专题7菱形易错必刷题型专项训练 2025-2026学年人教版八年级下册数学期末复习专项

**基本信息** 聚焦菱形10大高频题型，以性质应用为基础、判定推理为核心、综合压轴为提升，构建“性质-计算-证明-综合”四层方法体系，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |菱形专项|10大题型（含6道压轴题）|性质应用（角度/线段/面积计算技巧）、判定方法（补条件/证明思路）、综合解题（分类讨论/方程思想）|从菱形边/角/对角线性质切入，通过对比平行四边形/矩形异同，递进至判定推理，最终融合动点/折叠等综合考点，形成完整知识链|

专题7菱形易错必刷题型专项训练 【温馨提示】10大高频压轴题型全覆盖，覆盖菱形角度、线段、面积计算，几何证明、条件补充、图形判定及压轴综合题。对比区分菱形与平行四边形、矩形的异同，拆解各类题型解题套路，突破几何推理难点，提升综合解题能力。 【题型1 利用菱形的性质求角度】 【题型6 证明四边形是菱形】 【题型2 利用菱形的性质求线段长】 【题型7 根据菱形的性质与判定求角度】 【题型3 利用菱形的性质求面积】 【题型8 根据菱形的性质与判定求线段长】 【题型4 利用菱形的性质证明】 【题型9 根据菱形的性质与判定求面积】 【题型5 添一个条件使四边形是菱形】 【题型10 解答压轴题6道】 【题型1 利用菱形的性质求角度】 解题技巧： 依托菱形四边相等、对边平行、对角线垂直且平分一组对角的核心性质。结合平行线角度关系、等腰三角形特性、角平分线定义推导角度，重点利用对角线平分内角的隐藏条件，快速简化角度计算。 1．如图，菱形盒子底部有一面平面镜，从点处射入一道平行于的光线，入射光线经过镜面反射后恰好经过点（法线与平面镜垂直，反射角等于入射角），若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据菱形的性质得，，再根据平行线的性质得，然后根据入射角等于反射角可得，最后根据三角形内角和定理得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，． ∵，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． 2．如图，在菱形中，，点在边的延长线上，连接，交于点，连结，若，则__________（用含的式子表示）． 【答案】 【分析】根据菱形的性质可得，则有，然后根据三角形内角和及外角的性质可进行求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 3．如图，在菱形中，，为对角线上一点，连接，，的延长线交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：四边形是菱形， ，对角线平分，即， 在和中： ， ． (2) 【分析】（1）利用菱形四边相等、对角线平分内角的性质，结合全等判定定理证明； （2）由全等得角相等以及等边对等角设未知数，结合菱形、列方程求角度，再用三角形内角性质算． 【详解】（1）略 （2）解：，是等腰三角形， 设， （三角形外角）， 由（1），得， 菱形，，， ，（平行线内错角）， 又，， 在中：， 即， 解得：，， ， ， 菱形中平分， ， 在中： ． 4．某同学在中，根据以下步骤作图： ①以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于，两点； ②分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点（不与点重合）连接，，得到四边形； ③作射线． (1)四边形的形状是________（选填：矩形、菱形），平分的理由是_______； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)菱形；菱形的对角线平分每一组对角 (2) 【分析】（1）先根据作图步骤提取边长关系：因为步骤①得，步骤②得，所以四边形四条边相等，据此判断四边形形状为菱形．根据菱形性质，即可得到角平分线结论． （2）求长度：先结合与菱形的性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理计算对角线的长度． 【详解】（1）解：由作图知， ∴四边形是菱形； ∵菱形的对角线平分每一组对角， ∴平分． （2）解：过点作于点， ∵四边形是菱形，， ， ∴． 在中，根据勾股定理得： ． ， ． 即． 【题型2 利用菱形的性质求线段长】 解题技巧： 菱形四条边长全部相等，对角线互相垂直平分，可将菱形分割为四个全等的直角三角形。解题时结合勾股定理，通过对角线长度求边长，或通过边长求对角线长度，搭配线段和差关系，高效完成线段计算。 5．如图，四边形和四边形均是菱形，点在上．若，点M，N是，的中点，则的长为(     ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据菱形的性质得到，，，由得到，从而，，根据等腰三角形的“三线合一”得到，，，从而得到，，，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：连接． ∵四边形和四边形均是菱形， ∴，，． ∴， ， ∵点是的中点， ， ， 6．如图，菱形对角线，相交于点O，测得，，过点A作于点H，则的长为__________． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理等知识． 根据菱形的性质、勾股定理，先求出、，再结合，即可作答． 【详解】解：在菱形对角线，相交于点O，，， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 7．如图，在菱形中，对角线与相交于点，且，，于，求的长． 【答案】 【分析】根据菱形的性质结合勾股定理求出的值，根据等面积法列方程求解即可． 【详解】解：在菱形中，，， ，，， ， ， ， 解得． 8．如图，在中，，，分别是，的中点，连接，过点作，过点作． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于点，连接，若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴是菱形． (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再根据三角形中位线的性质得到，即可得证； （2）由菱形的性质得出，，由勾股定理可求出答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图， 四边形是菱形，， ，， ，分别是，的中点， ， ， ∵点E是的中点， ， ∵， ∴在中，． 【题型3 利用菱形的性质求面积】 解题技巧： 掌握两种核心面积公式灵活选用：基础公式底×高；高频必考公式：对角线乘积的一半。不规则菱形组合图形，可采用分割法、补全法计算，优先使用对角线公式，大幅简化压轴题型的面积计算步骤。 9．如图，菱形的对角线，相交于点，、分别是、的中点，连接，若，，则菱形的面积为（    ） A．12 B．24 C．30 D．35 【答案】B 【分析】根据三角形中位线定理求出的长，再利用菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：、分别是、的中点， 是的中位线， ， 四边形是菱形， 菱形的面积． 10．如图，菱形的对角线相交于点，垂足为，连接．若，则菱形的面积是_____． 【答案】 【分析】由菱形的性质得，，由，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得，即可根据，得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是菱形，对角线相交于点O，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 11．如图，在矩形中，，相交于点，为的中点，连接并延长至点，使，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)证明：为的中点， ． ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ，． ． 平行四边形是菱形． (2)30 【分析】（1）利用平行四边形的判定定理证明四边形是平行四边形，再利用邻边相等的平行四边形是菱形可得结果； （2）直接利用菱形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：，， 菱形的面积． 12．如图，在中，，是的中线，分别过点，作，的平行线，相交于点． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)证明：∵，， 四边形是平行四边形， ，是的中线， ， 四边形是菱形； (2)30 【分析】（1）根据题意由，可得四边形是平行四边形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得进而可得四边形是菱形； （2）连接根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，根据勾股定理求得，根据菱形的面积公式即可求得． 【详解】（1）证明：略； （2）解：如图，连接， ，， ， 在中，， 四边形是菱形， ， 菱形的面积． 【题型4 利用菱形的性质证明】 解题技巧： 以菱形四边相等、对边平行、对角线垂直平分且平分对角为核心依据，可证明线段相等、线段垂直、角相等、三角形全等、角平分线等结论。解题精准匹配性质，梳理清晰的几何逻辑链条，规范书写证明步骤。 13．如图，在菱形中，对角线与相交于点，下列说法正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查菱形的性质，掌握“菱形的四条边相等，对角线互相垂直平分”是解题的关键． 【详解】A．菱形的对角线互相垂直但不一定相等，仅当菱形为正方形时，故A错误； B．在菱形中，，，但不一定等于，故B错误； C．菱形的内角度数不确定，不一定等于，故C错误； D．根据菱形的性质，对角线互相垂直，，故D正确． 14．如图，在菱形中，，，则的长为______． 【答案】12 【分析】根据菱形的对角线互相垂直且平分，结合勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵在菱形中，，， ∴， ∴． 15．如图，在菱形中，对角线，相交于点，延长到点，使得，连接，过点作，交于点，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是菱形， ∴，，，即， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形． (2) 【分析】（1）根据菱形的性质得出，，，推得，根据平行四边形的判定和性质得出，结合矩形的判定定理即可证明； （2）根据菱形的性质求出和的长，根据勾股定理求出的长，结合矩形的性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，， 在中，， ∵四边形是矩形， ∴． 16．如图，在菱形中，点，分别在边，上，且，连接，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由菱形的性质得，根据可证明； （2）由全等三角形的性质得，由菱形的性质得，再根据三角形外角的性质可得结论． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴， 又， ∴； （2）解：∵， ∴， 又四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型5 添一个条件使四边形是菱形】 解题技巧： 分情况精准补条件：若原四边形是平行四边形，补充一组邻边相等或对角线互相垂直即可；若原四边形是普通四边形，需补充四条边全部相等。答题优先选择最简有效条件，贴合考试评分标准。 17．按照下列步骤作图，得到下图： ①任意画两条相交直线，n，记交点为； ②以点为圆心，分别在直线m，n上截取与，与．使； ③顺次连接A，B，C，D得到四边形． 若添加下列一个条件后，使得四边形是菱形，则这个条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对角线互相平分的四边形是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， A、添加，此时平行四边形变为矩形，不是菱形； B、添加，无法推出对角线垂直或邻边相等，不能判定为菱形； C、添加，即，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可以判定为菱形； D、添加，则，此时平行四边形是矩形，不是菱形； 所以正确条件是选项C． 18．如图，在中，平分交于点，过点作交于点，点在线段上，连接．请你添加一个条件________，使四边形是菱形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】先根据角平分线的定义以及平行线的性质得，故，再进行补充条件，使得四边形是平行四边形．又根据一组邻边相等的平行四边形是菱形进行证明，即可作答． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当添加条件是， ∵ ∴四边形是平行四边形． ∵ ∴四边形是菱形． 或添加条件是， ∵ ∴四边形是平行四边形． ∵ ∴四边形是菱形． 19．如图．已知四边形为平行四边形，M，N为边上的点，且．请你从下列三个选项：①；②；③中，选择一个合适的选项作为补充条件，使得四边形为菱形． (1)你选择的补充条件是________（填序号）． (2)根据你选择的补充条件，写出四边形为菱形的证明过程． 【答案】(1)①或② (2)证明：①∵四边形是平行四边形， ， ∵，， ∴四边形为菱形． 证明：②∵四边形是平行四边形， ， ， ． ， ∴四边形为菱形． 【分析】（1）根据题意选择合适的条件即可； （2）根据补充的条件进行证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 20．已知：如图，四边形为平行四边形，为的一条对角线． (1)（多选题）若添加一个条件，使得为菱形，这个条件可以是（   ） A．        B． C．为的角平分线    D． (2)用尺规作图，作线段的垂直平分线，分别交、、于点、、，连接、，求证：四边形为菱形． 【答案】(1)ACD (2)见解析 【分析】（1）根据菱形的判定定理分析即可； （2）根据题意即可作图，由线段的垂直平分线的性质得到，然后证明，则，即可通过四边相等的四边形是菱形证明． 【详解】（1）解：∵四边形为平行四边形， 当时，是菱形，故A符合题意； 当时，四边形是矩形，故B不符合题意； 当为的角平分线时， 则， 因为中，， 所以， 所以， 所以， 所以是菱形，故C符合题意； 当时，是菱形，故D符合题意． （2）解：如图即为所求， 证明：∵垂直平分， ∴，， ∵平行四边形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形． 【题型6 证明四边形是菱形】 解题技巧： 两种主流解题方法：1. 先证四边形为平行四边形，再证一组邻边相等或对角线垂直；2. 直接证明四边形四条边全部相等。根据题干已知条件择优选用，简化证明过程，避免冗余步骤。 21．如图1，在四边形中，为上一点，和都是等边三角形，、、、的中点分别为、、、． (1)试判断四边形为怎样四边形，并证明你的结论； (2)求的大小； (3)若，，求四边形的周长． 【答案】(1)四边形为菱形， 证明：连接，． 由题意知为的中位线， ∴． 同理可得． ∴． ∴四边形为平行四边形． 在和中， ，，， 即． ∴． ∴． ∴， ∴平行四边形为菱形． (2) (3) 【分析】（1）连接，，根据中位线的性质可得，得出四边形为平行四边形，证明得出，进而可得，即可证明平行四边形为菱形； （2）设交于点，交于点，交于点，根据三角形内角和定理求得，进而根据平行线的性质，即可得出； （3）过点作于点，勾股定理求得，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，设交于点，交于点，交于点 ∵是等边三角形， ∴ 由（1）可得 ∴ 又∵ ∴ ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，过点作于点， ∵和都是等边三角形，，， ∴， ∴， 在中， ∴ ∴菱形的周长为 22．如图所示，矩形的对角线与相交于点，点为的中点，连接并延长至点，使得，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若菱形的周长为，平行线与之间的距离为，求矩形的周长． 【答案】(1)证明：∵点E是的中点， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴平行四边形是菱形； (2) 【分析】（1）通过，，证明四边形是平行四边形，再利用四边形是矩形，得出，即可求证； （2）证明是直角三角形，得出．再利用，得出，求出，再利用中位线的性质得即可求出，即可求解矩形的周长． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形，且周长为， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 设平行线与之间的距离为h，则， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴矩形的周长为． 23．如图，在四边形中，，，对角线、交于点，平分，过点作交延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； (2) 【分析】（1）由和平分可得，从而，进而根据菱形的定义得证结论； （2）由求出，进而得到为等腰直角三角形，，在中，根据勾股定理求得的长，根据面积公式即可解答 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形，， ∵在中，，， ∴（舍负）， ∵在菱形中，， ∴． 24．在四边形中，，对角线交于点平分，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，且，求的长． 【答案】(1)证明：， ， 平分， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形； (2) 【分析】（1）由平行线性质和角平分线定义得到，再由等角对等边及已知条件判定，进而由平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，最后由菱形的判定定理即可得证； （2）由菱形性质求出相关边及角度，在中，由勾股定理求出，再由平行四边形的判定与性质得出，最后在中，由勾股定理求出长度即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形，， ，且是等边三角形， ， ， 在中，，则由勾股定理可得， ，， ∴四边形是平行四边形， ， ，， ， 在中，由勾股定理可得． 【题型7 根据菱形的性质与判定求角度】 解题技巧： 遵循“先判定，后计算”原则，先证明四边形为菱形，再利用对角线平分对角、四边等腰、对边平行的特性，结合直角三角形、等腰三角形、平行线外角定理，综合推导各类角度，规避性质混用错误。 25．如图，小美同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据作图步骤得出四边形的四条边相等，从而判定四边形为菱形，利用菱形的邻角互补及对角线平分对角的性质即可求解． 【详解】解：由作图步骤可知，，， ， 四边形是菱形， ，，且平分， ， ， ． 26．如图，在矩形中，连接，分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作直线分别交于点，连接若，则的大小为_____． 【答案】/66度 【分析】设与交于点，由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，结合矩形的性质可得出四边形为菱形，再进一步可得答案． 【详解】解：设与交于点， 由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ，，，． 四边形为矩形， ， ，， ， ， ， 四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴． 27．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质． （1）根据矩形的性质得到，，证明，进而证明四边形是平行四边形，根据线段的垂直平分线的性质得到，即可证明四边形是菱形； （2）根据矩形的性质得到，进而求出，根据菱形的性质即可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵垂直平分线段， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 由（1）得四边形是菱形， ∴， ∴． 28．如图，在中，，D是中点，，是的角平分线，连接、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质与判定定理是解题的关键． （）由平行线的性质可得，由角平分线的定义得到，故有，所以，然后通过直角三角形的性质得，再证明四边形是平行四边形，进而可证明结论； （）先证明是等边三角形，则，由菱形的性质得，所以，然后得出是等边三角形，则有，，再通过角度和差求出，最后由勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵，是中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵，是中点， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得． 【题型8 根据菱形的性质与判定求线段长】 解题技巧： 先完成菱形判定，利用四边相等、对角线垂直平分的核心特点，构造直角三角形。结合勾股定理、等腰三角形边长性质计算，复杂动点、综合题型可设未知数列方程求解，精准算出线段长度。 29．如图，两张宽为3的长方形纸条叠放在一起，已知，则阴影部分四边形的周长是（     ） A．12 B． C． D．24 【答案】C 【分析】首先过点作于点E，于点，由题意可得四边形是平行四边形，继而求得的长，判定四边形是菱形，则可求得答案． 【详解】解：过点作于点E，于点，    根据题意得：，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 同理： ， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴四边形的周长是． 30．如图，在平行四边形中，以A为圆心，长为半径画弧交于点F，分别以点B，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G，连接并延长交于点E，连接交于点O，过点A作于点．若，，则_____． 【答案】 【分析】由作图过程可知，，为的平分线，则，，，结合平行四边形的性质以及菱形的判定可证明四边形为菱形，则，，根据，可得，再由，可得，进而可得答案． 【详解】解：由作图过程可知，，为的平分线， ∴，， ∴， 四边形为平行四边形， ∴， ，， ， ， ， 四边形为菱形， ，， ， ， ， ， ． 31．如图，在中，以点为圆心，长为半径画弧交于点，再分别以点、为圆心，大于的相同长为半径画弧，两弧交于点；连接并延长交于点，连接，则所得四边形是菱形． (1)根据以上尺规作图的过程，求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的周长． 【答案】(1)证明：根据作图的过程可知：平分 ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； (2) 【分析】（1）根据作图的过程可知平分，根据平行四边形的性质可得，根据作图可知，得，证明四边形是平行四边形，进而可得四边形是菱形； （2）连接交于点O，根据菱形的性质和，，即可求菱形的周长． 【详解】（1）略 （2）解：如图：连接交于点O 四边形是菱形 ，，，， 四边形是平行四边形， ， ， ∴， ∵四边形为菱形， ，， ，， ∴，而， ，， 菱形的周长为． 32．如图，在四边形中，，，过点作，交的延长线于点，连接，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点D作于点F，延长交于点G．若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． (2) 【分析】（1）由且得四边形为平行四边形，再通过导角证明，得 ，即可证明四边形是菱形； （2）由菱形的性质，得出，根据含角的直角三角形的性质得出，进而利用勾股定理得出，利用梯形的面积解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知，四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 【题型9 根据菱形的性质与判定求面积】 解题技巧： 判定图形为菱形后，根据题干条件灵活选用面积公式：已知底和高用底×高，已知对角线长度用对角线乘积的一半。组合图形通过割补、拆分、整体减空白的方式，求解阴影面积、局部面积。 33．如图．在的两边上分别截取，使；分别以点A、B为圆心．长为半径作弧，两弧交于点C；连接．若，四边形的面积为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据作图过程可得 ，从而判定四边形 为菱形，利用菱形面积等于对角线乘积的一半即可求解． 【详解】解：由作图可知，，． ， ． 四边形是菱形． 菱形的面积为，， ，即， 解得． 34．如图，已知线段，分别以点，为圆心，以为半径画弧，两弧相交于点，，连接，，，，则四边形的面积为____________． 【答案】 【分析】连接，根据作图可知，再根据菱形的性质可得，，，再由勾股定理求出，，再根据菱形的性质求面积即可． 【详解】解：如图：连接， 根据作图可知，， ∴四边形是菱形， ∵， ∴，，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴四边形的面积为． 35．如图，在平行四边形中，E、F是对角线上的两点，且．连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，且．求四边形的面积． 【答案】(1)证明：设交点为， 平行四边形中，， ∵， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形； (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，结合，易证，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明； （2）根据角平分线的定义求出，利用平行四边形的性质推出，易证四边形是菱形，可得，求出，利用直角三角形的性质求出，勾股定理求出，得到，利用菱形的面积公式计算即可得到结果． 【详解】（1）略 （2）解：如（1）图， ∵平分，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 36．如图，在四边形中，，点E，F在直线上，且，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：在和中， ， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形． (2)四边形的面积为 【分析】（1）先证明，得到，进一步推得，所以，结合，可证明结论； （2）连接交于点，先证明四边形是菱形，得到，根据直角三角形的性质可逐步求得，，，即可求得答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接交于点， 由（1）得四边形是平行四边形，且， 四边形是菱形， ，，， ，， ， ， 在中，， ， ， 四边形的面积为． 【题型10 解答压轴题6道】 解题技巧： 压轴题多综合菱形、矩形、平行四边形的性质与判定，融合动点、折叠、最值、全等证明等考点。解题需拆解题干复杂条件，分类讨论动点位置，结合方程思想、几何模型分步求解，规避漏解、步骤缺失等扣分点。 37．已知点是内一点，连接，． (1)当点在对角线上． ①如图1，若的面积为，的面积为，求的面积； ②如图2，若，，，求平行四边形的周长； (2)如图3，对角线与相交于点，点不在对角线上，连接，，与交于点，与交于点．求证：． 【答案】(1)①；② (2)见解析 【分析】（1）①如图1，过点作于点，过点作于点，证明，得出，进而得出，根据，即可求解； ②如图2，连接交于点．证明是菱形．设，则．由勾股定理，得，得出，再根据菱形的性质，即可求解； （2）如图3，连接．根据等底同高，得，，得出，进而得出结论． 【详解】（1）解：①如图1，过点作于点，过点作于点． ∴． ∵四边形是平行四边形，，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵，，， ∴． ∵，∴， ∴． ②如图2，连接交于点． ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即． ∴是菱形． ∴，， ∴． 设，则． 由勾股定理，得， ∴，解得， ∴． ∴菱形的周长． （2）证明：如图3，连接． ∵四边形是平行四边形， ∴，， 根据等底同高，得，， ∴， ∴， ∴． 38．【综合与实践：折纸中的数学】我国传统建筑中，设计精巧、样式繁多的几何图案随处可见，它们由笔直的短木条沿横、竖、斜方向交错构成，给人以明朗、均匀、简洁的美感．漫步于我们的校园，盈乐园中的小亭便体现了这一艺术特点．小亭的布局以“因地制宜”为原则，每换一个角度，眼前都是一幅不同的画面．如图②，是从底部仰视亭子内部顶部设计时看到的图案——木条纵横交错，形成一个个规整的四边形，简洁而富有韵律．      有趣的是，这样的图案不仅存在于传统建筑中，我们还可以通过折纸的方式将其“复现”．下面，让我们动手操作，在折纸中探寻数学的奥秘，感受传统文化与数学的交融之美．          【素材】如图③，一张矩形纸片，，． (1)【实践操作1】 步骤一：将矩形纸片上下对折，折痕为； 步骤二：然后左右对折，折痕为； 步骤三：将原纸片展开还原后，如图④所示得到四边形． 【实践探索1】 四边形的形状为 ；面积为 ； (2)【实践操作2】 步骤一：将矩形纸片先沿对角线对折； 步骤二：再将纸片折叠使点与点重合得折痕； 步骤三：将原纸片展开还原后，连接，．如图⑤所示，得到四边形． 【实践探索2】 ①判断四边形的形状，并加以证明． ②直接写出四边形的面积 ． 【答案】(1)菱形， (2)①四边形是菱形，证明见解析；② 【分析】（1）根据对角线互相垂直平分可得四边形为菱形，由折叠可得，然后运用菱形的面积公式就可解决问题． （2）由折叠可得；由矩形可得，从而有，进而可证得，则有，就可证到四边形是菱形；②设，则，由①知四边形是菱形，得到，利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）解：由折叠可知：与互相垂直平分， ∴四边形为菱形； 由折叠可得：， ∴， ∴菱形的面积为． （2）解：①四边形是菱形， 证明：如图， 由折叠可得：． ∵四边形是矩形， ， ， 在和中， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形． ， ∴四边形是菱形． ②设， ， ∴， 由①知四边形是菱形， ∴， 矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． 39．如图1．在中，平分交于点，垂足为点，与相交于点． (1)求证：； (2)若，求的长度； (3)在（2）的条件下，如图2，若平分交于点，点在上，且，连接． ①求证：四边形是平行四边形； ②直接写出的长度． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①见解析；② 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，推出，再根据角平分线的定义得到，推出，即可证明结论； （2）设，则，结合（1）中，可得，再求出，由，利用勾股定理得到建立方程求解即可； （3）①证明，推出，结合，得到，进而求出，即可证明；②由①知四边形是平行四边形，易证四边形是平行四边形，再根据，易证四边形是菱形，求出菱形的面积，连接交于点，求出，得到，证明是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】（1）证明：∵在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：设，则， ∵在中，， ∴， 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∵，即 在中，，， ∴， 解得， ∴； （3）①证明：∵ 四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴，即， 设，则， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 在中，， ∵，即， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； ②解：由①知四边形是平行四边形， ∴， 又， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∵， ∴菱形的面积， ∴， 连接交于点，则， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴，即， ∴，即， ∴或， ∴（负值舍去）或（负值舍去）， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，则，，，符合题意， 当时，则，，，不符合题意， ∴， 由①， ∴， 又， ∴， ∴． 40．如图1，矩形的顶点、分别在轴，轴的正半轴，已知点，且，满足．若点为矩形的对角线的中点，过点作的垂线分别交，于点，，交轴于点． (1)求，的值； (2)求线段的长度； (3)如图2，连接，若点P为射线上的点，在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使得以为边，点O，D，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)8；6 (2) (3)或 【分析】（1）根据两个非负数的和等于0，则每个都是0，即可求出a，b的值； （2）连接，先证明四边形为菱形，再利用勾股定理求出的长，即可利用等面积法得到的长； （3）分P在线段上或射线上两种情况，取的中点M，过点P作于点N，分别构造全等三角形进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ，， ∴， ，； 故答案为：8，6； （2）解：如图1，连接， ，， ，， ∵四边形是矩形， ∴， ， 又∵， ， ， ， 四边形是菱形， 由（1）得， ∴， 在中，， ， 设，， 在中，，， ， 解得， ， ， ， ． （3）解：存在点Q，使得以为边，点O，D，P，Q为顶点的四边形是菱形； 分两种情况，①当P在线段上时，取的中点M，连接并延长，过点P作于点N，如图4， 由题可得：，，为的中位线， ∴，， ∴， 当为边，四边形为菱形时，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点D向下平移3个单位，向左平移4个单位得到点O， ∴点P向下平移3个单位，向左平移4个单位得到点Q， ∴； ②当P在射线上时，当P在线段延长线上时，取的中点M，连接，过点P作于点N，如图5， 当为边，四边形为菱形时，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点D向下平移3个单位，向左平移4个单位得到点O， ∴点P向下平移3个单位，向左平移4个单位得到点Q， ∴； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质与判定，坐标与图形，非负数的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 41．如图，在中，，，为上方一个点，且，过点作直线交线段于点，交线段于点，且使得． (1)的度数为______； (2)探究线段，，的数量关系； (3)如图2，画出关于直线的对称图形，得到，连接，． ①若长为、长为，求四边形的周长（用含，的式子表示）； ②若，，请直接写出的面积（用含，的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3)    【分析】（1）由等边对等角可得，由三角形的内角和定理可得，由此即可求出的度数； （2）由三角形的内角和定理可得，由邻补角互补可得，，进而可得，由三角形的内角和定理可得，由平角的定义可得，进而可得，再结合，利用可证得，于是可得，，由线段之间的和差关系可得，再利用等量代换即可得出结论； （3）①由已知条件可得为等边三角形，由轴对称的性质可得为等边三角形，于是可得，，由（2）得，，则，进而可得，利用可证得，于是可得，，则，即，于是可得为等边三角形，则，进而可得四边形的周长，于是得解；②连接，由（2）得，因而设，可得，，于是可得为等边三角形，则，进而可得，于是可得四边形是菱形，则，由全等三角形的性质可得，进而可得，即，由轴对称的性质可得，于是可得，解方程即可求出的值，进而可得的面积． 【详解】（1）解：，， ， ， 故答案为：； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ，， ， 即：； （3）解：①，， 为等边三角形， 与关于直线对称， 为等边三角形， ，， 由（2）得：，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 为等边三角形， ，， 四边形的周长 ； ②如图，连接， 由（2）得：， 设， ，， ， 又， ， 为等边三角形， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， 与关于直线对称， ， ， 解得：， 的面积为． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质（、），等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，轴对称的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，列代数式，解一元一次方程，利用邻补角互补求角度，线段的和与差等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质及等边三角形的判定与性质是解题的关键． 42．在平面直角坐标系中，对于点和线段，如果点，，，按逆时针方向排列构成菱形，则称线段是点的“菱线段”，点是点的“菱点”．例如，图1中线段是点的“菱线段”．    (1)如图，已知点的坐标是． 点，，，，其中点的“菱点”有__________； 若线段是点的“菱线段”，且菱形的面积是2，求点的坐标； (2)记，若线段与线段都是点的“菱线段”，且线段与线段都经过点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①，；②或 (2) 【分析】（1）①根据菱形的性质可知，利用勾股定理逐一计算即可得到答案；②根据题意，点由两种情况，作轴，根据菱形的性质和面积可知，，利用勾股定理求得的长度，当点在点的上方，得到，当点在点的上方，得到，即可得到点坐标； （2）过点作的平行线，以、为圆心，长为半径作，，当，分别与直线有两个交点，且线段、线段经过点时，满足条件．根据菱形的性质、等腰三角形性质和三角形内角和可证明，当线段与线段完全重叠时，点只有一条“菱线段”符合题意，此时取得最小值，可根据计算得到；当线段与线段的点与点重叠时，此时t取得最大值，根据点、在可得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：①的坐标是 四边形是菱形 点，，， ，，， 点，点的“菱点” 故答案为：，． ②根据题意，点有两种情况， 四边形是菱形 ， 如图所示，作轴交轴于，则   菱形的面积是2 ，即 当点在点的正上方， 当点在点的正下方， 点的坐标为或． （2）如图1，过点作的平行线，以、为圆心，长为半径作，，当，分别与直线有两个交点，且线段、线段经过点时，满足条件．    图1中，四边形、是菱形， ，，， ，，， ， ， 当线段与线段完全重叠时，点只有一条“菱线段”， 此时取得最小值，如图2所示， 四边形是菱形， ， 又 ， 此时 ，解得： 当线段与线段的点与点重叠时，点有两条“菱线段”，此时取得最大值，如图3所示， 此时点、在 当时，满足条件． 故答案为：． 【点睛】本题考查了理解“菱点”和“菱线段”的定义，菱形的性质，勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，正确理解“菱线段”的定义和熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7菱形易错必刷题型专项训练 【温馨提示】10大高频压轴题型全覆盖，覆盖菱形角度、线段、面积计算，几何证明、条件补充、图形判定及压轴综合题。对比区分菱形与平行四边形、矩形的异同，拆解各类题型解题套路，突破几何推理难点，提升综合解题能力。 【题型1 利用菱形的性质求角度】 【题型6 证明四边形是菱形】 【题型2 利用菱形的性质求线段长】 【题型7 根据菱形的性质与判定求角度】 【题型3 利用菱形的性质求面积】 【题型8 根据菱形的性质与判定求线段长】 【题型4 利用菱形的性质证明】 【题型9 根据菱形的性质与判定求面积】 【题型5 添一个条件使四边形是菱形】 【题型10 解答压轴题6道】 【题型1 利用菱形的性质求角度】 解题技巧： 依托菱形四边相等、对边平行、对角线垂直且平分一组对角的核心性质。结合平行线角度关系、等腰三角形特性、角平分线定义推导角度，重点利用对角线平分内角的隐藏条件，快速简化角度计算。 1．如图，菱形盒子底部有一面平面镜，从点处射入一道平行于的光线，入射光线经过镜面反射后恰好经过点（法线与平面镜垂直，反射角等于入射角），若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在菱形中，，点在边的延长线上，连接，交于点，连结，若，则__________（用含的式子表示）． 3．如图，在菱形中，，为对角线上一点，连接，，的延长线交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 4．某同学在中，根据以下步骤作图： ①以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于，两点； ②分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点（不与点重合）连接，，得到四边形； ③作射线． (1)四边形的形状是________（选填：矩形、菱形），平分的理由是_______； (2)若，，求的长度． 【题型2 利用菱形的性质求线段长】 解题技巧： 菱形四条边长全部相等，对角线互相垂直平分，可将菱形分割为四个全等的直角三角形。解题时结合勾股定理，通过对角线长度求边长，或通过边长求对角线长度，搭配线段和差关系，高效完成线段计算。 5．如图，四边形和四边形均是菱形，点在上．若，点M，N是，的中点，则的长为(     ) A． B． C． D． 6．如图，菱形对角线，相交于点O，测得，，过点A作于点H，则的长为__________． 7．如图，在菱形中，对角线与相交于点，且，，于，求的长． 8．如图，在中，，，分别是，的中点，连接，过点作，过点作． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于点，连接，若，，求的长． 【题型3 利用菱形的性质求面积】 解题技巧： 掌握两种核心面积公式灵活选用：基础公式底×高；高频必考公式：对角线乘积的一半。不规则菱形组合图形，可采用分割法、补全法计算，优先使用对角线公式，大幅简化压轴题型的面积计算步骤。 9．如图，菱形的对角线，相交于点，、分别是、的中点，连接，若，，则菱形的面积为（    ） A．12 B．24 C．30 D．35 10．如图，菱形的对角线相交于点，垂足为，连接．若，则菱形的面积是_____． 11．如图，在矩形中，，相交于点，为的中点，连接并延长至点，使，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 12．如图，在中，，是的中线，分别过点，作，的平行线，相交于点． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，求菱形的面积． 【题型4 利用菱形的性质证明】 解题技巧： 以菱形四边相等、对边平行、对角线垂直平分且平分对角为核心依据，可证明线段相等、线段垂直、角相等、三角形全等、角平分线等结论。解题精准匹配性质，梳理清晰的几何逻辑链条，规范书写证明步骤。 13．如图，在菱形中，对角线与相交于点，下列说法正确的是（） A． B． C． D． 14．如图，在菱形中，，，则的长为______． 15．如图，在菱形中，对角线，相交于点，延长到点，使得，连接，过点作，交于点，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 16．如图，在菱形中，点，分别在边，上，且，连接，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【题型5 添一个条件使四边形是菱形】 解题技巧： 分情况精准补条件：若原四边形是平行四边形，补充一组邻边相等或对角线互相垂直即可；若原四边形是普通四边形，需补充四条边全部相等。答题优先选择最简有效条件，贴合考试评分标准。 17．按照下列步骤作图，得到下图： ①任意画两条相交直线，n，记交点为； ②以点为圆心，分别在直线m，n上截取与，与．使； ③顺次连接A，B，C，D得到四边形． 若添加下列一个条件后，使得四边形是菱形，则这个条件是（     ） A． B． C． D． 18．如图，在中，平分交于点，过点作交于点，点在线段上，连接．请你添加一个条件________，使四边形是菱形． 19．如图．已知四边形为平行四边形，M，N为边上的点，且．请你从下列三个选项：①；②；③中，选择一个合适的选项作为补充条件，使得四边形为菱形． (1)你选择的补充条件是________（填序号）． (2)根据你选择的补充条件，写出四边形为菱形的证明过程． 20．已知：如图，四边形为平行四边形，为的一条对角线． (1)（多选题）若添加一个条件，使得为菱形，这个条件可以是（   ） A．        B． C．为的角平分线    D． (2)用尺规作图，作线段的垂直平分线，分别交、、于点、、，连接、，求证：四边形为菱形． 【题型6 证明四边形是菱形】 解题技巧： 两种主流解题方法：1. 先证四边形为平行四边形，再证一组邻边相等或对角线垂直；2. 直接证明四边形四条边全部相等。根据题干已知条件择优选用，简化证明过程，避免冗余步骤。 21．如图1，在四边形中，为上一点，和都是等边三角形，、、、的中点分别为、、、． (1)试判断四边形为怎样四边形，并证明你的结论； (2)求的大小； (3)若，，求四边形的周长． 22．如图所示，矩形的对角线与相交于点，点为的中点，连接并延长至点，使得，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若菱形的周长为，平行线与之间的距离为，求矩形的周长． 23．如图，在四边形中，，，对角线、交于点，平分，过点作交延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 24．在四边形中，，对角线交于点平分，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，且，求的长． 【题型7 根据菱形的性质与判定求角度】 解题技巧： 遵循“先判定，后计算”原则，先证明四边形为菱形，再利用对角线平分对角、四边等腰、对边平行的特性，结合直角三角形、等腰三角形、平行线外角定理，综合推导各类角度，规避性质混用错误。 25．如图，小美同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 26．如图，在矩形中，连接，分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作直线分别交于点，连接若，则的大小为_____． 27．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，求的度数． 28．如图，在中，，D是中点，，是的角平分线，连接、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 【题型8 根据菱形的性质与判定求线段长】 解题技巧： 先完成菱形判定，利用四边相等、对角线垂直平分的核心特点，构造直角三角形。结合勾股定理、等腰三角形边长性质计算，复杂动点、综合题型可设未知数列方程求解，精准算出线段长度。 29．如图，两张宽为3的长方形纸条叠放在一起，已知，则阴影部分四边形的周长是（     ） A．12 B． C． D．24 30．如图，在平行四边形中，以A为圆心，长为半径画弧交于点F，分别以点B，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G，连接并延长交于点E，连接交于点O，过点A作于点．若，，则_____． 31．如图，在中，以点为圆心，长为半径画弧交于点，再分别以点、为圆心，大于的相同长为半径画弧，两弧交于点；连接并延长交于点，连接，则所得四边形是菱形． (1)根据以上尺规作图的过程，求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的周长． 32．如图，在四边形中，，，过点作，交的延长线于点，连接，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点D作于点F，延长交于点G．若，，求四边形的面积． 【题型9 根据菱形的性质与判定求面积】 解题技巧： 判定图形为菱形后，根据题干条件灵活选用面积公式：已知底和高用底×高，已知对角线长度用对角线乘积的一半。组合图形通过割补、拆分、整体减空白的方式，求解阴影面积、局部面积。 33．如图．在的两边上分别截取，使；分别以点A、B为圆心．长为半径作弧，两弧交于点C；连接．若，四边形的面积为，则的长为（   ） A． B． C． D． 34．如图，已知线段，分别以点，为圆心，以为半径画弧，两弧相交于点，，连接，，，，则四边形的面积为____________． 35．如图，在平行四边形中，E、F是对角线上的两点，且．连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，且．求四边形的面积． 36．如图，在四边形中，，点E，F在直线上，且，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，，求四边形的面积． 【题型10 解答压轴题6道】 解题技巧： 压轴题多综合菱形、矩形、平行四边形的性质与判定，融合动点、折叠、最值、全等证明等考点。解题需拆解题干复杂条件，分类讨论动点位置，结合方程思想、几何模型分步求解，规避漏解、步骤缺失等扣分点。 37．已知点是内一点，连接，． (1)当点在对角线上． ①如图1，若的面积为，的面积为，求的面积； ②如图2，若，，，求平行四边形的周长； (2)如图3，对角线与相交于点，点不在对角线上，连接，，与交于点，与交于点．求证：． 38．【综合与实践：折纸中的数学】我国传统建筑中，设计精巧、样式繁多的几何图案随处可见，它们由笔直的短木条沿横、竖、斜方向交错构成，给人以明朗、均匀、简洁的美感．漫步于我们的校园，盈乐园中的小亭便体现了这一艺术特点．小亭的布局以“因地制宜”为原则，每换一个角度，眼前都是一幅不同的画面．如图②，是从底部仰视亭子内部顶部设计时看到的图案——木条纵横交错，形成一个个规整的四边形，简洁而富有韵律．      有趣的是，这样的图案不仅存在于传统建筑中，我们还可以通过折纸的方式将其“复现”．下面，让我们动手操作，在折纸中探寻数学的奥秘，感受传统文化与数学的交融之美．          【素材】如图③，一张矩形纸片，，． (1)【实践操作1】 步骤一：将矩形纸片上下对折，折痕为； 步骤二：然后左右对折，折痕为； 步骤三：将原纸片展开还原后，如图④所示得到四边形． 【实践探索1】 四边形的形状为 ；面积为 ； (2)【实践操作2】 步骤一：将矩形纸片先沿对角线对折； 步骤二：再将纸片折叠使点与点重合得折痕； 步骤三：将原纸片展开还原后，连接，．如图⑤所示，得到四边形． 【实践探索2】 ①判断四边形的形状，并加以证明． ②直接写出四边形的面积 ． 39．如图1．在中，平分交于点，垂足为点，与相交于点． (1)求证：； (2)若，求的长度； (3)在（2）的条件下，如图2，若平分交于点，点在上，且，连接． ①求证：四边形是平行四边形； ②直接写出的长度． 40．如图1，矩形的顶点、分别在轴，轴的正半轴，已知点，且，满足．若点为矩形的对角线的中点，过点作的垂线分别交，于点，，交轴于点． (1)求，的值； (2)求线段的长度； (3)如图2，连接，若点P为射线上的点，在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使得以为边，点O，D，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 41．如图，在中，，，为上方一个点，且，过点作直线交线段于点，交线段于点，且使得． (1)的度数为______； (2)探究线段，，的数量关系； (3)如图2，画出关于直线的对称图形，得到，连接，． ①若长为、长为，求四边形的周长（用含，的式子表示）； ②若，，请直接写出的面积（用含，的式子表示）． 42．在平面直角坐标系中，对于点和线段，如果点，，，按逆时针方向排列构成菱形，则称线段是点的“菱线段”，点是点的“菱点”．例如，图1中线段是点的“菱线段”．    (1)如图，已知点的坐标是． 点，，，，其中点的“菱点”有__________； 若线段是点的“菱线段”，且菱形的面积是2，求点的坐标； (2)记，若线段与线段都是点的“菱线段”，且线段与线段都经过点，直接写出的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $