2026年山东菏泽市中考数学最后一卷

**基本信息** 2026年菏泽中考数学模拟卷，覆盖代数、几何、统计核心知识，以遮阳篷计算（实际情境）、正方形动点（动态探究）和安全教育日统计（数据分析）为载体，梯度设计合理，适配中考预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|无理数、对称图形、科学记数法、三视图等|基础巩固，注重概念辨析与几何直观| |填空题|5/15|因式分解、圆锥侧面积、函数与几何综合|能力提升，强化空间观念与符号意识| |解答题|8/75|实数运算、尺规作图、统计分析、圆证明、二次函数综合等|创新应用，如22题正方形动点（推理能力）、23题二次函数旋转（模型观念），贴合中考命题趋势|

2026年山东省菏泽市中考数学最后一卷 （总分：120分 时间：120分钟） 1、 选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．） 1. 下列各数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】解：选项A：是整数，故是有理数，不符合题意； 选项B：是整数，故是有理数，不符合题意； 选项C：是无理数，故选项C符合题意； 选项D：是分数，故是有理数，不符合题意； 2. 下列美术字中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】解：选项是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； 选项B是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； 选项是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； 选项是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； 3. 某种计算机完成一次基本运算的时间约为0.0000000015秒，数字0.0000000015用科学记数法表示为（　　） A. 1.5×10﹣7 B. 1.5×10﹣8 C. 1.5×10﹣9 D. 1.5×10﹣10 【答案】C 【详解】 4. 如图，中，，的平分线交BC于点D．，交AC于点E，于点F，，，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】解：如图， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 所以选项C正确，故C不符合题意； ∴， ∴， 所以选项A正确，故A不符合题意； 中， ， 所以D选项正确，故D不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 所以选项B不正确，故B符合题意． 5. 如图是由长方体和圆柱组成的几何体，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】解：这个立体图形的俯视图是一个圆形，圆形内部中间是一个长方形． 6. 关于x，y的方程组的解中，x与y的和不大于3，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】解：， ①－②，， ∵x与y的和不大于3， ∴， 解得， 7. 求一组数据方差的算式为：．由算式提供的信息，下列说法错误的是（ ） A. 的值是5 B. 该组数据的平均数是7 C. 该组数据的众数是6 D. 若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小 【答案】C 【详解】解：选项A、算式中平方差项数为5，对应数据个数，正确． 选项B、平均数，正确． 选项C、数据中6和8均出现2次，次数最多，故众数为6和8，而非仅6，错误． 选项D、加入两个7后，数据更集中，方差由减小为，正确． 综上，错误的说法是C． 8. 如图，菱形的顶点在轴正半轴上，，反比例函数的图象过点和菱形的对称中心，则的值为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】D 【详解】解：∵菱形的顶点在轴正半轴上，， ∴，， ∴， 设， ∴， ∴， 解得：， 过作于， ∴， ∴， ∴， ∴； 9. 如图，在菱形中，点分别是边的中点，连接．若菱形的面积为8，则的面积为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【详解】解：如图，连接，相交于点，交于点， 四边形是菱形，且它的面积为8， ， 点分别是边的中点， ， ，， ， ， ， 则的面积为， 10. 如图，二次函数的图象与轴交于，，其中．结合图象给出下列结论： ①； ②； ③当时，随的增大而减小； ④关于的一元二次方程的另一个根是； ⑤的取值范围为．其中正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】解：由图可得：，对称轴， ， ，①错误； 由图得，图象经过点，将代入可得， ，②正确； 该函数图象与轴的另一个交点为，且， 对称轴， 该图象中，当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大， 当时，随着的增大而减小， ③正确； ，， 关于的一元二次方程的根为， ， ，， ④正确； ，即， 解得， 即， ， ， ⑤正确． 综上，②③④⑤正确，共个． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内．） 11. 因式分解：________． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 12. 一个圆锥的主视图为边长等于的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为_________． 【答案】 【详解】解：根据题意得圆锥的母线长为，底面圆的直径为， ∴底面圆的周长， ∴这个圆锥的侧面积， 故答案为： 13. 如图，四边形是边长为1的正方形，顶点A在x轴的负半轴上，顶点C在y轴的正半轴上，若直线与边有公共点，则k的取值范围是____________． 【答案】 【详解】解：由题意可得：点，点， 把点A代入解析式可得：， 解得：， 把点B代入解析式可得：， 解得：， 所以k的取值范围为：， 故答案为： 14. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=10cm，点D为△ABC内一点，∠BAD=15°，AD=6cm，连接BD，将△ABD绕点A逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为________cm. 【答案】 【详解】过点A作AH⊥DE，垂足为H， ∵∠BAC=90°，AB=AC，将△ABD绕点A逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点E， ∴AE=AD=6，∠CAE=∠BAD=15°，∠DAE=∠BAC=90°， ∴DE=，∠HAE=∠DAE=45°， ∴AH=DE=3，∠HAF=∠HAE-∠CAE=30°， ∴AF=， ∴CF=AC-AF=， 故答案为：. 15. 如图，等边的边长为4，的半径为2，P为上动点，过点P作的切线，切点为Q，则的最小值为________________． 【答案】 【详解】解：连接、， ∵的切线，切点为Q， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时，最小即取最小值， ∵是等边三角形， ∴当时，最小，此时， ∵， ∴， ∴， ∴此时， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，16-18，每题8分，19题9分, 20-21，每题10分，22-23题11分，共75分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内．） 16.（8分）（1）计算： （2）解方程：． 【答案】（1） （2） 【详解】（1）解： ． （2）解：． 方程两边同乘以，得 解这个方程，得 经检验时分母不为0， 故是原方程的根． 17.（8分）如图，是矩形的对角线，请按以下要求解决问题： （1）利用尺规作，使与关于直线成轴对称（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若交于点，，，求的长． 【答案】（1）作图见解析 （2） 【小问1详解】 解：如图，即为所求作的三角形； 由作图可得：，，， ∴， ∴即为所求作的三角形； 【小问2详解】 解：如图，∵矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：； ∴． 18. （8分）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装避阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为米，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（结果精确到米；参考数据：） 【答案】米 【详解】解：如图所示，过点作于点，于点，则四边形是矩形， 依题意， ，（米） 在中，（米），（米），则（米） ∵（米） ∴（米） ∵， ∴（米） ∴（米）． 19. （9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，且点的横坐标为1，过点作轴，于点，点是直线上一点，且． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）根据图象，请直接写出不等式的解集． 【答案】（1）， （2）或 【小问1详解】 解：∵，且点的横坐标为1， ∴，且， ， 在中， ， ， 点A的坐标为，且点A在反比例函数的图象上， ，解得， 反比例函数的解析式为：， 当时，，解得， ∴点B的坐标为， 将和代入一次函数得， ，解得， ∴一次函数的解析式为：． 【小问2详解】 由题意得， ，即，即， 只需反比例函数图象在一次函数图象上方即可， 由图可得当或时，， ∴不等式的解集为：或． 20. （10分）2026年3月25日是第31个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某校开展了校园安全知识竞赛（百分制），八年级学生参加了本次活动．为了解该年级的答题情况，该校随机抽取了八年级部分学生的竞赛成绩（成绩用x表示，单位：分） 并对数据（成绩）进行统计整理．数据分为五组： A：；B：；C：；D：；E：． 下面给出了部分信息： a：C组的数据： 70，71，71，72，72，72，74，74，75，76，76，76，78，78，79，79． b：不完整的学生竞赛成绩频数直方图和扇形统计图如下： 请根据以上信息完成下列问题： （1）求随机抽取八年级学生人数； （2）扇形统计图中B组对应扇形的圆心角为______度； （3）请补全频数直方图； （4）抽取的八年级学生竞赛成绩的中位数是______分； （5）该校八年级共900人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八年级参加此次竞赛活动成绩达到80分及以上的学生人数． 【答案】（1）60人 （2）90 （3）图见解析 （4）77 （5）390人 【小问1详解】 解：（人）； 【小问2详解】 ； 故答案为：90； 【小问3详解】 D组人数为：；补全直方图如图： 【小问4详解】 将数据排序后第30个和第31个数据分别为76，78， ∴中位数为：； 【小问5详解】 （人）． 21.（10分） 如图，内接于，为的直径，于点D，将沿所在的直线翻折，得到，点D的对应点为E，延长交的延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【小问1详解】 证明：连接， ∵， ∴， ∵沿直线翻折得到， ∴，， ∵是的半径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴于点C， 又∵为的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 22.（11分）问题：如图1，点为正方形内一个动点，过点作，，矩形的面积是矩形面积的2倍，探索的度数随点运动的变化情况． 【从特例开始】 （1）小玲利用正方形网格画出了一个符合条件的特殊图形（如图2），请你仅用无刻度的直尺连接一条线段，由此可得此图形中______； （2）小亮也画出了一个符合条件的特殊图形（如图3），其中，，，求此图形中的度数； 【一般化探索】 （3）利用图1，探索上述问题中的度数随点运动的变化情况，并说明理由． 【答案】（1）作图见解析，45； （2）； （3）随点的运动，的度数不变，且为 【详解】解：（1）如图，即为所求： 连接与格线的交点记为， 由网格可得，， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴为格点，同理为格点， ∵，，， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴； 故答案为：45； （2）延长至点，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， 同理可得四边形为矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即； （3）随点的运动，的度数不变，且为，理由如下： 延长至点，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴，，， ∴， 同（2）可得四边形是矩形，四边形为矩形， 设正方形的边长为，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得， ∵在中，， ∴ ， ∴（舍负）， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 23.（11分）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，，D是直线上方抛物线上一动点，作交于点E，垂足为点F，连接． （1）求抛物线的表达式； （2）设点D的横坐标为， ①用含有的代数式表示线段的长度； ②是否存在点D，使是等腰三角形?若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由； （3）连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 【答案】（1） （2）①；②存在，或或 （3） 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，， ∴， ∴ 解得：， ∴抛物线表达式为； 【小问2详解】 解：①对于抛物线表达式， 当， ∴， 设直线表达式为：， 则， 解得：， ∴直线：， ∵， ∴，， ∴， ∴； ②存在， ，而 当时，， 解得：或（舍）， ， ∴； 当时， 整理得：， 解得：或（舍）， ， ∴； 当时， 整理得：， 解得：或（舍）或（舍）， ， ∴， 综上：是等腰三角形时，或或； 【小问3详解】 解：在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接， 由旋转得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在线段上运动（不包括端点）， ∴当时，最小， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当时， ∴， ∴， ∴线段长度的最小值． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年山东省菏泽市中考数学最后一卷 （总分：120分 时间：120分钟） 1、 选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．） 1. 下列各数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列美术字中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 某种计算机完成一次基本运算的时间约为0.0000000015秒，数字0.0000000015用科学记数法表示为（　　） A. 1.5×10﹣7 B. 1.5×10﹣8 C. 1.5×10﹣9 D. 1.5×10﹣10 4. 如图，中，，的平分线交BC于点D．，交AC于点E，于点F，，，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是由长方体和圆柱组成的几何体，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 6. 关于x，y的方程组的解中，x与y的和不大于3，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 求一组数据方差的算式为：．由算式提供的信息，下列说法错误的是（ ） A. 的值是5 B. 该组数据的平均数是7 C. 该组数据的众数是6 D. 若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小 8. 如图，菱形的顶点在轴正半轴上，，反比例函数的图象过点和菱形的对称中心，则的值为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 9. 如图，在菱形中，点分别是边的中点，连接．若菱形的面积为8，则的面积为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10. 如图，二次函数的图象与轴交于，，其中．结合图象给出下列结论： ①； ②； ③当时，随的增大而减小； ④关于的一元二次方程的另一个根是； ⑤的取值范围为．其中正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内．） 11. 因式分解：________． 12. 一个圆锥的主视图为边长等于的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为_________． 13. 如图，四边形是边长为1的正方形，顶点A在x轴的负半轴上，顶点C在y轴的正半轴上，若直线与边有公共点，则k的取值范围是____________． 14. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=10cm，点D为△ABC内一点，∠BAD=15°，AD=6cm，连接BD，将△ABD绕点A逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为________cm. 15. 如图，等边的边长为4，的半径为2，P为上动点，过点P作的切线，切点为Q，则的最小值为________________． 三、解答题（本题共8小题，16-18，每题8分，19题9分, 20-21，每题10分，22-23题11分，共75分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内．） 16.（8分）（1）计算： （2）解方程：． 17.（8分）如图，是矩形的对角线，请按以下要求解决问题： （1）利用尺规作，使与关于直线成轴对称（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若交于点，，，求的长． 18. （8分）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装避阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为米，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（结果精确到米；参考数据：） 19. （9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，且点的横坐标为1，过点作轴，于点，点是直线上一点，且． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）根据图象，请直接写出不等式的解集． 20. （10分）2026年3月25日是第31个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某校开展了校园安全知识竞赛（百分制），八年级学生参加了本次活动．为了解该年级的答题情况，该校随机抽取了八年级部分学生的竞赛成绩（成绩用x表示，单位：分） 并对数据（成绩）进行统计整理．数据分为五组： A：；B：；C：；D：；E：． 下面给出了部分信息： a：C组的数据： 70，71，71，72，72，72，74，74，75，76，76，76，78，78，79，79． b：不完整的学生竞赛成绩频数直方图和扇形统计图如下： 请根据以上信息完成下列问题： （1）求随机抽取八年级学生人数； （2）扇形统计图中B组对应扇形的圆心角为______度； （3）请补全频数直方图； （4）抽取的八年级学生竞赛成绩的中位数是______分； （5）该校八年级共900人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八年级参加此次竞赛活动成绩达到80分及以上的学生人数． 21.（10分） 如图，内接于，为的直径，于点D，将沿所在的直线翻折，得到，点D的对应点为E，延长交的延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 22.（11分）问题：如图1，点为正方形内一个动点，过点作，，矩形的面积是矩形面积的2倍，探索的度数随点运动的变化情况． 【从特例开始】 （1）小玲利用正方形网格画出了一个符合条件的特殊图形（如图2），请你仅用无刻度的直尺连接一条线段，由此可得此图形中______； （2）小亮也画出了一个符合条件的特殊图形（如图3），其中，，，求此图形中的度数； 【一般化探索】 （3）利用图1，探索上述问题中的度数随点运动的变化情况，并说明理由． 23.（11分）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，，D是直线上方抛物线上一动点，作交于点E，垂足为点F，连接． （1）求抛物线的表达式； （2）设点D的横坐标为， ①用含有的代数式表示线段的长度； ②是否存在点D，使是等腰三角形?若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由； （3）连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $