精品解析：贵州遵义市第五中学教育集团2025-2026学年下学期高二半期考试数学试卷

遵义市第五中学教育集团2026年春季学期半期考试 高二数学试卷 注意事项： 1．全卷共4页，三个大题，共19小题，满分150分．考试时间为120分钟，考试形式闭卷 2．一律在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题视为无效 3．不能试用计算器 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的） 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用对数的运算以及集合的交集运算进行求解． 【详解】因为，，所以，所以，故A，B，D错误. 故选：C． 2. 已知，则“”是“点在第一象限内”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】结合三角函数的想先符号判断即可. 【详解】若，则在第一或三象限， 则或，则点在第一或三象限， 若点在第一象限， 则，则. 故“”是“点在第一象限内”的必要不充分条件. 故选：B 3. 某市共10000人参加一次物理测试，满分100分，学生的抽测成绩服从正态分布，则抽测成绩在的学生人数大约为（ ） （若，则） A. 1359 B. 2718 C. 3414 D. 4773 【答案】A 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性求，再计算人数即可. 【详解】因为，即，， 所以, 所以, 所以抽测成绩在的学生人数大约为人. 故选：A. 4. 设E，F分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且，，如果（为实数），那么的值为 A. B. 0 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【详解】 由题意得，如图所示 , 所以，所以，故选C. 5. 函数的图象恒过定点，且点在直线上，则的最小值为（ ） A. B. 8 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】先利用对数函数的性质，找到的定点，再利用“1的代换”构造可应用基本不等式的形式，最后运用基本不等式的性质求解即可. 【详解】因为 ，令 （即 ）， 则，所以定点 的坐标为 ， 因为点 在直线 上， 所以， 所以， 所以， 当且仅当 （即 ）时取等号，则的最小值为8. 故选：B. 6. 某体育用品仓库中有12个同款篮球，其中一等品有8个，二等品有4个.现从中不放回地随机抽取5个篮球进行质量检测，记抽到的一等品的个数为X，则当取得最大值时，（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】确定随机变量的可能取值，应用超几何分布的概率求法求出对应概率值，即可得. 【详解】由题意，的可能值为，则， 所以，，，，， 所以当取得最大值时. 7. 已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的6倍后，再向左平移个单位，得到函数的图象，则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据函数图像求出函数的解析式，再由三角函数的变换过程求解即可 【详解】由图知：且，则，故， 则， 由，则，， 所以，， 又，故， 综上，， 将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的6倍得到，再向左平移个单位得到， 故选：B 8. 已知圆直线，点P在直线l上运动，直线PA，PB分别与圆M相切于点A，B．则下列说法正确的个数是（ ） （1）四边形PAMB的面积最小值为 （2）最短时，弦AB长为 （3）最短时，弦AB直线方程为 （4）直线AB过定点 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】四边形的面积可以看成两个直角三角形的面积之和，当最短时，面积最小，当时，最短，求出面积即可得（1）错误；结合（1）和弦长公式以及几何关系可得（2）正确；当短时，由两直线平行得到斜率关系，再求出AB的直线方程，利用点到直线的距离求出，再结合几何关系确定的取值可得直线方程，最后可得（3）错误；设圆上一点，由向量的数量积为零得到关于点的两条直线方程，解方程组即可得到定点坐标，可得（4）错误； 【详解】对于（1），四边形的面积可以看成两个直角三角形的面积之和，即， 最短时，面积最小，故当时，最短， 即， ，故（1）错误； 对于（2），由上述可知，时，最短，故最小，且最小值为， 所以，故（2）正确； 对于（3），当短时，则，又，所以， 可设AB的直线方程为圆心到直线AB的距离， 解得或， 由于直线AB在圆心的右侧，且在直线l的左侧， 所以，所以，即直线AB的方程为，故（3）错误； 对于（4），设圆上一点， ， 易知，由于， 所以，同理， ，， ，即， 令， 解得，所以直线AB过定点为，故（4）错误； 故选：A． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分） 9. 的展开式中，下列结论正确的是（ ） A. 展开式共8项 B. 含项的系数为480 C. 无常数项 D. 所有项的二项式系数之和为128 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用二项式定理可判断A正确，根据展开式通项可判断B错误、C正确，根据所有项的二项式系数之和为可得D正确. 【详解】对于A，易知的展开式中共有8项，即A正确； 对于B，设展开式中的第项为, 令，解得； 因此含项的系数为，所以B错误； 对于C，令，此时不是正整数，因此展开式中不存在常数项，即C正确； 对于D，易知所有项的二项式系数之和为，可得D正确. 故选：ACD 10. 由0，1，2，3，4，5这六个数字，组成没有重复数字的四位数，则下列说法错误的是（ ） A. 该四位数是奇数的有108个 B. 该四位数能被5整除的有108个 C. 该四位数中，个位上的数字小于十位上的数字的有150个 D. 若该四位数是偶数，将这些偶数从小到大排列，则第71个数是3142 【答案】AD 【解析】 【分析】对于选项A：优先考虑个位为奇数，再考虑千位不能是0，借助排列组合数公式计算即可；对于选项B：优先考虑个位为0以及个位为5，再利用排列组合数公式及分类计数原理计算即可；对于选项C：分别讨论个位是0，1，2，3，4，再利用排列组合数公式及分类计数原理计算即可；对于选项D：借助计数原理等知识，优先考虑千位数，依次讨论千位数为1，2，3，在考虑百位数，直至找到第71个数即可. 【详解】对于选项A：当末位是数字1，3，5时，千位不能是0，共有个奇数．所以选项A错误； 对于选项B：能被5整除的数则末位是数字0或5，当末位是数字0时，可以组成个， 当末位是数字5时，首位有4种选法，中间两位可以从余下的4个数字中选两个，有个， 根据分类计数原理知共有个，所以B正确； 对于选项C：该四位数中个位上的数字小于十位上的数字，个位是0，有个； 个位是1，有个；个位是2，有个； 个位是3，有个；个位是4，有个， 共有：个，所以选项C正确； 对于选项D：当千位是数字1时，可以组成个偶数； 当千位是2时，偶数共有个偶数； 千位是3时，百位为0时有：个；合计66个， 千位是3．百位是1时，偶数依次为：3102，3104，3120，3124，3140， 3140就是0，1，2，3，4，5这六个数组成没有重复数字的四位偶数，将这些四位数从小到大排列起来第71个数． 所以选项D不正确； 故选：AD． 11. 已知，为椭圆的右顶点和上顶点，，为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，圆的圆心在第一象限，且与轴相切于点，直线与圆的另一个交点为，直线（为坐标原点）垂直于直线，记椭圆的离心率为，则（ ） A. 若且，则 B. 若，则最大值为 C. 是圆的切线 D. 若为线段的中点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用几何图形的性质结合椭圆的离心率的定义求解即可判断；对于B，由离心率求得的值，再在焦点三角形中，通过余弦定理结合椭圆的定义及基本不等式求得的最小值，从而得到最大值即可判断B；对于C，利用圆的性质证得≌，得到，即可判断C；对于D，由为线段的中点，结合图形性质得到与的关系，求得离心率即可判断D. 【详解】对于A，设，因为且，则， ，故A正确； 对于B，由椭圆的定义可得，由得， 由余弦定理可得 ，当且仅当时等号成立. 所以，最大值为，故B不正确； 对于C，由圆与轴相切于点，得，因为直线（为坐标原点）垂直于直线， 由圆的性质知为的垂直平分线，得，所以≌， 所以，所以是圆的切线，故C正确； 对于D，因为为线段的中点，所以，又， 所以，即，所以，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知i是虚数单位，则复数__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的除法运算法则计算即可得结果. 【详解】. 故答案为：. 13. 抛物线经过点，，F为焦点，且，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据焦半径公式得，进而得，再结合的横坐标为求解即可. 【详解】∵抛物线经过点，为抛物线的焦点，且， ∴抛物线的定义，可得，解得， ∴， ∵的横坐标为， ∴，解得． 所以. 故答案为：． 14. 已知函数，若函数有四个不同的零点，记作，则的取值范围是____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数解析式，求得的关系，从而对目标式进行消元，构造关于的函数，求其值域即可. 【详解】对于，可知其对称轴为， 令，解得或； 令，解得或； 作出函数的图象如图所示：    若函数有四个不同的零点， 即方程有四个不同的实根， 则与有四个不同的交点，交点横坐标依次为， 对于，，可得，所以； 对于，，，，，可得； 故 由对勾函数性质可知在上单调递增， 得， 所以的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据对数的运算性质可得，所以；根据二次函数的对称性可得. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数，． （1）求函数的最大值和最小正周期； （2）设的内角，，的对边分别为，，，且，．若，求，的值． 【答案】（1）的最大值为4，最小正周期为； （2） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式、辅助角公式化简函数，结合三角函数相关知识求出最大值和最小正周期即可； （2）根据条件求出，结合正弦定理角化边，由余弦定理列出等式求解即可. 【小问1详解】 由题意知， 因为，所以，所以函数的最大值为4， 函数的最小正周期为. 【小问2详解】 由题意得，，即， 因为，所以，所以， 所以，即， 因为，由正弦定理得 由余弦定理得，即， 又因为， 所以. 16. DeepSeek是北京一家人工智能技术研究公司推出的AI助手．它能进行逻辑推理、解决复杂问题，实现多模态数据融合与学习．某科技公司在使用DeepSeek对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为；如果出现语法错误，它回答正确的概率为．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为，且每次输入问题，DeepSeek的回答是否正确相互独立．该公司科技人员小张想挑战DeepSeek，小张和DeepSeek各自从给定的10个问题中随机抽取9个作答．已知在这10个问题中，小张能正确作答其中的9个． （1）求小张能全部回答正确的概率； （2）求一个问题能被DeepSeek回答正确的概率； （3）设小张答对的题数为，求的分布列，并求出的期望和方差． 【答案】（1） （2）0.9 （3） 8 9 期望为，方差为. 【解析】 【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算可得； （2）设事件表示“输入的问题没有语法错误”，事件表示“一个问题能被DeepSeek正确回答”，将所求事件表示为，再利用全概率公式计算可得； （3）X的可能取值是，求出所对应的概率，即可求出分布列、期望和方差． 【小问1详解】 由题意，小张能全部回答正确当且仅当抽到的9个问题均来自他能正确回答的9个问题. 则由古典概型的概率公式可得， 小张能全部回答正确的概率， 故小张能全部回答正确的概率为； 【小问2详解】 设事件表示“输入的问题没有语法错误”，事件表示“一个问题能被DeepSeek正确回答”， 则，且事件与互斥， 由题意知， 则， 由全概率公式可得， ． 故一个问题能被DeepSeek回答正确的概率为； 【小问3详解】 已知小张答对的题数为X，则X的可能取值是， 且， 所以X的分布列为： 8 9 则， . 故的期望为，方差为. 17. 如图，在六面体中，四边形是正方形，平面平面平面. （1）证明：； （2）求平面和平面夹角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）先应用面面平行性质定理得出，再得出平面，最后应用线面垂直的判定定理得出平面，进而得出线线垂直； （2）方法1：应用线面垂直建系再分别求出平面和平面的法向量，再应用向量夹角余弦公式得出面面角的余弦，最后应用同角三角函数关系得出正弦值； 方法2：设与的交点为，过点作，交于点，得出是平面与平面的夹角，再计算得出角的正弦即可. 【小问1详解】 连接， 在正方形中，， 平面平面，平面平面，平面平面， . 平面平面， 平面， 平面， 平面， 平面. 【小问2详解】 方法1：由（1）可知平面， 平面， 在正方形中，有， 以为原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示： 设，则， ， 由（1）可知平面是平面的一个法向量， 设是平面的一个法向量，则， 取，则， 设平面和平面夹角为， 则， ，即平面和平面夹角的正弦值为. 方法2： 设与的交点为，过点作，交于点，连接，设， 由（1）可知平面， 平面平面， 平面， 又平面平面，平面平面， 是平面与平面的夹角， 在正方形中， 由（1）可知平面， 平面， 在中，， 在中，， 在中，， ， 平面平面， 在中，， 平面与平面的夹角的正弦值为. 18. 已知双曲线（，）的渐近线方程为，焦距长为4． （1）求C的标准方程； （2）点在C上，点P的坐标为，O为原点，求面积的最小值； （3）过C的右焦点F的直线与C交于D，E两点，以DE为直径的圆与直线交于M，N两点，若，求直线DE的方程． 【答案】（1）; （2）; （3）或或. 【解析】 【分析】（1）利用渐近线和焦距可求得双曲线的标准方程； （2）利用切线结合几何意义可求得面积最小值； （3）利用方程组计算弦长和中点坐标，结合垂径定理和勾股定理可列出方程求解即可. 【小问1详解】 由双曲线（，）的渐近线方程为，可得， 又由焦距长为4，可得即则有， 联立上面两式解得：， 所以双曲线方程为：； 【小问2详解】 由点P的坐标为，O为原点，则， 此时直线的斜率为， 利用平行于的直线与双曲线相切，即联立方程组得： ，整理得：， 由，解得， 此时切点为，可以得到这个的面积最小， 再由平行线间的距离公式可得：， 则最小面积为； 【小问3详解】 设过C的右焦点F的直线为，与双曲线联立方程组得： ， 设交点，则有 所以 设交点的中点为， 则有，则， 所以中点为到直线的距离为， 再由，结合勾股定理可得： ，解得：或； 所以直线DE的方程或或. 19. 为了增强学生的国防意识，某中学组织了一次国防知识竞赛，高一和高二两个年级学生参加知识竞赛， （1）两个年级各派50名学生参加国防知识初赛，成绩均在区间上，现将成绩制成如图所示频率分布直方图（每组均包括左端点，最后一组包括右端点），估计学生的成绩的平均分（若同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）两个年级各派一位学生代表参加国防知识决赛，决赛的规则如下：①决赛一共五轮，在每一轮中，两位学生各回答一次题目，两队累计答对题目数量多者胜；若五轮答满，分数持平，则并列为冠军；②如果在答满5轮前，其中一方答对题目数量已经多于另一方答满5次题可能答对的题目数量，则不需再答题，譬如：第3轮结束时，双方答对题目数量比为，则不需再答第4轮了；③设高一年级的学生代表甲答对比赛题目的概率是，高二年级的学生代表乙答对比赛题目的概率是，每轮答题比赛中，答对与否互不影响，各轮结果也互不影响 （i）在一次赛前训练中，学生代表甲同学答了3轮题，且每次答题互不影响，记为答对题目的数量，求的分布列及数学期望 （ii）求在第4轮结束时，学生代表甲答对3道题并刚好胜出的概率 【答案】（1）学生的成绩的平均分的估计值为73.8分 （2）（i）分布列见解析，（ii）. 【解析】 【分析】（1）利用频率之和为1列出方程，求出a=0.018，进而利用中间值求出平均分的估计值； （2）（i）由题意知X的可能取值为0，1，2，3，根据二项分布求概率，写出分布列进而求期望即可；（ii）将在第4轮结束时，学生代表甲答对3道题并刚好胜出的事件分拆成乙答对0道与1道两个事件，再利用互斥事件的概率公式计算而得. 【小问1详解】 解：由频率分布直方图可知： 可得 ∴平均分的估计值为 ∴学生的成绩的平均分的估计值为73.8分 【小问2详解】 （i）由题可得，的可能取值为0，1，2，3 ∴ ∴的分布列为 0 1 2 3 ∴ （ii）将“在第4轮结束时，学生代表甲答对3道题并刚好胜出”记为事件， “在第4轮结束时，学生代表乙答对0道题”记为事件， “在第4轮结束时，学生代表乙答对1道题”记为事件 ∴， ， ∴. ∴在第4轮结束时，学生代表甲答对3道题并刚好胜出的概率为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遵义市第五中学教育集团2026年春季学期半期考试 高二数学试卷 注意事项： 1．全卷共4页，三个大题，共19小题，满分150分．考试时间为120分钟，考试形式闭卷 2．一律在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题视为无效 3．不能试用计算器 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的） 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“点在第一象限内”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 某市共10000人参加一次物理测试，满分100分，学生的抽测成绩服从正态分布，则抽测成绩在的学生人数大约为（ ） （若，则） A. 1359 B. 2718 C. 3414 D. 4773 4. 设E，F分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且，，如果（为实数），那么的值为 A. B. 0 C. D. 1 5. 函数的图象恒过定点，且点在直线上，则的最小值为（ ） A. B. 8 C. D. 6 6. 某体育用品仓库中有12个同款篮球，其中一等品有8个，二等品有4个.现从中不放回地随机抽取5个篮球进行质量检测，记抽到的一等品的个数为X，则当取得最大值时，（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的6倍后，再向左平移个单位，得到函数的图象，则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆直线，点P在直线l上运动，直线PA，PB分别与圆M相切于点A，B．则下列说法正确的个数是（ ） （1）四边形PAMB的面积最小值为 （2）最短时，弦AB长为 （3）最短时，弦AB直线方程为 （4）直线AB过定点 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分） 9. 的展开式中，下列结论正确的是（ ） A. 展开式共8项 B. 含项的系数为480 C. 无常数项 D. 所有项的二项式系数之和为128 10. 由0，1，2，3，4，5这六个数字，组成没有重复数字的四位数，则下列说法错误的是（ ） A. 该四位数是奇数的有108个 B. 该四位数能被5整除的有108个 C. 该四位数中，个位上的数字小于十位上的数字的有150个 D. 若该四位数是偶数，将这些偶数从小到大排列，则第71个数是3142 11. 已知，为椭圆的右顶点和上顶点，，为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，圆的圆心在第一象限，且与轴相切于点，直线与圆的另一个交点为，直线（为坐标原点）垂直于直线，记椭圆的离心率为，则（ ） A. 若且，则 B. 若，则最大值为 C. 是圆的切线 D. 若为线段的中点，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知i是虚数单位，则复数__________． 13. 抛物线经过点，，F为焦点，且，则的值为__________． 14. 已知函数，若函数有四个不同的零点，记作，则的取值范围是____________. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数，． （1）求函数的最大值和最小正周期； （2）设的内角，，的对边分别为，，，且，．若，求，的值． 16. DeepSeek是北京一家人工智能技术研究公司推出的AI助手．它能进行逻辑推理、解决复杂问题，实现多模态数据融合与学习．某科技公司在使用DeepSeek对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为；如果出现语法错误，它回答正确的概率为．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为，且每次输入问题，DeepSeek的回答是否正确相互独立．该公司科技人员小张想挑战DeepSeek，小张和DeepSeek各自从给定的10个问题中随机抽取9个作答．已知在这10个问题中，小张能正确作答其中的9个． （1）求小张能全部回答正确的概率； （2）求一个问题能被DeepSeek回答正确的概率； （3）设小张答对的题数为，求的分布列，并求出的期望和方差． 17. 如图，在六面体中，四边形是正方形，平面平面平面. （1）证明：； （2）求平面和平面夹角的正弦值. 18. 已知双曲线（，）的渐近线方程为，焦距长为4． （1）求C的标准方程； （2）点在C上，点P的坐标为，O为原点，求面积的最小值； （3）过C的右焦点F的直线与C交于D，E两点，以DE为直径的圆与直线交于M，N两点，若，求直线DE的方程． 19. 为了增强学生的国防意识，某中学组织了一次国防知识竞赛，高一和高二两个年级学生参加知识竞赛， （1）两个年级各派50名学生参加国防知识初赛，成绩均在区间上，现将成绩制成如图所示频率分布直方图（每组均包括左端点，最后一组包括右端点），估计学生的成绩的平均分（若同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）两个年级各派一位学生代表参加国防知识决赛，决赛的规则如下：①决赛一共五轮，在每一轮中，两位学生各回答一次题目，两队累计答对题目数量多者胜；若五轮答满，分数持平，则并列为冠军；②如果在答满5轮前，其中一方答对题目数量已经多于另一方答满5次题可能答对的题目数量，则不需再答题，譬如：第3轮结束时，双方答对题目数量比为，则不需再答第4轮了；③设高一年级的学生代表甲答对比赛题目的概率是，高二年级的学生代表乙答对比赛题目的概率是，每轮答题比赛中，答对与否互不影响，各轮结果也互不影响 （i）在一次赛前训练中，学生代表甲同学答了3轮题，且每次答题互不影响，记为答对题目的数量，求的分布列及数学期望 （ii）求在第4轮结束时，学生代表甲答对3道题并刚好胜出的概率 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $