命题大赛 2026年福建省高考数学备考冲刺练习

**基本信息** 原创题占比高，以蜜蜂舞情境概率题（第19题）等为特色，覆盖函数、数列、统计、立体几何、解析几何等，考查数学思维与应用，适配高考冲刺模拟。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题（单选）|8/40|函数定义域、复数运算、数列递推|原创题为主，基础概念辨析| |选择题（多选）|3/18|统计量（百分位数、方差）、椭圆性质|多选项设计，考查思辨能力| |填空题|3/15|复数几何意义、向量数量积、数列求和|跨知识点融合，如复数与几何结合| |解答题|5/77|三角函数图像、统计直方图、立体几何（证明/线面角/存在性）、双曲线方程与定值证明、蜜蜂舞概率分布|分层设计，如立体几何三问递进考查逻辑推理；蜜蜂舞情境题体现模型意识与数据分析，贴合高考应用趋势|

Sheet1 2026年高考数学备考冲刺练习细目表 题号 题型 分值 知识点 难度系数（预估） 1 单选题 5 函数的定义域及解对数不等式. 0.8 2 单选题 5 复数模的计算、除法运算及其共轭复数. 0.8 3 单选题 5 递推数列和周期数列. 0.75 4 单选题 5 不等式的解法和充分必要条件的判断. 0.75 5 单选题 5 同角三角函数之间的关系、特殊角的三角函数值和两角差的正切的应用. 0.7 6 单选题 5 排列数、组合数计算和古典概型. 0.55 7 单选题 5 抛物线的标准方程与基本性质、抛物线过焦点的垂直弦性质及其抛物线的距离的最值求法; 0.5 8 单选题 5 平面向量、投影向量及基本不等式的应用. 0.5 9 多选题 6 百分位数的求法；方差与样本均值、二项分布的期望、正态分布的对称性. 0.7 10 多选题 6 二项展开式的通项公式、赋值法求系数和. 0.6 11 多选题 6 椭圆的基本定义与参数、焦点三角形的性质、向量数量积的坐标运算及点到直线的距离最值. 0.5 12 填空题 5 实系数一元二次方程的根的情况及复平面内点的坐标与模长计算、等边三角形的性质. 0.65 13 填空题 5 平面直角坐标系的建立、直线方程与垂直关系、向量的坐标表示与点积运算. 0.6 14 填空题 5 构造等差数列求通项、前n项和的性质、数列的单调性与不等式求解. 0.5~0.6 15 解答题 13 三角函数的图像与性质、三角恒等变换、三角函数的定义域与符号判断； 0.65~0.7 16 解答题 15 频率分布直方图相关、两组数据合并的统计量; 0.65~0.7 17 解答题 15 空间直角坐标系与向量坐标运算、线线垂直的向量判定、平面法向量的求法、线面角的向量计算和点面距； 0.55~0.6 18 解答题 17 双曲线的基本性质、直线与双曲线的位置关系、斜率的计算与定理证明； 0.55~0.6 19 解答题 17 离散型随机变量的期望与方差、二项分布、全概率公式、随机变量的函数期望与最小二乘思想、数学期望的线性性质. 0.5 Sheet2 Sheet3 $ 2026年高考数学备考冲刺练习 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.(原创)若函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2.(原创)若复数，则（    ） A． B． C． D． 3.(原创)设数列满足，且，则（    ） A． B． C． D．3 4．(原创)设，则p是q的（   ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．(原创)若，则＝（   ） A． B． C． D． 6.在某道选词填空题中，有3个空格，4个备选单词。每个空格只能填入一个备选单词，且每个空格都有一个唯一的正确答案（这3个正确答案是4个备选单词中的3个，剩余1个备选单词是多余的）。若随机选择3个备选单词分别填入3个空格，则3个空格全部选错的概率是（     ） A． B． C． D． 7. 过抛物线：的焦点作两条互相垂直的弦，，设为抛物线上的一动点，，若，则的最小值是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 8.已知平面向量，，，若，在上的投影向量相等，且，，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列结论正确的是（    ） A．样本数据12，13，15，18，19，21，23，24，26，27的第70百分位数为23 B．若一组样本数据的方差，则这组样本数据的总和为60 C．若随机变量服从二项分布，则 D．若随机变量服从正态分布，且，则 10．设，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 11.椭圆的左、右焦点为，，P为上的动点，下列说法正确的是（    ） A．的周长为12 B．存在点，使 C．的最大值为12 D．到的距离的最大值为4 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知关于的方程的两根在复平面上对应的点分别为和，若是等边三角形，则__________. 13.已知正方形ABCD边长为2，E为线段CD的中点，若AF⊥BE于F，则_______. 14. 已知数列的前n项和为，若，，则满足的的最小值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式，并写出的单调递减区间； (2)若，且，求的值． 16．（15分）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成，，，，这五组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)估计样本成绩的平均数及方差；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表） (2)已知落在内的平均成绩是80分，方差是4分，落在内的平均成绩是88分，方差是6分，求两组成绩合并后的平均数和方差. 附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为m，，；n，，，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差. 17．（15分）如图所示，在长方体中，，，，点在棱上，点在棱上，且. (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的余弦值； (3)在棱上是否存在点，使得到平面的距离与到平面的距离相等？若存在，求出的长；若不存在，说明理由. 18．（17分）已知分别为双曲线的左，右顶点，为双曲线上异于的任意一点，直线，斜率之积为，的焦距为． (1)求的方程； (2)过点作直线与双曲线交于，两点（不与重合），记的斜率分别为， 证明：为定值． 19.（17分）在蜜蜂群体中,侦察蜂发现食物源后,通过“蜜蜂舞”向同伴(观察蜂)指示食物源的距离(单位：百米)．设食物源距离为随机变量,其概率分布为：,,,．在每次“蜜蜂舞”中,侦察蜂选择摇摆的概率为,选择直线奔跑的概率为,通过3次“蜜蜂舞”叠加传递距离信息,且每次“蜜蜂舞”中侦察蜂选择直线奔跑或摇摆相互独立,即摇摆次数服从二项分布,其中、、． (1)求食物源距离的方差； (2)求随机变量的概率分布列及数学期望； (3)观察蜂需要根据观察到的摆动次数 来判断食物源的距离 ,设判断函数为,,其中,若损失函数为,求的值使得最小． 参考数据：,参考公式：对任意两个随机变量、有． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学备考冲刺练习 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.(原创)若函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解不等式，可求得函数的定义域。 【解析】由，得， 所以，解得， 所以函数的定义域为. 故选：A. 2.(原创)若复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据复数的模计算公式和复数的除法运算求出复数，再根据共轭复数的定义即可得解. 【解析】. 所以. 故选：B. 3.(原创)设数列满足，且，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【解析】数列中，，且，则， ，因此数列是周期为4的数列， 所以. 故选：D. 4．(原创)设，则p是q的（   ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】解两命题对应不等式，然后由充分，必要条件与集合包含之间的关系可得答案. 【解析】 . 则命题是命题的充分不必要条件. 故选：A. 5．若，则＝（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件关系求出，根据两角差的正切公式求出. 【解析】因为，所以 ， 又因为 所以. 故选：C. 6.在某道选词填空题中，有3个空格，4个备选单词。每个空格只能填入一个备选单词，且每个空格都有一个唯一的正确答案（这3个正确答案是4个备选单词中的3个，剩余1个备选单词是多余的）。若随机选择3个备选单词分别填入3个空格，则3个空格全部选错的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】假设4个单词分别是甲、乙、丙、丁，正确的顺序为甲乙丙. 第一类，选出的3个单词不包括丁，则符合要求的情况有乙丙甲，丙甲乙，共2种选法； 第二类，选出的3个单词包含丁，则从剩下的3个单词选两个有种情况，不妨设选出的单词为甲，乙， 则符合要求的情况有乙甲丁，丁甲乙，乙丁甲，共3种，即共有种选法. 综上，符合要求的情况共有种，全部情况为种， 则3个空格全部选错的概率是. 故选：A. 7. 过抛物线：的焦点作两条互相垂直的弦，，设为抛物线上的一动点，，若，则的最小值是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】显然直线的斜率存在且不为0，设直线的斜率为，则直线的方程为，与抛物线方程联立结合韦达定理可得：，因为，所以直线的斜率为：，所以，由，解得，设点到准线的距离为，由抛物线的性质可知：，而当垂直于轴时，的值最小，最小值为． 【解析】显然直线的斜率存在且不为0，设直线的斜率为，则直线的方程为， 联立方程，消去得：， 设，，，，，， 由抛物线的性质可知：， ，直线的斜率为：， ， ， ， ， 抛物线方程为：，准线方程为：， 设点到准线的距离为，由抛物线的性质可知：， 而当垂直于轴时，的值最小，最小值为，如图所示： 的最小值为3， 故选：B． 8.已知平面向量，，，若，在上的投影向量相等，且，，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【解析】因为，在上的投影向量相等， 所以它们的投影也相等，即，所以， 又因为，， 所以； 已知，，满足基本不等式的使用条件， 对目标式， 由得， 因此，将目标式乘展开： ， 根据基本不等式，， 代入得： 当且仅当时等号成立，即，结合， 解得，，满足，，因此最小值为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列结论正确的是（    ） A．样本数据12，13，15，18，19，21，23，24，26，27的第70百分位数为23 B．若一组样本数据的方差，则这组样本数据的总和为60 C．若随机变量服从二项分布，则 D．若随机变量服从正态分布，且，则 【答案】BCD 【解析】选项A，样本共个数据，，为整数，第百分位数为第项和第项数据的平均值，即，A错误 选项B，方差，因为， 故样本均值,样本总和，B正确 选项C，若，则，根据期望性质， 得，C正确 选项D，正态分布的对称轴为，由对称性得， 则，D正确 故选：BCD. 10．设，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】令，得，故A正确； 的展开式中，， ，， ，故B正确； 令，得，令，得， ， 又， ，故C错误，D正确． 故选：ABD. 11.椭圆的左、右焦点为，，P为上的动点，下列说法正确的是（    ） A．的周长为12 B．存在点，使 C．的最大值为12 D．到的距离的最大值为4 【答案】ACD 【分析】由椭圆方程得出基本参数，，，进而得到焦点及相关线段长，判断周长，分析最大值情况判断B选项，分析取值及相关距离情况判断C、D选项. 【解析】因为椭圆，得，，， 所以焦点，，满足， 所以， 在A选项中，的周长为，A正确， 在B选项中，在短轴端点时最大， 此时，为等边三角形， 最大角为，不存在满足条件的，B错误， 在C选项中，设，， 代入椭圆，得， 又，最大值为，代入得最大值为，C正确， 在D选项中，过作直线的垂线，垂足记为， 当与不重合时，为直角三角形，， 当与重合时，到距离等于，D正确. 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知关于的方程的两根在复平面上对应的点分别为和，若是等边三角形，则__________. 【答案】 【分析】由题可知，方程的两根应为虚根，可设方程的两复根为，， 根据条件可得边长之间关系式，进而得解. 【解析】根据题意设方程的两虚根为，，为实数， 方程的两根在复平面上对应的点分别为和，轴， 又是等边三角形，高为2，则， 解得，则； 则. 故答案为：． 13.已知正方形ABCD边长为2，E为线段CD的中点，若AF⊥BE于F，则_______. 【答案】 【分析】设，以为基底表示，根据得出值即可求出. 【解析】设， 因为E为线段CD的中点，所以， 则，， 因为AF⊥BE，所以 ， 得或（舍），则， 故. 故答案为：. 14. 已知数列的前n项和为，若，，则满足的的最小值为________. 【答案】48 【分析】对递推公式取倒数，结合等差数列的定义求出通项公式，进而求出的表达式，接着根据不等式放缩得，最后结合题意求解最小值即可. 【解析】由题，两边取倒数得， 所以，即数列是首项为，公差为2的等差数列， 所以，， 所以， 因为， 另一方面，， 所以， 所以， 因为当时，当时， 所以，满足条件的k的最小值为48. 故答案为：48. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分）已知函数的部分图象如图所示． (1)（7分）求的解析式，并写出的单调递减区间； (2)（6分）若，且，求的值． 【答案】(1)，． (2) 【解析】（1）由图象可知，∴， 又∵，∴， （3分） 代入可知，即， 又因为，所以， （5分） 可知当时，单调递减， 所以的单调递减区间为． （7分） （2），又∵， （9分） 所以由二倍角公式可得：，解得，（11分） 又∵，∴， 所以． （13分） 【扣分说明】 1.若解析式中ω或φ计算错误，后续步骤按错误结果计算且方法正确，扣该步骤的分，不重复扣分。 2.单调区间未写k∈Z，扣 0.5 分。 3.第二问若未判断角的范围直接取正余弦值，扣 1 分。 16．（15分）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成，，，，这五组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)（7分）估计样本成绩的平均数及方差；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表） (2)（8分）已知落在内的平均成绩是80分，方差是4分，落在内的平均成绩是88分，方差是6分，求两组成绩合并后的平均数和方差. 附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为m，，；n，，，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差. 【答案】(1)平均数100，方差104 (2)， 【解析】（1）由频率分布直方图得， 平均数， （3分） 方差 . （7分） （2）第一组的样本容量，， （9分） 第二组的样本容量，， （11分） 所以合并后的平均数， （13分） 则. （15分） 【扣分说明】 1.频率计算错误，每错 1 个扣 0.4 分，扣完为止。 2.平均数 / 方差公式写错，即使结果正确也扣对应步骤的公式分。 3.合并方差未使用题目给定公式，直接按定义计算且结果正确，不扣分；结果错误扣对应步骤分. 17．（15分）如图所示，在长方体中，，，，点在棱上，点在棱上，且. (1)（5分）证明：； (2)（5分）求直线与平面所成角的余弦值； (3)（5分）在棱上是否存在点，使得到平面的距离与到平面的距离相等？若存在，求出的长；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在符合题意的点， 【解析】（1）证明：连接交于点，， ，故为菱形， （1分） 故，由长方体得平面， 由平面，知； （3分） 由，平面，平面， 知平面，由平面，知. （5分） （2）如图所示，连接，由（1）知，平面， 又由平面，平面平面，交线为， 故点在平面的投影必在直线上， 故直线与平面所成角即为， （7分） 在中，， （8分） ，， 故由余弦定理得，（9分） 即直线与平面所成角的余弦值为； （10分） （3）假设存在点满足条件，记到平面的距离到平面的距离， 则，由（1）（2）知，（12分） ，故； 则， （13分） 另一方面， 故， 综上所述，存在符合题意的点，. （15分） 18．（17分）已知分别为双曲线的左，右顶点，为双曲线上异于的任意一点，直线，斜率之积为，的焦距为． (1)（6分）求的方程； (2)（11分）过点作直线与双曲线交于，两点（不与重合），记的斜率分别为， 证明：为定值． 【答案】(1)；(2)证明见解析. 【解析】（1）设，，，且，（1分） 则． （3分） 又焦距为，则，， 双曲线的标准方程为：． （6分） （2）由（1）知，设，． 因为不与重合，所以可设直线． 联立，消得：， （9分） 故，，，， （13分） ，， （15分） 可得， ． （17分） 19.（17分）在蜜蜂群体中,侦察蜂发现食物源后,通过“蜜蜂舞”向同伴(观察蜂)指示食物源的距离(单位：百米)．设食物源距离为随机变量,其概率分布为：,,,．在每次“蜜蜂舞”中,侦察蜂选择摇摆的概率为,选择直线奔跑的概率为,通过3次“蜜蜂舞”叠加传递距离信息,且每次“蜜蜂舞”中侦察蜂选择直线奔跑或摇摆相互独立,即摇摆次数服从二项分布,其中、、． (1)（4分）求食物源距离的方差； (2)（8分）求随机变量的概率分布列及数学期望； (3)（6分）观察蜂需要根据观察到的摆动次数 来判断食物源的距离 ,设判断函数为,,其中,若损失函数为,求的值使得最小． 参考数据：,参考公式：对任意两个随机变量、有． 【答案】(1)； (2)随机变量的分布列为 0 1 2 3 期望为； (3)当时,最小. 【解析】（1）由题意知,食物源距离为随机变量,且, 可得期望,则方差.（4分） （2）由题意知,当时,,则； 当时,,则； 当时,,则,（7分） 随机变量的取值为, 则, 即； ； ； ,（10分） 故随机变量的分布列为 0 1 2 3 所以期望为.（12分） （3）由（1）（2）知,,,, ,故,（14分） 则 由二次函数的性质可知,当时,最小.（17分） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $