精品解析：2026届湖南省长沙市望城区第二中学考前预测数学试题

2026届高三年级第三次模拟测试 数学试题 （试卷满分：150分 考试用时150分钟） 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 一组数据：2，5，3，9，7，这组数据的中位数是（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 【答案】B 【解析】 【详解】先从小到大排序：2，3，5，7，9， 数据个数为奇数，取中间第3个数，中位数是5. 2. 已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（ ） A. 、、三点共线 B. 、、三点共线 C. 、、三点共线 D. 、、三点共线 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量共线则判断即可. 【详解】对A，因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故A错误； 对B，因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故B错误； 对C，因为，，则，故、、三点共线，故C正确； 对D，因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故D错误. 故选：C 3. 与角终边相同的角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用终边相同的角的表示方法，逐一检验即得. 【详解】因为与角终边相同的角是，， ，则与角终边相同的角是， 而其他选项的角都不能用类似的式子表示． 故选：C． 4. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的几何意义，直线的点斜式方程即可求解. 【详解】，， ， 曲线在点处的切线方程为： ，即， 故选：C． 5. 已知点为双曲线的左支上一点，分别为的左，右焦点，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的定义可得，即可求解. 【详解】由于为双曲线的左支上一点，分别为的左，右焦点， 所以，故， 由于， 所以， 故选：A 6. 已知函数的定义域为且导函数为，如图是函数的图像，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的增区间是 B. 函数的减区间是 C. 是函数的极小值点 D. 是函数的极小值点 【答案】D 【解析】 【分析】由已知易得的单调区间，进而可判断在时取得极小值，在时取得极大值，可得结论. 【详解】由图及题设，当时，； 当； 当时，； 当时，； 即函数在和上单调递增，在上单调递减， 因此函数在时取得极小值，在时取得极大值； 故A，B，C错，D正确. 故选：D. 7. 如图，用相同的球堆成若干堆“正三棱锥”形的装饰品，其中第1堆只有1层，且只有1个球；第2堆有2层4个球，其中第1层有1个球，第2层有3个球；…；第n堆有n层共个球，第1层有1个球，第2层有3个球，第3层有6个球，…．已知，则（ ） A. 2290 B. 2540 C. 2650 D. 2870 【答案】D 【解析】 【分析】由题意总结规律得，再利用累加法求得的通项公式，然后再进分组求和，建立一个关于的方程，解方程可得. 【详解】在第堆中，从第2层起，第n层的球的个数比第层的球的个数多n， 记第n层球的个数为，则， 得， 其中也适合上式，则， 在第n堆中， ， 当时，，解得. 故选：D. 8. 在《周易》中，长横“”表示阳爻，两个短横“”表示阴爻.有放回地取阳爻和阴爻三次合成一卦，共有种组合方法，这便是《系辞传》所说“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”.有放回地取阳爻和阴爻一次有2种不同的情况，有放回地取阳爻和阴爻两次有四种情况，有放回地取阳爻和阴爻三次，八种情况.所谓的“算卦”，就是两个八卦的叠合，即共有放回地取阳爻和阴爻六次，得到六爻，然后对应不同的解析.在一次所谓“算卦”中得到六爻，这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻的概率是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】分析：由题意，基本事件的总数为，这六爻恰好有三个阳爻包含基本事件数为，由此能求出这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻的概率． 详解：在一次所谓“算怪”中得到六爻， 基本事件的总数为， 这六爻恰好有三个阳爻包含的基本数为， 所以这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻的概率是，故选B． 点睛：本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数满足：，，若在复平面内对应的点在第四象限，则以下结论正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】设复数在复平面内对应的向量为，依题意可得四边形为菱形，且，即可求出、，再根据复数代数形式的运算法则计算可得. 【详解】设复数在复平面内对应的点分别为，为坐标原点， 则复数在复平面内对应的向量为，且， ，， 所以四边形为菱形，且， 又，与轴正半轴所成的角为， 所以与轴正半轴所成的角为，所以与关于轴对称， 所以，则，所以，故B正确； 因为，所以，故A错误； ，故C正确； ，故D错误. 故选：BC 10. 如图所示，正方体的棱长为1，点分别为的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与直线垂直 B. 直线与平面平行 C. 三棱锥的体积为 D. 直线BC与平面所成的角为 【答案】B 【解析】 【分析】A选项根据正方体的性质判断；对于B，D利用空间向量判断，对于C，利用体积公式求解即可. 【详解】A选项：为正方体，所以，直线与直线不垂直，所以直线与直线不垂直，故A错误； 如图建立空间直角坐标系，则， 对于B，设平面的法向量为，则， 令，则， 因为，所以，所以， 因为在平面外，所以直线与平面平行，所以B正确， 对于C， ，所以三棱锥的体积为，所以C错误， 对于D，，直线BC与平面所成的角为，，所以D错误， 故选：B. 11. 在平面直角坐标系中，已知圆的动弦，圆，则下列选项正确的是（ ） A. 当圆和圆存在公共点时，则实数的取值范围为 B. 的面积最大值为1 C. 若原点始终在动弦上，则不是定值 D. 若动点满足四边形为矩形，则点轨迹长度为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据两圆位置关系列不等式求解实数的范围判断A，根据三角形面积结合正弦函数可求出面积最大值判断B，分类讨论，设直线方程，利用韦达定理结合数量积数量积坐标运算求解判断C，先根据矩形性质结合垂径定理得到点的轨迹，然后利用圆的周长公式求解判断D. 【详解】对于A，圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 当圆和圆存在公共点时，， 所以，解得，所以实数的取值范围为，正确； 对于B，的面积为， 当时，的面积有最大值为1，正确； 对于C，当弦垂直x轴时，，所以， 当弦不垂直x轴时，设弦所在直线为， 与圆联立得，， 设， 则，， 综上，恒为定值，错误； 对于D，设，OP中点，该点也是AB中点，且， 又，所以， 化简得，所以点的轨迹为以为圆心，半径为的圆， 其周长为长度为，正确. 故选：ABD 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，是椭圆C的两个焦点，过且垂直于y轴的直线交C于A，B两点，且，则椭圆C的标准方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由椭圆的几何性质求出、的值，结合椭圆的标准方程计算可得答案． 【详解】解：根据题意，如图： ，由椭圆的对称性可得：， 又，由勾股定理可得：， 所以，， 又，则， 椭圆标准方程为． 故答案为：． 13. 已知函数，若存在非零实数a，b，使恒成立，则满足条件的一组值可以是_______，______. 【答案】 ①. （答案不唯一） ②. 1（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据正弦函数的周期性当时，满足题意. 【详解】若，则， 当时，，， 故可取， 故答案为：，答案不唯一 14. 设为数列的前n项和，且，数列的通项公式为，将数列与的公共项按它们在原来数列中的先后顺序排成一个新数列数列的通项公式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由和的关系，结合等比数列的定义和通项公式，可得，再由题意得到求得k，即可求解. 【详解】由，可得， 解得， 当时，， 即， 可得数列是首项和公比均为3的等比数列， 所以， 设是的第m项，则， 因为， 所以不是中的项， 因为， 所以是中的项， 所以 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤. 15. 如图，平行六面体中，底面是边长为2的菱形，且，与平面所成的角为与交于． （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1） 连结， 底面是边长为2的菱形，． ， ． 点为线段中点，． 为菱形，平面，平面 又平面，平面平面， 在平面上的射影为， 为直线与平面所成的角，即． 中，， ． 则． 又平面平面， 平面. （2） 【解析】 【分析】（1）先根据线面垂直得出面面垂直，再应用面面垂直性质定理得出线面垂直； （2）根据线面垂直建系，应用空间向量法求出二面角的余弦，最后应用同角三角函数关系得出正弦. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知平面，建立如图所示的空间直角坐标系 则， 则 设平面的法向量为，平面的法向量为， 则即取，则． 即取则． 设二面角大小为， 则． ， 二面角的正弦值为． 16. 已知函数. （1）若，求的值. （2）在中，角的对边分别是，且满足，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）先进行三角恒等变形，使化为的形式，求出的值，再利用与的关系进行求值； （2）先利用余弦定理求出角,化简，利用的范围进行求解. 详解】（1） 由可得：. . （2）由余弦定理得：，整理可得：， ，， 又，，， ，则， ，即的取值范围为. 【点睛】本题考查三角恒等变换、三角函数和解三角形知识的综合应用问题，涉及到三角函数关系式的化简、边角关系式的化简、三角函数值的求解与诱导公式的应用、正弦型函数值域的求解等知识，是对于三角函数部分知识的综合考查，属于常考题型. 17. 为庆祝祖国周年华诞，某商场决定在国庆期间举行抽奖活动．盒中装有个除颜色外均相同的小球，其中个是红球，个是黄球．每位顾客均有一次抽奖机会，抽奖时从盒中随机取出球，若取出的是红球，则可领取“特等奖”，该小球不再放回；若取出的是黄球，则可领取“参与奖”，并将该球放回盒中． （1）在第2位顾客中“参与奖”的条件下，第1位顾客中“特等奖”的概率； （2）记为第个顾客参与后后来参与的顾客不再有机会中“特等奖”的概率，求数列的通项公式； （3）设事件为第个顾客参与时获得最后一个“特等奖”，要使发生概率最大，求的值． 【答案】（1） （2） （3）4 【解析】 【分析】（1）利用条件概率公式计算； （2）将个顾客参与后后来的顾客不再有机会中“特等奖”转化为最后一位顾客中“特等奖”，前位顾客中有一位中“特等奖”，然后结合等比数列求和公式计算概率； （3）根据概率最大列不等式，然后解不等式即可. 【小问1详解】 设第位顾客中“特等奖”为事件，第位顾客中“参与奖”为事件， ，， 故， 所以在第位顾客中“参与奖”的条件下，第位顾客中“特等奖”的概率为. 【小问2详解】 由题意得，个顾客参与后后来的顾客不再有机会中“特等奖”表示最后一位顾客中“特等奖”，前位顾客中有一位中“特等奖”， 所以 ， 故数列的通项公式为. 【小问3详解】 设第个顾客参与时拿下最后一个“特等奖”的概率最大， 则概率， 要使最大，即使最大， 所以， 即，化简得，且， 又在上单调递减， 所以，综上所述，. 【点睛】关键点睛：（2）的解题关键在于将个顾客参与后后来的顾客不再有机会中“特等奖”转化为最后一位顾客中“特等奖”，前位顾客中有一位中“特等奖”，然后求概率. 18. 已知椭圆的焦距为，点在椭圆上，动直线与椭圆相交于不同的两点，且直线的斜率之积为1. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线为的法向量为，求直线的方程； （3）是否存在直线，使得为直角三角形？若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在，直线的斜率为 【解析】 【分析】（1）根据题意求出，即可得解； （2）由题意直线的斜率为，方程为，联立方程，求出点的坐标，同理求出点的坐标，进而可求出直线的方程； （3）设直线的方程为，联立方程，求出点的横坐标，同理求出点的横坐标，从而可求出直线的斜率，再分和两种情况讨论即可得解. 【小问1详解】 由已知条件可知， 所以， 所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 因为直线为的法向量为， 所以直线的斜率为，方程为， 联立，得，解得（舍去）， 从而， 因为直线的斜率之积为1，所以直线的方程为， 同理可得点的坐标为， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为，即； 【小问3详解】 假设存在满足条件的直线， 设直线的方程为， 联立，得，解得（舍去）， 因为直线的斜率之积为1，所以直线的方程为， 同理可得， 故直线的斜率 ， 当为直角三角形时，只有或， 于是或， 若，由，可得，从而， 若，由，可得，从而， 所以存在，直线斜率为. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 19. 如图，对于曲线，存在圆满足如下条件： ①圆与曲线有公共点，且圆心在曲线凹的一侧； ②圆与曲线在点处有相同的切线； ③曲线的导函数在点处的导数（即曲线的二阶导数）等于圆在点处的二阶导数（已知圆在点处的二阶导数等于）； 则称圆为曲线在点处的曲率圆，其半径称为曲率半径． （1）求抛物线在原点的曲率圆的方程； （2）求曲线的曲率半径的最小值； （3）若曲线在和处有相同的曲率半径，求证：． 【答案】（1） （2） （3）法一：函数的图象在处的曲率半径， 故， 由题意知： 令， 则有， 所以，即，故． 因为，所以， 所以， 所以． 法二：函数的图象在处的曲率半径， 有 令，则有， 则，故 ， 因为，所以， 所以有， 令，则，即， 故，所以，即； 法三：函数的图象在处的曲率半径． 故 设，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故有， 所以， 要证，即证， 即证 将 ， 下证：当时，有， 设函数（其中）， 则， 故单调递增， ， 故，所以． 法四：函数的图象在处的曲率半径， 有， 设． 则有， 所以当时，当时， 故在上单调递减，在上单调递增． 故有， 所以， 要证，即证， 即证．将， 下证：当时，有， 设函数（其中）， 则， 故单调递增，故 ， 故，所以． 【解析】 【分析】（1）设抛物线在原点的曲率圆的方程为，求出导数、二阶导数，结合所给定义求出即可； （2）设曲线在的曲率半径为，根据所给定义表示出，再由基本不等式计算可得； （3）依题意函数的图象在处的曲率半径，即，从而得到，令，，即可得到，再由基本不等式证明即可． 【小问1详解】 记，设抛物线在原点的曲率圆的方程为，其中为曲率半径． 则，， 故，，即， 所以抛物线在原点的曲率圆的方程为； 小问2详解】 设曲线在的曲率半径为．则 法一：， 由知，， 所以 ， 故曲线在点处的曲率半径， 所以，则， 则，当且仅当，即时取等号， 故，曲线在点处的曲率半径． 法二：，， 所以，而， 所以，解方程可得， 则，当且仅当，即时取等号， 故，曲线在点处的曲率半径． 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：极值点偏移法证明不等式，先求函数的导数，找到极值点，分析两根相等时两根的范围，根据范围以及函数值相等构造新的函数，研究新函数的单调性及最值，判断新函数小于或大于零恒成立，即可证明不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三年级第三次模拟测试 数学试题 （试卷满分：150分 考试用时150分钟） 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 一组数据：2，5，3，9，7，这组数据的中位数是（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 2. 已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（ ） A. 、、三点共线 B. 、、三点共线 C. 、、三点共线 D. 、、三点共线 3. 与角终边相同的角是（ ） A. B. C. D. 4. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知点为双曲线的左支上一点，分别为的左，右焦点，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6. 已知函数的定义域为且导函数为，如图是函数的图像，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的增区间是 B. 函数的减区间是 C. 是函数的极小值点 D. 是函数的极小值点 7. 如图，用相同的球堆成若干堆“正三棱锥”形的装饰品，其中第1堆只有1层，且只有1个球；第2堆有2层4个球，其中第1层有1个球，第2层有3个球；…；第n堆有n层共个球，第1层有1个球，第2层有3个球，第3层有6个球，…．已知，则（ ） A. 2290 B. 2540 C. 2650 D. 2870 8. 在《周易》中，长横“”表示阳爻，两个短横“”表示阴爻.有放回地取阳爻和阴爻三次合成一卦，共有种组合方法，这便是《系辞传》所说“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”.有放回地取阳爻和阴爻一次有2种不同的情况，有放回地取阳爻和阴爻两次有四种情况，有放回地取阳爻和阴爻三次，八种情况.所谓的“算卦”，就是两个八卦的叠合，即共有放回地取阳爻和阴爻六次，得到六爻，然后对应不同的解析.在一次所谓“算卦”中得到六爻，这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻的概率是 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数满足：，，若在复平面内对应的点在第四象限，则以下结论正确的为（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示，正方体的棱长为1，点分别为的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与直线垂直 B. 直线与平面平行 C. 三棱锥的体积为 D. 直线BC与平面所成的角为 11. 在平面直角坐标系中，已知圆的动弦，圆，则下列选项正确的是（ ） A. 当圆和圆存在公共点时，则实数的取值范围为 B. 的面积最大值为1 C. 若原点始终在动弦上，则不是定值 D. 若动点满足四边形为矩形，则点的轨迹长度为 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，是椭圆C的两个焦点，过且垂直于y轴的直线交C于A，B两点，且，则椭圆C的标准方程为__________． 13. 已知函数，若存在非零实数a，b，使恒成立，则满足条件的一组值可以是_______，______. 14. 设为数列的前n项和，且，数列的通项公式为，将数列与的公共项按它们在原来数列中的先后顺序排成一个新数列数列的通项公式为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤. 15. 如图，平行六面体中，底面是边长为2的菱形，且，与平面所成的角为与交于． （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值． 16. 已知函数. （1）若，求的值. （2）在中，角的对边分别是，且满足，求的取值范围. 17. 为庆祝祖国周年华诞，某商场决定在国庆期间举行抽奖活动．盒中装有个除颜色外均相同的小球，其中个是红球，个是黄球．每位顾客均有一次抽奖机会，抽奖时从盒中随机取出球，若取出的是红球，则可领取“特等奖”，该小球不再放回；若取出的是黄球，则可领取“参与奖”，并将该球放回盒中． （1）在第2位顾客中“参与奖”的条件下，第1位顾客中“特等奖”的概率； （2）记为第个顾客参与后后来参与的顾客不再有机会中“特等奖”的概率，求数列的通项公式； （3）设事件为第个顾客参与时获得最后一个“特等奖”，要使发生概率最大，求的值． 18. 已知椭圆的焦距为，点在椭圆上，动直线与椭圆相交于不同的两点，且直线的斜率之积为1. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线为的法向量为，求直线的方程； （3）是否存在直线，使得为直角三角形？若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由. 19. 如图，对于曲线，存在圆满足如下条件： ①圆与曲线有公共点，且圆心在曲线凹的一侧； ②圆与曲线在点处有相同的切线； ③曲线的导函数在点处的导数（即曲线的二阶导数）等于圆在点处的二阶导数（已知圆在点处的二阶导数等于）； 则称圆为曲线在点处的曲率圆，其半径称为曲率半径． （1）求抛物线在原点的曲率圆的方程； （2）求曲线的曲率半径的最小值； （3）若曲线在和处有相同的曲率半径，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $