精品解析：河南省许昌市长葛市第三实验高级中学2025-2026学年高二下学期6月阶段检测数学试题

CGSG2025－2026学年第二学期6月教学质量评估试卷 高二数学 （时间：120分钟，分值：150分） 一、单选题（每题5分，共8题） 1. 已知集合，则（　　） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 2. 已知命题，则命题的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 2025年11 月，搭载“祖冲之三号”同款芯片的超导量子计算机“天衍-287”完成搭建，该量子计算系统具备“量子计算优越性”能力.下表记录了8个团队在特定年度的研发资金投入x(单位：亿元)与芯片性能提升评估指数y，且 研发资金投入x/亿元 2 10 性能提升评估指数y 2 12 已知y与x具有较强的线性关系，通过最小二乘估计得到的经验回归方程为如果去掉样本点后，得到的新样本的经验回归方程为则（ ） A. 0.1 B. 0.3 C. 0.5 D. 0.7 5. 已知随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 某次高三数学测试成绩服从正态分布，且，现从参加本次数学测试的高三学生中随机抽取1名，则该学生的成绩在区间内的概率为（ ） A. 0.78 B. 0.64 C. 0.36 D. 0.22 7. 将6名同学安排到三个公司实习，每名同学只去一个公司实习，至少安排1名同学去A公司实习，至少安排2名同学去B公司实习，至少安排2名同学去C公司实习，则不同的安排方法有（ ） A. 120种 B. 150种 C. 210种 D. 300种 8. 已知，则x，y，z的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共3题） 9. 已知一组数据依次为：12，16，16，4，0，2，2，10，12，16，关于这一组数据，下列说法正确的是（ ） A. 极差是16 B. 平均数是9 C. 第70百分位数是12 D. 方差是270 10. 中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措．在中欧班列带动下，某外贸企业出口额逐年提升，以下为该企业近个月的出口额情况统计，若已求得关于的线性回归方程为，则（ ） 月份编号 出口额/万元 A. 与成正相关 B. 样本数据的第40百分位数为 C. 当时，残差的绝对值最小 D. 用模型描述与的关系更合适 11. 在一个不透明的盒子中，放有标号分别为1，2，3，4的四个大小相同的小球，现从这个盒子中有放回地先后取两个小球，取到球的标号分别为，，记，则下列说法正确的是（ ） A. 事件“”与“且”是相等事件 B. 当时，，的取值有4种情况 C. D. 三、填空题（每题5分，共3题） 12. 已知随机变量X服从两点分布，且，设，那么________. 13. 的展开式中常数项为__________． 14. 学校食堂每餐推出两种套餐，某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了套餐，则第2天选择套餐的概率为；若他前1天选择了套餐，则第2天选择了套餐的概率为．已知他开学第1天中午选择套餐的概率为，在该同学第3天选择了套餐的条件下，他第2天选择套餐的概率为___________． 四、解答题 15. 已知集合，.若的充分非必要条件为，求实数的取值范围. 16. 已知正数a，b满足2a+b＝1， （1）求ab的最大值. （2）求的最小值. 17. 为了探究学生完成数学作业情况与成绩之间的联系，某学校采用按比例分层抽样的方式得到200名学生的测验成绩，样本中认真完成作业的学生成绩频率分布直方图如图1所示.若认为成绩不低于120分为优秀，且数学成绩为优秀的学生年级分布扇形图如图2所示，已知样本中高三年级有15位同学成绩为优秀，且在所有数学成绩为优秀的学生中，认真完成作业的学生占. （1）求a的值，并且计算出样本中认真完成作业的学生成绩的下四分位数； （2）根据样本数据完成下方列联表，依据小概率值的独立性检验，分析认真完成作业与成绩是否有关. 认真完成作业 不认真完成作业 成绩优秀 成绩不优秀 附：. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18. 甲同学参加一项抽奖活动，在一个盒子中，有大小形状完全相同的5个球，其中3个白球，2个红球. （1）若不放回地从盒中连续取两次球，每次取一个球，求在第一次取到红球的条件下，第二次也取到红球的概率； （2）一次随机抽取两个球，若取到的两个球颜色相同则中奖，颜色不同则不中奖，抽完奖之后把球再放回盒子里以便于再次抽奖. （i）求甲抽取一次，中奖的概率； （ii）甲一共抽取了三次，中奖次数为，求的分布列及数学期望. 19. 已知某工厂有两个车间生产某种产品，该产品的售价（元）与产品月销量（万件）间的几组数据如下： 售价（元） 1 2 3 4 5 月销量（万件） 10.9 10.2 9.0 7.8 7.1 （1）若可用线性回归模型拟合与的关系，根据表格数据，求关于的线性回归方程 （2）当该产品的售价为6元时，请估计该产品的月销量； （3）若两个车间的月产量之比为，且这些产品会全部随机发放到该地区的销售网点，现有3名顾客每人购买一件该产品，记这三件产品中来自车间的件数为，求的分布列和数学期望. 附：参考数据：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ CGSG2025－2026学年第二学期6月教学质量评估试卷 高二数学 （时间：120分钟，分值：150分） 一、单选题（每题5分，共8题） 1. 已知集合，则（　　） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式求得集合，进而求得. 【详解】由，解得或， 所以或， 而或， 所以或. 2. 已知命题，则命题的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】根据全称命题否定的规则，即命题的否定是. 3. 已知，则“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】由， 而推不出， “”是“充分不必要条件 4. 2025年11 月，搭载“祖冲之三号”同款芯片的超导量子计算机“天衍-287”完成搭建，该量子计算系统具备“量子计算优越性”能力.下表记录了8个团队在特定年度的研发资金投入x(单位：亿元)与芯片性能提升评估指数y，且 研发资金投入x/亿元 2 10 性能提升评估指数y 2 12 已知y与x具有较强的线性关系，通过最小二乘估计得到的经验回归方程为如果去掉样本点后，得到的新样本的经验回归方程为则（ ） A. 0.1 B. 0.3 C. 0.5 D. 0.7 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出，进而求出新样本的中心点，再利用经验回归方程求得答案. 【详解】由及，得， 则在新样本中，， 所以. 故选：B 5. 已知随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由二项分布的方差公式求出的值，然后代入二项分布的概率公式求解. 【详解】因为，， 则， 解得或， 当时，； 当时，. 故选：D. 6. 某次高三数学测试成绩服从正态分布，且，现从参加本次数学测试的高三学生中随机抽取1名，则该学生的成绩在区间内的概率为（ ） A. 0.78 B. 0.64 C. 0.36 D. 0.22 【答案】B 【解析】 【详解】已知成绩，所以正态分布曲线关于对称轴对称， 由于，，所以和关于对称轴对称， 根据正态分布对称性可得： ， 所以 . 7. 将6名同学安排到三个公司实习，每名同学只去一个公司实习，至少安排1名同学去A公司实习，至少安排2名同学去B公司实习，至少安排2名同学去C公司实习，则不同的安排方法有（ ） A. 120种 B. 150种 C. 210种 D. 300种 【答案】C 【解析】 【分析】分安排1名同学去A公司实习和安排2名同学去A公司实习，两类情况讨论求解即可. 【详解】安排1名同学去A公司实习，安排2名去B公司实习，3名去C公司实习， 则有种不同的安排方法； 安排1名同学去A公司实习，安排3名去B公司实习，2名去C公司实习， 则有种不同的安排方法； 安排2名同学去A公司实习，有种不同的安排方法. 故满足条件的不同安排方法有种. 8. 已知，则x，y，z的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】法一：设，对讨论赋值求出，即可得出大小关系，利用排除法求出； 法二：根据数形结合解出. 【详解】法一：设，所以 令，则，此时，A有可能； 令，则，此时，C有可能； 令，则，此时，D有可能； 故选：B． 法二：设，所以， 根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根， 作出函数的图象，以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标，如图所示： 易知，随着的变化可能出现：，，，， 故选：B． 二、多选题（每题6分，共3题） 9. 已知一组数据依次为：12，16，16，4，0，2，2，10，12，16，关于这一组数据，下列说法正确的是（ ） A. 极差是16 B. 平均数是9 C. 第70百分位数是12 D. 方差是270 【答案】AB 【解析】 【详解】由题意，极差是，故A正确； 平均数是，故B正确； 方差是 ，故D错误； 将这组数据从小到大排序为：0，2，2，4，10，12，12，16，16，16， 因为，所以这组数据的第70百分位数是第7个数和第8个数的平均值， 即为，故C错误. 10. 中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措．在中欧班列带动下，某外贸企业出口额逐年提升，以下为该企业近个月的出口额情况统计，若已求得关于的线性回归方程为，则（ ） 月份编号 出口额/万元 A. 与成正相关 B. 样本数据的第40百分位数为 C. 当时，残差的绝对值最小 D. 用模型描述与的关系更合适 【答案】AD 【解析】 【分析】A项由表中数据的变化及回归方程中项的系数可知；B项利用百分位数定义及求解步骤即可得；C项由样本中心点代入方程求出，利用回归方程求出估计值与相应样本数据作差求出残差，再比较绝对值大小即可；D项由散点图可知. 【详解】A项，由图中表格数据可知，当的值增加时，的相应值也呈现增加的趋势， 又由回归方程中，项的系数，也可以看出与成正相关，故A正确； B项，样本数据的个取值从小到大依次是， 由，则第40百分位数为第个数据，故B错误； C项，， ， 将代入，得，即， 令，得，所以相应残差的绝对值为， 令，得，所以相应残差的绝对值为，故C错误； D项，如下图作出散点图， 可以看到相较“样本点分布在某一条直线模型的周围”， “样本点分布在某一条指数函数曲线的周围”这样的描述更贴切， 所以用模型描述与的关系更合适些，故D正确. 故选：AD. 11. 在一个不透明的盒子中，放有标号分别为1，2，3，4的四个大小相同的小球，现从这个盒子中有放回地先后取两个小球，取到球的标号分别为，，记，则下列说法正确的是（ ） A. 事件“”与“且”是相等事件 B. 当时，，的取值有4种情况 C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】对于AB，列举即可判断；对于C，根据乘法公式计算总样本容量，再列出事件，结合古典概型计算概率；对于D，根据条件概率公式计算． 【详解】事件“”表示，有“且”或“且”两种情况，故A错误； 当时，或或或四种情况，故B正确； 从这个盒子中有放回地先后取两个小球，共种情况， 其中的有或或或或或共6种情况， ，故C错误； 的情况有、、、、、、、 、、共10种， 其中且的有、、、、、、共7种， ，故D正确． 三、填空题（每题5分，共3题） 12. 已知随机变量X服从两点分布，且，设，那么________. 【答案】0 【解析】 【分析】根据两点分布确定X的期望，再由随机变量的线性关系的期望性质，即可求解. 【详解】因为随机变量X服从两点分布，， 所以， 所以， 因为，所以 故答案为：0. 13. 的展开式中常数项为__________． 【答案】29 【解析】 【分析】先求出展开式的通项公式，分别令和，求出k值，代入求解，分析计算，即可得答案. 【详解】展开式的通项公式为， 令，解得，则； 令，解得，则， 所以的展开式中常数项为. 14. 学校食堂每餐推出两种套餐，某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了套餐，则第2天选择套餐的概率为；若他前1天选择了套餐，则第2天选择了套餐的概率为．已知他开学第1天中午选择套餐的概率为，在该同学第3天选择了套餐的条件下，他第2天选择套餐的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由求出，再由求出,最后利用即可求解. 【详解】设为第天选A套餐，为第天选B套餐， 则， ； 从而， ， . 四、解答题 15. 已知集合，.若的充分非必要条件为，求实数的取值范围. 【答案】或． 【解析】 【分析】解绝对值不等式确定集合，然后由充分非必要条件的定义得集合包含关系，然后可求解． 【详解】由已知， 的充分非必要条件为，则是的真子集． 当即时，满足题意， 当时，由题意，等号不同时取得，解得， 综上的取值范围是或． 16. 已知正数a，b满足2a+b＝1， （1）求ab的最大值. （2）求的最小值. 【答案】（1） （2）8 【解析】 【分析】（1）直接利用基本不等式求解； （2）利用”１“的代换得出定值，然后结合基本不等式得最小值． 【小问1详解】 ∵a，b为正实数， ∴，当且仅当2a＝b且2a+b＝1时等号成立，∴ab的最大值为. 【小问2详解】 ∵， 当且仅当，时等号成立， ∴的最小值为8． 17. 为了探究学生完成数学作业情况与成绩之间的联系，某学校采用按比例分层抽样的方式得到200名学生的测验成绩，样本中认真完成作业的学生成绩频率分布直方图如图1所示.若认为成绩不低于120分为优秀，且数学成绩为优秀的学生年级分布扇形图如图2所示，已知样本中高三年级有15位同学成绩为优秀，且在所有数学成绩为优秀的学生中，认真完成作业的学生占. （1）求a的值，并且计算出样本中认真完成作业的学生成绩的下四分位数； （2）根据样本数据完成下方列联表，依据小概率值的独立性检验，分析认真完成作业与成绩是否有关. 认真完成作业 不认真完成作业 成绩优秀 成绩不优秀 附：. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1），下四分位数 （2）有关 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图各组频率之和为的性质，列出方程求解参数值；再根据百分位数的定义，通过累计频率确定下四分位数所在的区间，并用插值法计算该分位数； （2）根据分层抽样和条件概率完成列联表，再代入卡方公式计算检验统计量，与临界值比较以判断独立性；最后通过计算两组学生的优秀率并对比，进一步验证独立性检验的结论. 【小问1详解】 根据频率分布直方图的性质，所有组频率和为，组距为， 因此：，解得：， 下四分位数即第百分位数，计算累计频率 频率，累计；频率，累计； 频率，累计；频率，累计。 ，因此第百分位数在区间内， 计算得：下四分位数 【小问2详解】 零假设：认真完成作业与成绩无关 认真完成作业 不认真完成作业 成绩优秀 成绩不优秀 ，因为， 依据小概率值的独立性检验，零假设不成立，即认真完成作业与成绩有关， 该判断出错概率不超过0.001， 认真完成作业的学生中成绩优秀的频率为0.4， 不认真完成作业的学生中成绩优秀的频率为0.1， 可以发现认真完成作业的学生成绩优秀的频率是不认真完成作业的学生的4倍，差异显著. 18. 甲同学参加一项抽奖活动，在一个盒子中，有大小形状完全相同的5个球，其中3个白球，2个红球. （1）若不放回地从盒中连续取两次球，每次取一个球，求在第一次取到红球的条件下，第二次也取到红球的概率； （2）一次随机抽取两个球，若取到的两个球颜色相同则中奖，颜色不同则不中奖，抽完奖之后把球再放回盒子里以便于再次抽奖. （i）求甲抽取一次，中奖的概率； （ii）甲一共抽取了三次，中奖次数为，求的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）分布列： 【解析】 【分析】（1）借助条件概率公式计算即可得； （2）（i）借助组合数计算即可得；（ii）计算出的所有可能取值及其对应概率即可得分布列，利用分布列计算即可得其数学期望. 【小问1详解】 设事件表示“第次取球时，取到红球”， 则，， 则， 即在第一次取到红球的条件下，第二次也取到红球的概率为； 【小问2详解】 （i）； （ii）的可能取值为， 则，， ，， 则的分布列为： 则其数学期望. 19. 已知某工厂有两个车间生产某种产品，该产品的售价（元）与产品月销量（万件）间的几组数据如下： 售价（元） 1 2 3 4 5 月销量（万件） 10.9 10.2 9.0 7.8 7.1 （1）若可用线性回归模型拟合与的关系，根据表格数据，求关于的线性回归方程 （2）当该产品的售价为6元时，请估计该产品的月销量； （3）若两个车间的月产量之比为，且这些产品会全部随机发放到该地区的销售网点，现有3名顾客每人购买一件该产品，记这三件产品中来自车间的件数为，求的分布列和数学期望. 附：参考数据：. 【答案】（1） （2）6万件 （3）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）先计算和，再代入公式求出回归系数和截距，从而得到线性回归方程； （2）将代入已求得的回归方程，计算的值，得到月销量的估计值； （3）根据A、B车间产量占比确定单件产品来自A车间的概率，判断X服从二项分布，进而求出其分布列与数学期望. 【小问1详解】 由题意，可得， 则， . 故线性回归方程为. 【小问2详解】 令，可得，所以当该产品的售价为6元时，估计该产品的月销量为6万件. 【小问3详解】 因为两个车间月产量之比为，所以每一件产品来自车间的概率为， 依题意，，的可能取值为，可得的分布列为 0 1 2 3 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $