命题大赛 福建省三明市2026届高三数学模拟考试卷

**基本信息** 高三数学模拟卷以原创情境与综合应用为特色，覆盖集合、函数、立体几何等核心知识，通过动态几何折叠、跨学科分配等创新设计，考查数学抽象、逻辑推理与模型构建能力，适配高考模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|复数模、向量夹角、函数零点极值、椭圆与圆综合|原创题（6、8题）结合几何直观，考查数学眼光| |填空题|3题15分|二项式系数、抛物线轨迹、排列组合（跨学科）|14题以人工智能教研为情境，体现应用意识| |解答题|5题77分|立体几何面面角、概率分布与证明、导数公切线证明|19题证明公切线唯一性，考查逻辑推理；17题概率统计结合数学证明，体现数学思维|

知识点要像图片中的那样详细 题号 题型 分值 知识点 难度系数 1 单选题 5 集合的交集、分式不等式与对数不等式求解 0.9 2 单选题 5 复数的几何意义、模的几何意义求最值 0.9 3 单选题 5 向量数量积的坐标运算、向量夹角余弦值求法 0.6 4 单选题 5 基本不等式的变形应用、构造法求最值 0.65 5 单选题 5 三角函数 y=Asin(ωx+ϕ) 的周期性、零点与极值点个数判定 0.45 6 单选题 5 椭圆离心率、直线与圆相切条件、三角形面积公式 0.55 7 单选题 5 球体与圆锥的截面、内接球相关体积计算 0.35 8 单选题 5 利用导数构造辅助函数、利用单调性比较数值大小 0.25 9 多选题 6 三角函数图像平移、对称轴与对称中心判定 0.55 10 多选题 6 立体几何翻折问题、外接球半径计算、线面角正弦值 0.3 11 多选题 6 数列递推关系、数列项的放缩证明、不等式恒成立 0.25 12 填空题 5 二项式定理、二项式系数和的通性 0.85 13 填空题 5 抛物线中点弦公式、轨迹方程的确定 0.5 14 填空题 5 排列组合的分组分配原理、捆绑法与排除法应用 0.4 15 解答题 13 正弦定理与余弦定理、三角形内切圆半径公式 0.6 16 解答题 15 空间中直线与平面平行/垂直的判定、二面角的余弦值 0.5 17 解答题 15 离散型随机变量的分布列、数学期望与方差计算 0.35 18 解答题 17 椭圆定义、直线与圆锥曲线的联立、斜率积/斜率和问题 0.25 19 解答题 17 导数研究函数极值、不等式恒成立问题的参数范围、公切线方程 0.15 $ 《高三数学模拟考试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B B A D A C C D BD ABC BCD 1．B 【详解】因为，又， 所以或. 2．B 【详解】解：设复数z在复平面内对应的点为Z， 因为复数z满足，所以由复数的几何意义可知，点到点和的距离相等，所以在复平面内点的轨迹为轴，又表示点到点的距离， 所以问题转化为轴上的动点到定点距离的最小值，所以的最小值为2， 故选：B. 3．A 【详解】两边平方，并代入已知模长：这是一个关于的开口向上的二次函数。当且仅当对称轴时，该二次函数取得最小值。代入，求得最小值为：所以，原式的最小值为（因为，）。所以，即。又因为，所以，解得。故选:A 4．D 【详解】两边同时除以，得到， ， 当且仅当，即，时等号成立. 5．A 【详解】设，则。满足“恰有2个零点”，即在区间内包含2个零点，但不能包含第3个零点：，解得。满足“恰有3个极值点”，即在区间内包含3个极值点，但不能包含第4个极值点：，解得。综上，。 故选：A. 6．C 【详解】直线过左焦点，斜率为，方程为。它与圆相切，圆心到直线的距离等于半径：，得。又因为，所以。联立直线方程与椭圆方程，解得的横坐标，代入直线方程得。所以。故选：C. 7．C 【详解】球O半径为R，由得，平面截球O所得截面小圆半径，由得， 因此，球心O到平面的距离，而球心O在圆锥的轴上，则圆锥的轴与平面所成的角为， 因圆锥的高为1，则球心O到圆锥底面圆的距离为，于是得圆锥底面圆半径， 令平面截圆锥所得截面为等腰，线段AB为圆锥底面圆的弦，点C为弦AB中点，如图， 依题意，，，，弦， 所以. 故选：C 8．D 【详解】已知恒成立，构造辅助函数。对其求导得：恒成立。即在上是严格单调递增函数。 因为，所以， ，因为，所以 又，所以，所以． 9．BD 【详解】因为 所以的最大值为，故A错误； 若，则， 所以得在区间上单调递减，故B正确； 将的图象上所有点向右平移个单位长度， 得到的图象，故C错误； 若的图象关于轴对称， 则， 所以，所以的最小正值为，故D正确. 10．ABC 【详解】A，该几何体为直三棱柱，其外接球的球心即为上下底面外接圆圆心连线的中点。 底面的外接圆半径。球心到上下底面的距离。 外接球半径。外接球表面积，正确； B，由于平面，平面，故平面平面。 过作于，即为点到平面的高，。 侧面位于正方形内，面积。 体积，正确； C，取中点，中点，中点，连接,。由题意，折叠后垂直于面，故平面，所以。在平面上的射影为。在正方形中，易证，从而，即。根据线面垂直定理得，面。因为包含在平面内，所以。 因为，所以。因且，且，故平面。又已知，故直线必在平面内，即点必在平面内。又点在正方形，故点的轨迹为线段，其长度为：，正确； D，设直线与平面所成角为，点到平面的距离为。由正方形边长为2，知对角线。则。已知平面，故，即为直角三角形。其面积。则。由平面且平面，得平面平面。点到平面的距离，即为等边的高，故。底面的面积。则。因为，联立得：，解得。故直线与平面所成角的正弦值为：，错误。 故选：ABC 11．BCD 【详解】对于选项：由，移项整理得：若数列为等比数列，则必为常数。又，由可得，。显然并非恒等常数，即，故数列不是等比数列。故A错误； 对于选项：由A项结论可知对任意成立。当时，利用累乘法可得：又因为，所以代入式子即得。当时，等式亦成立。故B正确。 对于选项C：由已知条件及递推公式，易证对任意。由两边同取倒数得：，移项采用裂项相消法求和： 代入得：。。。故C正确。 对于选项D：由C项解析过程可知，因此只需证，即证。。利用累乘放缩可得：，成立。故D正确. 综上所述，故选：BCD. 12．32 【详解】由，即二项式系数和为32。故答案为：32 13． 【详解】由题意知直线的斜率不为0，设的方程为，联立抛物线方程，得，，设，则， 设线段中点，则，即，故线段中点的轨迹方程为，即，故答案为： 14．114 【详解】将甲、乙捆绑视为一个新元素M。此时问题等价于：将M、丙、丁、戊、己5 个元素分配到3个不同的课题组，且无空组。将5个元素分成3组，组内人数分布仅有“3-1-1”和“2-2-1”两种模式。分组数为：种。全排列分配给3个课题组，总方案为：种。若丙、丁同组，将丙、丁也捆绑视为新元素N。此时相当于将M、N、戊、己这4个元素分配到3个课题组（组内人数分布仅有“2-1-1”模式）。分组数为：种。全排列分配给3个课题组，违规方案为：种。满足条件的分配方案共有：种。 15．(1) (2) 【详解】（1）由余弦定理知，代入得：。……..2分 因为在锐角中，且$，所以：，即，即，解得：或……………4分 因为为锐角三角形，，故：。……………5分 因为，所以。…………6分 (2)已知的面积，由面积公式，解得。…………..8分 由余弦定理，且,得。…………..10分 进而可求：，即。……………11分 设内切圆半径为，的周长。利用面积公式可得：。分母有理化得：。………………..13分 16．(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）取线段的中点，连接、、，如下图所示： 因为为正三角形，为的中点，所以……………..1分 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，因为平面，所以………………3分 因为四边形为菱形，所以………………4分 因为、分别为、的中点，所以，故………………..5分 因为，、平面，故平面， 因为平面，故…………….7分 （2）因为四边形为菱形，所以，又因为，故为等边三角形，又因为为的中点，所以，又因为平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设，则、、、、……..9分 设平面的法向量为，，， 则，取，则……………11分 设平面的法向量为，，， 则，取，可得………………..13分 因为， 故平面与平面夹角的余弦值为……………………….15分 17．(1)（i） 3 4 P （ⅱ） (2)证明见解析 【详解】（1）（ⅰ）从5个相同小球中有放回地随机取2次，共有种情况．的取值为3，4．………………..1分 表示2次取球中未被取到的球的个数为3，即2次取球中取到2个不同编号的球， 表示2次取球中未被取到的球的个数为4，即2次取球中取到的是同一个编号的球， 所以，………………..4分 所以的分布列为………………………5分 3 4 P （ii）表示m次取球中未被取到的球的个数为3个. 即次取球中取到2个不同编号的球，从5个相同小球中有放回地随机取次，共有种情况，时有种情况…………………..7分 所以的概率为．……………………..9分 （2）从n个相同小球中有放回地随机取m次中，定义随机变量，其中表示第k个小球未被取到，表示第k个小球至少被取到1次，则服从两点分布， 所以. 由题意知，又，所以， 所以…………………………..12分 因为，所以： ， 故．…………………………15分 18．(1) (2)4 【详解】（1）由题意得，又以短轴为直径的圆与直线相切， 原点到直线的距离为 2分 又， 5分 故椭圆的方程为. 7分 （2）由（1）可知，，当过点的直线斜率不存在时，直线与椭圆只有一个交点，不合题意，舍去；当过点的直线斜率存在时，设直线的方程为，设，联立 9分 消去整理得， ，解得， 且 12分 而直线的斜率为，直线的斜率为 14分又， ，………………….17分 19.（1）证明见解析 （2） （1）证明：由题意，函数的定义域均为。求导得：。要证，即证。构造辅助函，则。2分 再次求导得。因为，显然且，所以在上恒成立，即在上单调递增。4分 又因为，所以，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增。故在处取得极小值，且为全局最小值。因此。从而对任意，都有恒成立，即恒成立。7分 （2）设曲线与存在公切线，且其斜率为。由(1)知，，解得。此时公切线也是在点处的切线，其方程为：化简得的截距。同理，，解得。此时公切线也是在点处的切线，其方程为：化简得的截距。………………….11分 若公切线存在，则两截距必须相等，即，即。构造函数。对其求导，得：由第(1)问已证的结论可知，对于任意，都有，且等号仅在时成立。因此恒成立（仅在时）。这说明函数在上严格单调递增。…………………..15分 又因为，所以是方程的唯一解。将代入切点横坐标得：，。代入公切线方程，得：。……………………..17分 答案第10页，共11页 答案第1页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学模拟考试卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（   ） A． B．或 C． D． 2．已知复数z满足，则的最小值为（      ） A．1 B．2 C． D． 3．已知非零向量，且，且对任意实数，的最小值为，且，则与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 4．设，，且，则的最小值为（   ） A．8 B． C．10 D． 5．已知函数在区间上恰有2个零点和3个极值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． （原创）6．设点P为椭圆的左右焦点分别为，，过且斜率为的直线与圆相切。若直线与椭圆在第一象限交于点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 7．已知球O的体积为，高为1的圆锥内接于球O，经过圆锥顶点的平面截球O和圆锥所得的截面面积分别为，若，则（    ） A．2 B． C． D． （原创）8．已知在上的可导函数满足恒成立．若，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知函数．则下列结论正确的有（    ） A．的最大值为 B．在区间上单调递减 C．把函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象． D．若函数的图象关于轴对称，则正数的最小值为 （原创）10．已知矩形中，，，点、分别是边、的中点。现沿将该矩形折起，使得二面角的平面角大小为 60°，得到一个新的空间几何体。关于该几何体，下列说法中正确的是（   ） A．该几何体外接球的表面积为 B．三棱锥的体积为 C．若点在多边形及其内部运动，且始终满足，则点的轨迹长度为 D．直线与平面所成角的正弦值为 （原创）11．已知递推数列满足，且，则下列叙述正确的有（    ） A．数列为等比数列 B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．二项式的展开式中各项的二项式系数之和为________. 13．已知抛物线，过点的直线与抛物线交于，两点，则线段中点的轨迹方程为__________. （原创）14．某市开展“人工智能与动态几何”跨学科教研活动，需将甲、乙、丙、丁、戊、己6名骨干教师分配到A、B、C三个不同的课题组进行专项研究。要求每个课题组至少分配1名教师，且甲、乙两名教师必须分配在同一个课题组，丙、丁两名教师不能分配在同一个课题组，则不同的分配方案共有_______种。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．在锐角中，内角，，的对边分别为，，，已知的外接圆半径为，且满足. (1)求角的大小； (2)若且的面积为，求内切圆的半径. 16．如图，在四棱锥中，底面为菱形，为正三角形，平面平面，是的中点. (1)证明：； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值. 17．有编号为的个相同大小的小球，，从中有放回地随机取次，每次取个球，记为这个球中未被取到的球的个数． (1)已知． （i）若，求的分布列； （ⅱ）若，求的概率； (2)若都是离散型随机变量，则．证明：． 18．已知椭圆的左顶点为，上顶点为，离心率，且以短轴为直径的圆与直线相切． (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，若直线的斜率都存在且不为0，将的斜率分别记为，求． （原创）19．已知函数与。 (1)证明：对任意，恒成立； (2)设曲线在点处的切线为，曲线在点处的切线为。求证：曲线与存在唯一的一条公切线，并求出该公切线方程 答案第6页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $