精品解析：广东中山市中山迪茵公学2025-2026学年高二下3月数学一段考模拟卷（平衡班）

迪茵公学高二年级平衡班第一次月考数学模拟卷 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1. 记为等差数列的前n项和，已知，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，列式求出数列的首项和公差，进而求出通项公式和前n项和公式． 【详解】设等差数列的公差为，由，得，解得， 所以，，ABC错误，D正确. 故选：D 2. 设是等比数列，且，，则（ ） A. 12 B. 24 C. 30 D. 32 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件求得的值，再由可求得结果. 【详解】设等比数列的公比为，则， ， 因此，. 故选：D. 【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题． 3. 已知函数，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由基本初等函数的导数公式计算可得. 【详解】由题意可得， 所以. 故选：C 4. 设，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导，然后直接解方程可得. 【详解】 由，解得. 故选：B 5. 若等差数列满足，，则当的前项和最大时，的值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的性质可得，分析即得解 【详解】∵等差数列满足 ∴等差数列的前8项为正数，从第9项开始为负数， ∴当的前项和最大时的值为8 故选：B 6. 已知数列满足，则的前60项的和为（ ） A. B. C. D. 70 【答案】A 【解析】 【分析】先求出数列的周期，即可求出的前60项的和. 【详解】由可得：， ，， ，…… 所以数列的周期为，所以的前60项的和为： . 故选：A. 7. 已知等差数列的前项和为，且则数列的公差为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的前项和公式列出等式即可求解. 【详解】设等差数列的公差为. 因为， 所以，. 又因为， 所以，解得：. 故选：B. 8. 已知数列满足，设数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用累加法求出的通项公式，再利用裂项相消法求和即得. 【详解】数列中，，当时，， 则当时，， 而满足上式，因此，， 则， 所以. 故选：D 二、多选题 9. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用基本初等函数的导数公式可判断A选项；利用导数的运算法则可判断BD选项；利用复合函数的求导法则可判断C选项. 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D对. 故选：BD. 10. 设等差数列的公差为，前项和. 若，，则下列结论正确的是（ ） A. 数列是递增数列 B. C. D. 中最大的是 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式求和公式及其性质即可判断出结论． 【详解】依题意，有， ，化为：，， 即，， ． 由，得，由，可得，故，故C正确； 则，所以等差数列是单调递减的，故A不正确； 则，故B正确； 又时，，时， 所以中最大的是，故D正确. 故选：BCD． 11. 已知数列的前项和为，数列的前项和为，则下列选项正确的是（ ） A. 数列是等差数列 B. 数列是等比数列 C. 数列的通项公式为 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】借助，结合等比数列定义可得A、B；由等比数列性质可得C；裂项求和后可得D. 【详解】对A、B：由，则， 故，又， 故数列是以为首项，为公比的等比数列，故A错误、B正确； 对C：，则，故C正确； 对D：， 则，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 12. 已知等差数列中，，则=_____； 【答案】234 【解析】 【分析】根据等差数列中等差中项的定义,结合条件可求得,进而可求得. 【详解】因为数列是等差数列 由等差中项定义可知, 所以 而 故答案为:234 【点睛】本题考查了等差数列中等差中项的定义及简单应用,属于基础题. 13. 等比数列中，为其前项的和．若，，则_______． 【答案】90 【解析】 【分析】根据等比数列关于片段和的性质求解即得. 【详解】在等比数列中，为其前项的和， 则也成等比数列， 又因，， 则成等比数列，且公比为2， 则，解得, 故 解得. 14. 设等差数列的前n项和为，且，（为常数），则的通项公式是_______． 【答案】 【解析】 【详解】当时，， 当时，， 由是等差数列，得时也应满足，即， ，解得，所以的通项公式是. 四、解答题 15. 已知数列是公差不为零的等差数列，，且成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列基本量的计算，即可求解公差，进而可求解， （2）利用分组求和，结合等差等比求和公式即可求解. 【小问1详解】 设数列的公差为，则， 由，得，整理得，解得（舍去）， 因此，； 【小问2详解】 因为，所以, 16. 已知为数列的前项和，且． （1）求证数列是等比数列； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）首先运用与的关系可得出与之间的关系，然后构造数列可得与之比为定值即可得出所证的结果； （2）由分组求和法并结合等比数列的前n项和公式求出结果． 【小问1详解】 当时，，得， 当时，， 得，可得，又， 所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列. 【小问2详解】 由（1）可得，即， . 17. 已知各项均为正数的等比数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前n项和. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】 （1）由已知条件求出等比数列的公比，再求通项即可； （2）先由等差数列通项公式的求法求出数列的通项，然后由分组求和法及公式法求数列的前n项和即可. 【详解】解：（1）因为是正数等比数列，且 所以， 即 分解得， 又因为，所以， 所以数列的通项公式为； （2）因为是首项为1，公差为2的等差数列， 所以， 所以， 所以 . 【点睛】本题考查了等比数列及等差数列的通项公式的求法，重点考查了利用分组求和法及公式法求数列的前n项和，属中档题. 18. 已知数列是公比为2的等比数列，成等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）若，设数列的前n项和，求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程，求得，结合等比数列的通项公式，即可求解；（2）由（1）知，得到，利用乘公比错位相减法求和，得到，结合数列的单调性，即可求解. 【小问1详解】 解：因为成等差数列，所以， 又因为数列是公比为的等比数列，所以， 解得，所以， 所以数列的通项公式. 【小问2详解】 解：由（1）知，则 可得， 则， 两式相减，可得 ， 所以， 因为， 所以数列是递增数列，则， 又因为，可得， 综上可得：. 19. 已知数列的前n项和为，，. （1）求证：数列是等差数列. （2）设，数列的前n项和为，求. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由，根据，得到，两边同除以，得到，结合等差数列的定义，即可得证； （2）由（1）求得，得到，利用乘公比错位相减法求和，即可求得. 【小问1详解】 证明：因为，可得，所以， 两边同除以，可得，即， 又因为，可得，所以数列是首项为，公差为1的等差数列. 【小问2详解】 由（1）可得，所以，可得， 所以， 则. 两式相减，可得 ， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 迪茵公学高二年级平衡班第一次月考数学模拟卷 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1. 记为等差数列的前n项和，已知，，则（    ） A. B. C. D. 2. 设是等比数列，且，，则（ ） A. 12 B. 24 C. 30 D. 32 3. 已知函数，则（ ） A. 2 B. C. D. 4. 设，若，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 若等差数列满足，，则当的前项和最大时，的值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 6. 已知数列满足，则的前60项的和为（ ） A. B. C. D. 70 7. 已知等差数列的前项和为，且则数列的公差为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知数列满足，设数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 设等差数列的公差为，前项和. 若，，则下列结论正确的是（ ） A. 数列是递增数列 B. C. D. 中最大的是 11. 已知数列的前项和为，数列的前项和为，则下列选项正确的是（ ） A. 数列是等差数列 B. 数列是等比数列 C. 数列的通项公式为 D. 三、填空题 12. 已知等差数列中，，则=_____； 13. 等比数列中，为其前项的和．若，，则_______． 14. 设等差数列的前n项和为，且，（为常数），则的通项公式是_______． 四、解答题 15. 已知数列是公差不为零的等差数列，，且成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，求. 16. 已知为数列的前项和，且． （1）求证数列是等比数列； （2）求数列的前项和． 17. 已知各项均为正数的等比数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前n项和. 18. 已知数列是公比为2的等比数列，成等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）若，设数列的前n项和，求证：． 19. 已知数列的前n项和为，，. （1）求证：数列是等差数列. （2）设，数列的前n项和为，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $