上海市静安区2025-2026学年七年级下册期末数学模拟试卷

**基本信息** 本试卷聚焦沪教版七年级下册内容，通过秦九韶数学文化题、大同文旅利润计算等情境，融合几何直观与模型意识，设置探究性大题（如中线取值范围），实现基础与创新的梯度考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/18|实数、内错角、三角形三边关系|数轴与图形结合辨析概念| |填空题|12/24|不等式应用、图形折叠、旋转|文旅利润不等式（模型意识）、三角尺旋转动态问题（空间观念）| |解答题|7/58|全等证明、作图、探究题|25题中线探究（推理能力），24题等腰分割分类讨论（创新意识）|

2025-2026学年七年级下学期期末数学模拟试卷 （考试时间：90分钟试卷满分：100分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：沪教版新教材七年级数学下册全部内容。 第一部分（选择题共18分） 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.实数a,b,c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是() A.a·c>0 B.a+c>0 C.bl>cl D.a>b -4-3-2-101234 2.如图，小明设计的“年年有余”图案中，∠1的内错角是() A.∠2 B.∠3 C.∠4 D.∠5 3.有下列长度的三条线段，能组成三角形的是() A.3,4,5 B.3,3,7 C.3,6,2 D.2,4,2 4.如图，在△ABC中，∠A=40°，DF//AB,连接CD交AB于点E,若LD=70°，则LACD的度数为() A.30° B.35 C.40° D.45° E B 第1页，共7页 5,我国南宋数学家秦九韶的著作数书九章》中有一道问题：“有两尖田一段，其尖长不等，两大斜三十 九步，两小斜二十五步，中广三十步欲知其积几何？”其大意为：如图，在四边形ABCD中，AB=AD=39 步，CB=CD=25步，BD=30步，则四边形ABCD的面积为() A.820平方步 B.840平方步 C.860平方步 D.900平方步 斜 步 仲广三十发 B 1+ 步 C 6.如图，已知△ABC的两条角平分线BE,CD相交于点O,CG是△ABC外角∠ACP的平分线，BE的延长 线与CG交于点G,连接DG交AC于点F,若DG//BC,有下列结论： 0 G B ①DC LGC; ②∠B0C=90°+A: ③点G到直线AB,直线BC,直线AC的距离相等： ④BD=2FC. 其中正确的结论个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 第二部分（非选择题共82分） 二、填空题：本题共12小题，每小题2分，共24分。 7.满足6x+3<11x-4的最小整数是. 8.命题“如a=b,那么al=b”的逆命题是命题.（填“真”或“假”） 9.如图所示，∠A=LD=90°，如果利用AAS证明△ABC≌△DCB,那么需要添加的一个直接条件是一.（写 出一种即可) 第2页，共7页 D B 10.2026年，大同文旅迎来爆发式增长.依托云冈石窟、大同古城等核心1P,叠加沉浸式演艺、文创1P“佛 小伴”及春节民俗活动引爆市场，全市文旅营收规模持续走高，增速领跑全省.入境游热度以735%增速领 跑全国，重点景区游客接待量与门票收入双增，既彰显了古都文化魅力，也为资源型城市转型注入强劲动 能.某文创工作室定制了3000份周边徽章，每份成本为10元.包装运输过程中，有4%的徽章因磕碰损坏无 法售卖.为保障工作室运营，需确保至少20%的利润，设徽章的销售单价为x元/份，则可列不等式为：· 11.如图，直线AB//CD,点E,G分别在直线AB,CD上且EF1FG.若LAEF=25°，则∠CGF的度数是。 A B D C G 12.如图，将一张长方形纸片进行折叠，若L2-L1=40°，则∠EFB的度数为· E .,D G 13.如图，AB=AC,AB的垂直平分线MN交AC于点D,连接BD,若∠C=64°，则∠DBC的度数为. A B 14.在一副三角尺中∠BPA=45°，∠CPD=60°，∠B=∠C=90°，将它们按如图所示摆放在量)角器上，边PD 与量角器的0°刻度线重合，边AP与量角器的180°刻度线重合将三角尺PCD绕点P以每秒3°速度逆时针 旋转，同时三角尺ABP绕点P以每秒2的速度顺时针旋转，当三角尺PCD的PC边与180°刻度线重合时 两块三角尺都停止运动，则当运动时间t=秒时，CD与三角尺ABP的一边平行. 第3页，共7页 。90w P D 15.如图，D是等边三角形ABC中AB边上任意一点，以点C为中心，把△CBD顺时针旋转60°得到△CAE. 若AE L CE,则∠BCD=· D 16. 两个大小不同的等边三角形三角板按图①所示摆放.将两个三角板抽象成如图②所示的△ABC和 △ADE,点B、C、D依次在同一条直线上，连结CE.给出下面四个结论： ①△ABD≌△ACE;②∠ACE=60°；③AB/CE;④BD=DE. 上述结论中，正确结论的序号有一· B C D 图① 图② 17.等腰三角形一腰上的中线，将三角形的周长分成两部分，分别是12与15，则腰长为· 18.在△ABC中，AB=AC,∠BAC=40°，AD1BC于D,△ABC绕点B逆时针旋转得到△FBE,点C的 对应点E落在AD上，则∠CBF的度数是」 三、解答题：本题共7小题，共58分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19.(本小题8分)计算：求不等式组 2x-1_5x+1≤1① 3 2 的解集。 5x-1<3(x+1)② 解不等式①得」 解不等式②得 将不等式①②的解集表示在数轴上如图所示： -5-4-3-2-1012345 第4页，共7页 所以，原不等式组的解集为一一一 20.(本小题8分) 如图，在Rt△ABC中，LACB=90°，射线CD平分LACB.请用尺规作图法在射线CD上作一点P,连接BP, 使得△PCB是等腰直角三角形，且BC为斜边.（不写作法，保留作图痕迹） A D C ☑ 21.(本小题8分) 如图，已知点E、F在直线AB上，点N在线段CD上，ED与FN交于点M,∠C=∠1，∠2=∠3. (1)求证：AB//CD: (2)若LD=48°，∠EMF=80°，求LAEP度数. F B 第5页，共7页 22.(本小题8分) 3(x-2)≤a-x①， 己知不等式组{2x+出>x-1②. 3 (1)若该不等式组的解集为2≤x≤4，求a的值： (2)若该不等式组无解，求α的取值范围. 23.(本小题8分) 如图1，AC=BC,CD=CE,LACB=∠DCE=Q,AD、BE相交于点M,连接CM. 图1 图2 (1)求证：BE=AD; (2)用含ax的式子表示∠AMB的度数；（直接写出结果） (3)当a=90时，取AD、BE的中点分别为点P、Q,连接CP、CQ、PQ,如图2，判断△CPQ的形状，并 加以证明， 第6页，共7页 24.(本小题8分)1)操作实践：如图，在△ABC中，∠A=90°，∠B=22.5°，请画出一条直线把△ABC分 割成两个等腰三角形，并标出分割成两个等腰三角形底角的度数；（要求用两种不同的分割方法） B122.5° B22.50 (2)分类探究：在△ABC中，最小内角∠B=24°，若△ABC被一直线分割成两个等腰三角形，请画出相应 示意图并写出△ABC最大内角的所有可能值； (3)猜想发现：若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形，需满足什么条件？（请你至少写出两个条件， 不需证明) 25.(本小题10分) 八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧. E 图1 图2 图3 【初步探索】 如图1，在△ABC中，若AB=4,BC=2,求AC边上的中线BD的取值范围. 以下是小聪同学思考的解决方法：先延长BD至点E,使DE=BD,然后连接CE,利用三角形全等将边AB 转化到CE,最后在。DEC中利用三角形三边关系即可求出中线BD的取值范围. (1①)在这个过程中，小聪同学证明三角形全等用到的判定方法是；若线段BD的长度为整数，则 BD=; (2)【灵活应用】如图2，BD是△ABC的中线，延长DB到点E,连接AE,使AE=BC,求证：LAEB=∠DBC; (3)【拓展提升】如图3，在△ABC中，分别以AB,BC作等腰直角三角形△ABM和△BCN,其中LABM= ∠CBN=90°，连接MN,点D是MN的中点，连接DB,延长DB与AC相交于点H,BD=6,BH=2. 试判断BD与AC的数量关系，并求出aABC的面积. 第7页，共7页 2025-2026学年七年级下学期期末数学模拟试卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 【答案】 1.   2.   3.   4.   5.   6.   7.   8. 假  9. 答案不唯一  10.   11.   12.   13.   14. 或或  15. ．  16.   17. 或．  18.   19. ；；；．  20. 如图，点即为所求．   21. ， 同位角相等，两直线平行， 两直线平行，同位角相等， ， ， 内错角相等，两直线平行    22. 【小题】 解：解不等式，得，解不等式，得， 不等式组的解集是，，解得． 【小题】 解不等式，得，解不等式，得， 不等式组无解，，解得．   23. 【小题】 证明：， ． 在和中， ．． 【小题】 解：，． 在中，， ． 在中，． 【小题】 解：为等腰直角三角形． 证明：由可得． 、的中点分别为点、，． ，． 在和中， ． ，且． 又，． ．为等腰直角三角形．   24. 解：如图所示： 设分割线为，相应的角度如图所示： 图的最大角为，图的最大角为，图的最大角为，图的最大角为，故最大内角的可能值是或或或． 若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形，需满足的条件如下： 该三角形是直角三角形 该三角形有一个角是最小角的倍 该三角形有一个角是最小角的倍．   25. 【小题】 【小题】 证明：如图：延长到点，使，连接． 是的中线， ， 在和中，   ． ， ， ， ， 又， ． 【小题】 如图：延长到点，使，连接． 点是的中点， ． 在和中， ， ． ，， ． 是等腰直角三角形， ，， ． ， ． 又， ， ． 在和中， ， ． ，， ， ． ， ． ， ， ， ， 的面积为．   【解析】 1. 解：由数轴可知，，，， ，A错误，不符合题意； ，B错误，不符合题意； ，C正确，符合题意； ，D错误，不符合题意． 故选：． 根据数轴的定义可得，、、的取值范围，分别判断各选项是否正确． 本题考查实数，掌握实数的运算是解题的关键． 2. 解：由图知的内错角是． 故选：． 根据内错角的定义可得答案． 本题主要考查了同位角，内错角，同旁内角的定义，同位角：两条直线被第三条直线所截，如果两个角分别在两条直线的同一方，并且都在第三条直线的同侧，那么这样的一对角叫做同位角．内错角：两条直线被第三条直线所截，如果两个角都在两条直线之间，并且分别在第三条直线的两侧，那么这样的一对角叫做内错角．同旁内角：两条直线被第三条直线所截如果两个角都在两条直线之间，并且都在第三条直线的同一旁，那么这样的一对角叫做同旁内角． 3. A、三条线段从小到大排列为，，， ， 能组成三角形，符合题意； B、三条线段从小到大排列为，，， ， 不能组成三角形，不符合题意； C、三条线段从小到大排列为，，， ， 不能组成三角形，不符合题意； D、三条线段从小到大排列为，，， ， 不能组成三角形，不符合题意． 故选：． 根据三角形三边关系即可判断能否组成三角形． 本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边是解题的关键． 4. 解：，，， ， 是的外角， ， 故选：． 先由平行线性质得到同位角相等，即，再根据是的一个外角，由三角形外角性质代值求解即可得到答案． 本题考查的是平行线的性质、三角形外角的性质，熟练掌握以上知识是解决问题的关键． 5. 解：如图，连接，交于点， 步，步，步， 是的垂直平分线， 步． 步，步， 步． 故选：． 先连接，交于点，可得是的垂直平分线，进而得出步，再根据勾股定理求出步，步，然后根据得出答案． 本题考查的是三角形的面积，熟记三角形的面积公式是解题的关键． 6. 解：平分，平分， ，， ， 即， ，所以正确； 角平分线，相交于点， ，， ， ， ，所以正确； 平分， 点到和的距离相等， 平分， 点到和的距离相等， 点到直线，直线，直线的距离相等，所以正确； 平分， ， ， ， ， ， 同理可得，， ， ，所以正确． 综上，正确的结论有，共个． 故选：． 利用角平分线的定义和平角的定义可计算出，则可对进行判断；根据角平分线的定义和三角形内角和定理可对进行判断；根据角平分线的性质可对进行判断；根据角平分线的定义和平行线的性质证明，则，同样方法证明，，于是可对进行判断． 本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了平行线的性质、等腰三角形的判定等． 7. 解：， ， ， ， 所以不等式的最小整数解是． 先根据不等式的性质和一元一次不等式的解法求解不等式，在不等式解集范围内确定符合要求的解即可． 本题主要考查一元一次不等式的解法，解决本题的关键是要熟练掌握一元一次不等式的解法． 8. 解：命题“如，那么”的逆命题是如果，那么，是假命题， 故答案为：假． 根据逆命题的概念写出原命题的逆命题，判断真假即可． 本题考查的是命题的逆命题、以及命题的真假判断，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 9. 解：需要添加的一个直接条件是， 理由：在和中， ， ≌， 故答案为：答案不唯一． 根据“角角边”判定定理即可得到答案． 本题考查的知识点是全等三角形的判定，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． 10. 解：设徽章的销售单价为元份， 由题意可得可正常售卖的徽章数量为  份，总销售额为  元． 总成本为  元． ． 故答案为：． 先求出可正常售卖的徽章数量，再根据总销售额不低于总成本的的不等关系列出不等式． 本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，正确进行计算是解题关键． 11. 解：过点作， ， ． ， ， ． ． 故答案为：． 过点作，由得；根据平行线的内错角相等得；由得，故；再由即可解答． 本题考查了平行线的性质，熟练掌握该知识点是关键． 12. 解：由翻折得， 四边形是长方形， ， ，， ， ，， ， ， 故答案为：． 由翻折的性质得，再根据长方形的性质得出，由平行线的性质得出，，结合已知求出的度数，再根据邻补角互补即可求出的度数，从而得解． 本题考查了翻折问题，平行线的性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 13. 解：根据等腰三角形的性质可知：，则， 是的垂直平分线， ， ， ． 故答案为：． 先根据等腰三角形的性质求得的度数，再利用三角形内角和定理求出的度数，紧接着利用线段垂直平分线定理得到，从而得出的度数，最后利用角度和差关系求得结果． 本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理及线段垂直平分线的性质．熟练掌握以上知识点是关键． 14. 解：根据题意，分三种情况讨论：当时，当时，当时，据此画图分析如下： Ⅰ当时，， ， ， ， ． Ⅱ当时，，   ， ， 舍去 当时， ， ． 当时， ，，， ， ，， ， 解得； 综上所述，当运动时间或或秒时，与三角尺的一边平行． 故答案为：或或． 当时，当时，当时，分三种情况分别讨论． 本题考查了平行线的性质，旋转的知识，解题关键把所有的情况都分析出来，注意结果是否符合题意，这也是学生很容易忽略的地方． 15. 解：， ， 顺时针旋转得到， ， 为等边三角形， ， ． 故答案为：． 先由垂直的定义得到，再根据旋转的性质得到，然后根据等边三角形的性质得到． 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质． 16. 解：和都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ≌，故结论正确； ≌， ，故结论正确； ， ，故结论正确； ≌， ， 根据已知条件不能得出， 不能得出，故结论错误． 综上，正确结论的序号有， 故答案为：． 利用等边三角形的性质得到对应边和角的相等，得证≌，再根据全等三角形的性质和平行线的判定定理来判断其他结论是否正确． 本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及平行线的判定，掌握其相关知识点是解题的关键． 17. 解：若腰长和腰长的一半的和是，则腰长为， 底边长为， 能组成三角形， 若腰长和腰长的一半的和是，则腰长为， 底边长为， 能组成三角形， 综上所述，该等腰三角形的腰长是或． 故答案为：或． 分腰长和腰长的一半的和是和两种情况求出腰长，再求出底边，然后根据三角形的任意两边之和大于第三边判断是否能组成三角形，从而得解． 本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于分情况讨论并利用三边关系判断是否能组成三角形． 18. 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等；也考查了等腰三角形的性质． 连接，如图，根据等腰三角形的性质得到垂直平分，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出，再根据旋转的性质得到，，则可判断为等边三角形，所以，然后计算即可． 【详解】解：连接，如图， ， ， ， ，即垂直平分， ， 绕点逆时针旋转得到，点的对应点落在上， ，， ， 为等边三角形， ， ． 故答案为：． 19. 解：解不等式得：， 解不等式得：， 将不等式的解集表示在数轴上如图所示： ， 所以，原不等式组的解集为． 故答案为：；；． 分别求出各不等式的解集，在数轴上表示出来，取其公共部分即可得出不等式组的解集． 本题考查的是解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟知以上知识是解题的关键． 20. 解：作的垂直平分线交射线于点，如图，点即为所求． 射线平分，， ， 由图可知， ， ， 是等腰直角三角形，且为斜边． 作的垂直平分线交射线于点，则，易得，，则点即为所求． 本题考查作图复杂作图，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 21. 证明：， 同位角相等，两直线平行， 两直线平行，同位角相等， ， ， 内错角相等，两直线平行； 解：，， 两直线平行，内错角相等， 又， ， ． 根据平行线的判定与性质证明即可； 根据平行线的性质得到，，即可求解． 本题考查了平行线的判定与性质，关键是相关性质和定理的熟练掌握． 22.  略  略 23.  略  略  略 24. 见答案． 25.   如图：先延长至点，使，连接，易证可得，，再在中利用三角形的三边关系可得，进而得到，再结合已知条件即可解答； 如图：先延长至点，使，连接， 是边上的中线， ， ，， ， ， 在中，， ，即， ， 线段的长度为整数， ． 故答案为：，．   延长到点，使，连接易证可得，进而得到，再根据等边对等角可得，最后根据等量代换即可解答；   延长到点，使，连接易证可得、，再证明可得、，即；再说明，最后运用三角形的面积公式求解即可． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下学期期末数学模拟试卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版新教材七年级数学下册全部内容。 第一部分（选择题 共18分） 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：由数轴可知，，，， ，A错误，不符合题意； ，B错误，不符合题意； ，C正确，符合题意； ，D错误，不符合题意． 故选：． 根据数轴的定义可得，、、的取值范围，分别判断各选项是否正确． 本题考查实数，掌握实数的运算是解题的关键． 2.如图，小明设计的“年年有余”图案中，的内错角是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：由图知的内错角是． 故选：． 根据内错角的定义可得答案． 本题主要考查了同位角，内错角，同旁内角的定义，同位角：两条直线被第三条直线所截，如果两个角分别在两条直线的同一方，并且都在第三条直线的同侧，那么这样的一对角叫做同位角．内错角：两条直线被第三条直线所截，如果两个角都在两条直线之间，并且分别在第三条直线的两侧，那么这样的一对角叫做内错角．同旁内角：两条直线被第三条直线所截如果两个角都在两条直线之间，并且都在第三条直线的同一旁，那么这样的一对角叫做同旁内角． 3.有下列长度的三条线段，能组成三角形的是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A  【解析】A、三条线段从小到大排列为，，， ， 能组成三角形，符合题意； B、三条线段从小到大排列为，，， ， 不能组成三角形，不符合题意； C、三条线段从小到大排列为，，， ， 不能组成三角形，不符合题意； D、三条线段从小到大排列为，，， ， 不能组成三角形，不符合题意． 故选：． 根据三角形三边关系即可判断能否组成三角形． 本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边是解题的关键． 4.如图，在中，，，连接交于点，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：，，， ， 是的外角， ， 故选：． 先由平行线性质得到同位角相等，即，再根据是的一个外角，由三角形外角性质代值求解即可得到答案． 本题考查的是平行线的性质、三角形外角的性质，熟练掌握以上知识是解决问题的关键． 5.我国南宋数学家秦九韶的著作数书九章中有一道问题：“有两尖田一段，其尖长不等，两大斜三十九步，两小斜二十五步，中广三十步欲知其积几何？”其大意为：如图，在四边形中，步，步，步，则四边形的面积为(    ) A. 平方步 B. 平方步 C. 平方步 D. 平方步 【答案】B  【解析】解：如图，连接，交于点， 步，步，步， 是的垂直平分线， 步． 步，步， 步． 故选：． 先连接，交于点，可得是的垂直平分线，进而得出步，再根据勾股定理求出步，步，然后根据得出答案． 本题考查的是三角形的面积，熟记三角形的面积公式是解题的关键． 6.如图，已知的两条角平分线，相交于点，是外角的平分线，的延长线与交于点，连接交于点，若，有下列结论： ； ； 点到直线，直线，直线的距离相等； ． 其中正确的结论个数是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：平分，平分， ，， ， 即， ，所以正确； 角平分线，相交于点， ，， ， ， ，所以正确； 平分， 点到和的距离相等， 平分， 点到和的距离相等， 点到直线，直线，直线的距离相等，所以正确； 平分， ， ， ， ， ， 同理可得，， ， ，所以正确． 综上，正确的结论有，共个． 故选：． 利用角平分线的定义和平角的定义可计算出，则可对进行判断；根据角平分线的定义和三角形内角和定理可对进行判断；根据角平分线的性质可对进行判断；根据角平分线的定义和平行线的性质证明，则，同样方法证明，，于是可对进行判断． 本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了平行线的性质、等腰三角形的判定等． 第二部分（非选择题 共82分） 二、填空题：本题共12小题，每小题2分，共24分。 7.满足的最小整数是         ． 【答案】  【解析】解：， ， ， ， 所以不等式的最小整数解是． 先根据不等式的性质和一元一次不等式的解法求解不等式，在不等式解集范围内确定符合要求的解即可． 本题主要考查一元一次不等式的解法，解决本题的关键是要熟练掌握一元一次不等式的解法． 8.命题“如，那么”的逆命题是      命题．填“真”或“假” 【答案】假  【解析】解：命题“如，那么”的逆命题是如果，那么，是假命题， 故答案为：假． 根据逆命题的概念写出原命题的逆命题，判断真假即可． 本题考查的是命题的逆命题、以及命题的真假判断，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 9.如图所示，，如果利用证明≌，那么需要添加的一个直接条件是        写出一种即可 【答案】答案不唯一  【解析】解：需要添加的一个直接条件是， 理由：在和中， ， ≌， 故答案为：答案不唯一． 根据“角角边”判定定理即可得到答案． 本题考查的知识点是全等三角形的判定，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． 10.年，大同文旅迎来爆发式增长依托云冈石窟、大同古城等核心，叠加沉浸式演艺、文创“佛小伴”及春节民俗活动引爆市场，全市文旅营收规模持续走高，增速领跑全省入境游热度以增速领跑全国，重点景区游客接待量与门票收入双增，既彰显了古都文化魅力，也为资源型城市转型注入强劲动能某文创工作室定制了份周边徽章，每份成本为元包装运输过程中，有的徽章因磕碰损坏无法售卖为保障工作室运营，需确保至少的利润，设徽章的销售单价为元份，则可列不等式为：        ． 【答案】  【解析】解：设徽章的销售单价为元份， 由题意可得可正常售卖的徽章数量为  份，总销售额为  元． 总成本为  元． ． 故答案为：． 先求出可正常售卖的徽章数量，再根据总销售额不低于总成本的的不等关系列出不等式． 本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，正确进行计算是解题关键． 11.如图，直线，点，分别在直线，上且若，则的度数是        ． 【答案】  【解析】解：过点作， ， ． ， ， ． ． 故答案为：． 过点作，由得；根据平行线的内错角相等得；由得，故；再由即可解答． 本题考查了平行线的性质，熟练掌握该知识点是关键． 12.如图，将一张长方形纸片进行折叠，若，则的度数为        ． 【答案】  【解析】解：由翻折得， 四边形是长方形， ， ，， ， ，， ， ， 故答案为：． 由翻折的性质得，再根据长方形的性质得出，由平行线的性质得出，，结合已知求出的度数，再根据邻补角互补即可求出的度数，从而得解． 本题考查了翻折问题，平行线的性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 13.如图，，的垂直平分线交于点，连接，若，则的度数为        【答案】  【解析】解：根据等腰三角形的性质可知：，则， 是的垂直平分线， ， ， ． 故答案为：． 先根据等腰三角形的性质求得的度数，再利用三角形内角和定理求出的度数，紧接着利用线段垂直平分线定理得到，从而得出的度数，最后利用角度和差关系求得结果． 本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理及线段垂直平分线的性质．熟练掌握以上知识点是关键． 14.在一副三角尺中，，，将它们按如图所示摆放在量角器上，边与量角器的刻度线重合，边与量角器的刻度线重合将三角尺绕点以每秒速度逆时针旋转，同时三角尺绕点以每秒的速度顺时针旋转，当三角尺的边与刻度线重合时两块三角尺都停止运动，则当运动时间        秒时，与三角尺的一边平行． 【答案】或或  【解析】解：根据题意，分三种情况讨论：当时，当时，当时，据此画图分析如下： Ⅰ当时，， ， ， ， ． Ⅱ当时，，   ， ， 舍去 当时， ， ． 当时， ，，， ， ，， ， 解得； 综上所述，当运动时间或或秒时，与三角尺的一边平行． 故答案为：或或． 当时，当时，当时，分三种情况分别讨论． 本题考查了平行线的性质，旋转的知识，解题关键把所有的情况都分析出来，注意结果是否符合题意，这也是学生很容易忽略的地方． 15.如图，是等边三角形中边上任意一点，以点为中心，把顺时针旋转得到若，则         ． 【答案】．  【解析】解：， ， 顺时针旋转得到， ， 为等边三角形， ， ． 故答案为：． 先由垂直的定义得到，再根据旋转的性质得到，然后根据等边三角形的性质得到． 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质． 16.两个大小不同的等边三角形三角板按图所示摆放将两个三角板抽象成如图所示的和，点、、依次在同一条直线上，连结给出下面四个结论： ≌； ； ； ． 上述结论中，正确结论的序号有        ． 【答案】  【解析】解：和都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ≌，故结论正确； ≌， ，故结论正确； ， ，故结论正确； ≌， ， 根据已知条件不能得出， 不能得出，故结论错误． 综上，正确结论的序号有， 故答案为：． 利用等边三角形的性质得到对应边和角的相等，得证≌，再根据全等三角形的性质和平行线的判定定理来判断其他结论是否正确． 本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及平行线的判定，掌握其相关知识点是解题的关键． 17.等腰三角形一腰上的中线，将三角形的周长分成两部分，分别是与，则腰长为        ． 【答案】或．  【解析】解：若腰长和腰长的一半的和是，则腰长为， 底边长为， 能组成三角形， 若腰长和腰长的一半的和是，则腰长为， 底边长为， 能组成三角形， 综上所述，该等腰三角形的腰长是或． 故答案为：或． 分腰长和腰长的一半的和是和两种情况求出腰长，再求出底边，然后根据三角形的任意两边之和大于第三边判断是否能组成三角形，从而得解． 本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于分情况讨论并利用三边关系判断是否能组成三角形． 18.在中，，，于，绕点逆时针旋转得到，点的对应点落在上，则的度数是          ． 【答案】  【解析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等；也考查了等腰三角形的性质． 连接，如图，根据等腰三角形的性质得到垂直平分，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出，再根据旋转的性质得到，，则可判断为等边三角形，所以，然后计算即可． 【详解】解：连接，如图， ， ， ， ，即垂直平分， ， 绕点逆时针旋转得到，点的对应点落在上， ，， ， 为等边三角形， ， ． 故答案为：． 三、解答题：本题共7小题，共58分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19.本小题分计算：求不等式组的解集． 解不等式得______， 解不等式得______， 将不等式的解集表示在数轴上如图所示： 所以，原不等式组的解集为______， 【答案】；；；．  【解析】解：解不等式得：， 解不等式得：， 将不等式的解集表示在数轴上如图所示： ， 所以，原不等式组的解集为． 故答案为：；；． 分别求出各不等式的解集，在数轴上表示出来，取其公共部分即可得出不等式组的解集． 本题考查的是解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟知以上知识是解题的关键． 20.本小题8分 如图，在中，，射线平分请用尺规作图法在射线上作一点，连接，使得是等腰直角三角形，且为斜边不写作法，保留作图痕迹 【答案】如图，点即为所求．   【解析】解：作的垂直平分线交射线于点，如图，点即为所求． 射线平分，， ， 由图可知， ， ， 是等腰直角三角形，且为斜边． 作的垂直平分线交射线于点，则，易得，，则点即为所求． 本题考查作图复杂作图，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 21.本小题8分 如图，已知点、在直线上，点在线段上，与交于点，，． 求证：； 若，，求度数． 【答案】， 同位角相等，两直线平行， 两直线平行，同位角相等， ， ， 内错角相等，两直线平行    【解析】证明：， 同位角相等，两直线平行， 两直线平行，同位角相等， ， ， 内错角相等，两直线平行； 解：，， 两直线平行，内错角相等， 又， ， ． 根据平行线的判定与性质证明即可； 根据平行线的性质得到，，即可求解． 本题考查了平行线的判定与性质，关键是相关性质和定理的熟练掌握． 22.本小题分 已知不等式组 若该不等式组的解集为，求的值； 若该不等式组无解，求的取值范围． 【答案】(1)解：解不等式①，得，解不等式②，得 x≤4， ∵不等式组的解集是2≤x≤4，∴，解得 a＝2．   (2)解不等式①，得，解不等式②，得 x≤4， ​​​​​​​∵不等式组无解，∴，解得 a＜-2．  【解析】 略  略 23.本小题分 如图，，，，、相交于点，连接． 求证： 用含的式子表示的度数直接写出结果 当时，取、的中点分别为点、，连接、、，如图，判断的形状，并加以证明． 【答案】(1)证明:ACB=DCE=, ACD=BCE. 在ACD和BCE中, ACDBCE(SAS).BE=AD.   (2)解:ACDBCE,CAD=CBE. 在ABC中,BAC+ABC=-, BAM+ABM=-. 在ABM中,AMB=-(-)=.   (3)解:CPQ为等腰直角三角形. 证明:由(1)可得BE=AD. AD、BE的中点分别为点P、Q,AP=BQ. ACDBCE,CAP=CBQ. 在ACP和BCQ中, ACPBCQ(SAS). CP=CQ,且ACP=BCQ. 又ACP+PCB=,BCQ+PCB=. PCQ=.CPQ为等腰直角三角形.   【解析】 略  略  略 24.本小题分 操作实践：如图，在中，，，请画出一条直线把分割成两个等腰三角形，并标出分割成两个等腰三角形底角的度数要求用两种不同的分割方法 分类探究：在中，最小内角，若被一直线分割成两个等腰三角形，请画出相应示意图并写出最大内角的所有可能值 猜想发现：若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形，需满足什么条件请你至少写出两个条件，不需证明 【答案】解：如图所示： 设分割线为，相应的角度如图所示： 图的最大角为，图的最大角为，图的最大角为，图的最大角为，故最大内角的可能值是或或或． 若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形，需满足的条件如下： 该三角形是直角三角形 该三角形有一个角是最小角的倍 该三角形有一个角是最小角的倍．   【解析】见答案． 25.本小题10分 八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【初步探索】 如图，在中，若，求边上的中线的取值范围． 以下是小聪同学思考的解决方法：先延长至点，使，然后连接，利用三角形全等将边转化到，最后在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 在这个过程中，小聪同学证明三角形全等用到的判定方法是          ；若线段的长度为整数，则          ； 【灵活应用】如图，是的中线，延长到点，连接，使，求证：； 【拓展提升】如图，在中，分别以作等腰直角三角形和，其中，连接，点是的中点，连接，延长与相交于点，，试判断与的数量关系，并求出的面积． 【答案】(1);2  (2)证明：如图：延长到点F，使，连接． ∵是的中线， ∴， 在和中，   ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴．   (3)如图3：延长到点E，使，连接． ∵点D是的中点， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，， ∴． ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为．   【解析】  如图：先延长至点，使，连接，易证可得，，再在中利用三角形的三边关系可得，进而得到，再结合已知条件即可解答； 如图：先延长至点，使，连接， 是边上的中线， ， ，， ， ， 在中，， ，即， ， 线段的长度为整数， ． 故答案为：，．   延长到点，使，连接易证可得，进而得到，再根据等边对等角可得，最后根据等量代换即可解答；   延长到点，使，连接易证可得、，再证明可得、，即；再说明，最后运用三角形的面积公式求解即可． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下学期期末数学模拟试卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版新教材七年级数学下册全部内容。 第一部分（选择题 共18分） 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是(    ) A. B. C. D. 2.如图，小明设计的“年年有余”图案中，的内错角是(    ) A. B. C. D. 3.有下列长度的三条线段，能组成三角形的是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4.如图，在中，，，连接交于点，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 5.我国南宋数学家秦九韶的著作数书九章中有一道问题：“有两尖田一段，其尖长不等，两大斜三十九步，两小斜二十五步，中广三十步欲知其积几何？”其大意为：如图，在四边形中，步，步，步，则四边形的面积为(    ) A. 平方步 B. 平方步 C. 平方步 D. 平方步 6.如图，已知的两条角平分线，相交于点，是外角的平分线，的延长线与交于点，连接交于点，若，有下列结论： ； ； 点到直线，直线，直线的距离相等； ． 其中正确的结论个数是(    ) A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共82分） 二、填空题：本题共12小题，每小题2分，共24分。 7.满足的最小整数是         ． 8.命题“如，那么”的逆命题是      命题．填“真”或“假” 9.如图所示，，如果利用证明≌，那么需要添加的一个直接条件是        写出一种即可 10.年，大同文旅迎来爆发式增长依托云冈石窟、大同古城等核心，叠加沉浸式演艺、文创“佛小伴”及春节民俗活动引爆市场，全市文旅营收规模持续走高，增速领跑全省入境游热度以增速领跑全国，重点景区游客接待量与门票收入双增，既彰显了古都文化魅力，也为资源型城市转型注入强劲动能某文创工作室定制了份周边徽章，每份成本为元包装运输过程中，有的徽章因磕碰损坏无法售卖为保障工作室运营，需确保至少的利润，设徽章的销售单价为元份，则可列不等式为：        ． 11.如图，直线，点，分别在直线，上且若，则的度数是        ． 12.如图，将一张长方形纸片进行折叠，若，则的度数为        ． 13.如图，，的垂直平分线交于点，连接，若，则的度数为        14.在一副三角尺中，，，将它们按如图所示摆放在量角器上，边与量角器的刻度线重合，边与量角器的刻度线重合将三角尺绕点以每秒速度逆时针旋转，同时三角尺绕点以每秒的速度顺时针旋转，当三角尺的边与刻度线重合时两块三角尺都停止运动，则当运动时间        秒时，与三角尺的一边平行． 15.如图，是等边三角形中边上任意一点，以点为中心，把顺时针旋转得到若，则         ． 16. 两个大小不同的等边三角形三角板按图所示摆放将两个三角板抽象成如图所示的和，点、、依次在同一条直线上，连结给出下面四个结论： ≌；；；． 上述结论中，正确结论的序号有        ． 17.等腰三角形一腰上的中线，将三角形的周长分成两部分，分别是与，则腰长为        ． 18.在中，，，于，绕点逆时针旋转得到，点的对应点落在上，则的度数是          ． 三、解答题：本题共7小题，共58分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19.本小题8分计算：求不等式组的解集． 解不等式得______， 解不等式得______， 将不等式的解集表示在数轴上如图所示： 所以，原不等式组的解集为______， 20.本小题8分 如图，在中，，射线平分请用尺规作图法在射线上作一点，连接，使得是等腰直角三角形，且为斜边不写作法，保留作图痕迹 21.本小题8分 如图，已知点、在直线上，点在线段上，与交于点，，． 求证：； 若，，求度数． 22.本小题分 已知不等式组 若该不等式组的解集为，求的值； 若该不等式组无解，求的取值范围． 23.本小题分 如图，，，，、相交于点，连接． 求证： 用含的式子表示的度数直接写出结果 当时，取、的中点分别为点、，连接、、，如图，判断的形状，并加以证明． 24.本小题分操作实践：如图，在中，，，请画出一条直线把分割成两个等腰三角形，并标出分割成两个等腰三角形底角的度数要求用两种不同的分割方法 分类探究：在中，最小内角，若被一直线分割成两个等腰三角形，请画出相应示意图并写出最大内角的所有可能值 猜想发现：若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形，需满足什么条件请你至少写出两个条件，不需证明 25.本小题10分 八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【初步探索】 如图，在中，若，求边上的中线的取值范围． 以下是小聪同学思考的解决方法：先延长至点，使，然后连接，利用三角形全等将边转化到，最后在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 在这个过程中，小聪同学证明三角形全等用到的判定方法是          ；若线段的长度为整数，则          ； 【灵活应用】如图，是的中线，延长到点，连接，使，求证：； 【拓展提升】如图，在中，分别以作等腰直角三角形和，其中，连接，点是的中点，连接，延长与相交于点，，试判断与的数量关系，并求出的面积． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $