精品解析：广东普宁市第二中学2025-2026学年高二下学期第一次月考数学试题

普宁二中2025－2026学年度第二学期高二级第一次月考 数学科试题 试卷满分150分，考试时长：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 直线在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据截距的定义进行求解. 【详解】中，令，解得，令，， 故. 故选：B 2. 已知、是平面内两个不同的定点，则“为定值”是“动点的轨迹是双曲线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用特例法、双曲线的定义以及充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】若，则，此时，点的轨迹是线段的垂直平分线， 所以，“为定值”“动点的轨迹是双曲线”； 若动点的轨迹是双曲线，则为定值， 所以，“为定值”“动点的轨迹是双曲线”. 因此，“为定值”是“动点的轨迹是双曲线”的必要不充分条件. 故选：B. 3. 已知表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的定义列出不等式组求解. 【详解】要使表示焦点在轴上的椭圆， 需满足解得， 即实数的取值范围为. 故选：B. 4. 在平面直角坐标系中，过点作倾斜角为的直线，已知直线与圆交于、两点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题首先可确定圆心坐标、半径，然后求出直线方程为，再然后求出圆心到直线的距离，最后根据即可得出结果. 【详解】，即，圆心坐标，半径， 因为直线过点且倾斜角为，所以直线方程为，即， 则圆心到直线的距离， 故， 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查圆的弦长的求法，可借助半径与圆心到直线的距离求出圆的弦长，考查根据圆的方程确定圆心与半径，考查直线方程的求法，是中档题. 5. 已知抛物线（）上一点M的纵坐标为，该点到准线的距离为6，则该抛物线的标准方程为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件可得点M坐标，代入抛物线方程求解即可. 【详解】因为抛物线的准线方程是，而点M到准线的距离为6， 所以点M的横坐标是. 所以点M的坐标为， 又因为点M在抛物线上， 所以32=2p，解得p=8或p=4， 故该抛物线的标准方程为或. 故选：D. 6. 已知坐标满足方程的点都在曲线上，那么（ ） A. 曲线上的点的坐标都满足方程 B. 坐标不满足的点都不在曲线上 C. 不在曲线上的点的坐标必不满足 D. 不在曲线上的点的坐标有些满足，有些不满足 【答案】C 【解析】 【分析】对ABD举反例即可反驳，对C显然根据两者命题之间关系知其正确. 【详解】对ABD，根据题意可以举例方程为， 曲线为单位圆，可知方程表示的曲线为曲线的一部分， 则曲线上的点的坐标不是都满足方程，故A错误； 坐标不满足的点可以在曲线上，故B错误； 不在曲线上的点的坐标都不满足，故D错误； 对C，而不在曲线上的点的坐标必不满足，故C正确． 故选：C. 7. 在正四面体中，是的中心，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得到，，然后求数量积即可. 【详解】 因为为正四面体，是的中心， 所以，， 所以 . 故选：D. 8. 对于数列，若存在正整数，使得，，则称是数列的“谷值”，k是数列的“谷值点”．在数列中，若，则数列的“谷值点”有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 无数个 【答案】B 【解析】 【分析】由数列通项公式写出前n项，结合数列 “谷值点”的定义判断{an}的“谷值点”. 【详解】由an＝，则，，， 当时恒有，则，此时递增， 综上，故数列的“谷值点”为2、7，共2个. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知曲线：：，则（ ） A. 的长轴长为 B. 的渐近线方程为 C. 与的焦点坐标相同 D. 与的离心率互为倒数 【答案】BD 【解析】 【分析】根据椭圆与双曲线的标准方程，结合它们的几何性质逐项判断即可. 【详解】曲线：整理得， 则曲线是焦点在轴上的椭圆，其中， 所以，离心率为， 故曲线的长轴长，故A错误； 曲线：是焦点在轴上的双曲线，其中， 所以，离心率为，故与曲线的焦点位置不同，故C错误；：的渐近线方程为，故B正确； 又，所以与的离心率互为倒数，故D正确 故选：BD 10. 已知E，F分别是正方体的棱BC和CD的中点，则（ ） A. 与是异面直线 B. 与EF所成角的大小为45° C. 与平面所成角的正弦值为 D. 二面角的余弦值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据异面直线的判定定理可判断A；建立空间直角坐标系，用向量的方法可计算B，C，D是否正确． 【详解】解：根据异面直线的判定定理“平面内一点与平面外一点的连线，与此平面内不经过该点的直线是异面直线异面直线”可知A正确； 以为原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为2，，0，，，0，，，2，，，1，， 所以，0，，，，， 设与所成角的大小为， 则， 所以，故B错误； 由题意可知，平面的法向量为，2，0，， ，1，， 设与平面所成角为，则， 所以与平面所成角的正弦值为，故C正确； ，2，，，0，， 设平面的法向量为，，， 则， 令，得，，， 同理可得平面的法向量，，， 则， 又因为二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为，故D正确. 故选：ACD． 11. 已知数列的前项和为，且，首项为1的正项数列满足，数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据与的关系，求出，并求得；由项与积的关系求得，可得数列是等比数列，根据等比数列的前项和即可求得. 【详解】因为，所以 当时，，解得； 当时，， 两式相减可得， 即，所以. 故数列是以1为首项、2为公比的等比数列，故，所以A错误. 由，得，所以，所以B正确. 记， 当时，， 即， 故. 因为，故，故数列是以1为首项，为公比的等比数列. 故，所以C、D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 圆恒过的定点是______. 【答案】 【解析】 【分析】分离参数，即可列方程组求解. 【详解】圆方程化为， 由解得故圆恒过点. 故答案为： 13. 已知空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5），则以AB，AC为边的平行四边形的面积是____． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析:求出向量的坐标，进而可得模长及向量的夹角，由此可计算以AB，AC为边的平行四边形的面积． 解：∵A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5）， ∴=（﹣2，﹣1，3），=（1，﹣3，2），||=，||= ∴cos∠BAC==， ∴∠BAC=60° ∴S=×sin60°= 故答案为 考点：向量在几何中的应用． 14. 已知双曲线：的左焦点为，过的直线与圆相切于点，与双曲线的右支交于点，若，则双曲线的离心率为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意画出草图，由为中点，，故过做构造相似三角形，根据相切找到长度，根据相似找到的长度，进而找到的长度，根据双曲线定义找到长度，在直角三角形中，用勾股定理即可找到之间的关系，再根据，即可得到离心率. 【详解】由题知，记右焦点为，过做如图所示， 与圆相切， ，， ，， 为中点，， 故，且相似比为， 即，， ， ，， 在双曲线中，有， ， ，， 为直角三角形， ， 即， 化简可得，上式两边同时平方，将代入可得， 则，即离心率. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆C经过点A（1,2）和B（5,-2），且圆C关于直线2x+y＝0对称． （1）求圆C的方程； （2）过点D（-3,1）作直线l与圆C相切，求直线l的方程． 【答案】（1）（x﹣1）2+（y+2）2＝16 （2）x＝﹣3和7x﹣24y+45＝0 【解析】 【分析】（1）求出线段AB的垂直平分线与直线2x+y＝0的交点即为圆心，半径为|AC|，进而求出圆的方程； （2）当直线l的斜率存在时，设方程为y＝k（x+3）+1，利用直线与圆相切求出k，当直线l斜率不存在时写出直线的方程，验证是否与圆C相切即可. 【小问1详解】 已知圆C经过点A（1,2）和B（5,-2）， 则线段AB的垂直平分线方程为：y＝x-3，即 x-y-3＝0， 又圆心在直线2x+y＝0上， 联立，解得， 所以圆心为C（1,-2），半径为R＝|AC|＝4， 所以圆C的标准方程（x-1）2+（y+2）2＝16； 【小问2详解】 若直线l的斜率存在，方程可设为y＝k（x+3）+1，即kx-y+3k+1＝0， 圆心C（1,-2）到直线l的距离d4，解得k， 故所求的一条切线为7x-24y+45＝0， 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝-3，与圆C相切， 所以直线l的方程为x＝-3和7x-24y+45＝0． 16. 已知数列是单调递增的等比数列，数列是等差数列，且. （1）求数列与数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为，根据等差数列以及等比数列定义结合数列的单调性求得和，即可求数列与数列的通项公式； （2）利用等差、等比前项和公式并分组求和即可得. 【小问1详解】 设等比数列的公比为，等差数列的公差为， 由，得， 即， 即，解得或. 当时，，不满足单调递增， 当时，，满足单调递增， 所以. 又，所以， 所以， 即数列的通项公式为， 数列的通项公式为. 【小问2详解】 利用等比、等差数列前项和公式可得， 数列的前项和为， 数列的前项和为， 所以数列的前项和 即. 17. 如图，在四棱锥中，平面，点是的重心. （1）求证：平面平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长度. 【答案】（1）证明如下： 在四棱锥中，平面平面， 则， 而平面， 于是平面， 又平面， 所以平面平面. （2）或. 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质、判定及面面垂直的判定推理即得. （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法列式求出的长度. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点为，连接，， 则，即四边形为矩形，则， 又平面平面，显然两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为为轴，建立空间直角坐标系， 设，则， 由点是的重心，得，则， 又，设平面的一个法向量， 则，取，得，设与平面所成角为， ，化简得， 解得或，即或，所以的长度为或. 18. 如图，椭圆的一个焦点为，且过点. （1）求椭圆的方程； （2）若为垂直于轴的动弦，直线与轴交于点，直线与交于点. （ⅰ）求证：点恒在椭圆上； （ⅱ）求面积的最大值. 【答案】（1） （2）(ⅰ)证明见解析；(ⅱ) 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的焦点及椭圆上的点建立方程，求出即可得解； （2）（ⅰ）求出点的坐标，证明点的坐标满足椭圆方程即可； （ⅱ）设出的方程为，联立椭圆方程，得出根与系数的关系，据此求出的表达式，换元后求最值即可. 【小问1详解】 因为椭圆一个焦点为，所以， 点代入椭圆方程可得， 又，解得， 所以椭圆方程为. 【小问2详解】 (i)由题意得，， 设，则，且①， 则的方程分别为：，. 设，则有②，③ 由②，③得，由①得， 因为， 所以点M恒在椭圆上. (ⅱ)设的方程为，代入，得， 设，则有，， 所以，令， 则， 因为，所以， 故当，即，时，有最大值3，此时过点. 所以， 即的面积的最大值为. 19. 已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．将双曲线上的每一点绕坐标原点沿逆时针方向旋转后得到曲线．点在上，其横坐标为．再按照如下方式依次构造点：过作斜率为的直线与曲线交于另一点，令为关于直线的对称点，记的坐标为． （1）求曲线的方程； （2）求数列的通项公式； （3）求证：． 【答案】（1） （2）， （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据定义得到和坐标的关系，然后代入双曲线方程中，化简即可得到曲线的方程； （2）根据与关于原点对称得到，然后将点代入曲线中，然后结合整理可得，即可得到为等比数列，再利用等比数列的通项公式计算即可； （3）利用斜率公式得到，，然后根据等比数列的性质得到，即可证明平行. 【小问1详解】 设双曲线上任意一点，将其绕坐标原点沿逆时针方向旋转后得到点．则即 解得： 又因为．所以， 化简得：， 故曲线的方程为． 【小问2详解】 将点代入，得 两式相减，得． 所以．又因为． 所以． 又因为，故为首项为，公比为2的等比数列． 所以．进一步可得． 【小问3详解】 因为， ． 又因为在等比数列中，． 所以． 【点睛】方法点睛：求通项的方法： ①公式法：利用等差等比的通项公式计算； ②累加法：； ③累乘法：； ④根据计算； ④构造法：通过构造新数列为等差等比来求通项. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 普宁二中2025－2026学年度第二学期高二级第一次月考 数学科试题 试卷满分150分，考试时长：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 直线在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知、是平面内两个不同的定点，则“为定值”是“动点的轨迹是双曲线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ）. A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，过点作倾斜角为的直线，已知直线与圆交于、两点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知抛物线（）上一点M的纵坐标为，该点到准线的距离为6，则该抛物线的标准方程为（ ） A. B. 或 C. D. 或 6. 已知坐标满足方程的点都在曲线上，那么（ ） A. 曲线上的点的坐标都满足方程 B. 坐标不满足的点都不在曲线上 C. 不在曲线上的点的坐标必不满足 D. 不在曲线上的点的坐标有些满足，有些不满足 7. 在正四面体中，是的中心，，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 对于数列，若存在正整数，使得，，则称是数列的“谷值”，k是数列的“谷值点”．在数列中，若，则数列的“谷值点”有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 无数个 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知曲线：：，则（ ） A. 的长轴长为 B. 的渐近线方程为 C. 与的焦点坐标相同 D. 与的离心率互为倒数 10. 已知E，F分别是正方体的棱BC和CD的中点，则（ ） A. 与是异面直线 B. 与EF所成角的大小为45° C. 与平面所成角的正弦值为 D. 二面角的余弦值为 11. 已知数列的前项和为，且，首项为1的正项数列满足，数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 圆恒过的定点是______. 13. 已知空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5），则以AB，AC为边的平行四边形的面积是____． 14. 已知双曲线：的左焦点为，过的直线与圆相切于点，与双曲线的右支交于点，若，则双曲线的离心率为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆C经过点A（1,2）和B（5,-2），且圆C关于直线2x+y＝0对称． （1）求圆C的方程； （2）过点D（-3,1）作直线l与圆C相切，求直线l的方程． 16. 已知数列是单调递增的等比数列，数列是等差数列，且. （1）求数列与数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 17. 如图，在四棱锥中，平面，点是的重心. （1）求证：平面平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长度. 18. 如图，椭圆的一个焦点为，且过点. （1）求椭圆的方程； （2）若为垂直于轴的动弦，直线与轴交于点，直线与交于点. （ⅰ）求证：点恒在椭圆上； （ⅱ）求面积的最大值. 19. 已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．将双曲线上的每一点绕坐标原点沿逆时针方向旋转后得到曲线．点在上，其横坐标为．再按照如下方式依次构造点：过作斜率为的直线与曲线交于另一点，令为关于直线的对称点，记的坐标为． （1）求曲线的方程； （2）求数列的通项公式； （3）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $