2025-2026学年苏科版七年级数学下册期末模拟试卷（四）

**基本信息** 立足核心素养，融合《九章算术》文化传承与机器人科技情境，梯度覆盖整式运算、三角形、方程组等七年级数学核心知识，注重思维与表达能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/16|整式运算、不等式解集、平行线性质|结合折叠变换（8题）考查空间观念| |填空题|8/16|科学记数法、三角形平移、面积计算|以长方形分割（14题）体现几何直观| |解答题|9/68|方程组应用、新定义运算、图形折叠|《九章算术》问题（6题）传承文化，机器人购买方案（22题）联系现实，“互优角”（25题）培养创新意识|

苏州市2025-2026学年第二学期七年级数学期末模拟试卷（四） 班级:_____ 姓名:_____ 学号:_____ 得分:_____ 一、单选题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1．下列计算正确的是（　　） A．（2a）3＝6a3 B．（a2）3＝a5 C．a2•a4＝a6 D． 2．如图，用不等式表示数轴上所示的解集，正确的是（　　） A．x＜﹣1或x≥3 B．﹣1＜x≤3 C．x＜﹣1或x＞3 D．﹣1≤x≤3 3．若m＞n，下列不等式一定成立的是（　　） A．m﹣2＞n+2 B．2m＞2n C． D．m2＞n2 4．如图，直线a∥b，点A在直线a上，点C、D在直线b上，且AB⊥BC，BD平分∠ABC，若∠1＝33°，则∠2的度数是（　　） A．12° B．13° C．14° D．15° 5．如果x＝3m+1，y＝2+9m，那么用x的代数式表示y为（　　） A．y＝2x B．y＝x2 C．y＝（x﹣1）2+2 D．y＝x2+1 6．中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？其大意是：今有良田1亩价值300钱；劣田7亩价值500钱．今合买良、劣田1顷（100亩），价值10000钱．问良田、劣田各有多少亩？设良田为x亩，劣田为y亩，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 7．如图，七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线交于点O，若∠1，∠2，∠3，∠4的外角和等于215°，则∠BOD的度数为（　　） A．20° B．35° C．40° D．45° 8．如图，∠MAN＝α（0°＜α＜90°），点B、C分别在AM、AN上运动（不与点A重合），连接BC，将△ABC沿BC折叠，点A落在点A′的位置，则下列结论：①当点A'落在∠MAN的一边上时，△ABC为直角三角形；②当点A'落在AN边上时，∠NA′B＝2∠A；③当点A'落在∠MAN内部时，∠MBA′+∠NCA′＝2∠A；④当点A'落在∠MAN外部时，|∠MBA'﹣∠NCA'|＝2∠A．其中正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②④ D．①③④ 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9．流感病毒的直径约为0.00000072m，其中0.00000072用科学记数法可表示为 　 　 ． 10．命题“如果x＝1，那么x2＝1”的逆命题是　 　 命题．（填“真”或“假”） 11．如图，三角形ABC沿射线BC方向平移到三角形DEF（点E在线段BC上），如果BC＝10cm，EC＝6cm，那么平移距离为 　 　 ． 12．若m﹣n＝2，mn＝﹣1，则m2+n2＝　 　 ． 13．三角形的两边长分别为2和5，第三边长为奇数，该三角形的周长为 　 　 ． 14．如图，在长为20，宽为15的长方形中，有形状、大小完全相同的5个小长方形． 则图中阴影部分的面积为　 　 ． 15．如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF，△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC＝18，则S△ADF﹣S△BEF＝ 　 16．如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AD是角平分线，点E、F分别在边AC、BC上，∠CEF＝45°，CF＜CD．将△CEF绕点C以每秒5°的速度按逆时针方向旋转一周，旋转时间为t．当t＝　 　 秒时，有EF∥AD． 三、解答题 17．（本题8分）（1）； （2）a3•a5+（a2）4+（2a4）2． 18．（1）（4分）解方程组：； （2）（4分）解不等式组，并写出所有整数解。 19．（本题6分）先化简，再求值：（m﹣2n）2﹣（m﹣n）（m+n）+2mn，其中 ，n＝2． 20．（本题6分）已知：如图，C是AE的中点，AB∥CD，且∠B＝∠D．求证：△ABC≌△CDE． 21．（本题6分）网格作图：在如图所示的方格纸中，每个小方格的边长都为1个单位．已知△ABC，△DEF的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点），直线l在格线上． （1）请画出△ABC向上平移5个单位后的△A1B1C1； （2）请画出△D1E1F1，使它与△DEF关于直线l对称； （3）请在直线l上画出一点P，使得线段PC，PE的长度和最小． 22．（本题8分）2025年春节凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如表： A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 2 1 200 3 2 340 （1）求A、B两种型号智能机器人的单价； （2）现该企业用了520万元购进以上型号智能机器人（两种型号智能机器人均有购买），请你求出所有购买方案． 23．（本题8分）已知：如图，△ABC中，∠B＝90°． （1）在AC上作一点D，使得AD＝AB；在BC上作一点E，使得△ABE与△ADE关于直线AE对称；（请用无刻度的直尺与圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，请猜想∠BAC与∠DEC的数量关系，并说明理由． 24．（本题8分）对于任意有理数a、b、c、d，定义一种新运算：．． （1）　 　 ； （2）对于有理数x、y，若x+y＝10，xy＝22． ①求的值； ②将长方形ABCD和长方形CEFG按照如图方式进行放置，其中点B、C、G在同一条直线上，点E在边CD上，连接BD、BF．若AD＝x，AB＝nx，FG＝y，EF＝ny，图中阴影部分的面积为45，求n的值． 25．（本题10分）若两个角之差的绝对值等于60°，则称这两个角互为“互优角”．即若|∠α﹣∠β|＝60°，则称∠α和∠β互为“互优角”．（本题中所有角都是大于0°且小于180°的角） （1）若∠1和∠2互为“互优角”，当∠1＝90°时，则∠2＝ 　 　 ； （2）如图1，将一长方形纸片沿着EP折叠，（点P在线段BC上，点E在线段AB上），使点B落在B′，若∠EPB′与∠B′PC互为“互优角”，求∠BPE的度数； （3）再将纸片沿着PF折叠（点F在线段CD或AD上），使点C落在C′，若∠B′PC′与∠EPF互为“互优角”，则∠BPE+∠CPF＝ 　 　 ． 答案与解析 1．选：C． 2．如图，用不等式表示数轴上所示的解集，正确的是（　　） A．x＜﹣1或x≥3 B．﹣1＜x≤3 C．x＜﹣1或x＞3 D．﹣1≤x≤3 【解答】解：数轴上所表示的不等式的解集为﹣1＜x≤3， 故选：B． 3．若m＞n，下列不等式一定成立的是（　　） A．m﹣2＞n+2 B．2m＞2n C． D．m2＞n2 【解答】解：A、由m＞n可得m﹣2＞n﹣2，故选项运算错误，不符合题意； B、两边都乘以2，不等号的方向不变，故B正确； C、左边除以﹣2，右边除以﹣2，不等号方向改变，故C错误； D、若0＞m＞n，则m2＞n2不成立，不符合题意； 故选：B． 4．如图，直线a∥b，点A在直线a上，点C、D在直线b上，且AB⊥BC，BD平分∠ABC，若∠1＝33°，则∠2的度数是（　　） A．12° B．13° C．14° D．15° 【解答】解：延长CB交直线a于点E，如图， ∵AB⊥BC，∠1＝33°， ∴∠AEC＝90°﹣∠1＝57°， ∵a∥b， ∴∠ECF＝∠AEC＝57°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠CBD∠ABC＝45°， ∵∠ECF是△BCD的外角， ∴∠2＝∠ECF﹣∠CBD＝12°． 故选：A． 5．如果x＝3m+1，y＝2+9m，那么用x的代数式表示y为（　　） A．y＝2x B．y＝x2 C．y＝（x﹣1）2+2 D．y＝x2+1 【解答】解：x＝3m+1，y＝2+9m， 3m＝x﹣1， y＝2+（3m）2， y＝（x﹣1）2+2， 故选：C． 6．中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？其大意是：今有良田1亩价值300钱；劣田7亩价值500钱．今合买良、劣田1顷（100亩），价值10000钱．问良田、劣田各有多少亩？设良田为x亩，劣田为y亩，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：依题意有：， 故选：A． 7．如图，七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线交于点O，若∠1，∠2，∠3，∠4的外角和等于215°，则∠BOD的度数为（　　） A．20° B．35° C．40° D．45° 【解答】解：∵∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为215°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4+215°＝4×180°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4＝505°， ∵五边形OAGFE内角和＝（5﹣2）×180°＝540°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠BOD＝540°， ∴∠BOD＝540°﹣505°＝35°， 故选：B． 8．如图，∠MAN＝α（0°＜α＜90°），点B、C分别在AM、AN上运动（不与点A重合），连接BC，将△ABC沿BC折叠，点A落在点A′的位置，则下列结论：①当点A'落在∠MAN的一边上时，△ABC为直角三角形；②当点A'落在AN边上时，∠NA′B＝2∠A；③当点A'落在∠MAN内部时，∠MBA′+∠NCA′＝2∠A；④当点A'落在∠MAN外部时，|∠MBA'﹣∠NCA'|＝2∠A．其中正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②④ D．①③④ 【解答】解：如图，当点A落在∠MAN 的AN边上时， ∵∠ACB＝∠ACB，∠ACB+∠ACB＝180°， ∴∠ACB＝∠ACB＝90°， ∴△ABC是直角三角形， 当点A落在∠MAN的AM边上时， 同理，∠ABC＝∠ABC＝90°， ∴△ABC是直角三角形，故①正确； 当点A落在∠MAN的AN边上时， ∵∠A＝∠CAB，∠NAB+∠CAB＝180°， ∴∠NAB+∠A＝180°， ∴∠NAB＝2∠A，不一定成立，故②错误； 当点A落在∠MAN内部时，过点A作AE∥AN，点B作BFAN，则BF∥AE， 则BFAE， ∴∠NCA＝∠CAE，∠FBA＝∠EAB， ∴∠NCA+∠FBA＝∠EAB+∠CAE＝∠CAB＝∠A， ∵∠MBF＝∠A， ∴∠MBF+∠FBA+∠NCA＝2∠A， ∴∠MBA+∠NCA＝2∠A，故③正确； 当点A′落在∠MAN的AN边下方时，过点A′作A′E∥AN，点B作BF∥AN， 则BF∥A′E， ∴∠NCA′＝∠CA′E．∠FBA′＝∠EA′B， ∴∠EA′B＝∠CA′E+CAB＝∠FBA′，∠MBF＝∠A， ∵∠A＝∠CAB， ∴∠MBA′﹣∠A＝∠CA′B+∠EA′C＝∠A+∠NCA′， ∴∠MBA′﹣∠NCA′＝2∠A； 当点A′落在∠MAN 的AM边上方时，过点A′作AE∥|AN，点B作BF∥AN， 则BF∥A′E， ∴FBA′+∠EAB＝180°，∠NCA'+∠EA′C＝180°，∠A＝∠MBF， ∵∠A＝∠CAB， ∴∠FBA′﹣∠MBA′＝∠EAB﹣∠EA′C， ∴∠FBA′﹣∠MB′＝（180°﹣∠FBA′）﹣（180°﹣∠NCA）， ∴2∠FBA﹣∠MBA＝∠NCA， ∵∠FBA′＝∠MBA′+∠MBF＝∠MBA′+∠A， ∴2（∠MBA′+∠A）﹣∠MBA′＝∠NCA′，即∠NCA′﹣∠MBA′＝2∠A； ∴|∠MBA′﹣∠NCA′|＝2∠A，故④正确； 故选：D． 9．流感病毒的直径约为0.00000072m，其中0.00000072用科学记数法可表示为 　7.2×10﹣7 ． 【解答】解：0.00000072＝7.2×10﹣7， 故答案为：7.2×10﹣7． 10．命题“如果x＝1，那么x2＝1”的逆命题是　如果x2＝1，那么x＝1　 ，该逆命题是　假　 （填“真”或“假”）命题． 【解答】解：命题“如果x＝1，那么x2＝1”的逆命题是如果x2＝1，那么x＝1，逆命题假命题． 故答案为：如果x2＝1，那么x＝1，假． 11．如图，三角形ABC沿射线BC方向平移到三角形DEF（点E在线段BC上），如果BC＝10cm，EC＝6cm，那么平移距离为 　4cm ． 【解答】解：∵BC＝10cm，EC＝6cm， ∴BE＝BC﹣EC＝10﹣6＝4（cm）， 即平移的距离为4cm， 故答案为：4cm． 12．若m﹣n＝2，mn＝﹣1，则m2+n2＝　2　 ． 【解答】解：由题意可得：原式＝（m﹣n）2+2mn＝22+2×（﹣1）＝2． 故答案为：2． 13．三角形的两边长分别为2和5，第三边长为奇数，该三角形的周长为 　12　 ． 【解答】解：设第三边长为x． 根据三角形的三边关系，则有5﹣2＜x＜5+2， 即3＜x＜7． ∵第三边长为奇数， ∴x＝5． ∴周长＝2+5+5＝12． 故答案为：12． 14．如图，在长为20，宽为15的长方形中，有形状、大小完全相同的5个小长方形． （1）求每一个小长方形的长与宽． （2）求阴影部分的面积． 【解答】解：（1）设小长方形的长为x，宽为y， 根据题意列二元一次方程组得： ， 解得：， 答：小长方形的长为12，宽为4； （2）20×15﹣5×12×4＝60，即阴影部分的面积为60． 15．如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF，△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC＝18，则S△ADF﹣S△BEF＝ 3 【解答】解：∵EC＝2BE， ∴S△AECS△ABC12， ∵点D为AC中点， ∴S△BCDS△ABC9， ∴S△AEC﹣S△BCD＝3， 即S△ADF+S四边形CEFD﹣（S△BEF+S四边形CEFD）＝3， ∴S△ADF﹣S△BEF＝3． 16．如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AD是角平分线，点E、F分别在边AC、BC上，∠CEF＝45°，CF＜CD．将△CEF绕点C以每秒5°的速度按逆时针方向旋转一周，旋转时间为t．当t＝　69或33　 秒时，有EF∥AD． 【解答】解：延长DC交EF于点H， ∵EF∥AD， ∴∠ADH+∠FHC＝180°， ∴∠FHC＝120°， ∴∠FCH＝180°﹣∠CHF﹣∠CFE＝15°， ∴∠FCD＝165°， ∴t33， 当旋转角＞180°时， 同理可求：t69， 综上所述：t的值为33或69， 故答案为：33或69． 17．计算或化简： （1）； （2）a3•a5+（a2）4+（2a4）2． 【解答】解：（1）原式＝1+4﹣5÷1 ＝5﹣5 ＝0； （2）原式＝a8+a8+4a8 ＝6a8． 18．（1）解方程组：； （2）求不等式的解集． 【解答】解：（1）， ①×3﹣②，得：﹣x＝﹣1， 解得：x＝1． 将x＝1代入①得：2﹣y＝1， 解得：y＝1． ∴； （2）， 去分母得，2（3x﹣1）﹣3（x+1）≤6， 去括号得，6x﹣2﹣3x﹣3≤6， 移项得，6x﹣3x≤6+2+3， 合并同类项得，3x≤11， x的系数化为1得，x． 19．先化简，再求值：（m﹣2n）2﹣（m﹣n）（m+n）+2mn，其中 ，n＝2． 【解答】解：原式＝m2﹣4mn+4n2﹣（m2﹣n2）+2mn ＝m2﹣4mn+4n2﹣m2+n2+2mn ＝5n2﹣2mn， 当m，n＝2时， 原式＝5×（﹣2）2﹣2×（）×2 ＝5×4+2 ＝20+2 ＝22． 20．已知：如图，C是AE的中点，AB∥CD，且∠B＝∠D．求证：△ABC≌△CDE． 【解答】证明：∵C是AE的中点， ∴AC＝CE， ∵AB∥CD， ∴∠A＝∠DCE， 在△ABC和△CDE中， ， ∴△ABC≌△CDE（AAS）． 21．网格作图：在如图所示的方格纸中，每个小方格的边长都为1个单位．已知△ABC，△DEF的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点），直线l在格线上． （1）请画出△ABC向上平移5个单位后的△A1B1C1； （2）请画出△D1E1F1，使它与△DEF关于直线l对称； （3）请在直线l上画出一点P，使得线段PC，PE的长度和最小． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求． （2）如图，△D1E1F1即为所求． （3）如图，连接CE1，交直线l 于点P，连接PE， 此时PC+PE＝PC+PE1＝CE1，为最小值， 则点P即为所求． 22．2025年春节凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如表： A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 2 1 200 3 2 340 （1）求A、B两种型号智能机器人的单价； （2）现该企业用了520万元购进以上型号智能机器人（两种型号智能机器人均有购买），请你求出所有购买方案． 【解答】解：（1）设A型智能机器人的单价为x元，B型智能机器人的单价为y元， 根据题意得：， 解得：． 答：A型智能机器人的单价为60元，B型智能机器人的单价为80元； （2）设购进m台A型智能机器人，n台B型智能机器人， 根据题意得：60m+80n＝520， ∴m， 又∵m，n均为正整数， ∴或， ∴共有2种购买方案， 方案1：购进6台A型智能机器人，2台B型智能机器人； 方案2：购进2台A型智能机器人，5台B型智能机器人． 23．已知：如图，△ABC中，∠B＝90°． （1）在AC上作一点D，使得AD＝AB；在BC上作一点E，使得△ABE与△ADE关于直线AE对称；（请用无刻度的直尺与圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，请猜想∠BAC与∠DEC的数量关系，并说明理由． 【解答】解：（1）如图所示； （2）猜想∠BAC＝∠DEC， 理由：由（1）知，△ABE与△ADE关于直线AE对称， ∴∠ADE＝∠B＝90°， ∴∠CDE＝∠B＝90°， ∵∠C＝∠C， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，∠DEC＝180°﹣∠EDC﹣∠C， ∴∠BAC＝∠DEC． 24．对于任意有理数a、b、c、d，定义一种新运算：．． （1）　﹣4　 ； （2）对于有理数x、y，若x+y＝10，xy＝22． ①求的值； ②将长方形ABCD和长方形CEFG按照如图方式进行放置，其中点B、C、G在同一条直线上，点E在边CD上，连接BD、BF．若AD＝x，AB＝nx，FG＝y，EF＝ny，图中阴影部分的面积为45，求n的值． 【解答】解：（1）原式＝12+（﹣1）2﹣2×3＝﹣4， 故答案为：﹣4； （2）①∵x+y＝10，xy＝22， ∴原式＝12+x2﹣1×（1﹣y2） ＝x2+y2 ＝（x+y）2﹣2xy ＝100﹣44 ＝56； ②如图，连接BE， S阴影部分＝S△BDE+S△CEF＝45， 即x（nx﹣y）y•ny＝45， ∴n（x2+y2）xy＝45， 也就是n[（x+y）2﹣2xy]xy＝45， ∵x+y＝10，xy＝22， ∴n×（102﹣2×22）22＝45， 解得n＝2． 25．若两个角之差的绝对值等于60°，则称这两个角互为“互优角”．即若|∠α﹣∠β|＝60°，则称∠α和∠β互为“互优角”．（本题中所有角都是大于0°且小于180°的角） （1）若∠1和∠2互为“互优角”，当∠1＝90°时，则∠2＝ 　60°或150°　 ； （2）如图1，将一长方形纸片沿着EP折叠，（点P在线段BC上，点E在线段AB上），使点B落在B′，若∠EPB′与∠B′PC互为“互优角”，求∠BPE的度数； （3）再将纸片沿着PF折叠（点F在线段CD或AD上），使点C落在C′，若∠B′PC′与∠EPF互为“互优角”，则∠BPE+∠CPF＝ 　140°或100°或60°　 ． 【解答】解：（1）∵∠1和∠2互为“互优角”， |∠1﹣∠2|＝60°， ∵∠1＝90°， ∴|90°﹣∠2|＝60°， ∴∠2＝30°或∠2＝150°， 故答案为：30°或150°； （2）设∠EPB′＝∠EPB＝α，则∠B′PC＝180°﹣2α， ∵∠EPB′与∠B′PC互为“互优角”， ∴|180°﹣2α﹣α|＝60°， ∴α＝40°或α＝80°； （3）设∠APB′＝∠BPE＝α，∠C′PF＝′CPF＝β， 如图1﹣1和图1﹣2 当C′在∠BPE或∠EPB′内时， ∠B′PC′＝∠C′PF﹣∠B′PF＝β﹣（180°﹣2α﹣β）＝2α+2β﹣180°， ∠EPF＝180°﹣α﹣β， ∵∠B′PC′与∠EPF互为“互优角”， ∴|180°﹣α﹣β﹣（2α+2β﹣180°）|＝60°， ∴α+β＝140°或α+β＝100°， 如图2， 当C′在∠BPB′外部时， ∠B′PC′＝180°﹣2α﹣2β， ∠EPF＝180°﹣α﹣β， ∴（180°﹣α﹣β）﹣（180°﹣2α﹣2β）＝60°， ∴α+β＝60°， 综上所述：∠BPF+∠CPF＝140°或100°或60°， 故答案为：140°或100°或60°． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $