精品解析：2026年浙江省宁波市鄞州区中考二模考试数学

2025学年第二学期九年级数学月考测试卷 一、选择题（每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 有理数中，最小的数是（　　） A. 0 B. C. 3 D. 2. 中国邮政计划于2026年1月5日发行《丙午年》特种邮票共计2668万套，将数据“2668万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，这是一个机械模具，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式计算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 某校七年级甲、乙、丙、丁四名同学参加分钟跳绳测试，每人次跳绳成绩的平均数（单位：个）及方差（单位：个）如下表所示；根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择（ ） 甲 乙 丙 丁 平均数 205 217 208 217 方差 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 6. 如图，以点为位似中心，作的位似图形，若点的横坐标是，点的对应点的横坐标是3，则与的周长之比为（ ） A. B. C. D. 7. 用A，B两个机器人搬运化工原料，A机器人比B机器人每小时多搬运，A机器人运所用时间与B机器人搬运所用时间相等，设A机器人每小时搬运化工原料，那么可列方程（ ） A. B. C. D. 8. 图①是八年级下物理教材中的一个连通器装置，当液体不流动时，连通器各部分容器中液面的高度总是相同的．图②是其截面示意图（液面宽度忽略不计），若，，当时，可表示为（ ）． A. B. C. D. 9. 身体质量指数（）是国际常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个指标，其计算公式为：（千克/米2）．甲、乙、丙、丁四位同学的体重与他们身高平方的关系示意图如图所示，则指数最大的同学是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 10. 如图，为的直径，点在上，点，为圆上两点，连结，．连接交于点，若，，则的值为（） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分．） 11. 分解因式：_____________． 12. 不等式组的解集是______． 13. 某学校开设了航模、机器人、计算机编程三门特色课程，小雅同学从中随机选取两门课程，恰好选中航模和机器人的概率为______． 14. 如图，绕点按顺时针方向转动得，点恰好在边上，则__________． 15. 在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点．则的值为__________． 16. 如图1，将大正方形纸片裁去一个小正方形，将剩余部分分割为四块图形后，拼成如图2的正方形．则图1大正方形与图2正方形的面积之比为__________． 三、解答题（本大题有8小题，共72分） 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 已知方程组，求的值． 19. 如图，在中，点在上，点是线段的中点，连接并延长至点，使，连接． （1）求证：； （2）若点为的中点，，求的度数． 20. 随着AI技术的发展，越来越多的人借助AI软件协助办公和学习，某公司组织全体员工学习和使用AI软件，并抽取部分员工每天学习使用的累计时间（分钟）进行统计调查，记：组“”，组“”，组“”，组“”，绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次抽样调查的人数是___________人，本次抽查的每天学习和使用时间的中位数落在___________组； （2）组所在扇形的圆心角大小是___________度； （3）该公司共有800人，估计该公司平均每天学习和使用不少于90分钟的人数是多少？ 21. 【阅读理解】若四位数满足，则称这样的四位数为“对等四位数”．例如：四位数2451，因为，所以四位数2451是对等四位数． （1）填空：2026__________对等四位数（填“是”或“不是”）； （2）已知一个对等四位数的百位数字为9，个位数字为2，请直接写出这个对等四位数； （3）若是对等四位数，将的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调后，得到一个新的四位数，求证：与的和一定能被101整除． 22. 单规作图问题： 如图1，已知直线及直线外一点，只用一把圆规画一点，使得，所在直线与直线平行． 下面是小尹设计的作图过程． 如图2，在直线上取一点，以点为圆心，长为半径画半圆，交直线于，两点； 以点为圆心，截取长； 以点为圆心，长为半径画弧，交半圆于点； 则点就是所求作的点． （1）根据小尹设计的单规作图过程，补充完成下面的证明． 证明：连接，，作直线； （2）小周认为“在直线上取点时，不能垂直于，否则所作点不满足题意．”你认为他说得对吗？请谈谈你的理解． 23. 如图1，矩形，点，分别在边和上，平分，交于点． （1）记为， ①用含有的代数式表示； ②若，求的值； （2）如图2，连接，若的面积为7，求的面积． 24. 已知二次函数． （1）①用含有的代数式表示函数图象的对称轴； ②若函数图象顶点落在轴上，求的值； （2）若该函数图象与轴有两个不同交点，设这两个交点的横坐标分别为，，求证：； （3）当时，请直接用含有，的代数式表示函数最大值与最小值的差的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期九年级数学月考测试卷 一、选择题（每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 有理数中，最小的数是（　　） A. 0 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键．据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴最小的数是：． 故选：B． 2. 中国邮政计划于2026年1月5日发行《丙午年》特种邮票共计2668万套，将数据“2668万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将中文单位“万”转换为标准数字形式，再将其写成科学记数法的标准形式。科学记数法的形式为，其中，为整数，特别注意指数的确定方式。 【详解】解：“万”表示， 2668万 3. 如图，这是一个机械模具，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意看见的线用实线表示． 【详解】解：从上面看可得两个并排放着两个正方形，左边正方形内有一个内切圆． 故选：D． 【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图． 4. 下列各式计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方． 根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方的运算法则，对每个选项逐一计算判断即可． 【详解】解：，故A选项错误； ，故B选项错误； ，故C选项正确； ，故D选项错误； 故选：C． 5. 某校七年级甲、乙、丙、丁四名同学参加分钟跳绳测试，每人次跳绳成绩的平均数（单位：个）及方差（单位：个）如下表所示；根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择（ ） 甲 乙 丙 丁 平均数 205 217 208 217 方差 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查利用统计量作决策，熟记平均数及方差的意义是解决问题的关键． 根据平均数和方差的意义，平均数高表示成绩好，方差小表示发挥稳定，结合表中数据，选择平均数最高且方差最小的同学即可得到答案． 【详解】解：由表中数据可知，乙和丁的平均数最高，甲和乙的方差最小， 乙同学平均数最高且方差最小， 因此选择乙， 故选：B． 6. 如图，以点为位似中心，作的位似图形，若点的横坐标是，点的对应点的横坐标是3，则与的周长之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对应点到位似中心的距离之比等于位似比，位似图形的周长比等于位似比，即可得出结果． 【详解】解：∵点为位似中心，点的横坐标是，点的对应点的横坐标是3， ∴点到位似中心点的水平距离为，点到位似中心点的水平距离为， ∴与的位似比为， ∴与的周长之比为． 7. 用A，B两个机器人搬运化工原料，A机器人比B机器人每小时多搬运，A机器人运所用时间与B机器人搬运所用时间相等，设A机器人每小时搬运化工原料，那么可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列分式方程，根据A机器人运所用时间与B机器人搬运所用时间相等，列出方程即可． 【详解】解：设A机器人每小时搬运，则B机器人每小时搬运， ∵ A搬运所用时间为，B搬运所用时间为，且时间相等， ∴， 故选A． 8. 图①是八年级下物理教材中的一个连通器装置，当液体不流动时，连通器各部分容器中液面的高度总是相同的．图②是其截面示意图（液面宽度忽略不计），若，，当时，可表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正弦三角函数的应用，熟练掌握正弦三角函数的概念是解题的关键．根据正弦三角函数的概念，结合图形，可得到结果． 【详解】解：在中，，，， ∴，即， ∴． 故选：B． 9. 身体质量指数（）是国际常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个指标，其计算公式为：（千克/米2）．甲、乙、丙、丁四位同学的体重与他们身高平方的关系示意图如图所示，则指数最大的同学是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】在平面直角坐标系中，以身高平方为横轴，以体重为纵轴，可由表示体重，用表示身高平方，设坐标系中某点坐标为，连接，设直线的解析式为，易得，结合正比例函数的性质可知，直线与轴的夹角越大，则的值越大，即指数越大；作直线、、、，比较四条直线与轴的夹角，即可获得答案． 【详解】解：如下图，根据题意，在平面直角坐标系中，以身高平方为横轴，以体重为纵轴， 可由表示体重，用表示身高平方， 设坐标系中某点坐标为，则， 连接，设直线解析式为， 则， 由正比例函数的性质可知，直线与轴的夹角越大，则的值越大， 即指数越大， 作直线、、、， 由图可知直线与轴的夹角最大， 即甲同学的指数最大． 10. 如图，为的直径，点在上，点，为圆上两点，连结，．连接交于点，若，，则的值为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作于点G，作于点H，连接，则，设，则，由得，可证，进而得出，，证明得，求出，证明得，从而，然后根据勾股定理求出，再根据余弦的定义求解即可． 【详解】解：作于点G，作于点H，连接，则， ∵， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴． 二、填空题（每小题3分，共18分．） 11. 分解因式：_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，提公因式，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 不等式组的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，掌握一元一次不等式组的解法是解题关键． 先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）即可． 【详解】解：， 解不等式① 解得， 解不等式② 解得， ∴不等式组的解集为：， 故答案为：． 13. 某学校开设了航模、机器人、计算机编程三门特色课程，小雅同学从中随机选取两门课程，恰好选中航模和机器人的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法求出概率，根据题意，用A，B，C分别表示航模、机器人、计算机编程三门特色课程，列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：用A，B，C分别表示航模、机器人、计算机编程三门特色课程，列表如下： A B C A / B / C / ∵共有6种等可能的结果，其中恰好选中航模和机器人的结果有2种， ∴； 故答案为：． 14. 如图，绕点按顺时针方向转动得，点恰好在边上，则__________． 【答案】65 【解析】 【分析】旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． 【详解】解：由旋转的性质可得：，， ∴． 15. 在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点．则的值为__________． 【答案】2026 【解析】 【分析】根据正比例函数与反比例函数的图象性质，可知两个交点关于原点中心对称，得到坐标之间的关系，再结合点A在直线上，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵正比例函数的图象过原点，反比例函数的图象关于原点中心对称， ∴直线与双曲线的交点，关于原点中心对称， ∴， ∵点在直线上， ∴， 将代入得， 整理得， ∴． 16. 如图1，将大正方形纸片裁去一个小正方形，将剩余部分分割为四块图形后，拼成如图2的正方形．则图1大正方形与图2正方形的面积之比为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设图1大正方形的边长为，则面积为，则图2正方形的边长为，面积为；再根据可得，然后代入求面积的比即可． 【详解】解：设图1大正方形的边长为，则面积为，则图2正方形的边长为，面积为， 通过观察发现图2的面积比图1少了一个小正方形的面积，即， 整理得：， ∵， ∴， ∴图1大正方形与图2正方形的面积之比为． 三、解答题（本大题有8小题，共72分） 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】原式利用平方差公式，单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式， 当时，原式． 18. 已知方程组，求的值． 【答案】 【解析】 【详解】解： ，得： ③ ，得： 把代入①： 19. 如图，在中，点在上，点是线段的中点，连接并延长至点，使，连接． （1）求证：； （2）若点为的中点，，求的度数． 【答案】（1）证明：点是线段的中点， ， 在和中， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）由中点的性质得到，再由证明三角形全等； （2）根据已知可证为的中位线，得到，由平行线的性质结合全等的性质等量代换可得，即可得解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：当点为的中点时， 为的中点， 为的中位线， ， ， ， ， ． 20. 随着AI技术的发展，越来越多的人借助AI软件协助办公和学习，某公司组织全体员工学习和使用AI软件，并抽取部分员工每天学习使用的累计时间（分钟）进行统计调查，记：组“”，组“”，组“”，组“”，绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次抽样调查的人数是___________人，本次抽查的每天学习和使用时间的中位数落在___________组； （2）组所在扇形的圆心角大小是___________度； （3）该公司共有800人，估计该公司平均每天学习和使用不少于90分钟的人数是多少？ 【答案】（1）， （2） （3）估计该公司平均每天学习和使用不少于90分钟的人数是人 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图，扇形统计图，样本容量，中位数，用样本估计总体，能从统计图中获取数据，掌握统计量的确定方法是解题的关键． （1）将组人数除以其所占百分比即可得到这次抽样调查的人数，根据中位数的确定方法即可得到中位数在哪个组； （2）将组人数占比乘以即可得到答案； （3）用样本估计总体的方法计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：这次抽样调查的人数是（人）， 组人数为（人）， （人）， 本次抽查的每天学习和使用时间的中位数落在组， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， 组所在扇形的圆心角大小是度， 故答案为：； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该公司平均每天学习和使用不少于90分钟的人数是人． 21. 【阅读理解】若四位数满足，则称这样的四位数为“对等四位数”．例如：四位数2451，因为，所以四位数2451是对等四位数． （1）填空：2026__________对等四位数（填“是”或“不是”）； （2）已知一个对等四位数的百位数字为9，个位数字为2，请直接写出这个对等四位数； （3）若是对等四位数，将的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调后，得到一个新的四位数，求证：与的和一定能被101整除． 【答案】（1）不是 （2）1982或2992 （3）由题意可得，， 所以 因为， 所以 所以与的和一定能被101整除 【解析】 【分析】（1）根据“对等四位数”的定义判断即可； （2）设这个对等四位数的千位数字为，十位数字为，根据“对等四位数”的定义得出，即，再结合，，且、均为整数，求解即可； （3）表示出和，求出的值，再结合，化简即可得证． 【小问1详解】 解：∵， ∴2026不是对等四位数； 【小问2详解】 解：设这个对等四位数的千位数字为，十位数字为， ∵一个对等四位数的百位数字为9，个位数字为2， ∴， ∴， ∵，，且、均为整数， ∴当时，，此时这个对等四位数为， 当时，，此时这个对等四位数为， 因此，这个对等四位数为1982或2992； 【小问3详解】 略 22. 单规作图问题： 如图1，已知直线及直线外一点，只用一把圆规画一点，使得，所在直线与直线平行． 下面是小尹设计的作图过程． 如图2，在直线上取一点，以点为圆心，长为半径画半圆，交直线于，两点； 以点为圆心，截取长； 以点为圆心，长为半径画弧，交半圆于点； 则点就是所求作的点． （1）根据小尹设计的单规作图过程，补充完成下面的证明． 证明：连接，，作直线； （2）小周认为“在直线上取点时，不能垂直于，否则所作点不满足题意．”你认为他说得对吗？请谈谈你的理解． 【答案】（1） 证明：连接，，作直线，连接， 由作图步骤可知，， ， ， ； （2）小周说得对，理由如下： ， ， 若，则，即点，重合， 无法作出直线使其与平行，即点不是所求作的点． 【解析】 【分析】（1）连接，根据弧与弦的关系得到，再根据等弧所对的圆周角相等可得，即可得证； （2）根据圆周角定理、垂直的定义求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 如图1，矩形，点，分别在边和上，平分，交于点． （1）记为， ①用含有的代数式表示； ②若，求的值； （2）如图2，连接，若的面积为7，求的面积． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）①由矩形的性质可得，再根据同角的余角相等得出，由角平分线的定义得出，即可得解；②先证明，再结合正切的定义计算即可得出结果； （2）过点作，由等腰三角形的性质可得，证明，结合相似三角形的性质可得，即可得出结果． 【小问1详解】 解：①∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：过点作，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 24. 已知二次函数． （1）①用含有的代数式表示函数图象的对称轴； ②若函数图象顶点落在轴上，求的值； （2）若该函数图象与轴有两个不同交点，设这两个交点的横坐标分别为，，求证：； （3）当时，请直接用含有，的代数式表示函数最大值与最小值的差的最小值． 【答案】（1）①；② （2）因为该函数图象与轴有两个不同交点，设这两个交点的横坐标分别为，， 所以，， 令，则， 所以， 因为函数顶点坐标为， 所以， 所以 所以； （3） 【解析】 【分析】（1）①将二次函数的解析式化为顶点式，即可得出结果；②由①可得函数顶点坐标为，再结合函数图象顶点落在轴上计算即可； （2）由题意可得，，令，则，，由函数顶点坐标为，求出，从而即可得证； （3）分四种情况：①若，函数最大值为，最小值为时，②若，函数最大值为，最小值为时，③若，函数最大值为，最小值为时，④若，函数最大值为，最小值为时，分别计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：① 所以函数图象对称轴为直线． ②函数顶点坐标为， ∵函数图象顶点落在轴上， ∴， 解得； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①若，函数最大值为，最小值为时， 所以； ②若，函数最大值为，最小值为时， 所以； ③若，函数最大值为，最小值为时， 所以； ④若，函数最大值为，最小值为时， 所以； 综上，函数最大值与最小值的差的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $