精品解析：广东揭阳市普宁市华侨中学2025-2026学年高二下学期第二次月考数学试题

普宁市华侨中学2025—2026学年度第二学期高一级 第二次月考数学科试题 说明：1．本试题共4页，满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己姓名、试室号、座位号填写在答卷上. 3. 答题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4．考生必须保持答题卷整洁，考试结束后，将答题卷交回，试卷自己保存. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（       ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为集合， 所以，故B选项正确. 2. 数据80%分位数为（ ） A. 8 B. 9 C. 6.4 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】由百分位数的计算公式即可求解. 【详解】共8个数， 由， 故第7个数9为80%分位数. 3. 如图，在正方体中，异面直线与所成的角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据异面直线所成角的定义进行求解. 【详解】连接，在正方体中，， 所以为异面直线与所成的角， 而，即为等边三角形， 所以，即异面直线与所成的角是. 故选：C. 4. 在中，角，，所对的边分别是，，，，，，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理求出，再求. 【详解】由正弦定理得，得，则； 因为，则，故，则，所以A正确. 故选：A 5. 已知圆锥的底面半径为2，高为，则其侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用侧面积公式即得. 【详解】由题意，圆锥的每线，底面周长为4π， 故其侧面积为。 故选：D． 6. 已知平面，，和直线，，，下列命题正确的是（ ） A. 若，，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间中线线，线面，面面的位置关系逐项判断即可得结论. 【详解】对于A，，，，，若相交时，可得， 若不相交时，可能相交，故A错误； 对于B，若，，则或是异面直线或是相交直线，故B错误； 对于C，若，，则，故C正确； 对于D，若，，则或，故D错误. 故选：C. 7. 已知函数在区间单调递增，且，则（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用题目条件将其化为比较x的取值 【详解】由题目可知在内，x值越大，函数值就越大， 因为，且， 所以. 又因为，所以. 因为，所以， 因此，故B选项正确. 8. 已知是边长为2的等边三角形，AB是圆M的直径，若点P为圆M上一动点，则的取值范围为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】以的中点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系. ∵ 是圆的直径，且为边长为的等边三角形， ∴ ， 设圆上动点，， ∴ ，， ∴ . ∵ ， ∴ ， 即的取值范围为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若复数满足（是虚数单位），则下列说法正确的是 （ ） A. B. 的模为 C. 在复平面内对应的点位于第四象限 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用复数的除法化简得出复数，可判断A选项；利用共轭复数的定义以及复数的模长公式可判断B选项；利用复数的几何意义可判断C选项；利用复数的运算可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，，A对； 对于B选项，，则，B错； 对于C选项，在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限，C对； 对于D选项，，D对. 故选：ACD. 10. 已知函数，给出下列结论，其中正确结论有（ ） A. 最小正周期为 B. 是的最大值 C. 把函数的图象所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象. D. 在上是增函数 【答案】AD 【解析】 【分析】由已知结合正弦函数的周期公式可判断A，直接代入求函数值即可判断B，结合函数图象的平移可判断C，由函数单调性可判断D． 【详解】因为， 由周期公式可得，的最小正周期，故A正确； ，不是的最大值，故B错误； 根据函数图象的平移法则可得，函数的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到，故C错误； 当时，，由正弦函数知函数单调递增. 故选：D 11. 在三棱锥中，已知，，，平面平面ABC，且，则（ ）． A. B. 平面平面ABC C. 三棱锥的体积为 D. 三棱锥的外接球的表面积为 【答案】ABC 【解析】 【分析】通过证明平面来判断AB选项的正确性；通过计算三棱锥的体积来判断C选项的正确性；求出三棱锥的外接球的表面积来判断D选项的正确性. 【详解】因为，， 所以，所以， 过D作于E． 因为平面平面ABC，平面平面， 所以平面ABC，所以， 假设DB，DE不重合，因为，所以平面DBC， 所以，这样与矛盾， 所以假设不成立，所以DB，DE重合，即平面ABC， 所以， 由于平面， 所以平面平面ABC，所以A，B正确； 三棱锥体积为，所以C正确； 设三角形ABC的外心为F，外接圆半径为， 过F作平面ABC， 设O为外接球的球心，则，， 所以， 所以，解得， 所以外接球的半径为， 所以三棱锥的外接球的表面积为，所以D不正确． 故选：ABC 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填在答题卡的相应位置上． 12. 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________ 件. 【答案】18 【解析】 【详解】应从丙种型号的产品中抽取件，故答案为18． 点睛:在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即ni∶Ni＝n∶N． 13. 已知向量， ，，若，则的最小值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量平行得出和的等式，再根据基本不等式中“”的妙用即可求解. 【详解】因为，故， 即， 故， 当且仅当，取等号， 故的最小值为. 14. 如图，二面角的大小是30°，线段，，与所成的角为60°，则与平面所成的角的正弦值是______． 【答案】 【解析】 【分析】过作于，过作于，连接，则为与平面所成的角，可证得为二面角的平面角，则，设，则，可求出的值，然后在直角三角形中可求得答案 【详解】解：过作于，过作于，连接，则为与平面所成的角， 因为，所以， 因为，所以平面， 因为平面，所以， 所以为二面角的平面角，则， 设，则， 因为，所以， 所以, 所以与平面所成的角的正弦值为 故答案为： 四、解答题： 5道大题，共77分，要写过程． 15. 已知平面向量，，． （1）若，求实数的值； （2）求； （3）若，求的最小值． 【答案】（1）2 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量平行构造方程求解； （2）分别求出及，进而求出； （3）先求出，再利用二次函数的性质求最小值． 【小问1详解】 已知， ，解得． 【小问2详解】 已知，则， ， ． 【小问3详解】 ， 二次函数开口向上，对称轴， ． 16. 潮汕英歌舞以其动作刚劲有力，节奏感强的特色，备受人们喜爱．某校组织英歌队进行训练并作了汇报表演，为了解训练成果，做了一次问卷调查，问卷所涉及的问题均量化成对应的分数（满分100分），从所有答卷中随机抽取100份的分数作为样本，将样本的分数（成绩均为不低于50分的整数且在组内均匀分布）分成五段：，得到如下所示的频数分布表． 样本分数段 [90，100] 频数 10 30 30 10 频率 0.1 0.3 0.3 0.1 （1）求频数分布表中和的值，并估计样本成绩的平均数； （2）经计算，样本中分数在区间［50，60）内的平均数为56，方差为7；在区间[60，70）内的平均数为65，方差为4，求两组成绩的总平均数和总方差． 【答案】（1），；76； （2）总平均数是62，总方差是23． 【解析】 【分析】(1)根据频率分布直方图的性质，求得，结合平均数的计算公式，即可求解； （2）根据分层抽样的分法，得到分数在和的人数，结合分层抽样的方差的计算方法，即可求解. 【小问1详解】 由， 解得，则， 平均数的估计值为． 【小问2详解】 由表可知，分数在区间内的频数为10，在区间内的频数为20， 故两组成绩的总平均数， 两组成绩的总方差． 所以两组成绩的总平均数是62，总方差是23． 17. 在锐角中，角所对的边分别为，且 （1）求角A； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，由此求得. （2）利用正弦定理表示，利用三角恒等变换化简，结合三角函数值域的求法求得的取值范围. 【小问1详解】 由正弦定理得，， 所以，， 由于，所以. 【小问2详解】 ∵， ∴ . ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的取值范围为. 18. 如图，在正三棱柱中，点D是BC的中点，． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）连接，交点O，连接，则O是的中点， 因为D是的中点，所以， 又平面，平面，所以平面. （2）因为为等边三角形，且D是的中点，所以， 由正三棱柱的性质知，平面，而平面，所以， 又 平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （3） 【解析】 【分析】（1）连接，交点O，连接，易得，再由线面平行的判定定理证明结论； （2）由已知得、，再由线面、面面垂直的判定定理证明结论； （3）根据（2）得点A到平面的距离为，应用等体积法求点面距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知平面，所以点A到平面的距离为， 而 2， 4， 设点B到平面的距离为d，且， 所以，即 ，解得， 所以到平面的距离为． 19. 通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量．类似的，我们可以把有序复数对看作一个向量，记，称为复向量．类比平面向量的相关运算法则，对于，，我们有如下运算法则：①；②③；④． （1）设，求和； （2）类比平面向量数量积满足的运算律，得出复向量的一个相关结论：，判断上述结论是否正确，并说明理由； （3）设，集合，求的最小值，并证明当取最小值时，对于任意的． 【答案】（1）；； （2）正确，理由见解析； （3）3，证明见解析. 【解析】 【分析】（1）代入公式③④即可求解； （2）根据所给定义，以及向量的代数运算及数量积运算法则，即可求解； （3）设满足条件的，根据所给条件计算取得最小值，再计算证明即可. 【小问1详解】 由， 得， ． ． 【小问2详解】 设， ， ， 因为， 所以，故正确． 【小问3详解】 不妨令，则， 则 ， 当时，取得最小值3， 此时， 设满足条件的， 则， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 普宁市华侨中学2025—2026学年度第二学期高一级 第二次月考数学科试题 说明：1．本试题共4页，满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己姓名、试室号、座位号填写在答卷上. 3. 答题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4．考生必须保持答题卷整洁，考试结束后，将答题卷交回，试卷自己保存. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 已知集合，则（       ） A. B. C. D. 2. 数据的80%分位数为（ ） A. 8 B. 9 C. 6.4 D. 7 3. 如图，在正方体中，异面直线与所成的角是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，角，，所对边分别是，，，，，，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 5. 已知圆锥的底面半径为2，高为，则其侧面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知平面，，和直线，，，下列命题正确的是（ ） A. 若，，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 7. 已知函数在区间单调递增，且，则（   ） A. B. C D. 8. 已知是边长为2的等边三角形，AB是圆M的直径，若点P为圆M上一动点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若复数满足（是虚数单位），则下列说法正确的是 （ ） A. B. 的模为 C. 在复平面内对应的点位于第四象限 D. 10. 已知函数，给出下列结论，其中正确结论有（ ） A. 的最小正周期为 B. 是的最大值 C. 把函数的图象所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象. D. 在上是增函数 11. 三棱锥中，已知，，，平面平面ABC，且，则（ ）． A. B. 平面平面ABC C. 三棱锥体积为 D. 三棱锥的外接球的表面积为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填在答题卡的相应位置上． 12. 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________ 件. 13. 已知向量， ，，若，则的最小值为_____. 14. 如图，二面角的大小是30°，线段，，与所成的角为60°，则与平面所成的角的正弦值是______． 四、解答题： 5道大题，共77分，要写过程． 15. 已知平面向量，，． （1）若，求实数的值； （2）求； （3）若，求的最小值． 16. 潮汕英歌舞以其动作刚劲有力，节奏感强的特色，备受人们喜爱．某校组织英歌队进行训练并作了汇报表演，为了解训练成果，做了一次问卷调查，问卷所涉及的问题均量化成对应的分数（满分100分），从所有答卷中随机抽取100份的分数作为样本，将样本的分数（成绩均为不低于50分的整数且在组内均匀分布）分成五段：，得到如下所示的频数分布表． 样本分数段 [90，100] 频数 10 30 30 10 频率 0.1 0.3 0.3 0.1 （1）求频数分布表中和的值，并估计样本成绩的平均数； （2）经计算，样本中分数在区间［50，60）内的平均数为56，方差为7；在区间[60，70）内的平均数为65，方差为4，求两组成绩的总平均数和总方差． 17. 在锐角中，角所对的边分别为，且 （1）求角A； （2）若，求的取值范围. 18. 如图，在正三棱柱中，点D是BC的中点，． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求点到平面的距离． 19. 通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量．类似的，我们可以把有序复数对看作一个向量，记，称为复向量．类比平面向量的相关运算法则，对于，，我们有如下运算法则：①；②③；④． （1）设，求和； （2）类比平面向量数量积满足的运算律，得出复向量的一个相关结论：，判断上述结论是否正确，并说明理由； （3）设，集合，求的最小值，并证明当取最小值时，对于任意的． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $