△CDA(ASA): (4)证明：：△ABE≌△CBE, ·BC=BA, 又BE⊥AC于E, :CE=AE=CA, :△BDF≌△CDA, ·BF=CA, :CE=专BF.