11.2 提公因式法 课件-2025-2026学年青岛版数学七年级下册

该初中数学课件聚焦“提公因式法”，通过“如何将多项式因式分解”的问题导入，衔接多项式乘法，以逆用乘法分配律为支架，引导学生从观察多项式各项共同因式入手，逐步建立公因式概念及确定方法。 其亮点在于以“观察-概括-应用”为主线，通过含负系数、多项式公因式的实例（如-x²-2x、(x+1)²+(x+1)），培养学生抽象能力与推理意识，课堂小结系统归纳“三看”（数字、字母、指数）确定公因式的模型，助力学生提升运算能力，也为教师提供清晰的教学流程与典型案例。

第11章 因式分解 11.2 提公因式法 学习目标 1.了解公因式的概念，会确定多项式各项的公因式，体会整体的数学思想。 2.能用提公因式法把多项式因式分解，提高运算能力。 新课导入 因式分解是将一个多项式化成整式的乘积形式,我们如何进行因式分解呢? 新课讲授 观察多项式ma+mb+mc,它有几项? 它的各项有什么共同之处? 在一个多项式中,各项都含有的相同因式叫作这个多项式中各项的公因式。 m·a + m·b + m·c 因式为m和c。 因式为m和a。 因式为m和b。 多项式ma+mb+mc有ma,mb,mc三项,每一项都有因式m。 新课讲授 ma+mb+mc = m(a+b+c) 逆用乘法分配律 把公因式m提到了括号外面。 因式分解 公因式提出来， 剩下的括起来。 新课讲授 确定下列多项式的公因式。 思考： 在一个多项式中,各项都含有的相同因式叫作这个多项式中各项的公因式。 （1）x2+2x 因式为2和x。 因式为x和x。 所以公因式为x。 新课讲授 思考： 在一个多项式中,各项都含有的相同因式叫作这个多项式中各项的公因式。 （2）2x2+4x 因式为2、2和x。 因式为2、x和x。 所以公因式为2x。 变式1:16x2+24x 变式2:16x4+24x3 公因式为8x3。 公因式为8x。 确定下列多项式的公因式。 新课讲授 思考： 在一个多项式中,各项都含有的相同因式叫作这个多项式中各项的公因式。 （3）-x2-2x （4）（x+1）2+（x+1） 所以公因式为-x。 因式为2和-x。 因式为x和-x。 因式为(x+1)。 因式为（x+1）和（x+1）。 所以公因式为(x+1)。 确定下列多项式的公因式。 观察发现 用简便算法计算 25 =25 =25 =5000 用字母m,a,b,c 代表25，73，26，101 得到 ma+mb+mc 观察发现 ma+mb+mc 有几项，它们有什么共同特点？ 该多项式有三项，分别是 ma, mb, mc , 每一项都有因式m. m就是它们的公因式。 用自己的语言总结什么是多项式的公因式？ 公因式：在多项式中，各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的公因式。 新课讲授 讨论如何确定一个多项式的公因式？ （1） x2+2x 公因式为 （2）2x2+4x 公因式为 （3）-x2-2x 公因式为 （4）（x+1）2+（x+1）公因式为 x 2x -x (x+1) 新课讲授 概括与表达： 如何确定一个多项式的公因式？ 1看数字： 2看字母： 3看指数： 注意： 多项式的公因式可以是单项式也可以是多项式。 取多项式每一项中数字因数的最大公约数。 取多项式每一项中的相同字母。 取多项式每一项中的相同字母的最小指数。 新课讲授 ma+mb+mc = m(a+b+c) 逆用乘法分配律 把公因式m提到了括号外面。 因式分解 2a2+4ab= 2a(a+2b) 因式分解 一般地,如果一个多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提取出来,将多项式化成公因式与另一个因式的乘积的形式,这种分解因式的方法叫作提公因式法。 概括与表达： 方法总结： 公因式提出来，剩下的括起来。 观察发现 类比着数学式子，逆用乘法对加法的分配律，把公因式m 提出来， 得到ma+mb+mc=m(a+b+c) 把多项式进行了因式分解，m 与a+b+c是这个多项式的因式。 a+b+c=(ma+mb+mc) 思考交流 多项式ab中各项的公因式是什么？怎样把它进行因式分解？ 4ab的因式有：2,2 ,a,b 所以它们的公因式为：2a, ab). 所以：ab=2a(a+2b) 新课讲授 ma+mb+mc = m(a+b+c) 逆用乘法分配律 把公因式m提到了括号外面。 因式分解 2a2+4ab= 2a(a+2b) 因式分解 一般地,如果一个多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提取出来,将多项式化成公因式与另一个因式的乘积的形式,这种分解因式的方法叫作提公因式法。 公因式提出来，剩下的括起来。 典例分析 例1 将下列各式因式分解: (1)3a2+12a; (2)-4x2y-16xy+8x2。 解:(1)3a2+12a =3a·a+3a·4 =3a(a+4)。 当首项系数为负时，一般把负号提出来。 (2)-4x2y-16xy+8x2 = (-4x)·xy+(-4x)·4y+(-4x)·(-2x) = -4x(xy+4y-2x)。 学以致用 1、小明对下面这道题进行因式分解，他做对了吗？ (1)2m2+6n +2=2(m2+3n) (2)4x3y-8x2 =4x(x2y-2x) 注意： 1、当多项式的某一项为这个多项式的公因式时，公因式提出来之后，这一项变为1. 2、公因式要提彻底。 3、可以从右边到左边利用整式乘法进行检验。 学以致用 2、将下列各式因式分解 （1）m2-m （2）14x2y-21xy (3) -a3-3a2+a =-a(a2+3a-1) =7xy(2x-3) =m(m-1) 思考交流 确定下列多项中各项的公因式 (1) 公因式： 2ab (2) 公因式：4 思考交流 思考 ，通过上面的几道题，总结如何找公因式？ 1，系数：各项系数的最大公约数。 2，字母：各项中含有的相同字母。 3，指数：相同字母的最低次幂。 概括表达 提公因式法；一般地，如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式化成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 提公因式法的前提是，有公因式。把公因式一次性提取出来。 典例分析 例2 将下列各式因式分解: (1)a(m-6)+b(m-6); (2)3(a-b)+a(b-a)。 解:(1)a(m-6)+b(m-6) =(m-6)(a+b)。 (2)3(a-b)+a(b-a) =3(a-b)-a(a-b) =(a-b)(3-a)。 体会数学整体思想的运用。 学以致用 将下列各式因式分解: (1)m(a-3)+2(3-a) (2)2a(a-3)+6a2(3-a) 解:(1)m(a-3)+2(3-a) =m(a-3)-2(a-3) =(m-2)(a-3) (2)2a(a-3)+6a2(3-a) =2a(a-3)-6a2(a-3) =2a(a-3)(1-3a) 典型例题 例3 将下列各式因式分解：   ； .   （1）分析; 先找公因式，为3a, (2) 公因式为：-4x 解：(1) =3a(a+4) (2) =-4 注意：如果多项式的第一项是负的，要把“-”提出来，提“-”号后，每一项都要改变符号。 课堂小结 你这节课有什么收获？与同学交流一下。 一、如何确定一个多项式的公因式？ 1看数字：取多项式每一项中数字因数的最大公约数。 2看字母：取多项式每一项中的相同字母。 3看指数：取多项式每一项中的相同字母的最小指数。 注意： 多项式的公因式可以是单项式也可以是多项式。 当首项系数为负时，一般把负号提出来。 二、提公因式法因式分解 方法总结： 公因式提出来，剩下的括起来。 注意：可以从右边到左边利用整式乘法进行检验。 $