精品解析：2026年云南省昆明市西山区二模数学试题

数学练习题 （全卷三个大题，共27个小题，共8页：满分100分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生解题作答必须在答题卡上．答案书写在答题卡相应位置上（不能改动答题卡上的标题题号），在试题卷草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 早在两千多年前的《九章算术》中就有正负数的记载．如果盈利300元记作元，那么亏损200元记作（ ） A. 100元 B. 元 C. 200元 D. 元 2. 滇池草海隧道是我国重要的高原湖泊水下隧道，工程总投资约元，将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线与直线，都相交．若，，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 一个九边形的外角和等于（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示的几何体是由六个大小相同的正方体搭成的，这个几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 7. 反比例函数的图象经过点，则的值为（ ） A. 6 B. C. D. 8. 中国的航天技术已达到世界先进水平，为世界科技进步贡献了中国智慧．以下航天图标中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 9. 有甲，乙，丙，丁四台机床生产一种直径为的圆柱形零件，从各自生产的零件中任意抽取10件进行检测，得出四台机床生产的零件直径的平均数均为，方差如下表： 机床型号 甲 乙 丙 丁 方差 0.012 0.020 0.015 0.102 则这四台机床生产的零件直径最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 10. 函数的自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，与交于，且，，则与的周长之比为（ ） A. B. C. D. 12. 按一定规律排列的单项式：，，，，…，则第个单项式是（ ）． A. B. C. D. 13. 如图，一把梯子 长 5 米，靠在垂直于水平地面的墙上，若梯子与地面的夹角为 ，则梯子底端 A 到墙面的距离为（ ） A. B. C. D. 14. “立身以立学为先，立学以读书为本”．为鼓励师生阅读，某校图书馆开展阅读活动，自活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆阅读人次为，第三个月进馆阅读人次为，若进馆阅读人次的月增长率相同，设月增长率为，依题意可列方程为（    ） A. B. C. D. 15. 如图，点，，在上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 分解因式：______． 17. 如图，菱形花坛，沿着菱形的对角线修建两条小路和，若米，米，则菱形花坛的面积是___________ 平方米． 18. 某中学为了解全校600名学生对书法，绘画，乐器，舞蹈和手工五类课余活动的喜爱情况，就“我最喜爱的课余活动”进行随机抽样调查．如图是根据调查结果绘制的扇形统计图．根据图中的信息可知，该校600名学生中，最喜爱书法活动的学生大约有________名． 19. 某同学用一张半径为的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为，那么这张扇形纸板的面积是________（结果保留）． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 计算：． 21. 如图，在和中，，，． 求证：． 22. 云南文旅小店购进鲜花饼礼盒和云腿小饼礼盒两种本土特色伴手礼． 请根据下面有关鲜花饼礼盒和云腿小饼礼盒的价格信息，求出鲜花饼礼盒的单价． 23. 傣族泼水节是云南最具代表性的民族节日之一，泼水互动，龙舟体验，孔明灯祈福等活动热闹非凡．某校民俗兴趣小组在一次泼水节活动体验中，甲同学从泼水互动，龙舟体验，孔明灯祈福三项活动中随机选择一项参与体验，乙同学从泼水互动，孔明灯祈福两项活动中随机选择一项参与体验，每项活动被选取的可能性相同．记选择“泼水互动”为，选择“龙舟体验”为，选择“孔明灯祈福”为．记甲同学的选择为，乙同学的选择为． （1）请用列表法或树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； （2）求甲，乙两位同学选择相同活动的概率． 24. 如图，在四边形中，，，过点作，交的延长线于点，连接，平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）过点作于点，延长交于点．若，，求四边形的面积． 25. 请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 学校为表彰在运动会上成绩优秀的同学，计划购买甲，乙两种奖品． 素材一 购买甲种奖品5件和乙种奖品2件需花费260元； 素材二 购买甲种奖品3件和乙种奖品6件需花费300元； 素材三 学校计划购买甲，乙两种奖品共100件（两种奖品均需购买），其中购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍． 请完成下列任务： （1）任务一：甲，乙两种奖品的单价各是多少元？ （2）任务二：给出最节省费用的购买方案，并求出最少总费用． 26. 已知抛物线（，，为常数，）． （1）若拋物线的对称轴为直线，试说明； （2）若抛物线与轴的两个交点分别为和，且，，求证：． 27. 如图1，已知为的直径，弦，连接，点在延长线上，点在上，且，，连接，，，． （1）若，求的长； （2）求证：是的切线； （3）小明通过课外阅读得知一个几何定理：在同一平面内，若一个四边形的一组对角互补，则该四边形的四个顶点共圆．请你依据此结论，如图2，过点作的平行线交的延长线于点，延长，交于点，连接，试证明点在上．若点恰好为的中点，请判断是否存在常数使得，若存在，请直接写出的值，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学练习题 （全卷三个大题，共27个小题，共8页：满分100分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生解题作答必须在答题卡上．答案书写在答题卡相应位置上（不能改动答题卡上的标题题号），在试题卷草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 早在两千多年前的《九章算术》中就有正负数的记载．如果盈利300元记作元，那么亏损200元记作（ ） A. 100元 B. 元 C. 200元 D. 元 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵盈利和亏损是一对相反意义的量，题目规定盈利记为正， ∴亏损应记为负，因此亏损元记作元． 2. 滇池草海隧道是我国重要的高原湖泊水下隧道，工程总投资约元，将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 3 如图，直线与直线，都相交．若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先算出的补角，再根据两直线平行同位角相等得到． 【详解】解：如图， ，， ， ， ． 4. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、应为，故本选项错误； B、应为，故本选项错误； C、应为，故本选项错误； D、，正确． 5. 一个九边形的外角和等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查多边形外角和，解答本题的关键是明确n边形外角和为． 【详解】解：多边形的外角和等于． 故选：B． 6. 如图所示的几何体是由六个大小相同的正方体搭成的，这个几何体的俯视图是（ ） A. B. C D. 【答案】A 【解析】 【分析】从上面观察物体所得到的视图是俯视图，掌握从上面看得到的图形的特征是解题关键． 【详解】解：从上面看共有2行，上面第一行有3个正方形，第二行最右侧有1个正方形， 据此判断即可得出答案选A． 7. 反比例函数的图象经过点，则的值为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把点代入，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴． 8. 中国的航天技术已达到世界先进水平，为世界科技进步贡献了中国智慧．以下航天图标中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 9. 有甲，乙，丙，丁四台机床生产一种直径为的圆柱形零件，从各自生产的零件中任意抽取10件进行检测，得出四台机床生产的零件直径的平均数均为，方差如下表： 机床型号 甲 乙 丙 丁 方差 0.012 0.020 0.015 0.102 则这四台机床生产的零件直径最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】平均数相同时，方差越小，数据波动越小，生产的零件尺寸越稳定，只需比较四台机床的方差大小即可得出结论． 【详解】解：∵四台机床生产零件直径的平均数相同， 又，甲的方差最小， ∴甲机床生产的零件直径波动最小，最稳定． 10. 函数的自变量的取值范围是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数，列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次根式中，被开方数为非负数时根式才有意义， ∴函数中，被开方数满足， 解不等式得， 因此自变量的取值范围是． 11. 如图，与交于，且，，则与的周长之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似三角形的周长之比等于相似比，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴与的周长之比等于． 12. 按一定规律排列的单项式：，，，，…，则第个单项式是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：观察题干的数列，可总结出规律如下： 第个单项式，其系数为，字母的次数为，字母的次数为， ∴第个单项式为． 13. 如图，一把梯子 长 5 米，靠在垂直于水平地面的墙上，若梯子与地面的夹角为 ，则梯子底端 A 到墙面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：由图可知，梯子底端 A 到墙面的距离为. 14. “立身以立学为先，立学以读书为本”．为鼓励师生阅读，某校图书馆开展阅读活动，自活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆阅读人次为，第三个月进馆阅读人次为，若进馆阅读人次的月增长率相同，设月增长率为，依题意可列方程为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据月增长率，第一个月进馆阅读人次为，第三个月的人次是第一个月的倍，第三个月进馆阅读人次为，据此列方程即可． 【详解】解：因为月增长率为， 则第二个月人次为， 第三个月人次为； 即 ； 故选C． 15. 如图，点，，在上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据圆周角定理计算出，再根据等边对等角得出， 最后利用三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 分解因式：______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．符合完全平方公式的结构形式，直接利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： 故答案为：． 17. 如图，菱形花坛，沿着菱形的对角线修建两条小路和，若米，米，则菱形花坛的面积是___________ 平方米． 【答案】120 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质求面积，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求解． 【详解】解：菱形花坛，米，米， ∴菱形花坛的面积是米， 故答案为：120 ． 18. 某中学为了解全校600名学生对书法，绘画，乐器，舞蹈和手工五类课余活动的喜爱情况，就“我最喜爱的课余活动”进行随机抽样调查．如图是根据调查结果绘制的扇形统计图．根据图中的信息可知，该校600名学生中，最喜爱书法活动的学生大约有________名． 【答案】90 【解析】 【分析】用600乘以样本中最喜爱书法活动的学生人数所占的百分比即可． 【详解】解：该校600名学生中，最喜爱书法活动的学生大约有(名)． 19. 某同学用一张半径为的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为，那么这张扇形纸板的面积是________（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】求出圆锥的底面周长，再根据扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：圆锥形小丑帽子的底面半径为， 圆锥的底面周长为， 扇形木纸板的半径为， 扇形木纸板的面积为， 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 计算：． 【答案】1 【解析】 【详解】解：原式， ， ． 21. 如图，在和中，，，． 求证：． 【答案】证明：在和中 ， 【解析】 【分析】根据题干的条件，由“边角边”证明两三角形全等即可． 【详解】略． 22. 云南文旅小店购进鲜花饼礼盒和云腿小饼礼盒两种本土特色伴手礼． 请根据下面有关鲜花饼礼盒和云腿小饼礼盒的价格信息，求出鲜花饼礼盒的单价． 【答案】每盒鲜花饼礼盒的单价为元，每盒云腿小饼礼盒的单价为元 【解析】 【分析】设鲜花饼礼盒单价为，根据两种礼盒购买数量相等列分式方程，求解后检验得单价． 【详解】解：设每盒鲜花饼礼盒的单价为元，则每盒云腿小饼礼盒的单价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验：是所列分式方程的解，且符合题目要求， 此时，， 故每盒鲜花饼礼盒的单价为元，每盒云腿小饼礼盒的单价为元． 23. 傣族泼水节是云南最具代表性的民族节日之一，泼水互动，龙舟体验，孔明灯祈福等活动热闹非凡．某校民俗兴趣小组在一次泼水节活动体验中，甲同学从泼水互动，龙舟体验，孔明灯祈福三项活动中随机选择一项参与体验，乙同学从泼水互动，孔明灯祈福两项活动中随机选择一项参与体验，每项活动被选取的可能性相同．记选择“泼水互动”为，选择“龙舟体验”为，选择“孔明灯祈福”为．记甲同学的选择为，乙同学的选择为． （1）请用列表法或树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； （2）求甲，乙两位同学选择相同活动的概率． 【答案】（1）所有可能出现的结果有6种 （2）甲、乙两位同学选择相同活动的概率为 【解析】 【分析】（1）根据题意列表解答即可； （2）根据列表法得出所有可能出现的结果数及甲、乙两位同学选择相同活动的结果数，代入概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：根据题意列表如下： 由表可知，所有可能出现的结果为：，，，，，，它们出现的可能性相等，一共有6种． 答：所有可能出现的结果有6种； （用树状图法的参照列表法给分） 【小问2详解】 解：由表可知，所有可能出现的结果有6种，这些结果出现的可能性相等．其中甲、乙两位同学选择相同活动的结果有2种：，， ． 答：甲、乙两位同学选择相同活动的概率为． 24. 如图，在四边形中，，，过点作，交的延长线于点，连接，平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）过点作于点，延长交于点．若，，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：，， 四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， 四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）由且得四边形为平行四边形，再通过导角证明，得 ，即可证明四边形是菱形． （2）由菱形得，在中利用得、，从而，代入梯形面积公式求四边形的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ， ， ， 在中，， ， ， 四边形的面积． 25. 请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 学校为表彰在运动会上成绩优秀的同学，计划购买甲，乙两种奖品． 素材一 购买甲种奖品5件和乙种奖品2件需花费260元； 素材二 购买甲种奖品3件和乙种奖品6件需花费300元； 素材三 学校计划购买甲，乙两种奖品共100件（两种奖品均需购买），其中购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍． 请完成下列任务： （1）任务一：甲，乙两种奖品的单价各是多少元？ （2）任务二：给出最节省费用的购买方案，并求出最少总费用． 【答案】（1）甲种奖品的单价为40元/件，乙种奖品的单价为30元/件． （2）购买甲种奖品34件，乙种奖品66件时，购买费用最少，最少费用为3340元． 【解析】 【分析】（1）设甲种奖品的单价为元/件，乙种奖品的单价为元/件．根据题意找准等量关系，列出关于的二元一次方程组解方程组即可； （2）设购买甲种奖品件，总费用为元，则购买乙种奖品件，根据题意求得m的取值范围，再根据总费用=甲种奖品的总费用+乙种奖品的总费用，求得，由为正整数，取得当取最小值34时，取得最小值，代入计算即可． 【小问1详解】 解：设甲种奖品的单价为元/件，乙种奖品的单价为元/件． 根据题意得，解得， 答：甲种奖品的单价为40元/件，乙种奖品的单价为30元/件； 【小问2详解】 解：设购买甲种奖品件，总费用为元，则购买乙种奖品件， 为正整数，根据题意得， 解得， 根据题意得， ， 随的增大而增大． 为正整数， 当取最小值34时，取得最小值，此时，(元)， 答：购买甲种奖品34件，乙种奖品66件时，购买费用最少，最少总费用为3340元． 26. 已知抛物线（，，为常数，）． （1）若拋物线的对称轴为直线，试说明； （2）若抛物线与轴的两个交点分别为和，且，，求证：． 【答案】（1）证明：抛物线的对称轴为直线， ， ； （2）证明：∵抛物线与轴的两个交点分别为和，且， ∴由根与系数的关系得：，， ， ， ， ， ，解得， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据拋物线对称轴的公式及拋物线的对称轴为直线，得到等量关系，化简即可； （2）由根与系数的关系得：，，进而得，再由，，得，最后，将，，代入等式左边进行化简证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 27. 如图1，已知为的直径，弦，连接，点在延长线上，点在上，且，，连接，，，． （1）若，求的长； （2）求证：是的切线； （3）小明通过课外阅读得知一个几何定理：在同一平面内，若一个四边形的一组对角互补，则该四边形的四个顶点共圆．请你依据此结论，如图2，过点作的平行线交的延长线于点，延长，交于点，连接，试证明点在上．若点恰好为的中点，请判断是否存在常数使得，若存在，请直接写出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）12 （2）证明：连接 ， ， ， ， ， 又， ， 是的直径， ，即， ，即， ， 是的半径， 是切线． （3）证明：连接， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形内接于， 又， 在和中 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，，四点共圆． ，，上， 点在上； 存在， 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，进而求出； （2）连接，利用等腰三角形性质及圆周角定理推导出，从而证得为切线； （3）由得，结合圆内接四边形性质得，进而证，得到．结合等条件，推出，，，四点共圆，即可得到点在上；推出，从而得到．在中设，得，进一步通过相似三角形得，结合得，进而求出，利用勾股定理和相似面积比公式，代入计算即可． 【小问1详解】 解：，， 四边形是平行四边形， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 解：是的直径， ， ． 在中，是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，设， 由勾股定理得：， ， ． 又， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， 存在使． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $