精品解析：2026年湖南长沙市明德集团部分学校二模数学试题

初三中考课堂全真练习 数学 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．） 1. 下列实数中是无理数的是（ ） A. 0 B. C. 2026 D. 【答案】D 【解析】 【详解】，，都是整数，属于有理数，是开方开不尽的数，为无限不循环小数， ∴是无理数． 2. 如图，它是1988年出土的新石器时代的仰韶文化几何纹彩陶钵，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据主视图的定义，从物体的正面观察，确定看到的平面图形，再与选项进行比对． 【详解】解：由图可得仰韶文化几何纹彩陶钵，它的主视图是，与选项A 所示图形一致． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用合并同项类，负整数指数幂的运算法则，积的乘方的法则，单项式除以单项式的法则对各选项进行运算即可． 【详解】解：、和不是同类项，不能合并，故不符合题意； 、，故不符合题意； 、，故不符合题意； 、，故符合题意． 故选：． 【点睛】本题主要考查合并同类项，积的乘方，负整数指数幂，单项式除以单项式，解答的关键是对合并同类项的法则，积的乘方的法则，负整数指数幂的法则，单项式除以单项式的法则的掌握与运用． 4. “费尔兹奖”是数学领域的国际最高奖项之一，被誉为“数学界的诺贝尔奖”，每四年颁发一次．截止到2022年“费尔兹奖”得主中最年轻的8位数学家获奖时的年龄分别为29，28，29，31，31，31，29，31，则这组数据的中位数是（ ） A. 28 B. 29 C. 30 D. 31 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数的定义，解题的关键是熟练掌握中位数的定义． 利用中位数的定义进行求解即可． 【详解】解：把数据从小到大排列，中位数是第4位和第5位的平均数为． 故选：C． 5. 在我们的生活中，不等关系随处可见．小明与妈妈今年分别是x岁与y岁．他们母子对话包含的数学依据是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据题中的不等关系，即可得到答案． 【详解】根据题意，，B选项符合条件． 6. 分式方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据解分式方程的步骤解答即可． 【详解】解：方程变形得. 方程的两边同乘（x-1）,得3=x-1. 解得x=4. 经检验，x=4是原方程的解． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握把分式方程转化为整式方程是解答本题的关键． 7. 下列命题中，正确的是（　　） A. 平行四边形是轴对称图形 B. 对顶角相等 C. 圆内接四边形对角相等 D. 三角形的外角和为 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了真假命题，涉及平行四边形的对称性、对顶角相等的性质、圆内接四边形的性质和三角形的外角和等知识，熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键；根据平行四边形的中心对称性、对顶角相等、圆内接四边形的性质和三角形的外角和等知识逐项判断即可求解. 【详解】解：A、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项命题是假命题，不符合题意； B、对顶角相等，是真命题，符合题意； C、圆内接四边形对角互补，故本选项命题是假命题，不符合题意； D、三角形的外角和为，故本选项命题是假命题，不符合题意； 故选：B． 8. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】当一元二次方程有两个不相等的实数根时，根的判别式大于0，据此列出不等式即可求出k的取值范围． 【详解】解：∵ 一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ 根的判别式， 方程中，，， 代入得：， 化简得， 解得． 9. 如图，体育课上，张老师用旧轮胎帮助同学们进行负重训练，绳子与水平地面的夹角为，绳子与人体的夹角，则人体的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，即可求解 【详解】解：∵是的外角， ∴ ∵，即，，  ∴． 10. 密度计常用来测量液体的密度．如图1是一款自制的木棒密度计，将木棒依次放入一系列密度已知的液体中，每次当其在液体中处于竖直漂浮状态时，在木棒上标出与液面位置相平的刻度线及相应密度值，并测量木棒浸入液体的深度，再利用收集的数据画出关于的反比例图象，如图2所示．下列说法正确的是（ ） A. 可能为0 B. 若，则 C. 密度均匀增加时，深度的变化量相同 D. 密度计的刻度线越往上，对应的密度值越小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用，根据反比例函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：A．由图可知，不可能为0，该选项说法错误，不合题意； B．若，则，该选项说法错误，不合题意； C．密度均匀增加时，深度的变化量不相同，该选项说法错误，不合题意； D．密度计的刻度线越往上，h越大，对应的密度值越小，该选项说法正确，符合题意； 故选：D． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 12. 若n边形的内角和是它的外角和的2倍，则n=_______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据多边形内角和公式：（n-2）•180°（n≥3且n为整数），结合题意可列出方程180°（n-2）=360°×2，再解即可． 【详解】解：多边形内角和=180°（n-2）， 外角和=360°， 所以，由题意可得180°×(n-2)=2×360°， 解得：n=6． 故答案为：6． 【点睛】此题主要考查了多边形内角和和外角和，关键是掌握多边形内角和公式：（n-2）•180°（n≥3且n为整数），多边形的外角和等于360度． 13. 如图，和是以为位似中心的位似图形，已知的面积为1，，则的面积为______． 【答案】 4 【解析】 【分析】由位似图形的性质，位似比等于对应点到位似中心的距离之比；由 得 ，即位似比为 ；位似图形面积比等于位似比的平方，从而求出  的面积． 【详解】解：和 是以  为位似中心的位似图形， ，且位似比为 ， ， ，  位似比 ​， 位似图形面积比等于位似比的平方， ​， ， ． 14. 如图，已知A为反比例函数的图象上一点，过点A作轴，垂足为B．若的面积为2，则k的值为__________________． 【答案】 【解析】 【分析】再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到|k|=2，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值． 【详解】解：∵AB⊥y轴， ∴S△OAB=|k|， ∴|k|=2， ∵k＜0， ∴k=-4． 故答案为：-4． 【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 15. 如图1是我国明末《崇祯历书》之《割圆勾股八线表》中所绘的割圆八线图．如图2，根据割圆八线图，在扇形中，，和都是的切线，点和点是切点，交于点，交于点．若，则的半径长为________． 【答案】 【解析】 【分析】证明，根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵和都是的切线， ∴，， 又， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴（负值舍去）． 16. 某公司有七台办公电脑，编号依次为①～⑦号，工作期间，这七台电脑突然出现故障，处于待机状态，立即安排对这七台电脑进行维修．已知维修①～⑦号电脑所需时间依次为13分钟，17分钟，9分钟，20分钟，26分钟，30分钟，14分钟，已知工作日每台电脑待机1分钟，会造成5元的经济损失．若安排三名工作效率相同的维修人员同时开始单独工作，且每台电脑只能由一名维修人员维修，当这七台电脑在最短时间内全部维修完时，总经济损失最小为______元． 【答案】955 【解析】 【分析】要使经济损失最小，则需要维修所需时间最短，根据七台电脑维修所需要的总时长为129分钟，可知平均每人维修的时间为43分钟，所以一人可以维修①⑥号，维修顺序为①⑥，最小损失为280元；第二人可以维修②⑤号，维修顺序为②⑤，此时损失最小，为300元；第三人可以维修③④⑦号，维修顺序为③⑦④，此时损失最小，为375元；把三个损失加起来即为总经济损失的最小值． 【详解】解：根据题意，使维修时间最短，且先维修时间短的，可以使得经济损失最小．当这七台电脑由一个人全部维修完的总时长为（分钟），当由三人同时维修时，平均每人维修的时间为（分钟），故需将这七台电脑分别分配给这三名维修人员，使得3人的维修时间等于43分钟或尽可能接近43分钟，可以使得维修时间最短． 第一人可以维修①⑥号，维修时间是（分钟），维修顺序为①⑥，此时损失最小，为（元）； ①号从故障到修好的时间为其维修时间，⑥号从故障到修好的时间是①号维修时间＋其维修时间． 第二人可以维修②⑤号，维修时间是（分钟），维修顺序为②⑤，此时损失最小，为（元）； ②号从故障到修好的时间为其维修时间，⑤号从故障到修好的时间是②号维修时间＋其维修时间． 第三人可以维修③④⑦号，维修时间是（分钟），维修顺序为③⑦④，此时损失最小，为（元）； ③号从故障到修好的时间为其维修时间，⑦号从故障到修好的时间是③号维修时间＋其维修时间，④号从故障到修好的时间是③，⑦号维修时间之和＋其维修时间． 综上，七台电脑在最短时间内全部维修完时，总经济损失最小为（元）． 三、解答题（本大题共小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式  ． 18. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】先利用分式运算法则化简所求代数式，再根据已知条件得到的值，代入化简结果即可求出代数式的值． 【详解】解：    ． 19. 市位于市的正东方，分别从两处测得国家级风景区中心的方位角如图所示，风景区中心位于城市的北偏东方向，位于城市的北偏西方向，，两地相距． （1）求的度数； （2）求两地的距离．（结果保留根号） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点A作底边垂线构造直角，利用正北方向线都垂直于东西方向线，得到多条平行线；再借助平行线内错角相等，把两个方位角转化为内部两个小角，相加即可求出角度． （2）先在含的直角三角形中，利用余弦求出公共高；再在含的直角三角形中，以为已知边，再次利用余弦公式，反向求出斜边的长． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点， ． 在点和点的正北方向上分别取点和点， ，，， ． 由题意在的北偏东方向，即； 在的北偏西方向，即， ， ； 【小问2详解】 解：在中， ， ． 在中， ， ， 20. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接． （1）求的度数； （2）若，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据尺规作图的步骤，可判断平分，结合等腰三角形的性质，可求出的度数． （2）根据可知是等腰直角三角形，由求出的长度，最后在中利用勾股定理求出的长． 【小问1详解】 解：由作图痕迹可知平分，， ， ， ． 【小问2详解】 解：由（1）可知， ， 即是等腰直角三角形， ， ， 在Rt△ABC中，由勾股定理得． 21. 百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级： ：，：，：，：， 下面给出了部分信息： 甲款评分数据中“满意”的数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款评分数据中组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90．甲、乙款评分统计表： 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中_______， _______， _______． （2）在此次测验中，有人对甲款进行评分、人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数． （3）（简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法，求两人都选择同款聊天机器人的概率． 【答案】（1），， （2）估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为人 （3）图见解析， 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、中位数、众数以及样本估计总体，列表法或树状图法求概率等知识，正确理解中位数、众数的意义，熟练掌握中位数、众数的计算方法是解题的关键． （1）根据中位数的定义可得的值，根据众数的定义可得的值，用分别减去其他三个等级所占百分比可得的值，即可得出的值； （2）由甲、乙两款的非常满意的人数之和即可得出答案； （3）用树状图法求解即可． 【小问1详解】 解：甲款评分数据中“满意”的数据中出现的次数最多， 众数． 乙款评分数据中、两组共有个数据， 乙款评分数据的中位数为第个和第个数据的平均数，而这两个数据分别为、，中位数． 乙款评分数据在组人数所占百分比为， 即． 故答案为：，，． 【小问2详解】 解：甲款评分数据中“非常满意”的人数占比， 对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为： （人）． 答：估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为人． 【小问3详解】 解：画树状图为： 由树状图可知，共有种等可能的结果数，其中两人都选择同款聊天机器人的结果为种，所以两人都选择同款聊天机器人的概率为． 22. 某快递公司为减少人力、提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣，两种型号的机器人的工作效率和价格如下表，根据信息解答： 型号 甲 乙 每台每小时可分拣快递件数（件） 800 600 每台价格（万元） 5 3 （1）方案一：若该公司计划购买甲、乙两种型号的机器人若干台，需总费用28万元，且这些机器人每小时可分拣快递5200件．求此方案中该公司计划购买甲、乙两种型号的机器人各多少台？ （2）方案二：若该公司每小时需分拣快递总件数不少于8700件，现公司计划购买这两种型号的机器人共12台．请你帮助解决：需购买几台甲种型号的机器人，使得购买这12台机器人所花总费用最少？最少费用是多少？ 【答案】（1）该公司购买甲种型号的机器人买2台，乙种型号的机器人买6台 （2）购买8台甲种型号的机器人，所花总费用最少，最少费用是52万元 【解析】 【分析】（1）设该公司购买甲种型号的机器人买台，乙种型号的机器人买台，然后根据总费用和总分拣量列方程组即可； （2）根据台机器人每小时分拣快递件数总和不少于8700件，列出不等式，求得m的取值范围，设所花总费用元，则，求出的最小值即可． 【小问1详解】 解：设该公司购买甲种型号的机器人台，乙种型号的机器人台． 则 解得 答：该公司购买甲种型号的机器人2台，乙种型号的机器人6台． 【小问2详解】 解：设需购买甲种型号的机器人台，则乙种型号机器人台 解得，且为整数 设所花总费用元，则． ， 随的增大而增大． 当时，取得最小值，最小值为（万元） 答：购买8台甲种型号的机器人，所花总费用最少，最少费用是52万元 23. 如图，在平行四边形中，点是的中点，连接，，，点，分别是，的中点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接交于点，若，求平行四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）96 【解析】 【分析】（1）根据题意得出，再由平行四边形的判定和性质得出四边形是平行四边形，结合菱形的判定即可证明； （2）方法一：如解图①，连接，根据题意得出，设，则，确定，再由三角形中位线的性质得出，然后结合图形求面积即可； 方法二：过点作于点，同理得出，利用三角函数求解确定，再由勾股定理得出，即可求解． 【小问1详解】 证明：点分别是的中点， ， 四边形是平行四边形， ， ． 点是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是菱形； 【小问2详解】 解：方法一：如解图，连接， 四边形是菱形，， ， 在中，， 设，则， 由勾股定理得 ， ， ， 点分别为的中点， ， 点是的中点，， ， ， ． 方法二：如解图②，过点作于点， 四边形是菱形，， ， 在中，， 设，则． 由勾股定理得， ， ， ， 点是的中点，点是的中点， ， ， ，即， 在中，， 由勾股定理得， ． 24. 在等边中，是边上的点，过点作交边于点，垂足为，过点作，垂足为，连接，经过点、、的与边另一个公共点为，连接，已知． （1）在点的运动过程中，的角度是否是定值，若是，求出角的度数，若不是，请说明理由； （2）求线段的最小值； （3）设，的面积为，试求出与的函数关系式． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质可知，根据直角三角形的两个锐角互余可得，即可求出； （2）根据，可知是的直径，根据圆周角定理可得，根据直角三角形的两个锐角互余可知，根据正切的定义可知，所以当的值最小时的值最小，以点为原点建立平面直角坐标系，过点作轴于点，设，把点、的坐标用含的代数式表示出来，根据平面直角坐标系中两点之间的距离公式可得：，根据二次函数的性质可知当时，有最小值，最小值为，根据可求的最小值； （3）当时，可得，过点作，可得，根据三角形的面积公式即可得到与的函数关系式． 【小问1详解】 解：是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：如下图所示，以点为原点建立平面直角坐标系，过点作轴于点， ， 是的直径， ， ， ， ， 在中，， ， ， 设，则， ，， ， ， ， 点的坐标为， ，， ， ∵轴，， ， ， ， 点的坐标为， ， 整理得：， 当时，有最小值，最小值为， 的最小值为； 【小问3详解】 解：设，则， ，， ， ， 则， ，， ， ， 如下图所示，过点作， ， ， ， ， ， 整理得：． 25. 对某一个函数给出如下定义：如果函数的自变量与函数值满足：当时，为实数，且，我们称这个函数在上是“同步函数”．比如：函数在上是“同步函数”．理由：∵由，得，∵，∴，，解得，∴，∴是“同步函数”． （1）反比例函数在上是“同步函数”吗?请判断并说明理由； （2）若一次函数在上是“同步函数”，求此函数的解析式（可用含，的代数式表示）； （3）若抛物线在上是“同步函数”，且在上的最小值为，设抛物线与直线交于，点，与轴相交于点，若的内心为，求点的坐标． 【答案】（1）反比例函数是上的“同步函数”，理由见解析； （2）或； （3）． 【解析】 【分析】（）根据“同步函数”的定义进行判断即可； （）根据“同步函数”的定义以及一次函数的增减性，分两种情况进行求解即可； （） 由 ，得 ，则抛物线在上是随的增大而增大，可知时，1，且最小值为，得出抛物线的解析式，从而得出点的坐标，设，根据，可得的坐标，再利用面积法求出点的坐标； 【小问1详解】 当时, 则， ∵反比例函数在第一象限内随的增大而减小， ∴当时，， ∴， ∴反比例函数是上的“同步函数”； 【小问2详解】 由题意得: 当时，， ∵， 当时，随着的增大而增大， ∴当时，，当时，， 则， 解得：， 即； 当时，随着的增大而减小， ∴当时，当时，， 则 解得： 即 ， 综上所述，或； 【小问3详解】 抛物线的顶点式为，顶点坐标为， ∵，， ∴， ∴抛物线 ，在上是随的增大而增大， ∴当时，取最小值， ∴， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为， ∵抛物线与直线相交于两点，设，， 假设点在点的左侧，即， ∴， 解得：，， ∴在中，，，， ∴，， ∵外心在线段的垂直平分线上，设，则， ∴， ∴， ∴， 在中，根据内心的性质，设内心到各边距离为得 ， ∴， ∵是等腰三角形，轴为的角平分线， ∴的内心在轴上， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的性质，三角形外心和内心的性质，等腰三角形的性质等知识，理解新定义及熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三中考课堂全真练习 数学 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．） 1. 下列实数中是无理数的是（ ） A. 0 B. C. 2026 D. 2. 如图，它是1988年出土的新石器时代的仰韶文化几何纹彩陶钵，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. “费尔兹奖”是数学领域的国际最高奖项之一，被誉为“数学界的诺贝尔奖”，每四年颁发一次．截止到2022年“费尔兹奖”得主中最年轻的8位数学家获奖时的年龄分别为29，28，29，31，31，31，29，31，则这组数据的中位数是（ ） A. 28 B. 29 C. 30 D. 31 5. 在我们的生活中，不等关系随处可见．小明与妈妈今年分别是x岁与y岁．他们母子对话包含的数学依据是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 分式方程的解为（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题中，正确的是（　　） A. 平行四边形是轴对称图形 B. 对顶角相等 C. 圆内接四边形对角相等 D. 三角形的外角和为 8. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，体育课上，张老师用旧轮胎帮助同学们进行负重训练，绳子与水平地面的夹角为，绳子与人体的夹角，则人体的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 10. 密度计常用来测量液体的密度．如图1是一款自制的木棒密度计，将木棒依次放入一系列密度已知的液体中，每次当其在液体中处于竖直漂浮状态时，在木棒上标出与液面位置相平的刻度线及相应密度值，并测量木棒浸入液体的深度，再利用收集的数据画出关于的反比例图象，如图2所示．下列说法正确的是（ ） A. 可能为0 B. 若，则 C. 密度均匀增加时，深度的变化量相同 D. 密度计的刻度线越往上，对应的密度值越小 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：________． 12. 若n边形的内角和是它的外角和的2倍，则n=_______． 13. 如图，和是以为位似中心的位似图形，已知的面积为1，，则的面积为______． 14. 如图，已知A为反比例函数的图象上一点，过点A作轴，垂足为B．若的面积为2，则k的值为__________________． 15. 如图1是我国明末《崇祯历书》之《割圆勾股八线表》中所绘的割圆八线图．如图2，根据割圆八线图，在扇形中，，和都是的切线，点和点是切点，交于点，交于点．若，则的半径长为________． 16. 某公司有七台办公电脑，编号依次为①～⑦号，工作期间，这七台电脑突然出现故障，处于待机状态，立即安排对这七台电脑进行维修．已知维修①～⑦号电脑所需时间依次为13分钟，17分钟，9分钟，20分钟，26分钟，30分钟，14分钟，已知工作日每台电脑待机1分钟，会造成5元的经济损失．若安排三名工作效率相同的维修人员同时开始单独工作，且每台电脑只能由一名维修人员维修，当这七台电脑在最短时间内全部维修完时，总经济损失最小为______元． 三、解答题（本大题共小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 已知，求代数式的值． 19. 市位于市的正东方，分别从两处测得国家级风景区中心的方位角如图所示，风景区中心位于城市的北偏东方向，位于城市的北偏西方向，，两地相距． （1）求的度数； （2）求两地的距离．（结果保留根号） 20. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接． （1）求的度数； （2）若，，求的长． 21. 百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级： ：，：，：，：， 下面给出了部分信息： 甲款评分数据中“满意”的数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款评分数据中组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90．甲、乙款评分统计表： 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中_______， _______， _______． （2）在此次测验中，有人对甲款进行评分、人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数． （3）（简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法，求两人都选择同款聊天机器人的概率． 22. 某快递公司为减少人力、提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣，两种型号的机器人的工作效率和价格如下表，根据信息解答： 型号 甲 乙 每台每小时可分拣快递件数（件） 800 600 每台价格（万元） 5 3 （1）方案一：若该公司计划购买甲、乙两种型号的机器人若干台，需总费用28万元，且这些机器人每小时可分拣快递5200件．求此方案中该公司计划购买甲、乙两种型号的机器人各多少台？ （2）方案二：若该公司每小时需分拣快递总件数不少于8700件，现公司计划购买这两种型号的机器人共12台．请你帮助解决：需购买几台甲种型号的机器人，使得购买这12台机器人所花总费用最少？最少费用是多少？ 23. 如图，在平行四边形中，点是的中点，连接，，，点，分别是，的中点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接交于点，若，求平行四边形的面积． 24. 在等边中，是边上的点，过点作交边于点，垂足为，过点作，垂足为，连接，经过点、、的与边另一个公共点为，连接，已知． （1）在点的运动过程中，的角度是否是定值，若是，求出角的度数，若不是，请说明理由； （2）求线段的最小值； （3）设，的面积为，试求出与的函数关系式． 25. 对某一个函数给出如下定义：如果函数的自变量与函数值满足：当时，为实数，且，我们称这个函数在上是“同步函数”．比如：函数在上是“同步函数”．理由：∵由，得，∵，∴，，解得，∴，∴是“同步函数”． （1）反比例函数在上是“同步函数”吗?请判断并说明理由； （2）若一次函数在上是“同步函数”，求此函数的解析式（可用含，的代数式表示）； （3）若抛物线在上是“同步函数”，且在上的最小值为，设抛物线与直线交于，点，与轴相交于点，若的内心为，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $