精品解析：云南省曲靖市2026中考数学模拟检测

2026年云南省初中学业第七次质量诊断性检测数学 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 唐朝是一个诗人辈出的时代，李白、白居易等为我们留下了不朽的经典诗歌篇章．白居易出生于公元年记作年，那么李白出生于公元年记作（ ） A. 年 B. 年 C. 年 D. 年 2. 2026年3月5日，第十四届全国人民代表大会第四次会议在北京人民大会堂开幕．会议期间，李强总理针对开局之年，明确了当年的具体任务．他提出在就业目标上城镇新增就业1200万人以上．数据“1200万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，一条光线经平面镜的反射光线经凹透镜折射后，其折射光线的反向延长线过凹透镜的一个焦点．已知光线的入射角为，反射光线与折射光线的夹角，则光线与光线所夹的锐角为（ ） A. 65° B. C. D. 25° 4. 在反比例函数的图象的每一条曲线上，都随的增大而减小，则的值可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 下列计算错误的是（　　） A. B. C. D. 6. “瓦当”是中国古建筑中覆盖檐头筒瓦前端的遮挡，主要有防水、排水、保护木制飞檐和美化屋面轮廓的作用瓦当上的图案设计优美，字体行云流水，极富变化，是中国特有的文化艺术遗产下面“瓦当”图案中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 7. 若代数式有意义，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 8. 昆明地铁运营方为优化运力调配需要，统计了某工作日晚高峰时段7个代表性站点的进出站总客流人次，统计数据如下表，则这7个数据的中位数是（ ） 站点 西山公园站 西部汽车站 东风广场站 白云路站 梁家河站 昆明火车站 市体育馆站 客流人次（单位：百人） 46 87 245 168 61 198 75 A. 75 B. 87 C. 61 D. 168 9. 明式家具中用到许多榫卯结构，比如燕尾榫．如图是燕尾榫的带榫头部分，下列图形是其俯视图的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是的直径，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 11. 韶关市新华书店对外开放的第一个月共进书店600人次，进书店人次逐月增加，到第三个月月末为止累计进书店2850人次．若设进书店人次的月平均增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 12. 学校开设了“一人一球”的球类选修课，学生可以从乒乓球、足球、排球、篮球、羽毛球中选择一门课进行学习．数学兴趣小组对该校学生球类选修课的选择情况进行随机调查，将收集的数据进行整理并绘制成两幅统计图，下列说法正确的是（ ） A. 此次调查的学生总数是80人 B. 此次调查中，选择乒乓球的学生人数最多 C. 在扇形统计图中，足球所对应的扇形圆心角的度数是 D. 若该校共有学生1000人，则该校选择篮球的学生大约有240人 13. 按一定规律排列的单项式：，，，，，，…．则第个单项式是（ ） A. B. C. D. 14. 如图，在中，是的中点，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，；②以点为圆心，长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，长为半径作弧，在内部交前面的弧于点；④过点作射线交于点．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 15. 如图（1）是我国南方部分地区使用的蒸饭工—甑子．甑体可抽象为立体图形中的圆台图（2）．小明研究发现，圆台可看作是由两个圆锥相减得到的，他画出了其展开图如图（3）所示，若下底面半径，上底面半径，，则圆台的侧面积为（　　） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 分解因式：_____． 17. 已知关于的方程有实数根，则的取值范围是______． 18. 已知一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还多180°，则这个多边形的边数为________． 19. 在新书发布现场，常会将一些新书按一定造型摆放，某数学书籍发行现场，将四本新书按照如图方式摆放在书架的一个格挡中（图中个完全相同的矩形是书的侧面），最左侧的书贴边垂直摆放，其他三本书倾斜摆放，且，最右侧书的一角恰好落在格挡边沿．若已知，则值为______． 三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20. 计算：． 21. 与按如图所示摆放，边分别与，交于点M，O，边与交于点N，若，，．求证：． 22. “激情滇超，燃爆云南”，云南省足球超级联赛(滇超)火热进行中，赛场周边的文创摊位也迎来了销售旺季．某摊主购进了“滇超吉祥物公仔”和“滇超纪念徽章”两种特色周边产品．已知用元购进“滇超吉祥物公仔”的数量比用元购进“滇超纪念徽章”的数量多个，且“滇超吉祥物公仔”的单价比“滇超纪念徽章”的单价贵元．摊主无意间提到，若是拿元全部去进货这种吉祥物公仔，能买到的数量最多也不会超过个．求两种周边产品的单价各是多少元． 根据以上信息，解答下列问题： （1）甲同学：设“滇超吉祥物公仔”的单价为元，可列方程为________；乙同学：设购进的“滇超纪念徽章”数量为个，可列方程为________； （2）请帮助甲同学完成剩下的解题过程． 23. 地理课上，小云和小南复习了地球半球的划分规则：以赤道为界，赤道以北为北半球，以南为南半球；以(西经度)和(东经度)组成的经线圈为界，从向东到为东半球，其余为西半球．以下是小云和小南找出的四个著名城市及其大致经纬度坐标：．北京； ．纽约；．堪培拉； ．惠灵顿． （1）若小云从四个城市中随机选择一个，该城市位于北半球的概率是________； （2）若小云从四个城市中随机选择个城市，小南从后三个城市中随机选择个城市，请通过画树状图法或列表法求两人选择的城市均位于“东半球”的概率． 24. 如图，在四边形中，，对角线，交于点，点是对角线上的一个动点，过点作于点，于点，若，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若的周长与的周长之差为，且，求的值． 25. 云南不仅以茶和咖啡闻名，其得天独厚的自然环境更孕育了被誉为“山珍”的野生菌．如今随着生鲜电商的兴起，云南野生菌正通过“冷链直发”的模式走向全国． 解决问题： 制定采购方案 背景 某主营云南特产的生鲜平台计划采购一批高品质野生菌，该平台选择采购“特级松茸”和“一级牛肝菌”两种产品． 素材 ①该平台首次试水采购了特级松茸和一级牛肝菌，共花费元；②已知采购特级松茸比采购一级牛肝菌多用元． 素材 由于市场反响热烈，该平台计划再次采购这两种野生菌共，设第二次采购特级松茸为． 素材 ①库存与定位指标：为凸显高端定位，要求两次采购后，“特级松茸”的总数量不得少于“一级牛肝菌”总数量的，同时受保鲜冷库单品容量限制，“特级松茸”的总数量不得超过“一级牛肝菌”的总数量； ②物流包装约束：为确保包装规格统一，物流公司要求第二次采购的特级松茸数量必须满足：分式的值必须为正整数． （1）任务：分别求出“特级松茸”和“一级牛肝菌”两种野生菌的单价； （2）任务：在满足所有条件的情况下，共有几种采购方案？其中需要的最少费用是多少？ 26. 已知点，是抛物线上的两点，． （1）若，求抛物线顶点坐标； （2）在（1）的条件下，存在动点，其中，，使得直线，与抛物线都仅有一个公共点，求证：． 27. 如图，四边形是的内接四边形，对角线，垂足为点，且，过点作于点，延长交于点，过点作交延长线于点，延长至点，连接，且满足． （1）若，求的度数； （2）求证：直线是的切线； （3）已知、、、的面积分别为、、、，若，，探究①；②；③三个结论，请从中选出一个恒成立的结论，并结合已知条件进行严格的推理论证，要求写出完整的证明过程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年云南省初中学业第七次质量诊断性检测数学 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 唐朝是一个诗人辈出的时代，李白、白居易等为我们留下了不朽的经典诗歌篇章．白居易出生于公元年记作年，那么李白出生于公元年记作（ ） A. 年 B. 年 C. 年 D. 年 【答案】C 【解析】 【分析】正负数可表示一组具有相反意义的量，先根据已知条件确定基准年份，再计算所求年份与基准的差值即可得到答案． 【详解】解：∵白居易出生于公元年记作年， ∴可得基准年份为年，晚于基准年份记为正，早于基准年份记为负， ∵， ∴李白出生于公元年记作年． 2. 2026年3月5日，第十四届全国人民代表大会第四次会议在北京人民大会堂开幕．会议期间，李强总理针对开局之年，明确了当年的具体任务．他提出在就业目标上城镇新增就业1200万人以上．数据“1200万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】万． 3. 如图，一条光线经平面镜的反射光线经凹透镜折射后，其折射光线的反向延长线过凹透镜的一个焦点．已知光线的入射角为，反射光线与折射光线的夹角，则光线与光线所夹的锐角为（ ） A. 65° B. C. D. 25° 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了物理知识、三角形内角和定理、三角形外角的性质、邻补角的性质等知识点，掌握三角形的相关性质成为解题的关键． 如图：延长相交于点E，由题意可得：，由邻补角的定义可得，再根据三角形外角的性质可得，再最后根据三角形内角和定理求得即可． 【详解】解：如图：延长相交于点E， 由题意可得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选A． 4. 在反比例函数的图象的每一条曲线上，都随的增大而减小，则的值可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵反比例函数的图象的每一条曲线上，都随的增大而减小 ∴比例系数 解得 观察选项，只有选项A的满足． 5. 下列计算错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A. ，该选项计算正确； B. ，该选项计算错误； C. ，该选项计算正确； D. ，该选项计算正确； 6. “瓦当”是中国古建筑中覆盖檐头筒瓦前端的遮挡，主要有防水、排水、保护木制飞檐和美化屋面轮廓的作用瓦当上的图案设计优美，字体行云流水，极富变化，是中国特有的文化艺术遗产下面“瓦当”图案中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一个图形绕一点旋转度，能与自身完全重合，这样的图形叫做中心对称图形，进行判断即可． 【详解】解：根据中心对称图形的概念，选项中，B选项图形绕某点旋转，旋转后的图形与原来的图形完全重合， A、C、D、这三个选项图形绕某点旋转，旋转后的图形不与原来的图形完全重合， 故B选项是中心对称图形． 7. 若代数式有意义，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式和分式有意义的条件，分别列不等式求解，再取公共范围即可得到结果． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， ∴且． 8. 昆明地铁运营方为优化运力调配需要，统计了某工作日晚高峰时段7个代表性站点的进出站总客流人次，统计数据如下表，则这7个数据的中位数是（ ） 站点 西山公园站 西部汽车站 东风广场站 白云路站 梁家河站 昆明火车站 市体育馆站 客流人次（单位：百人） 46 87 245 168 61 198 75 A. 75 B. 87 C. 61 D. 168 【答案】B 【解析】 【分析】根据数据个数为奇数，取最中间位置的数即为中位数． 【详解】解：将这7个数据按从小到大的顺序排列得：， ∵数据总个数为7，是奇数， ∴这组数据的中位数为． 9. 明式家具中用到许多榫卯结构，比如燕尾榫．如图是燕尾榫的带榫头部分，下列图形是其俯视图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据立体图形的特征判断俯视图的轮廓线及虚实情况，即可解题． 【详解】解：∵该几何体是燕尾榫的带榫头部分，其上部榫头为燕尾形（上宽下窄），下部为长方体底座，且底座宽度大于榫头顶部宽度， ∴从上面看（俯视图），能看到底座的外轮廓（实线长方形）和榫头的顶面（实线长方形）， ∵榫头侧面倾斜，且顶部宽于根部 ∴榫头与底座连接的根部棱线被榫头顶部遮挡，不可见，应画为虚线 ∴俯视图应为 10. 如图，是的直径，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆周角定理可求出的度数，再利用平角定义求出． 【详解】解：∵ 是的直径 11. 韶关市新华书店对外开放的第一个月共进书店600人次，进书店人次逐月增加，到第三个月月末为止累计进书店2850人次．若设进书店人次的月平均增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程—增长率问题，分别表示出三个月的进书店人数，再结合三个月累计进书店人数列出方程即可． 【详解】解：设进书店人次的月平均增长率为x，根据题意得： ． 故选：C 12. 学校开设了“一人一球”的球类选修课，学生可以从乒乓球、足球、排球、篮球、羽毛球中选择一门课进行学习．数学兴趣小组对该校学生球类选修课的选择情况进行随机调查，将收集的数据进行整理并绘制成两幅统计图，下列说法正确的是（ ） A. 此次调查的学生总数是80人 B. 此次调查中，选择乒乓球的学生人数最多 C. 在扇形统计图中，足球所对应的扇形圆心角的度数是 D. 若该校共有学生1000人，则该校选择篮球的学生大约有240人 【答案】D 【解析】 【分析】计算调查总人数：如果已知某类的人数和对应的占比，那么用该类人数除以对应占比即可得到总人数，可选择乒乓球的人数和其占比计算． 判断人数最多的项目：因为条形统计图中高度最高的项目对应人数最多，所以直接对比各项目的人数即可． 计算足球对应扇形圆心角：如果已知足球的占比，那么用占比乘以即可得到对应圆心角度数． 估算全校选篮球的人数：如果已知样本中篮球的占比，那么用全校总人数乘以该占比即可得到估算值． 【详解】选项A：已知选择乒乓球的人数为人，占总人数的，因此调查总人数为 人，不是人，A错误． 选项B：从条形图得各项目人数：乒乓球人、足球人、排球人、篮球人、羽毛球人，人数最多的是排球，不是乒乓球，B错误． 选项C：足球占比，对应扇形圆心角为 ，不是，C错误． 选项D：篮球占比为，因此人中选择篮球的人数约为 人，D正确． 13. 按一定规律排列的单项式：，，，，，，…．则第个单项式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别从符号、分子系数、分母、x的次数四个部分寻找其与序数n的规律，再归纳得到第n个单项式即可． 【详解】解：我们分四部分找规律： ①符号规律： ∵第1个为正，第2个为负，第3个为正，第4个为负， ∴符号的规律为； ②分子系数规律： ∵第1个分子系数是，第2个是，第3个是，， ∴分子系数规律为； ③分母规律： ∵第1个分母是，第2个分母是，第3个分母是，， ∴分母规律为； ④x的次数规律： ∵第1个x的次数是，第2个x的次数是，第3个x的次数是，， ∴x的次数规律为． 综上，第n个单项式是． 14. 如图，在中，是的中点，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，；②以点为圆心，长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，长为半径作弧，在内部交前面的弧于点；④过点作射线交于点．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同角的尺规作图，平行线的性质，中位线定理等知识点，灵活判断尺规作图是解题的关键． 先判断出尺规作图的是作一个角等于已知角，证出是的中位线即可解答． 【详解】解题思路引导 由作图可知， ∴， 由作图痕迹判断为作一个角等于已知角， ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：C． 15. 如图（1）是我国南方部分地区使用的蒸饭工—甑子．甑体可抽象为立体图形中的圆台图（2）．小明研究发现，圆台可看作是由两个圆锥相减得到的，他画出了其展开图如图（3）所示，若下底面半径，上底面半径，，则圆台的侧面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，证明，求得，再利用圆锥侧面积计算公式求解即可． 【详解】解：如图，下底面半径，上底面半径，设小圆锥母线长为，则大圆锥母线长为， 由题意得， ∴， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴小圆锥的侧面积，大圆锥的侧面积， ∴圆台的侧面积为． 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解． 【详解】解：． 17. 已知关于的方程有实数根，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】需分类讨论求解，当时方程为一元一次方程，直接判断根的情况，当时方程为一元二次方程，根据根的判别式判断取值范围即可． 【详解】解：当时，原方程为， 解得，方程有实数根，符合题意； 当时，原方程为一元二次方程， 方程有实数根， ， 化简得， 解得且， 综上，的取值范围是． 18. 已知一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还多180°，则这个多边形的边数为________． 【答案】7##七 【解析】 【分析】根据题意设多边形边数为，结合多边形内角和定理与多边形外角和定理，列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 根据题意列方程得： ， 解得：， 即这个多边形的边数为7． 19. 在新书发布现场，常会将一些新书按一定造型摆放，某数学书籍发行现场，将四本新书按照如图方式摆放在书架的一个格挡中（图中个完全相同的矩形是书的侧面），最左侧的书贴边垂直摆放，其他三本书倾斜摆放，且，最右侧书的一角恰好落在格挡边沿．若已知，则值为______． 【答案】 【解析】 【分析】作辅助线构造直角三角形和矩形，通过证明三角形全等将线段转化为，利用平行线的性质和三角形外角性质求出 的度数，最后解直角三角形求出的值． 【详解】解：作，交的延长线于点，交的延长线于点， 由题意，可得四边形为矩形，  ，，   四个完全相同的矩形是书的侧面，  ，，，  ，  ， 又，  ， 延长交于点，  ， 由题意，， ，  ，  ，  ， 在中， 三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及：负整数指数幂、特殊角三角函数值、绝对值、零次幂、立方根，解题的关键是掌握实数的运算法则．先计算负整数指数幂、特殊角三角函数值、绝对值、零次幂、立方根，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式 ． 21. 与按如图所示摆放，边分别与，交于点M，O，边与交于点N，若，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．先证，再运用“ASA”证明两个三角形全等． 【详解】证明：∵，， ∴，即， 在和中， ∴． 22. “激情滇超，燃爆云南”，云南省足球超级联赛(滇超)火热进行中，赛场周边的文创摊位也迎来了销售旺季．某摊主购进了“滇超吉祥物公仔”和“滇超纪念徽章”两种特色周边产品．已知用元购进“滇超吉祥物公仔”的数量比用元购进“滇超纪念徽章”的数量多个，且“滇超吉祥物公仔”的单价比“滇超纪念徽章”的单价贵元．摊主无意间提到，若是拿元全部去进货这种吉祥物公仔，能买到的数量最多也不会超过个．求两种周边产品的单价各是多少元． 根据以上信息，解答下列问题： （1）甲同学：设“滇超吉祥物公仔”的单价为元，可列方程为________；乙同学：设购进的“滇超纪念徽章”数量为个，可列方程为________； （2）请帮助甲同学完成剩下的解题过程． 【答案】（1）； （2）由题意得， 解得 已知甲列得方程 将方程两边同时除以10得 两边同乘 去分母得 展开整理得 因式分解得 解得， 因为，所以舍去，得则“滇超纪念徽章”的单价为元 经检验是原方程的解，符合题意 答：“滇超吉祥物公仔”的单价为30元，“滇超纪念徽章”的单价为20元． 【解析】 【分析】（1）根据甲、乙的不同设法，分别利用题目给出的数量关系和单价关系列出分式方程即可． （2）求解甲列出的分式方程，再结合“1000元全部进货吉祥物公仔，买到的数量不超过40个”的条件，舍去不符合的解，得到两种产品的单价． 【小问1详解】 解：甲设“滇超吉祥物公仔”的单价为元，则“滇超纪念徽章”的单价为元 根据“600元购进公仔的数量比200元购进徽章的数量多10个”，可得方程 乙设购进“滇超纪念徽章”的数量为个，则购进公仔的数量为个，公仔单价为，徽章单价为 根据“公仔单价比徽章单价贵10元”，可得方程 【小问2详解】 略 23. 地理课上，小云和小南复习了地球半球的划分规则：以赤道为界，赤道以北为北半球，以南为南半球；以(西经度)和(东经度)组成的经线圈为界，从向东到为东半球，其余为西半球．以下是小云和小南找出的四个著名城市及其大致经纬度坐标：．北京； ．纽约；．堪培拉； ．惠灵顿． （1）若小云从四个城市中随机选择一个，该城市位于北半球的概率是________； （2）若小云从四个城市中随机选择个城市，小南从后三个城市中随机选择个城市，请通过画树状图法或列表法求两人选择的城市均位于“东半球”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】先根据题干给出的半球划分规则，分别判断四个城市所在的南北半球、东西半球，再根据概率公式计算对应概率． （1）先找出北半球城市的数量，结合总城市数计算概率； （2）用列表法列出所有等可能结果，再找出满足条件的结果数，计算概率即可． 【小问1详解】 解：根据赤道划分南北半球的规则，北纬(N)在北半球，南纬(S)在南半球． 四个城市中，北京、纽约为北纬，都在北半球，共2个，总城市数为4个． 因此随机选一个城市位于北半球的概率为． 【小问2详解】 解：根据东半球划分规则： 向东到为东半球，可得： 北京 ， ，位于东半球； 纽约的经度不在向东到的范围内，故位于西半球 堪培拉， ，位于东半球； 惠灵顿的经度不在向东到的范围内，故位于西半球 列出所有等可能结果，小云从四个城市选1个，小南从后三个城市、、选1个： 小云\小南 共有种等可能的结果，其中两人选的城市都位于东半球的结果有种，分别为、． 因此两人选择的城市均位于东半球的概率为． 24. 如图，在四边形中，，对角线，交于点，点是对角线上的一个动点，过点作于点，于点，若，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若的周长与的周长之差为，且，求的值． 【答案】（1）证明：令与的交点为G． ∵，， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形． （2） 【解析】 【分析】（1）令与的交点为G．由，得到，从而可推出，又，得到，因此，再由可证得，得到，根据等腰三角形的“三线合一”得到，，即可得证结论； （2）根据得到，因此，从而，根据勾股定理有，因此，即可求出菱形的面积，进而得到的面积，连接，根据结合三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 连接， ∵ ∴， ∴． 25. 云南不仅以茶和咖啡闻名，其得天独厚的自然环境更孕育了被誉为“山珍”的野生菌．如今随着生鲜电商的兴起，云南野生菌正通过“冷链直发”的模式走向全国． 解决问题： 制定采购方案 背景 某主营云南特产的生鲜平台计划采购一批高品质野生菌，该平台选择采购“特级松茸”和“一级牛肝菌”两种产品． 素材 ①该平台首次试水采购了特级松茸和一级牛肝菌，共花费元；②已知采购特级松茸比采购一级牛肝菌多用元． 素材 由于市场反响热烈，该平台计划再次采购这两种野生菌共，设第二次采购特级松茸为． 素材 ①库存与定位指标：为凸显高端定位，要求两次采购后，“特级松茸”的总数量不得少于“一级牛肝菌”总数量的，同时受保鲜冷库单品容量限制，“特级松茸”的总数量不得超过“一级牛肝菌”的总数量； ②物流包装约束：为确保包装规格统一，物流公司要求第二次采购的特级松茸数量必须满足：分式的值必须为正整数． （1）任务：分别求出“特级松茸”和“一级牛肝菌”两种野生菌的单价； （2）任务：在满足所有条件的情况下，共有几种采购方案？其中需要的最少费用是多少？ 【答案】（1）“特级松茸”的单价为元/，“一级牛肝菌”的单价为元/． （2）共有种采购方案，需要的最少费用是元． 【解析】 【分析】（1）设两种野生菌的单价为未知数，根据题干给出的总花费和差价关系列出二元一次方程组，求解即可得到单价． （2）先根据数量限制条件列出不等式组，得到采购特级松茸质量的取值范围，再根据为正整数的条件化简，得到符合条件的的取值，最后列出总费用的一次表达式，根据一次函数的单调性求出最少费用． 【小问1详解】 解：设“特级松茸”单价为元/，“一级牛肝菌”单价为元/． 根据题意得：  ， 化简得：  ， 解得 ， 答：“特级松茸”单价为300元/，“一级牛肝菌”单价为100元/． 【小问2详解】 解：设第二次采购特级松茸 kg，则第二次采购一级牛肝菌 ． 两次采购后，特级松茸总质量为 ，一级牛肝菌总质量为 ． 根据题意列不等式组：  ， 解第一个不等式：   解得：  解第二个不等式：   解得：  即． 由题意，为正整数，化简：   因此为正整数， 设，为正整数，则． 代入得：     解得，即约． 因为是正整数，所以或． 对应或，均满足条件，因此共有2种采购方案． 设总采购费用为元， 根据题意得：   因为，所以随的减小而减小， 当时，取得最小值． （元） 答：共有2种采购方案，需要的最少费用是元． 26. 已知点，是抛物线上的两点，． （1）若，求抛物线顶点坐标； （2）在（1）的条件下，存在动点，其中，，使得直线，与抛物线都仅有一个公共点，求证：． 【答案】（1） （2） 证明：在（1）的条件下，， 设直线的表达式为， 将点，代入得 ，解得， ∴直线的表达式为． 设直线的表达式为， 将点，代入得 ，解得， ∴直线的表达式为． 联立， ∴ 整理得：． ∵直线与抛物线仅有一个公共点， ∴方程有唯一实根， ∴， 即． ∵点是抛物线上的点， ∴是方程的唯一解． 由根与系数的关系得：，解得． 同理可得，， 则、亦为关于的一元二次方程的两个根， 由根与系数的关系得：，即， ． 【解析】 【分析】（1）把代入解析式即可得顶点坐标； （2）在（1）的条件下，，由题意可设直线的表达式为，直线的表达式为，联立抛物线与直线，则，；联立抛物线与直线，同理，结合根与系数的关系代入中进行代数变形即可证明． 【小问1详解】 解：当时，， 故顶点坐标为． 【小问2详解】 略 27. 如图，四边形是的内接四边形，对角线，垂足为点，且，过点作于点，延长交于点，过点作交延长线于点，延长至点，连接，且满足． （1）若，求的度数； （2）求证：直线是的切线； （3）已知、、、的面积分别为、、、，若，，探究①；②；③三个结论，请从中选出一个恒成立的结论，并结合已知条件进行严格的推理论证，要求写出完整的证明过程． 【答案】（1） （2）证明：连接，并延长交于点Q，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴是的切线． （3）解：结论②恒成立．证明如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理， ∴，即． ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， 由（2）有 ∴ ， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 在上取点M，使，延长至点N，使，连接，． ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． ∵， ∴， ， ， ∴ ∴ 在上取点K，使，连接． ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， 又， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴恒成立． 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的“等边对等角”求出底角，再根据圆的内接四边形的对角互补求解即可； （2）连接，并延长交于点Q，连接，由得到，证明，得到，再由是直径得到，从而，即，即可得证； （3）根据同角的余角相等证明，进而根据圆周角定理和对顶角相等得到，从而，同理，即可得到．根据圆的内接四边形的对角互补可得，结合与圆周角定理推出，设，根据等边对等角与角的和差得到，因此．在上取点M，使，延长至点N，使，连接，．证明，得到，因此，从而．根据三角形的面积公式得到，因此．在上取点K，使，连接．易证，得到，因此，从而可得，所以恒成立． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $