精品解析：上海市静安区市西初级中学2024—2025学年下学期七年级数学期末卷

2024学年第二学期期末七年级数学试卷 （考试时间：90分钟，满分：100分） 一、选择题（本大题共6题，每题2分，共12分） 1. 如果，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各图中，与是同位角的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）． A. 2，2，3 B. 5，6，11 C. 3，4，8 D. 10，5，5 4. 若一个三角形的三个内角度数的比为2：7：5，则这个三角形是（　　） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 5. 下列说法正确的是（ ） A. 形状相同的两个三角形一定是全等三角形 B. 周长相等的两个三角形一定是全等三角形 C. 面积相等的两个三角形一定是全等三角形 D. 边长为的等边三角形都是全等三角形 6. 将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起，其中，，，当且点在直线的上方时，如果三角板的直角边与边平行，那么的度数为（ ）． A. 30或60 B. 60或120 C. 45或60 D. 30或120 二、填空题（本大题共12题，每题2分，共24分） 7. 不等式的非负整数解是_____________________； 8. 命题“对顶角相等”的逆命题是____命题（填“真”或“假”）． 9. 在和中，已知，，请补充一组相等的边，使两个三角形全等，可以是______． 10. 一件商品的成本是30元，如果按原价的八八折销售，至少可获得的利润．设这件商品的原价为x元，那么可以列出不等式______． 11. 如图，已知，垂足为O，若，则直线与的夹角为______． 12. 如图，已知，，，那么______． 13. 如图，在中，是的垂直平分线，，，则的长是________． 14. 已知的两边与的两边分别平行，且，则_______． 15. 如图，等边中，，则的度数是 ________． 16. 如图，有一个正方形、一个等边三角形、一个等腰直角三角形，则______． 17. 如图，已知中，，，，那么______． 18. 如图，已知在中，，，，点D是边上的一点，，点E是边上一个动点，连接，以为一边在右侧作等边，连接，在点E运动过程中，线段的最小值为______． 三、解答题（本大题共7题，共64分） 19. 解不等式组：把它的解集在数轴上表示出来． 20. 如图，已知，请用尺规作图法作的外心P．（保留作图痕迹） 21. 如图，已知点D、E在线段上，点F在线段上，射线、相交于点M，平分，，求证． 把以下证明过程补充完整． 证明：∵平分，∴， 又∵，∴____________________． ∴____________________（__________）． ∴____________________（__________）． ∴． 22. 陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，其上方为圆柱，下方尖锐，玩耍时可用绳子缠绕，用力抽绳，使其直立旋转．爷爷准备帮乐乐制作一个陀螺，他先将木料初加工成一个底面周长是厘米、高是8厘米的圆柱，然后将圆柱的下部削成锥形，这样陀螺上面的部分还是圆柱，下面的部分是圆锥（如图），这时圆锥和圆柱高度的比是．陀螺的体积是多少立方厘米？（取） 23. 如图，已知在四边形中，，E为的中点，连接，，，，，求的长度． 24. 在中，，D为中点，于E，交的延长线于F． （1）求证：； （2）求证：垂直平分． 25. 如图，已知是等边三角形，，点P从点A出发，沿射线以的速度运动，过点P作交射线于点E，同时点Q从点C出发沿的延长线以的速度运动，连接、，设点P的运动时间为． （1）当点P在边上，且不与点、重合时，求证：； （2）直接写出的长（用含t的代数式表示）； （3）在不添加字母和连接其它线段的条件下，当图中等腰三角形的个数大于3时，直接写出t的值和对应的等腰三角形的个数．（请写出所有的可能性） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期期末七年级数学试卷 （考试时间：90分钟，满分：100分） 一、选择题（本大题共6题，每题2分，共12分） 1. 如果，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，绝对值的意义，熟知不等式的性质是解题的关键： 不等式的基本性质为：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，根据不等式的性质逐项判断即可得出答案． 【详解】取，，则， ，， ，故选项A不成立．   ，但未说明a的符号，当 时，不等式  ，故选项B不一定成立． 将不等式  两边同时乘以 得到，然后两边同时加 5，得．故选项C一定成立． 当， 时，，故选项D不一定成立． 故选：C． 2. 下列各图中，与是同位角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题需先根据同位角的定义进行筛选，即可得出答案． 【详解】A、∵根据同位角的定义得： ∠1与∠2不是同位角， 故本选项错误； B、∵根据同位角的定义得： ∠1与∠2是同位角， 故本选项正确； C、∵根据同位角的定义得： ∠1与∠2不是同位角， 故本选项错误； D、∵根据同位角的定义得： ∠1与∠2不是同位角， 故本选项错误． 故选B． 【点睛】本题主要考查了同位角，在解题时要根据同位角的定义进行筛选是本题的关键． 3. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）． A. 2，2，3 B. 5，6，11 C. 3，4，8 D. 10，5，5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形三边的关系． 根据三角形三边之间的关系，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．2，2，3，最长的边为，，能组成三角形，符合题意； B．5，6，11，最长的边为，，不能组成三角形，不符合题意； C．3，4，8，最长的边为，，不能组成三角形，不符合题意； D．10，5，5，最长的边为，，不能组成三角形，不符合题意． 故选：A． 4. 若一个三角形的三个内角度数的比为2：7：5，则这个三角形是（　　） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【答案】A 【解析】 【分析】先根据三角形的内角和定理和三个内角的度数比求出三个内角的度数，然后再根据三个内角的度数进一步判断三角形的形状即可． 【详解】解：∵三角形三个内角度数的比为2：7：5， ∴这个三角形中最大的角为． ∴该三角形是直角三角形． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和定理求得三角的度数成为解答本题的关键． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 形状相同的两个三角形一定是全等三角形 B. 周长相等的两个三角形一定是全等三角形 C. 面积相等的两个三角形一定是全等三角形 D. 边长为的等边三角形都是全等三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形为全等三角形，据此判断即可． 【详解】A、形状相同且大小相同的两个三角形一定是全等三角形，原说法错误，不符合题意； B、周长相等的两个三角形不一定是全等三角形，原说法错误，不符合题意； C、面积相等的两个三角形不一定是全等三角形，原说法错误，不符合题意； D、边长为的等边三角形都是全等三角形，原说法正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的定义，熟记定义是解本题的关键． 6. 将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起，其中，，，当且点在直线的上方时，如果三角板的直角边与边平行，那么的度数为（ ）． A. 30或60 B. 60或120 C. 45或60 D. 30或120 【答案】D 【解析】 【分析】分两种情况：当时；当时，然后分别利用平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：分两种情况： 当时，如图： ∵， ， ， ； 当时，如图： ∵， ； 综上所述：如果三角板的直角边与边平行，那么的度数为或， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质，分两种情况讨论是解题的关键． 二、填空题（本大题共12题，每题2分，共24分） 7. 不等式的非负整数解是_____________________； 【答案】0，1，2 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式，解出不等式的解集即可求解． 【详解】解： ， ∴不等式的非负整数解是：0，1，2． 故答案为：0，1，2． 8. 命题“对顶角相等”的逆命题是____命题（填“真”或“假”）． 【答案】假 【解析】 【分析】本题主要考查命题与定理，对顶角的定义，先根据原命题的题设得到逆命题，然后根据对顶角的定义进行判断即可． 【详解】解：命题“对顶角相等”的逆命题是相等的角为对顶角， 此逆命题为假命题． 故答案为：假． 9. 在和中，已知，，请补充一组相等的边，使两个三角形全等，可以是______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，添加可利用证明． 【详解】解：添加，证明如下： ∵，，， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 10. 一件商品的成本是30元，如果按原价的八八折销售，至少可获得的利润．设这件商品的原价为x元，那么可以列出不等式______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，根据利润等于原价乘以折扣再进去进价列出不等式即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 11. 如图，已知，垂足为O，若，则直线与的夹角为______． 【答案】40 【解析】 【分析】由垂直的定义可求得，再利用对顶角可求得答案． 【详解】解：， ， ， 即直线与的夹角为， 故答案为：40． 【点睛】本题主要考查垂直的定义和对顶角的性质，由垂直的定义求得是解题的关键． 12. 如图，已知，，，那么______． 【答案】##75度 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，延长交于点，根据平行线的性质，得到，根据三角形的内角和为180度，进行求解即可． 【详解】解：延长交于点， ∵， ∴， ∵，， ∴； 故答案为： 13. 如图，在中，是的垂直平分线，，，则的长是________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．由线段垂直平分线的性质可得，根据求出的长即可． 【详解】解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：4． 14. 已知的两边与的两边分别平行，且，则_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查平行的性质，熟练掌握平行的性质是解题的关键．的两边与的两边分别平行，得到或，即可得到答案． 【详解】解：的两边与的两边分别平行， ①如图： ， ， ； ②如图： ， ， ； 或， ， 当时， 解得； 当时，， 解得； 故答案为：或． 15. 如图，等边中，，则的度数是 ________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】根据题目已知条件可证，再利用全等三角形的性质可得，进而结合三角形外角定理求解．本题侧重考查等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质等知识点． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 如图，有一个正方形、一个等边三角形、一个等腰直角三角形，则______． 【答案】165 【解析】 【分析】根据平角的定义，三角形内角和定理，进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 根据题意可得： ，，， ， ， ， 故答案为：165． 【点睛】本题主要考查了平角的定义，三角形内角和定理，熟练掌握平角的定义，三角形内角和定理，是解题的关键． 17. 如图，已知中，，，，那么______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质，由等边对等角得到，由三角形外角的性质得到，据此可证明，再由三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：，， ∴， ∵， ∴，， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 如图，已知在中，，，，点D是边上的一点，，点E是边上一个动点，连接，以为一边在右侧作等边，连接，在点E运动过程中，线段的最小值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，以为边在上方作等边三角形，连接，过点M作于点P，于点N，证明，得出，说明当最小时，最小，根据垂线段最短，得出最小，即当点E与点N重合时，最小，即最小，求出最小值即可． 【详解】解：如图所示，以为边在上方作等边三角形，连接，过点M作于点P，于点N，如图所示： ∵和为等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， ∵垂线段最短， ∴当点E与点N重合时，最小，即最小，最小值为的长， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，即， ∴， 又∵， ∴（平行线间间距相等）， ∴的最小值为4， 故答案为：4. 三、解答题（本大题共7题，共64分） 19. 解不等式组：把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组．先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可求解，然后把不等式的解集表示在数轴上即可． 【详解】解：， 由①得， 由②得， 故原不等式组的解集是：， 把解集在数轴上表示出来为： ． 20. 如图，已知，请用尺规作图法作的外心P．（保留作图痕迹） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了尺规作线段的垂直平分线，三角形的外心的定义，熟练掌握三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点是解题的关键． 根据外心的定义可得外心P是三角形三边垂直平分线的交点，即作出的垂直平分线，交点即为所求． 【详解】解：如图，点即为所求： 21. 如图，已知点D、E在线段上，点F在线段上，射线、相交于点M，平分，，求证． 把以下证明过程补充完整． 证明：∵平分，∴， 又∵，∴____________________． ∴____________________（__________）． ∴____________________（__________）． ∴． 【答案】；；；；同位角相等，两直线平行；；；两直线平行，同位角相等 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，由角平分线的定义和已知条件可证明，则可证明得到，据此可证明． 【详解】证明：∵平分， ∴， 又∵， ∴． ∴（同位角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，同位角相等）． ∴． 22. 陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，其上方为圆柱，下方尖锐，玩耍时可用绳子缠绕，用力抽绳，使其直立旋转．爷爷准备帮乐乐制作一个陀螺，他先将木料初加工成一个底面周长是厘米、高是8厘米的圆柱，然后将圆柱的下部削成锥形，这样陀螺上面的部分还是圆柱，下面的部分是圆锥（如图），这时圆锥和圆柱高度的比是．陀螺的体积是多少立方厘米？（取） 【答案】立方厘米 【解析】 【分析】先根据底面周长求出底面半径，再求出圆锥和圆柱的高，最后根据公式计算即可． 【详解】解：由题意得 设底面圆的半径为，则有 ， 解得， 圆柱的高为：（厘米）， 圆锥的高为：（厘米）， 所以 （立方厘米）． 答：陀螺的体积是立方厘米． 【点睛】本题考查了圆锥和圆柱的体积公式，掌握圆锥和圆柱的体积公式是解题的关键． 23. 如图，已知在四边形中，，E为的中点，连接，，，，，求的长度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，延长交于F，可证明，得到，；再证明，得到，则． 【详解】解：如图所示，延长交于F， ∵， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∴，； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 24. 在中，，D为中点，于E，交的延长线于F． （1）求证：； （2）求证：垂直平分． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由证明，即可得出结论； （2）连接，交于点G，由（1）得，再由，得，则，然后由等腰三角形的性质即可得出结论． 【小问1详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 证明：如图，连接，交于点G， 由（1）得：， ∵D为的中点， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 即垂直平分． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 25. 如图，已知是等边三角形，，点P从点A出发，沿射线以的速度运动，过点P作交射线于点E，同时点Q从点C出发沿的延长线以的速度运动，连接、，设点P的运动时间为． （1）当点P在边上，且不与点、重合时，求证：； （2）直接写出的长（用含t的代数式表示）； （3）在不添加字母和连接其它线段的条件下，当图中等腰三角形的个数大于3时，直接写出t的值和对应的等腰三角形的个数．（请写出所有的可能性） 【答案】（1）证明过程见解析； （2）当时，的长为；当时，的长为； （3）当时，等腰三角形有5个；当时，等腰三角形有4个． 【解析】 【分析】本题考查等边三角形，等腰三角形，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确理解图形的运动过程． （1）由等边三角形的性质和平行线的性质，可得角之间的关系和线段长度之间的关系，利用“”即可证得结论； （2）根据运动时间进行分类讨论，写出每种情况对应的线段长度即可； （3）根据题意可知，当或时，等腰三角形的个数大于3，写出对应的等腰三角形即可． 【小问1详解】 证明：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， 根据点的运动过程可知，， ∴， 在和中， ， ∴ 【小问2详解】 解：根据题意可知，点从点到点所需时间为， 当时，， 当时，， 答：当时，的长为；当时，的长为． 【小问3详解】 解：当时，如图，有5个等腰三角形：、、、、， 当时，如图，有4个等腰三角形：、、、， 答：当时，等腰三角形有5个；当时，等腰三角形有4个． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $