精品解析：浙江宁波市鄞州实验中学等校2025－2026学年第二学期九年级5月数学试题卷

2025学年第二学期宁波市六校5月联考 九年级数学试题卷 一．单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列四个数中，最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵正数大于负数， ∴最小的数在和中， ∵，而两个负数比较，绝对值大的反而小， ， ∴最小的数是． 2. 在中国，鼓是精神的象征，舞是力量的表现，先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，可见“鼓舞”一词起源之早，如图是集会时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形，该立体图形的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识．主视图是从正面所看到的图形，根据定义和立体图形即可得出选项． 【详解】解：主视图是从正面所看到的图形，该立体图形的主视图是： 故选：D． 3. 测试五位学生的“一分钟跳绳”成绩，得到五个各不相同的数据，在统计时出现了一处错误：将最高成绩写得更高了，计算结果不受影响的是（ ）． A. 方差 B. 中位数 C. 标准差 D. 平均数 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求平均数，中位数，方差和标准差，根据平均数受极端值影响，方差受平均数的影响，标准差是方差的算术平方根，受方差影响，中位数与数据个数和排序有关，进行判断即可． 【详解】解：∵平均数受极端值影响，方差受平均数的影响，标准差是方差的算术平方根，受方差影响， ∴当将最高成绩写得更高了时，平均数，方差，标准差均会受到影响， ∵中位数与数据个数和排序有关，当将最高成绩写得更高了时，数据个数不变，排序不变， ∴中位数不受影响； 故选B． 4. 在平行四边形中，添加一个条件，使得四边形为正方形，添加的条件可以为（ ） A. B. ⊥ C. 平分 D. 平分 【答案】A 【解析】 【分析】先根据已知条件得出四边形是菱形，再结合正方形的判定定理，分析各选项即可． 【详解】解：∵在平行四边形中， ∴四边形是菱形， A、当时，对角线相等的菱形是正方形，因此四边形为正方形，故A正确； B、菱形本身满足对角线，因此添加该条件不能判定四边形为正方形，故B错误； C、平行四边形对角线互相平分，因此菱形本身满足平分，添加该条件不能判定四边形为正方形，故C错误； D、菱形对角线平分一组对角，因此菱形本身满足平分，添加该条件不能判定四边形为正方形． 5. 估算的结果（ ） A. 在7和8之间 B. 在8和9之间 C. 在9和之间 D. 在和之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算及无理数的估算，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先利用乘法分配律进行乘法运算、再合并同类二次根式，最后进行估算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， . 原式结果在9和10之间， 故选：C． 6. 下列函数的图像在第三象限随x的增大而减小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数、一次函数及二次函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数、一次函数及二次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据反比例函数、一次函数及二次函数的性质进行排除选项即可． 【详解】解：A、由可知：，所以该函数其图像在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小；故符合题意； B、由可知：开口向下，对称轴为直线，当时，y随x的增大而增大，故不符合题意； C、由可知：，不经过第三象限；故不符合题意； D、由可知：，图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故不符合题意； 故选A． 7. 如图，在平面直角坐标系中，点、在函数的图象上，分别以、为圆心，1为半径作圆，当与轴相切、与轴相切时，连结，，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质的应用．依据题意，可得，，再由，从而，进而得解． 【详解】解：由题意，得，． ， 由两点距离公式可得：． ． 或5． 又， ． 故选：C． 8. 我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何．”其大意为：有若干人要坐车，若每3人坐一辆车，则有2辆空车；若每2人坐一辆车，则有9人需要步行．问人与车各有多少．设共有x人，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次方程的实际应用，确定相等关系列方程是解题的关键．设共有人，由每3人坐一辆车，有2辆空车，可得车有辆， 由每2人坐一辆车，有9人需要步行，可得车有辆， 从而可得答案． 【详解】解：设共有人， 则， 故选：A． 9. 将边长为a的菱形分别沿着和折叠（E，F，G，H分别在边，上），使点A和点C在折叠后均落在边上的点M处．若于点F，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质和判定，勾股定理. 根据折叠的性质得，可得，再根据菱形的性质得，然后由折叠的性质得，进而根据勾股定理求出，进而求出，则此题可解. 【详解】解：根据题意，得， ∴. ∵菱形的边长为a， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为. 故选：C. 10. 如图，在中，点D是上一点（不与点A，B重合），过点D作交于点E，过点E作交于点F，点G是线段上一点，，点H是线段上一点，，连接，，，．若已知的面积，则一定能求出（ ） A. 的面积 B. 的面积 C. 四边形的面积 D. 的面积 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质．熟练掌握平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 证明，则，，由，可证，则，，可证，则，由，即可求的面积，然后判断作答即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，即可求的面积， 故选：B． 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式： ______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了综合提公因式法与公式法进行因式分解．熟练掌握综合提公因式法与公式法进行因式分解是解题的关键． 综合提公因式法与公式法进行因式分解即可． 【详解】解：由题意知，， 故答案为：． 12. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】设，再代入所求式子中求值即可． 【详解】解：∵， ∴可设， ∴． 13. 如图，经过A，B两点的与相切于点A，与边相交于点E，为的直径，，连接，若，则的度数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题重点考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、切线的性质、圆周角定理等知识，推导出及是解题的关键． 由，得，则，由切线的性质得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：， ， ， 为的直径，与相切于点， ， ， ， ， 故答案为：． 14. 从，1，2这三个数中任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，树状图法或列表法求解概率，根据判别式和一元二次方程的定义可得，则且，再列出表格得到所有等可能性的结果数，接着找到且的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴且， 列表如下： 1 2 1 2 由表格可知，一共有6种等可能性的结果数，其中满足且的结果数有，，，共3种， ∴关于x的一元二次方程有实数根的概率为， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，分别以点、为圆心，、的长为半径作弧，与交于点、．若，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积的计算以及直角三角形的性质，解题的关键是明确阴影部分面积为两个扇形面积之和减去三角形面积．先在中由求出，再分别求出以为圆心为半径的扇形面积和以为圆心、为半径的扇形面积：最后用两个扇形面积之和减去的面积得到阴影部分面积． 【详解】解：， ， ， ， 以为圆心，为半径作弧交于， ， 以为圆心，为半径作弧交于， ， ． 故答案为：． 16. 如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则（1）的直径长为______________；（2）周长的最小值是___． 【答案】 ①. ②. 4 【解析】 【分析】（1）利用圆的面积公式计算出半径即可求出直径； （2）连接，，以、为边作，连接，证明出，，当、、共线时，最小，即为的最小值，利用勾股定理求出即可解答此问． 【详解】解：（1）的面积为， ， 的直径长为， 故答案为：； （2）如图，连接，，以、为边作，连接， 四边形为正方形， ，， 四边形为平行四边形， ， ， ， 当、、共线时，最小，即为的最小值， 在中，，， ， ， ， 周长的最小值为， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了正方形与圆，平行四边形的性质，最短路径问题，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据，再计算即可 【详解】解：原式． 18. 解不等式组，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为， 数轴表示如下所示： 19. 科教兴国，科普为先．某校组织七、八年级学生参加了“科技赋能，智行未来”科普知识竞赛．竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级，对应等级得分依次记为10分，9分，8分，7分．现从该校七、八年级学生中各随机抽取了40名学生的竞赛成绩进行整理，并绘制成了如下统计表和统计图（其中条形统计图不完整）． 年级 平均数 中位数 众数 七年级 8.5分 9分 分 八年级 8.8分 分 9分 （1）根据以上信息填空：________，________． （2）把条形统计图补充完整． （3）若该校七、八年级各有1000名学生参加了此次科普知识竞赛，请估计这两个年级成绩达到A等级10分的学生共有多少人？ 【答案】（1）， （2）见解析 （3）两个年级成绩达到A等级的学生共有400人 【解析】 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，求中位数和众数，从统计图中有效的获取信息，是解题的关键： （1）根据中位数和众数的确定方法，进行求解即可； （2）求出等级的人数，补全条形图即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【小问1详解】 解：由扇形图可知，等级的人数最多，故； 由条形图可知：第20和第21个数据均在等级，故； 【小问2详解】 等级的人数为：，补全条形统计图如下： 【小问3详解】 （人），（人），（人） 答：两个年级成绩达到A等级的学生共有400人． 20. 研学实践：某校课外活动小组到某古镇进行参观研学，对位于该古镇“十字街”的旗亭高度进行了实地测量． 【数据采集】如图，测量小组操作无人机在点A处竖直上升34米后飞行至点处，在点处测得旗亭DE的顶端的俯角为，然后沿水平方向向左飞行至点处，在点处测得旗亭顶端和点的俯角均为．（结果精确到1米，参考数据：） 【数据应用】点在同一竖直平面内，且点和点在同一水平线上，．请根据上述数据，解决下列问题： （1）线段的长为_________米； （2）计算旗亭的高度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）可证，进而得到即可； （2）根据题意，结合图形，利用在中表示出米，得出米，在中表示出，再由求得结果． 【小问1详解】 解：在中，，， ， 米； 【小问2详解】 解：如图，延长交的延长线于点，则四边形为矩形， 米， 设米，则米， 在中，，则米， 米， 在中，， ， ， 即， 解得． 答：旗亭的高度约为15米． 21. 如图，在中，，以为直径作半，点是该半圆上的点，连接交于点，． （1）求证：为的中点； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：连接， ∵是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴为的中点． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质，可得，可得，可得，，可得，由等角对等边可得，即可证得结论； （2）连接是等边三角形，可得，可得，由圆周角定理可得，由三角形外角的性质，可得，由角所对的直角边与斜边的关系，结合勾股定理，可得，可得，即可得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， 由（1）得， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 的长度． 22. 为了解某品牌新能源汽车的充电情况，经测试，在用快速充电桩或普通充电桩对该电动车充电时，其电量y（单位：）与充电时间x（单位；h）的函数图象如图所示，其中折线表示用快速充电桩充电时与x的函数关系；线段表示用普通充电桩充电时与x的函数关系．根据相关信息，回答下列问题： （1）用快速充电桩充电时，电池电量从充到需______小时． （2）求关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围． （3）车主小叶发现电池剩余电量为，于是开始充电，先用普通充电桩充电，后改为快速充电桩充电到，先后充电总共用时，求a的值． 【答案】（1） （2）函数解析式为 （3） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，关键是用待定系数法求函数解析式． （1）根据函数图象即可求出答案； （2）用待定系数法求出x的函数解析式即可； （3）方法1：由题意得分段函数向右平移，使C点至，即B点至，平移后的段与变于F点，分别求出、、的解析式，令，即可得解； 方法2：由于普通充电桩充电1小时达不到，所以普通充电桩充电a小时后只能电量小于，求得段充电速度，根据先后充电总共用时，可得关于a的方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：由图象可知，用快速充电桩充电时，电池电量从充到需要小时， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设函数解析式为，将，代入解析式， 得， 解得， 因此函数解析式为； 【小问3详解】 解：方法1：由题意得分段函数向右平移，使C点至，即B点至，平移后的段与变于F点， 的解析式为， 的函数解析式为， 的函数解析式为， 令， 解得； 方法2：由于普通充电桩充电1小时达不到，所以普通充电桩充电a小时后只能电量小于， 段充电速度， 由题意得， 解得． 23. 已知，二次函数． （1）用含的代数式表示抛物线图象的顶点坐标． （2）若这个二次函数的图象经过点， ①当，求的取值范围． ②当时，时，结合函数图象，求出的取值范围． 【答案】（1） （2）①；②． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质． （1）将抛物线的表达式进行配方，转化为顶点式，即可进行解答； （2）①先将点B的坐标代入抛物线的表达式，求出b的值，再根据二次函数的增减性即可进行解答；②先求出符合条件的x的取值范围，在结合图象，根据函数的增减性即可进行解答． 【小问1详解】 解：， ∴该抛物线的顶点坐标为：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：把代入得：， 解得：，， ∵， ∴， ∴该抛物线的表达式为：， ∴该函数的对称轴为直线：， ①∵函数开口向上， ∴当时，时函数有最小值，时最大， 当时，， 当时，， ∴当时，； ②当时，，解得：； 当时，，解得：，， 如图：∵时，函数有最小值，最小值为， ∴， ∵， ∴， ∴． 24. 综合与探究 【定义】有一组对角为直角的四边形叫做“对直四边形”． 【示例】如图1，在四边形中，，则称四边形叫做“对直四边形”． 【性质探究】小明同学在研究对直四边形时，发现“对直四边形具有四个顶点均在同一个圆上”的性质，证明的思路如下： 如图2，连接对角线，取中点，连接． ∵，______， ∴_____， ∴， ∴四边形的顶点均在以点为圆心，为直径的圆上． （1）请补全小明同学的证明过程． （2）【性质应用】如图3，在矩形中，点是边上一点，过三点的圆交对角线于点． ①求证：四边形是“对直四边形”； ②若，当为等腰三角形时，直接写出的长． （3）【拓展提升】如图4，在矩形中，（为正实数）．点是延长线上一点，过三点的圆交对角线于点，延长交于点．请求出的值（用含的式子表示）． 【答案】（1）的中点为； （2）①见解析；②的长为或或． （3）的值为． 【解析】 【分析】（1）根据“对直四边形”定义和直角三角形斜边中线的性质解答； （2）①连接，设圆心为O，证明为的直径，可得四边形是“对直四边形”；②求出，证明，得，根据为等腰三角形，当时，当时，当时，分三种情况解答． （3）设圆心为点O，连接，证明，可得，得，证明C，D，E，F在以为直径的圆上，得，证明，可得，即得． 【小问1详解】 解：如图2，连接对角线，取中点，连接． ∵，的中点为， ∴， ∴， ∴四边形的顶点均在以点为圆心，为直径的圆上． 【小问2详解】 解：①连接，设圆心为O， ∵在矩形中，， ∴为的直径， ∴， ∴四边形是“对直四边形”； ②∵矩形中，，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为等腰三角形， ∴当时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，， 设与交点为F，连接， ∵， ∴是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，． 故的长为或或． 【小问3详解】 解：设圆心为点O，连接， ∵在矩形中，，且（为正实数）． ∴， ∴是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴C，D，E，F到线段的中点的距离相等， ∴C，D，E，F在以为直径的圆上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故的值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期宁波市六校5月联考 九年级数学试题卷 一．单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列四个数中，最小的是（ ） A. B. C. D. 2. 在中国，鼓是精神的象征，舞是力量的表现，先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，可见“鼓舞”一词起源之早，如图是集会时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形，该立体图形的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 测试五位学生的“一分钟跳绳”成绩，得到五个各不相同的数据，在统计时出现了一处错误：将最高成绩写得更高了，计算结果不受影响的是（ ）． A. 方差 B. 中位数 C. 标准差 D. 平均数 4. 在平行四边形中，添加一个条件，使得四边形为正方形，添加的条件可以为（ ） A. B. ⊥ C. 平分 D. 平分 5. 估算的结果（ ） A. 在7和8之间 B. 在8和9之间 C. 在9和之间 D. 在和之间 6. 下列函数的图像在第三象限随x的增大而减小的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，点、在函数的图象上，分别以、为圆心，1为半径作圆，当与轴相切、与轴相切时，连结，，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 8 8. 我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何．”其大意为：有若干人要坐车，若每3人坐一辆车，则有2辆空车；若每2人坐一辆车，则有9人需要步行．问人与车各有多少．设共有x人，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 将边长为a的菱形分别沿着和折叠（E，F，G，H分别在边，上），使点A和点C在折叠后均落在边上的点M处．若于点F，则的周长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，点D是上一点（不与点A，B重合），过点D作交于点E，过点E作交于点F，点G是线段上一点，，点H是线段上一点，，连接，，，．若已知的面积，则一定能求出（ ） A. 的面积 B. 的面积 C. 四边形的面积 D. 的面积 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式： ______________． 12. 若，则________． 13. 如图，经过A，B两点的与相切于点A，与边相交于点E，为的直径，，连接，若，则的度数为_______． 14. 从，1，2这三个数中任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为________． 15. 如图，在中，，，分别以点、为圆心，、的长为半径作弧，与交于点、．若，则图中阴影部分的面积为______． 16. 如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则（1）的直径长为______________；（2）周长的最小值是___． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 解不等式组，并将解集在数轴上表示出来． 19. 科教兴国，科普为先．某校组织七、八年级学生参加了“科技赋能，智行未来”科普知识竞赛．竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级，对应等级得分依次记为10分，9分，8分，7分．现从该校七、八年级学生中各随机抽取了40名学生的竞赛成绩进行整理，并绘制成了如下统计表和统计图（其中条形统计图不完整）． 年级 平均数 中位数 众数 七年级 8.5分 9分 分 八年级 8.8分 分 9分 （1）根据以上信息填空：________，________． （2）把条形统计图补充完整． （3）若该校七、八年级各有1000名学生参加了此次科普知识竞赛，请估计这两个年级成绩达到A等级10分的学生共有多少人？ 20. 研学实践：某校课外活动小组到某古镇进行参观研学，对位于该古镇“十字街”的旗亭高度进行了实地测量． 【数据采集】如图，测量小组操作无人机在点A处竖直上升34米后飞行至点处，在点处测得旗亭DE的顶端的俯角为，然后沿水平方向向左飞行至点处，在点处测得旗亭顶端和点的俯角均为．（结果精确到1米，参考数据：） 【数据应用】点在同一竖直平面内，且点和点在同一水平线上，．请根据上述数据，解决下列问题： （1）线段的长为_________米； （2）计算旗亭的高度． 21. 如图，在中，，以为直径作半，点是该半圆上的点，连接交于点，． （1）求证：为的中点； （2）若，求的长． 22. 为了解某品牌新能源汽车的充电情况，经测试，在用快速充电桩或普通充电桩对该电动车充电时，其电量y（单位：）与充电时间x（单位；h）的函数图象如图所示，其中折线表示用快速充电桩充电时与x的函数关系；线段表示用普通充电桩充电时与x的函数关系．根据相关信息，回答下列问题： （1）用快速充电桩充电时，电池电量从充到需______小时． （2）求关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围． （3）车主小叶发现电池剩余电量为，于是开始充电，先用普通充电桩充电，后改为快速充电桩充电到，先后充电总共用时，求a的值． 23. 已知，二次函数． （1）用含的代数式表示抛物线图象的顶点坐标． （2）若这个二次函数的图象经过点， ①当，求的取值范围． ②当时，时，结合函数图象，求出的取值范围． 24. 综合与探究 【定义】有一组对角为直角的四边形叫做“对直四边形”． 【示例】如图1，在四边形中，，则称四边形叫做“对直四边形”． 【性质探究】小明同学在研究对直四边形时，发现“对直四边形具有四个顶点均在同一个圆上”的性质，证明的思路如下： 如图2，连接对角线，取中点，连接． ∵，______， ∴_____， ∴， ∴四边形的顶点均在以点为圆心，为直径的圆上． （1）请补全小明同学的证明过程． （2）【性质应用】如图3，在矩形中，点是边上一点，过三点的圆交对角线于点． ①求证：四边形是“对直四边形”； ②若，当为等腰三角形时，直接写出的长． （3）【拓展提升】如图4，在矩形中，（为正实数）．点是延长线上一点，过三点的圆交对角线于点，延长交于点．请求出的值（用含的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $