精品解析：陕西西安市高新区第三初级中学2025-2026学年下学期阶段大练习八年级数学

阶段大练习 八年级 数学 总分：120分 总时长：120分钟 一．选择题（共8小题，每小题3分） 1. 下列四个方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（ ） A. 3，4 B. 3， C. 3，2 D. 3， 3. 下列说法正确的是（ ） A. 平行四边形的邻边平行且相等 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 菱形的四个内角都是直角 D. 正方形的两条对角线互相垂直平分且相等 4. 若关于的方程有实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 5. 如图，菱形的面积为10，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则四边形的面积为（ ） A. B. 5 C. 4 D. 8 6. 等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A. 或 B. 或 C. D. 7. 如图，在矩形中，、相交于点O，平分交于点E，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，点P是正方形的对角线上一点，于点E，于点F，连接给出下列四个结论：①；②；③；④；其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①④ C. ①②④ D. ①②③④ 二．填空题（共6小题，每小题3分） 9. 已知为一元二次方程的一个根，则代数式的值为________． 10. 如图，在中，，是边上的中线，且，则的长为______． 11. 已知，是关于的一元二次方程的两个根，则________． 12. 如图，在矩形中，，，延长至点E，延长至点F，连接，．若四边形为菱形，则这个菱形的面积为__________． 13. 《中秋帖》是晋朝书法家王献之的作品，如图，在一幅长为，宽为的《中秋帖》矩形书法作品的四周镶上相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，设金色纸边的宽为，如果要使整个挂图的面积是，那么x满足的方程是______. 14. 如图，，是正方形的边的三等分点，是对角线上的动点，当取得最小值时，的值是___________． 三、解答题（共12小题，共78分） 15. 计算： （1） （2） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 如图，直线，线段分别与直线，交于点B，C，且．请用使用尺规作图的方法，在，上分别作出点M，N，使得四边形为菱形．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 如图，在长为，宽为的长方形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上花草，要使花草的面积为，求道路的宽． 19. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若方程的两个根为，且满足，求的值． 20. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE，过点D作DF∥AC交OE的延长线于点F，连接AF． （1）求证：≌； （2）判定四边形AODF的形状并说明理由． 21. 阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程可化为． 解得，． 或． ，． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： （1）； （2）． 22. 某军舰以的速度由西向东航行，一艘电子侦察船以的速度由南向北航行，它能侦察出周围（包括）范围内的目标．如图，当该军舰行至A处时，电子侦察船正位于A处正南方向的B处，且．如果军舰和侦察船仍按原速度沿原方向继续航行，那么航行途中侦察船能否侦察到这艘军舰？如果能，最早何时能侦察到？如果不能，请说明理由． 23. 年月日至日，第届冬奥会在北京和张家口举办，这是中国历史上第一次举办冬奥会，吉祥物“冰墩墩”深受大家喜爱，某超市在今年月份销售“冰墩墩”个，“冰墩墩”十分畅销，、月份销量持续走高，在售价不变的基础上，月份销售量达到了个． （1）求“冰墩墩”、月这两个月销售量的月平均增长率； （2）若“冰墩墩”每个进价元；原售价每个元，该超市在今年月进行降价促销，经调查发现，在月的基础上，若“冰墩墩”每个降价元，销售量可增加个，求出当每个售价为多少元时，出售“冰墩墩”在月份利润可达到元？ 24. 【阅读材料】 材料1：一元二次方程的两个根有如下的关系： 材料2：有些数学问题看似与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决． 下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数满足，且，则可将看作是方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用根与系数的关系逆向构造．例如，如果实数满足，则可以将看作是方程的两实数根． 根据上述材料解决下面问题： （1）已知一元二次方程的两根，则___________，___________； （2）已知实数满足，且，求的值； （3）已知实数满足，且，求的最大值． 25. 如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是．连接、、，设点、运动的时间为． （1）当运动秒时，线段_______，_______（用含有的代数式表示）； （2）求当为何值时，四边形是菱形； （3）如图2，在运动过程中，沿着把翻折，求当为何值时，翻折后点的对应点恰好落在上． 26. 在求线段最值问题中，我们常通过寻找（或构造）待求线段的“关联三角形”来解决问题：“关联三角形”中除待求线段外的两条线段的长度是已知（或可求的），再利用三角形三边关系定理求解，线段取得最值时“关联三角形不复存在（即三顶点共线）． 例：如图1，，矩形的顶点，分别在边，上，当在边上运动时，随之在边上运动，矩形的形状保持不变，其中，，运动过程中，点到点的最大距离是多少？ 分析：如图1，取的中点，连接，，则中，为待求线段，，的长是可求的，即为待求线段的“关联三角形”，在中利用三角形三边关系定理可以得到的不等式，当点，，三点共线时（如图2），“关联三角形”不存在，此时可得到的最值． （1）根据上面的分析，完成下列填空： 解：如图1，取的中点，连接，．在中，，在中，，在中，，即_______，如图2，当点，，三点共线时，_______，综上所述：，即点到点的最大距离是________． （2）如图3，点在第一象限，是边长为2的等边三角形，当点在轴的正半轴上运动时，点随之在轴的正半轴上运动，运动过程中，点到原点的最大距离是___________． （3）如图4，老李家有一正方形花园，他想对其进行设计改造，种植对称的植物，使得整个花园呈现出一种平衡和谐的感觉．在正方形中，米，边上有两个点、，使得，连接、．在与区域种植花卉，是花园内一条小路，与交汇于点，在点处设计一个凉亭．连接，交于点，在处设计一口水井．老李想在与之间铺设一条笔直的水管，为了节约成本，要求的长度尽可能的小，问的长度是否存在最小值？若存在，请求出长度的最小值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 阶段大练习 八年级 数学 总分：120分 总时长：120分钟 一．选择题（共8小题，每小题3分） 1. 下列四个方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 根据一元二次方程的定义分别分析即可得出答案． 【详解】解：A、是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意； C、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：B． 2. 一元二次方程化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（ ） A. 3，4 B. 3， C. 3，2 D. 3， 【答案】B 【解析】 【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再找出二次项系数和一次项系数即可． 【详解】解：， ， 所以二次项系数和一次项系数分别是3，， 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解题关键． 3. 下列说法正确的是（ ） A. 平行四边形的邻边平行且相等 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 菱形的四个内角都是直角 D. 正方形的两条对角线互相垂直平分且相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查（特殊）平行四边形的性质，根据相关四边形的性质，进行判断即可． 【详解】解：A、平行四边形的对边平行且相等，原说法错误，不符合题意； B、矩形的对角线互相平分且相等，原说法错误，不符合题意； C、矩形的四个内角都是直角，原说法错误，不符合题意； D、正方形的两条对角线互相垂直平分且相等，原说法正确，符合题意； 故选D． 4. 若关于的方程有实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了根的判别式，对k是否为零进行分类讨论及熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．需要讨论方程是否为二次方程，当时，方程变为一次方程，有实根；当时，利用判别式求范围． 【详解】解：∵ 方程有实数根， 当时，方程为， 解得，有实根； 当时，方程为一元二次方程，判别式， ∴ ，即； 综上，． 故选：A． 5. 如图，菱形的面积为10，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则四边形的面积为（ ） A. B. 5 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是中点四边形，根据三角形中位线定理得，，证明四边形是矩形，进而得菱形的面积．四边形面积是故可得结论． 【详解】解：连接交于O， ∵四边形是菱形， ∴， ∵点E、F、G、H分别是边和的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴菱形的面积， ∴， ∴， ∴四边形的面积为5， 故选：B． 6. 等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得，，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为，腰长为，进而即可求出三角形的周长，掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：由方程得，，， ∵， ∴等腰三角形的底边长为，腰长为， ∴这个三角形的周长为， 故选：． 7. 如图，在矩形中，、相交于点O，平分交于点E，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的性质及平分分别判定及为等边三角形，进一步推出，然后求得，则可在中求得的度数． 【详解】解：在矩形中，平分， ，，， ， ． ，， ， 又， 为等边三角形， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质、等边三角形和等腰三角形的判定、性质及三角形的内角和等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 8. 如图，点P是正方形的对角线上一点，于点E，于点F，连接给出下列四个结论：①；②；③；④；其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①④ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】由题意易证四边形为矩形，得出，．又易证为等腰直角三角形，得出，再结合勾股定理即得出，可确定④正确；根据正方形为轴对称图形，对角线也为对称轴，即得出，从而得出，可确定①正确；由题意易证，得出，可确定②正确；根据，结合对顶角相等可求出，即得出，可判断③正确． 【详解】解：如图，延长交于点G，延长交于点H， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴，． ∵， ∴， ∴． 在中，， ∴，故④正确； ∵四边形为正方形，即为轴对称图形， ∴， ∴，故①正确； ∵为正方形对角线，，， ∴． ∵，， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，即，故③正确． 综上可知正确的为①②③④． 故选D． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，轴对称图形的性质，角平分线的性质定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键． 二．填空题（共6小题，每小题3分） 9. 已知为一元二次方程的一个根，则代数式的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根的定义，将代入方程得到，将所求代数式提取公因式变形后，整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：为一元二次方程的一个根， ， ， ． 10. 如图，在中，，是边上的中线，且，则的长为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，掌握直角三角形的性质是解题的关键，根据直角三角形的性质可知，再根据已知条件即可解答． 【详解】解：∵在中，， ∴是直角三角形， ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的长为， 故答案为：． 11. 已知，是关于的一元二次方程的两个根，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系以及代数式求值，先求出根与系数的关系，将代数式变形后代入计算即可． 【详解】解：，是关于的一元二次方程的两个根， ， ， 故答案为：． 12. 如图，在矩形中，，，延长至点E，延长至点F，连接，．若四边形为菱形，则这个菱形的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设，在中，运用勾股定理，建立关于x的方程，解方程求得x的值，从而得到的长，最后运用菱形面积底高，求出菱形的面积． 【详解】解：设， ∵，， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∵矩形， ∴， ∴． 在中， ∵，，，， ∴，即， 化简得：， 解得：， ∴． ∵，，四边形为菱形， ∴， ∴菱形的面积为：． 13. 《中秋帖》是晋朝书法家王献之的作品，如图，在一幅长为，宽为的《中秋帖》矩形书法作品的四周镶上相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，设金色纸边的宽为，如果要使整个挂图的面积是，那么x满足的方程是______. 【答案】 【解析】 【分析】设金色纸边的宽度为，则挂图的长为，宽就为，根据整个挂图的面积是列出方程即可，读懂题意，数形结合是正确列方程的关键． 【详解】解：设金色纸边的宽为，则挂图的长为，宽就为， 根据题意得：， 故答案为：． 14. 如图，，是正方形的边的三等分点，是对角线上的动点，当取得最小值时，的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】作点F关于的对称点，连接交于点，此时取得最小值，过点作的垂线段，交于点K，根据题意可知点落在上，设正方形的边长为，求得的边长，证明，可得，即可解答． 【详解】解：作点F关于的对称点，连接交于点，过点作的垂线段，交于点K， 由题意得：此时落在上，且根据对称的性质，当P点与重合时取得最小值， 设正方形的边长为a，则， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当取得最小值时，的值是为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了四边形的最值问题，轴对称的性质，相似三角形的证明与性质，正方形的性质，正确画出辅助线是解题的关键． 三、解答题（共12小题，共78分） 15. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据多项式乘以单项式法则计算即可； （2）先分别求出两个不等式的解集，进而得出不等式组的解集． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：， 解不等式①，得； 解不等式②，得， 所以不等式组的解集是． 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【分析】（1）先提出公因式得出两个因式相乘等于0的形式，再解答即可； （2）根据公式法求解即可． 【小问1详解】 解：， 因式分解，得， ∴或， 得； 【小问2详解】 解：， 由，得， ∴， 解得． 17. 如图，直线，线段分别与直线，交于点B，C，且．请用使用尺规作图的方法，在，上分别作出点M，N，使得四边形为菱形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】 【分析】作的垂直平分线分别交，于M、N，然后顺次相连得到四边形即为所求． 【详解】解：如图：四边形即为所求． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定、垂直平分线的性质等知识点，掌握垂直平分线的做法是解答本题的关键． 18. 如图，在长为，宽为的长方形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上花草，要使花草的面积为，求道路的宽． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质、一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设道路的宽为，根据道路的面积等于长方形地面的面积减去花草的面积建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设道路的宽为， 由题意得：， 整理得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：道路的宽为． 19. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若方程的两个根为，且满足，求的值． 【答案】（1）且 （2）的值是1 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系和一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键． （1）根据判别式可得根据一元二次方程的定义可得，据此求解即可； （2）由根与系数的关系可得，则可得到方程解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：原方程有两个不相等的实数根， 整理得， ， ， 且； 【小问2详解】 解：由题意得，， ， 经检验，是方程的解，且符合题意， 故的值是1． 20. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE，过点D作DF∥AC交OE的延长线于点F，连接AF． （1）求证：≌； （2）判定四边形AODF的形状并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵E是AD的中点， ∴AE=DE， ∵DF∥AC， ∴∠OAD=∠ADF， ∵∠AEO=∠DEF， ∴△AOE≌△DFE（ASA）； （2） 解：四边形AODF为矩形． 理由：∵△AOE≌△DFE， ∴AO=DF， ∵DF∥AC， ∴四边形AODF为平行四边形， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD， 即∠AOD=90°， ∴平行四边形AODF为矩形． 【解析】 【分析】（1）利用全等三角形的判定定理即可； （2）先证明四边形AODF为平行四边形，再结合∠AOD=90°，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及矩形的判定是解题的关键． 21. 阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程可化为． 解得，． 或． ，． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）把看做一个整体，设，则原方程可化为， ． （2）把看做整体，设，则原方程可化为，解得，． 【小问1详解】 解： 把看做一个整体，设 则原方程可化为 解得， ∴或者 ∴， 【小问2详解】 解： 把看做整体，设 则原方程可化为 解得， ∴， 【点睛】本题考查了换元法解二元一次方程的方法，熟练运用换元法将次是解题的关键． 22. 某军舰以的速度由西向东航行，一艘电子侦察船以的速度由南向北航行，它能侦察出周围（包括）范围内的目标．如图，当该军舰行至A处时，电子侦察船正位于A处正南方向的B处，且．如果军舰和侦察船仍按原速度沿原方向继续航行，那么航行途中侦察船能否侦察到这艘军舰？如果能，最早何时能侦察到？如果不能，请说明理由． 【答案】最早再过2小时能侦察到． 【解析】 【分析】设侦察船由B出发到侦察到这艘军舰经过的时间是x小时，由题中信息可以知道军船和侦察船的行使方向互相垂直，所以军船和侦察船的距离和时间的关系式是：s2＝（90−30x）2＋（20x）2，s≤50时侦察船可侦察到这艘军舰，所以可以将s＝50代入关系式：s2＝（90−30x）2＋（20x）2求时间x． 【详解】解：能．设侦察船最早由B出发经过x小时侦察到军舰， 则， 两边平方得：（90−30x）2＋（20x）2≤502， 整理得13x2−54x＋56≤0， 即（13x−28）（x−2）≤0， ∴， 即当经过2小时至小时时，侦察船能侦察到这艘军舰． ∴最早再过2小时能侦察到． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是能找出军船和侦察船的距离关系，利用勾股定理正确列出一元二次方程． 23. 年月日至日，第届冬奥会在北京和张家口举办，这是中国历史上第一次举办冬奥会，吉祥物“冰墩墩”深受大家喜爱，某超市在今年月份销售“冰墩墩”个，“冰墩墩”十分畅销，、月份销量持续走高，在售价不变的基础上，月份销售量达到了个． （1）求“冰墩墩”、月这两个月销售量的月平均增长率； （2）若“冰墩墩”每个进价元；原售价每个元，该超市在今年月进行降价促销，经调查发现，在月的基础上，若“冰墩墩”每个降价元，销售量可增加个，求出当每个售价为多少元时，出售“冰墩墩”在月份利润可达到元？ 【答案】（1）平均增长率为 （2）当每个“冰墩墩”售价为元，出售“冰墩墩”在月份可获利元． 【解析】 【分析】（1）由月份的销售量月份的销售量月平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可； （2）设“冰墩墩”每个降价元，则每个“冰墩墩”的销售利润为元，月销售量为个，利用总利润每包的销售利润月销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可． 【小问1详解】 解：设“冰墩墩”、这两个月销售量的月平均增长率为， 则：， ， ， ∴（舍），， 答：“冰墩墩”、这两个月销售量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设当“冰墩墩”每个降价元，则：， 整理得：， 解得：（舍），， ， 答：当每个“冰墩墩”售价为元，出售“冰墩墩”在月份可获利元． 24. 【阅读材料】 材料1：一元二次方程的两个根有如下的关系： 材料2：有些数学问题看似与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决． 下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数满足，且，则可将看作是方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用根与系数的关系逆向构造．例如，如果实数满足，则可以将看作是方程的两实数根． 根据上述材料解决下面问题： （1）已知一元二次方程的两根，则___________，___________； （2）已知实数满足，且，求的值； （3）已知实数满足，且，求的最大值． 【答案】（1）2， （2） （3）1 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，也考查了判别式的意义，熟练掌握相应知识是解题的关键． （1）根据一元二次方程的根与系数的关系即可得结论； （2）可以看作是方程的两根，利用根与系数的关系即可求解； （3）将看作是方程的两实数根，利用判别式的意义即可求解． 【小问1详解】 解：由一元二次方程的根与系数的关系可得，，． 故答案为：2，． 【小问2详解】 解：∵，实数满足，， ∴可看作方程的两根， ∴， ∴原式 ∴原式的值为． 【小问3详解】 解：∵， ∴将看作是方程的两实数根； ∴，且， ∴， ∴， 解得， ∴的最大值为1． 25. 如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是．连接、、，设点、运动的时间为． （1）当运动秒时，线段_______，_______（用含有的代数式表示）； （2）求当为何值时，四边形是菱形； （3）如图2，在运动过程中，沿着把翻折，求当为何值时，翻折后点的对应点恰好落在上． 【答案】（1）， （2） （3）1或3 【解析】 【分析】（1）由题意得：，， （2）先证明四边形是平行四边形，当时，四边形是菱形，利用勾股定理表示出，利用列出关于的方程，即可求解； （3）由折叠的性质可得，，，，由可得，进而得到，在中利用勾股定理列出方程，求出的值即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得，，； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形， 根据勾股定理得：， 则， 解得， ∴当时，四边形是菱形； 【小问3详解】 解：由折叠的性质可得，，，，， 在矩形中，， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 整理得：， 解得，， 即当等于1或3时，翻折后点的对应点恰好落在上． 26. 在求线段最值问题中，我们常通过寻找（或构造）待求线段的“关联三角形”来解决问题：“关联三角形”中除待求线段外的两条线段的长度是已知（或可求的），再利用三角形三边关系定理求解，线段取得最值时“关联三角形不复存在（即三顶点共线）． 例：如图1，，矩形的顶点，分别在边，上，当在边上运动时，随之在边上运动，矩形的形状保持不变，其中，，运动过程中，点到点的最大距离是多少？ 分析：如图1，取的中点，连接，，则中，为待求线段，，的长是可求的，即为待求线段的“关联三角形”，在中利用三角形三边关系定理可以得到的不等式，当点，，三点共线时（如图2），“关联三角形”不存在，此时可得到的最值． （1）根据上面的分析，完成下列填空： 解：如图1，取的中点，连接，．在中，，在中，，在中，，即_______，如图2，当点，，三点共线时，_______，综上所述：，即点到点的最大距离是________． （2）如图3，点在第一象限，是边长为2的等边三角形，当点在轴的正半轴上运动时，点随之在轴的正半轴上运动，运动过程中，点到原点的最大距离是___________． （3）如图4，老李家有一正方形花园，他想对其进行设计改造，种植对称的植物，使得整个花园呈现出一种平衡和谐的感觉．在正方形中，米，边上有两个点、，使得，连接、．在与区域种植花卉，是花园内一条小路，与交汇于点，在点处设计一个凉亭．连接，交于点，在处设计一口水井．老李想在与之间铺设一条笔直的水管，为了节约成本，要求的长度尽可能的小，问的长度是否存在最小值？若存在，请求出长度的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），， （2） （3）存在，长度的最小值为米． 【解析】 【分析】（1）根据题意及三角形的三边关系即可得到答案； （2）取中点Q，连接，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”推导的长，根据等边三角形的性质及勾股定理计算的长，然后根据三角形的三边关系可知，当O、Q、P三点共线时，求的长，此时即点P到原点的最大距离； （3）取中点O，连接，根据正方形的性质利用“边角边”证明、，借助全等三角形的性质推导出，然后求出，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”推导的长；利用勾股定理求出的长，然后根据三角形的三边关系可知，当O、D、H三点共线时，的长度最小，并计算的长即可． 【小问1详解】 解：取的中点E，连接． 在中，， 在中，， 在中，，即， 如图2，当点O，E，D三点共线时，， 综上所述：，即点D到点O的最大距离是； 【小问2详解】 解：如下图，取中点Q，连接， ∵，Q为中点， ∴， ∵为等边三角形，Q为中点， ∴，， ∴， 在中，，即 当点O，Q，P三点共线时，， 综上所述：，即点P到原点的最大距离是； 【小问3详解】 解：存在，长度的最小值为米， 如下图，取中点O，连接， ∵四边形为正方形，米， ∴，，， 在和中，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵O为中点， ∴（米）， 在中，（米）， 根据三角形的三边关系，， ∴当O、D、H三点共线时，的长度最小， ∴的最小值为：米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $