精品解析：2026年浙江省宁波市强基计划数学测试试卷

宁波强基数学试题 一、选择题 1. 已知数满足：，则（ ） A. 1 B. C. D. 2. 若，以下正确的是（） A. 、、、的平均数小于、、、、、、、的平均数 B. 、、、的极差小于、、、、、、、的极差 C. 、、、的方差不大于、、、、、、、的方差 D. 、的标准差小于、、、、、、、的标准差 3. 如图所示，在中，，在上取点使得，连接，过做交于点，交于点，连接恰有，则的长度为______ 4. 已知在中，，为边上一点，，，作边上的中垂线，交的平行线于，交于，则的最大值为______． 二、填空题 5. 计算______（精确到个位）． 6. 有非零实数、满足，若，则______． 7. 在函数上不同象限有两点、，且A、B关于原点对称，已知，若为锐角三角形，则的取值范围是________． 8. 如图在中，弦、交于点，，，，求圆的半径______． 9. 已知反比例函数点、在图像上，若，则的取值范围是_______． 三、解答题 10. 已知，，其中，为整数． （1）当时，求与的大小关系； （2）当时，求的最小值； （3）是否存在使的，的值，若有请写出，的值；没有则说明理由． 11. 完成下列题目 （1）如图，是的高线，是中线，若，．求的值（用，表示）． （2）在正方形中，已知，，为正方形内部一点，为中点，过点作交于点，点是上一点，且，，，若是定值，求出，不是定值则说明理由． 12. 如图1，在 中，点D在 上，满足 ，点E在 上， 的外接圆交 于点F，连接 ， 交 于点G， ， （1）求证： （2）如图2，当 ， 平分 ，求 的值． （3）设 ，求的值（用含k的代数式表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁波强基数学试题 一、选择题 1. 已知数满足：，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据已知等式判断的取值范围，再根据绝对值的性质去绝对值符号计算结果． 【详解】解：∵若，则，，可得，与已知等式矛盾， ∴ ∵若，则， 可得，与已知等式矛盾， ∴ 综上可得 ∴． 2. 若，以下正确的是（） A. 、、、的平均数小于、、、、、、、的平均数 B. 、、、的极差小于、、、、、、、的极差 C. 、、、的方差不大于、、、、、、、的方差 D. 、的标准差小于、、、、、、、的标准差 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查统计中平均数极差方差标准差的概念与性质，根据数据的排序关系，结合各统计量的定义逐一判断选项即可． 【详解】解：已知，逐一分析选项： 选项A．设，总平均数， 当时，，故A错误 选项B．的极差，8个数的极差 ，即，极差小于等于8个数的极差，因此B不正确． 选项C．方差反映数据的离散程度，8个数包含了更小的和更大的， 数据的离散程度一定不小于中间4个数的离散程度， 因此8个数的方差不小于的方差， 即的方差不大于等于8个数的方差，因此C正确． 选项D．给所有数据同时加上同一个常数，数据的波动程度不变，方差不变，标准差也不变，因此新数据的标准差等于原数据的标准差，D错误． 3. 如图所示，在中，，在上取点使得，连接，过做交于点，交于点，连接恰有，则的长度为______ 【答案】 【解析】 【分析】利用等腰三角形性质得角相等，可证，设，表示和，再通过由勾股定理导出，代入求出后得． 【详解】解：， ， ， ， ， 设，， ，则， ， ， 在中，， 在 中，， 在中，， 在中，， ， ， ， ，化简得， 即，解得或（舍）， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ． 4. 已知在中，，为边上一点，，，作边上的中垂线，交的平行线于，交于，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据角平分线和垂直平分线的性质作垂线，然后使用定理构造全等，求出定值，再利用“垂线段最短”确定最值． 【详解】解：， ， 过点作交于点， ，， ， 即平分 过点作于点，于点， ， 在与中， ， ， ， 在的中垂线上， ， 在与中， ， ， ， 为钝角，为锐角， ，， ， ， ， ， ， ， ，， 在中，， ， ， ， ， ， 在中，， , ． 二、填空题 5. 计算______（精确到个位）． 【答案】3 【解析】 【分析】通过“夹逼法”估算出的取值范围，进而得到的取值范围即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 6. 有非零实数、满足，若，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据新定义进行化简，然后求解分式方程即可 【详解】解：根据题意得：， ∵， ∴ 即， 去分母得：， 解得：或（不符合题意，舍去） 检验：当时，， ∴是分式方程的解， ∴． 7. 在函数上不同象限有两点、，且A、B关于原点对称，已知，若为锐角三角形，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】分两种情况分析，当时，当时，作出相应图形，利用等腰三角形的性质分别求出点A的坐标，然后利用待定系数法即可求解 【详解】解：当时， ∵， ∴， 过点A作轴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， 解得：； 当时， ∵A、B关于原点对称， ∴， ∴， ∵， ∴， 延长到D，使得， 故， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 过点A作轴， 设， ∴， ∴， 同理代入函数解析式得：； ∵， ∴； 综上可得：． 8. 如图在中，弦、交于点，，，，求圆的半径______． 【答案】7 【解析】 【分析】过点C作交于点E，过点E作垂直于的延长线于点H，连接，根据题意得出，，，再由圆周角定理确定，利用等边三角形的判定和性质得出为等边三角形，，结合圆内接四边形的性质得出，确定，结合三角函数得出，，再由勾股定理结合图形即可求解． 【详解】解：过点C作交于点E，过点E作垂直于的延长线于点H，连接，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵四边形为圆内接四边形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴即圆的半径为7． 9. 已知反比例函数点、在图像上，若，则的取值范围是_______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，将转化为距离平方的大小关系，代入坐标化简不等式，结合因式分解求解不等式得到结果． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ，即． 点在反比例函数图象上， ，且． 由，根据两点间距离公式得，因此： ， ， 利用平方差公式分解因式得： ， 整理得：， 进一步分解得：， 恒成立， ，即， ， 当时不等式不成立，因此， 不等式简化为， ∴或， 解，得 解，得 综上所述，或，均满足和． 三、解答题 10. 已知，，其中，为整数． （1）当时，求与的大小关系； （2）当时，求的最小值； （3）是否存在使的，的值，若有请写出，的值；没有则说明理由． 【答案】（1） （2） （3）不存在，理由如下： 假设存在整数，， 由得， 移项配方得， 因式分解得， 与奇偶性相同， ∴与奇偶性相同， 的整数因数分解中，两个因数必为一奇一偶（1和2，和）， 无法分解为两个同奇或同偶的数之积，故不存在满足条件的整数． 【解析】 【分析】（1）代入求差，配方判断符号； （2）代入，整理成关于的二次函数，利用整数求最值； （3）把、代入等式，整理配方，利用条件求解． 【小问1详解】 解：当时，， ． 【小问2详解】 当时，， 又为整数， 当或时，取得最小值，为． 【小问3详解】 略 11. 完成下列题目 （1）如图，是的高线，是中线，若，．求的值（用，表示）． （2）在正方形中，已知，，为正方形内部一点，为中点，过点作交于点，点是上一点，且，，，若是定值，求出，不是定值则说明理由． 【答案】（1） （2）是定值， 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理以及三角形的中线可得，，然后对等式变形结合平方差公式以及线段和差求解即可； （2）连接并延长交于点，先证明，得到，从而由（1）得，则，再证明，即可得到． 【小问1详解】 解：∵是的高线，是中线， ∴， ∴ ， ∵， 故； 【小问2详解】 解：连接并延长交于点 ∵正方形中， ∵ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴ ∵为中点， ∴由（1）得， ∵ ∴ ∵为中点， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴， ∴， ∴ ． 12. 如图1，在 中，点D在 上，满足 ，点E在 上， 的外接圆交 于点F，连接 ， 交 于点G， ， （1）求证： （2）如图2，当 ， 平分 ，求 的值． （3）设 ，求的值（用含k的代数式表示） 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵四边形为圆的内接四边形， ∴， ∵， ∴， 同理：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据相似三角形的判定证明，得出，，再由圆内接四边形确定，，得出，再由相似三角形的判定和性质得出，，，，结合等量代换即可证明； （2）延长交于点K，延长交于点H，连接，根据题意得出，为等腰三角形，即为的中垂线，再由相似三角形的判定和性质得出为的中垂线，，再由等腰三角形的判定和性质得出，，结合题意及余弦的定义求解即可； （3）设，得出，确定，，，再由相似三角形的性质得出，确定，得出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 延长交于点K，延长交于点H，连接，如图所示： ∵当，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴为等腰三角形，即为的中垂线， 由（1）得， ∴， ∴， ∴， ∴为的中垂线， ∴， ∵点E在上， ∴， ∴， ∵，由①得， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 设， 由（1）得 ∵， ∴， ∴， 由（1）得， ∴，即， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 由（1）得， ∴，即， 整理得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $