专题6矩形易错必刷题型专项训练 2025-2026学年人教版八年级下册数学期末复习专项

**基本信息** 聚焦矩形性质与判定，14类题型覆盖计算、证明、折叠等，提炼解题技巧，构建从基础到综合的逻辑体系，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质应用|4题/题型|利用矩形性质（直角、对边平行、对角线等）结合三角形性质、勾股定理|从单一性质应用到多性质综合，如角度→线段→面积递进| |判定|4题/题型|区分平行四边形与普通四边形判定条件，优先证平行四边形再补条件|从判定定理理解到添条件、证明，形成判定逻辑链| |综合应用|4题/题型|折叠用轴对称性质，坐标结合坐标系特征，压轴题拆分复杂图形|融合性质与判定，结合折叠、动点等，提升综合解题能力|

专题6矩形易错必刷题型专项训练 【温馨提示】14大高频压轴题型全覆盖，涵盖性质应用、坐标、折叠、直角三角形斜边中线、判定及综合压轴题。针对性攻克角度、线段、面积计算与证明难点，总结高频易错点，强化基础与综合解题能力，适配八年级下册期末重难点训练。 【题型1 利用矩形的性质求角度】 【题型8 矩形的判定定理理解】 【题型2 根据矩形的性质求线段长】 【题型9 添一条件使四边形是矩形】 【题型3 根据矩形的性质求面积】 【题型10 证明四边形是矩形】 【题型4 利用矩形的性质证明】 【题型11 根据矩形的性质与判定求角度】 【题型5 求矩形在坐标系中的坐标】 【题型12 根据矩形的性质与判定求线段长】 【题型6 矩形与折叠问题】 【题型13 根据矩形的性质与判定求面积】 【题型7 斜边的中线等于斜边的一半】 【题型14 解答题压轴5道】 【题型1 利用矩形的性质求角度】 解题技巧： 核心依托矩形四大性质：四个角均为90°、对边平行、对角线相等且互相平分。解题时结合平行线内外错角、三角形内角和、等腰三角形底角相等性质推导角度，重点关注直角拆分、对角线构造等腰三角形的隐藏角度关系，避免漏看隐含条件。 1．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，若 ，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项A，，，故选项A符合题意； 选项B，，，故选项B不符合题意； 选项C，，，故选项C不符合题意； 选项D，，，故选项D不符合题意； 2．如图，点E是矩形内一点，连接、，．若，则的度数为________  °． 【答案】40 【分析】先根据矩形性质得到，，再根据等边对等角和三角形的内角和定理得到，，然后进行角度运算可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．已知：如图，矩形的对角线，相交于点O，，． (1)则______； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解； （2）由题意易得，然后可得，进而根据勾股定理可进行求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．如图，在矩形中，对角线与交于点，点是上一点，连接，若，．求的度数． 【答案】 【分析】根据矩形的性质得到，，，，可知，根据等边对等角得到，则，根据等边对等角即可求出的度数． 【详解】解：∵四边形是矩形，对角线与交于点， ∴，，，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 【题型2 根据矩形的性质求线段长】 解题技巧： 利用矩形对边相等、对角线互相平分且相等的核心特征，将矩形拆分出等腰三角形、直角三角形。常规结合线段和差关系计算，复杂题型优先使用勾股定理，遇到对角线问题，重点分析对角线平分后形成的等长线段，简化计算步骤。 5．如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是边的中点，点在对角线上，且．若，则的长为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由矩形性质得点为中点，从而可得为的中位线，进而求解． 【详解】解：∵矩形， ， ∵， ， 即点F是边的中点， 点是边的中点， 为的中位线， ． 6．如图，在矩形中，平分交于点，连接，点为的中点，连接，若，，则的长为________． 【答案】/ 【分析】先利用矩形的性质证明，，，进而求出的长，勾股定理求出的长，利用直角三角形斜边上的中线求出的长即可． 【详解】解：∵矩形，，， ∴，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵点F为的中点，且， ∴． 7．如图，在中，对角线，相交于点，． (1)求证：是矩形； (2)点在边上，满足．若，，求的长． 【答案】(1)证明：四边形是平行四边形， ，． 又， ， 是矩形． (2) 【分析】（1）利用平行四边形对角线性质推出对角线相等，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”求证； （2）先由矩形勾股定理算出对角线，得到，再用求值． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是矩形， ， 又，， 在中， ， 矩形对角线互相平分， ， ， ， ， ． 8．如图，在中，是边上一点，是边的中点，连接并延长至点，使得，连接，，，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)的长为 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，可得，再由，可得，即可证明结论； （2）利用矩形的性质可得，，由可得是等边三角形，则可得，，再可求得即可． 【详解】（1）证明：是边的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 四边形是矩形； （2）解：由（1）可知，四边形是矩形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 又∵，且， ， ， ， ， ． 【题型3 根据矩形的性质求面积】 解题技巧： 基础公式为矩形面积=长×宽，适用于规则矩形计算。针对组合图形、不规则题型，可采用分割法、整体减空白法拆解图形；可结合内部直角三角形面积、线段比例关系辅助求解，注意避免边长取值错误、公式混用的易错点。 9．如图，在矩形中，是边上一点，，分别是，的中点，连接，，，若，，，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形的性质可得，根据，分别是，的中点，可得，，是的中位线，求出，和的长，进一步可知是直角三角形，，根据，求出的面积即可． 【详解】解：在矩形中，，， ，分别是，的中点， ，，是的中位线， ， ∵，，， ， ， ， 是直角三角形，， ． 10．如图，在矩形中，点，，，分别在边，，，上，点在矩形内．若，，，，四边形的面积为5 cm²，则四边形的面积为__________ cm²． 【答案】8 【分析】由于四边形和四边形均为不规则图形，因此把它们先分割成规则图形，故连接，，而分割后的三角形的高也未知，因此分别设出和的高，进而四边形中的两个三角形的高也可以表示出来，最后借助四边形的面积求出四边形的面积即可． 【详解】解：如图，连接，，设在上的高，在边上的高，则在边上的高，在边上的高为． ，， ． ， ， 即． ， 　　　　　 　 　 　． 11．如图，在平行四边形中，为线段的中点，连接，，延长，交于点，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形． (2)45 【分析】（1）根据平行四边形的性质，得，根据平行线的性质，得，；再根据为线段的中点，全等三角形的判定，则，根据矩形的判定，即可； （2）根据矩形的性质得出，确定，再由矩形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是矩形， ， ． ． ， ． 12．如图，在中，对角线，相交于点，，是的中点，连接，过点作，交于点． (1)试判断四边形的形状，并证明； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)四边形是矩形， 证明：四边形是平行四边形， ． 点是的中点， 是的中位线． ． 又， 四边形是平行四边形． ， ， ． 四边形是矩形． (2) 【分析】（1）证是的中位线，得，则四边形是平行四边形，再证，即可得出结论； （2）根据勾股定理得出，进而利用矩形的面积公式解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：，是的中位线， ， ， ， ， 矩形的面积． 【题型4 利用矩形的性质证明】 解题技巧： 以矩形核心性质为证明依据：四角为直角、对边平行且相等、对角线相等且平分。主要用于证明线段平行、线段相等、线段垂直、三角形全等。解题关键是找准题干已知条件，匹配对应矩形性质，精准梳理几何等量关系与位置关系，逻辑严谨分步书写。 13．如图，矩形中，点E为上一点，将沿折叠得到，与相交于点G，的延长线与相交于点H，若G为的中点，平分，下列结论:①平分；②点H在的垂直平分线上；③．其中正确的是（     ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】作于点M，取的中点P，连接，由折叠的性质和矩形的性质得，，进而推出是锐角，结合G为的中点，可得，假设平分结合角平分线性质定理可得，从而推出可判断①；根据折叠性质得，结合平行线的性质推得进而得到可判断②；取的中点P，连接，结合已知条件推出点F是的中点得是的中位线，从而得，再根据矩形的性质结合已知条件证进而得可判断③． 【详解】解：如图，作于点M，取的中点P，连接， ∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠的性质可知：，， ∴，是锐角， ∴点M与点E不重合， ∴， ∵G为的中点， ∴，假设平分 ， ∵，， ∴， ∴，与 相矛盾， ∴不能平分，故①错误； 由折叠可知，， ， ， ， ， ∴点H在的垂直平分线上，故②正确； ∵平分，， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∴点F是的中点，点P是的中点， ∴是的中位线， ， ∵四边形是矩形，， ， ， ∵点G是的中点， ∴， 又∵ ， ，故③正确． 综上所述：结论正确的是②和③． 14．如图，在矩形中，，为上一点，且，为的中点，下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的序号是_______． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质等，由矩形的性质可得，即得，又由直角三角形的性质得，即得，即可判定①；由得是等边三角形，即得，再根据等腰三角形的性质可得，得到，即可判定②；由矩形的性质得，，即可判定③；设，则，利用勾股定理可得，得到，即得到，又可得，即可判定④，综上即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：①∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在中，为的中点， ∴， ∴，故①正确； ②由①可得，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即平分，故②正确； ③∵，， ∴，故③错误； ④设，则， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，故④正确； 综上，正确的序号是①②④， 故答案为：①②④． 15．如图，矩形的对角线，相交于点，过点作的平行线交的延长线于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】由矩形的性质得到，，根据，推出四边形是平行四边形，因此，即可证明． 【详解】证明：四边形是矩形， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ． 16．如图1，在矩形中，点在的延长线上，与相交于点，与相交于点， (1)求证：； (2)如图2，连接，求的值． 【答案】(1)证明：∵四边形是矩形，点在的延长线上， ， 又， ， ， ， ，即． (2) 【分析】（1）首先证明，由全等三角形的性质可得，进而证明，即可证明结论； （2）在线段上取点，使得，证明，由全等三角形的性质可得，进而证明为等腰直角三角形，由勾股定理可得，，即可获得答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图，在线段上取点，使得， 在和中， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ，即，得， ， ． 【题型5 求矩形在坐标系中的坐标】 解题技巧： 结合矩形邻边垂直、对边平行且相等的特征，适配平面直角坐标系特点：水平边平行x轴、竖直边平行y轴。通过已知点坐标，利用横纵坐标差值、点的平移规律推导未知点坐标，复杂题型可结合勾股定理辅助验证边长，杜绝坐标正负取值错误。 17．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，的坐标分别为，，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接交于点，利用矩形对角线互相平分的性质结合中点坐标公式求出点的坐标，再计算出点的坐标． 【详解】解：如图，连接交于点， ∵四边形是矩形， ∴与互相平分， ∵，， ∴点的坐标为， ∵， ∴点的坐标为，即． 18．如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线、相交于点，，，如果平行于轴，那么点的坐标为____________________ ． 【答案】 【分析】先根据矩形的性质得到，设 ，利用两点间距离公式求出点的坐标，再根据中点公式得到点的坐标． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， 平行于轴，， 纵坐标都是． 设 ， ， ， ， 解得， ∴． ∵， 设， 由中点公式：，， ，， ． 19．如图①，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限．点沿着在长方形边上运动． (1)点的坐标为______． (2)当、两点的距离为7时，求点的坐标． (3)如图②，若将长方形沿着翻折，点与点重合，边与轴交于点，求出点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据长方形的性质，坐标与图形性质解答即可； （2）分点在上和点在上两种情况，根据题意计算； （3）根据折叠可得，设，在中利用勾股定理列方程求解即可. 【详解】（1）解：∵四边形是长方形， ∴， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴； （2）解：当点在边上时，， ∵，， ∴， ∴， 即：； 当点在上时， ∵，，， ∴， ∴， 即：； 综上，或； （3）解：设， 由折叠可得： ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 即：， 解得：， 即：. 20．如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴上，点A在y轴的正半轴上，线段，满足，且． (1)请直接写出点D的坐标； (2)动点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线向终点B运动，连接，设的面积为S，运动时间为t秒，求S和t之间的关系式，要求写出t的取值范围； (3)在（2）条件下，当时，过点P作直线l⊥x轴，点M在直线l上，在平面内是否存在点N，使点A，C，M，N为顶点的四边形是以为边的矩形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)点D的坐标为 (2) (3)当时，，；当时，， 【分析】（1）根据非负数的性质求出，，则，，设，根据勾股定理得出，求出，则，然后根据平行四边形的性质求解即可； （2）分点P在上，点P在上讨论，根据三角形的面积公式求解即可； （3）分点P在上，点P在上讨论，根据等边三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质、平移的性质等知识求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， 设， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴点D的坐标为； （2）解：当点P在上时，，如图，此时， ∴； 当点P在上时，，如图，此时， ∵，， ∴， ∴； 综上，； （3）解：取中点E，连接， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 当时，， 解得， ∴， 当M在上方时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴A向右平移1个单位，再向上平移个单位得到， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴C向右平移1个单位，再向上平移个单位得到， ∴； 当M在下方时， 同理可求； 当时，， 解得， ∴， 当M在x轴上方时，过作于H， 则，， ∴， ∴， ∴， ∴A向左平移个单位，再向下平移个单位得到， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴C向左平移个单位，再向下平移个单位得到， ∴， 当M在x轴下方时， 同理可求， 综上，当时，，；当时，，． 【题型6 矩形与折叠问题】 解题技巧： 核心原理：折叠为轴对称变换，折叠前后对应边相等、对应角相等、图形全等。结合矩形直角特性，构造直角三角形，通过设未知数、利用勾股定理列方程求解边长、角度。解题第一步必须标注所有折叠产生的等量关系，这是解题核心突破口。 21．如图，将矩形折叠，是折痕，点恰好落在边上的点处，量得，那么等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由矩形的性质得到，求出，由折叠的性质得到，则，得到． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得到：， ∴， ∴． 22．如图，把一张矩形纸片按如下方法进行两次折叠：第一次将边折叠到边上得到，折痕为，连接，，第二次将沿着折叠，边恰好落在边上．若，则的长为_____． 【答案】 【分析】根据折叠的性质得出，易得四边形是矩形，则，，根据勾股定理可得：，根据，即可求解． 【详解】解：∵将边折叠到边上得到，折痕为， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴四边形是矩形，，， ∴， 根据勾股定理可得：， ∵将沿着折叠，边恰好落在边上， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴． 23．在矩形中，，，为射线上一点，将沿直线翻折至的位置，使点落在点处． (1)若为线段上一点． ①当点落在边上时，利用尺规作图，在图1中作出满足条件的点E和点P（不写作法，保留作图痕迹），并直接写出此时_________； ②如图2，连接，若，求证：P是的中点． (2)若P为延长线上一点，且运动点P至为直角时，请画出图形，并求的长． 【答案】(1)①，2； ②证明：如图2， 由折叠可知，，， ， ， ， ， ， 又， ， 是的中点； (2)，． 【分析】（1）①以A为圆心，为半径画弧，交于点E；由折叠的性质可知，则作的平分线交与点P即可；根据勾股定理求出，即可求出的值； ②由折叠的性质可知，，根据平行线的判定和性质得到，可知，根据等角对等边得到，进而可知，即P是的中点； （2）根据勾股定理求出，设，则，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）①解：作图略； 由折叠的性质可知， ∵矩形 ∴，， ， ； ②略； （2）解：图略， 当时，可知此时点在的延长线上． 在中，，， ， ， 设，则， ， ， 即． 24．【问题情境】如图1，小明将矩形纸片先沿对角线折叠，展开后再折叠，使点B落在折痕上，点B的对应点记为，折痕与边分别交于点E，F． 【实践操作】 (1)尺规作图：如图2，分别以B、D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于E、F两点，连接，由此尺规作图得到的结论是：_____，若以为折痕折叠矩形，则点B的对应点为点______． 【问题解决】 (2)如图3，若，，点，，C在同一条直线上， ①求证：是等腰三角形； ②求的长． 【深入探究】 (3)在【问题情境】的折叠操作中，设，，连接，当a，b满足什么数量关系时，与始终平行，请说明理由． 【答案】(1)是线段的垂直平分线， (2)①证明：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵折叠，点，，C在同一条直线上， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ②； (3)如图所示，对角线交于点O， 若，则， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， 整理得，， 当点重合时，如图所示，垂直平分，垂足为点G， ∴， ∴当时，与重合，即， 解得，； 同理，当点重合时，折线变成点，并与点D重合，此时， ∴， 当，即时，， 整理得， ∴当点在线段上，时，与始终平行． 【分析】（1）根据折叠的性质求解即可； （2）①根据矩形的性质，折叠的性质，角的等量代换得到即可求解； ②过点作于点G，由等面积法得到，再由勾股定理，三线合一即可求解； （3）若，则时，即点在对角线上，再分类讨论即可． 【详解】（1）解：根据作图得到，垂直平分线段， ∴， ∴以为折痕折叠矩形，则点B的对应点为点D； （2）解：②在中，， 如图所示，过点作于点G， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰三角形，，， ∴， ∴； （3）略 【题型7 斜边的中线等于斜边的一半】 解题技巧： 核心原理：折叠为轴对称变换，折叠前后对应边相等、对应角相等、图形全等。结合矩形直角特性，构造直角三角形，通过设未知数、利用勾股定理列方程求解边长、角度。解题第一步必须标注所有折叠产生的等量关系，这是解题核心突破口。 25．如图，在中，，点D为的中点，若，则（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：∵在中，，点D为的中点， ∴． 26．如图，在中，，点D、E分别是边的中点，点F是线段上的一点且，连接，若，则线段的长为______． 【答案】12 【分析】利用三角形中位线定理得到，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到．所以由图中线段间的和差关系来求线段的长度即可． 【详解】解：点、分别是边、的中点， 是的中位线， ， ，是的中点，， ， ∵， ， ． 27．如图，在中，，为的中点． (1)实践操作：利用尺规作于点；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)猜想证明：若是的中点，证明：． 【答案】(1) 如图，即为所求作； (2) 证明：，为的中点， ， 是的中点，， 点在的垂直平分线上， ， ． 【分析】（1）利用尺规作图作； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知，根据线段垂直平分线定理可知点在的垂直平分线上，所以可得，从而可证． 【详解】（1）解：如下图所示， 以点为圆心画弧，交于点、， 分别以点、为圆心画弧，两弧交于点， 连接交于点，即为所求作； （2）略 28．在中，，，．直角三角板中，将三角板的直角顶点D放在斜边的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边，分别与边，交于点M，N． (1)如图①，在三角板旋转过程中，当点M为的中点时，四边形的形状是 ； (2)如图②，在三角板旋转过程中，当时，求线段的长； (3)如图③，在三角板旋转过程中，当时，求线段的长． 【答案】(1)矩形 (2) (3) 【分析】（1）由三角形中位线定理可得，可证，即可求解； （2）如图，过点N作于G，点D作于H，由中点和勾股定理得到，则，，由得到，，即可求出，再根据，得到，最后根据列方程求解即可； （3）延长到T，使得，连接，．设，则，，证明，得到，，在中，由列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点D是的中点，点M是的中点， ， ， ， ， ， ∴四边形是矩形； （2）解：如图，过点N作于G，点D作于H， ，，， ， ∵点D是的中点， ， ∴，， ， ，， ∵， ， ， 又， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ； （3）解：如图，延长到T，使得，连接，． 设，则，， ∵点D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 解得，即． 【题型8 矩形的判定定理理解】 解题技巧： 熟记三大核心判定定理，区分平行四边形与普通四边形判定差异：1. 有一个角是直角的平行四边形是矩形；2. 三个角为直角的四边形是矩形；3. 对角线相等的平行四边形是矩形。杜绝混淆平行四边形、矩形判定条件的高频错误。 29．我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形称为“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条a、b、c、d搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（    ） A．测量是否有三个角是直角 B．测量对角线是否相等 C．测量两组对边是否分别相等 D．测量对角线是否互相垂直 【答案】A 【分析】根据矩形的判定方法：有一个角是直角的平行四边形是矩形，以及对角线相等的平行四边形是矩形，进行判断即可． 【详解】解：∵有三个角是直角的四边形是矩形， ∴要判断这个四边形是否是矩形，可以测量是否有三个角是直角； 故测量方案正确的是：A． 30．为了检查一个书架的四个角是否都是直角（该书架两条侧边、上下底边的长度分别相等），小明的检查过程如下：如图，小明先用绳子连接一组对角的顶点，在绳子上记录一条对角线的长度，再连接另一组对角的顶点，检验两条对角线长度是否一致．请用一个你学过的几何定理解释小明检查过程的依据：________． 【答案】对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角 【分析】先根据已知边的等量关系确定书架为平行四边形，再结合对角线的条件判断是否为矩形，即可得到四个角是否为直角． 【详解】解：∵该书架的两条侧边，上下底边的长度分别相等，即两组对边分别相等， ∴该书架是平行四边形，若该平行四边形的两条对角线长度相等，则该平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角， 因此可以通过检验两条对角线长度是否一致，判断四个角是否都是直角． 31．在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，． (1)①直接写出B的坐标：___________； ②连接．求证：； (2)若，对角线，利用（1）的结论判断平行四边形的形状，并说明理由． (3)在（2）的条件下，点是线段上的动点，试在上确定一点，使得的值最小时，求此时的长． 【答案】(1)①； (2)平行四边形是矩形，理由见解析 (3)． 【分析】（1）①利用平行四边形的性质直接得到； ②利用两点之间的距离公式，分别计算和，据此即可证明； （2）利用两点之间的距离公式，再由（1）的结论求得，即可得到平行四边形是矩形； （3）作点关于的对称点，连接，与的交点即为，此时最小；据此求解即可． 【详解】（1）解：①∵四边形是平行四边形，，， ∴； 证明：②∵，，， ∴， ， ，，， ∴， ， ∴； （2）解：∵，对角线， ∴，， 由（1）的结论得， ∵，， ∴， 解得， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形； （3）解：由（2）得四边形是矩形，，， ∴点的坐标为，点的坐标为， 作点关于的对称点，则点的坐标为， 连接，与的交点即为，此时最小； ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴． 32．如图，在四边形中，，，且，，，若动点P从A点出发，以每秒的速度沿线段向点D运动；动点Q从C点出发以每秒的速度沿向B点运动，当Q点到达B点时，动点同时停止运动，设点同时出发，并运动了t秒，回答下列问题： (1) cm； (2)当 秒时，四边形成为矩形． (3)当t为多少时，？ (4)是否存在t，使得是等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)18 (2)6 (3)4 (4)存在t，使得△是等腰三角形，此时t的值为秒或6秒或秒． 【分析】（1）作于E，则四边形为矩形．在中，已知的长，根据勾股定理可以计算的长度，根据即可求出的长度； （2）当时，四边形为矩形，根据列出关于t的方程，解方程即可； （3）当时，四边形是平行四边形可建立方程求解即可得出结论； （4）因为三边中，每两条边都有相等的可能，所以应考虑三种情况．结合路程=速度×时间求得其中的有关的边，运用等腰三角形的性质和解直角三角形的知识求解． 【详解】（1）如图，过D点作于E， ∵，， ∴ ， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中， ∵，，， ∴， ∴； （2）根据题意得：，，则， ， ∵， ∴当时，四边形为矩形， 即，解得秒， 故当秒时，四边形为矩形； （3）根据题意得：，，则， ， 时，如图， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴秒； （4）是等腰三角形时，分三种情况讨论： ①当时，即， ∴； ②当时，， 即， ∴； ③如图，当时，则 ， ， 在 中， ， 即 ， 解得： ． 故存在t，使得是等腰三角形，此时t的值为秒或6秒或秒． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了直角梯形的性质、矩形的判定、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 【题型9 添一条件使四边形是矩形】 解题技巧： 遵循“先判图形，再补条件”原则：已知是平行四边形，补充一个内角为直角或对角线相等即可；已知是任意普通四边形，需补充三个内角为直角。答题优先选择最简条件，避免补充多余、无效条件。 33．如图，要使平行四边形成为矩形，需要添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，结合平行四边形对角线互相平分的性质进行分析即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 若添加条件， ∴，即， ∴平行四边形是矩形； 对于A，可判定四边形为菱形； 对于B，可判定四边形为菱形； 对于C，是平行四边形固有的性质，无法判定为矩形． 34．如图，在中，相交于点O，，则当______时，四边形是矩形． 【答案】6 【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形，可得，再根据平行四边形的对角线互相平分，可得． 【详解】解：当是矩形时，， ． 35．如图，在中，点E是线段的中点，连接，，延长交的延长线于点F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，当________时，四边形是矩形，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)13，理由见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质得，则，证明，得，根据对边平行且相等，即可证明四边形是平行四边形； （2）当时，，由平行四边形的性质得，则，根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点E是线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：当时，四边形是矩形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． 36．如图，在中，是对角线的中点，点，分别在边，上，过点． (1)求证：； (2)连接，添加一个与线段有关的条件，使为直角．（不需要说明理由） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形对边平行的性质，得到，结合点O是中点的条件，可证明，从而得出结论； （2）由于平行四边形中与相等，要使为直角，需让平行四边形变为矩形，结合矩形对角线的性质，添加与相关的满足矩形判定的条件即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 是对角线的中点， ， 在和中， ， ， ； （2）解：连接，添加条件为：，此时为直角； 连接、， 四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形是矩形， ． 【题型10 证明四边形是矩形】 解题技巧： 通用解题思路：优先证四边形为平行四边形，再结合判定定理，证明一个角为直角或对角线相等；简便思路：题干已知多个直角时，直接证明四边形有三个内角是直角，即可判定为矩形，简化证明步骤。 37．数学实践课上，同学们需要制作矩形框架，小组成员完成后，通过测量各框架的边、角或对角线，得到以下数据，其中不一定是矩形的是（     ） A．   B．     C．   D．   【答案】B 【详解】：A、有三个角是直角的四边形是矩形，可判定该图形一定是矩形，不符合题意； B、如图，   ∵， ∴． ∵， ∴， ∴无法判断四边形是矩形，符合题意； C、根据两组对边分别相等，得该四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可判定该图形一定是矩形，不符合题意； D、根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形，可判定该图形一定是矩形，不符合题意． 38．对于四边形，给出下列4组条件：①；②，；③；④．其中一定能得到“四边形是矩形”的条件有___________．（填给定条件的序号） 【答案】① 【详解】解：①，可得每个角的度数为，四个角都是直角的四边形是矩形，因此四边形是矩形，故①正确． ②，，可得 ，即，无法推出四个角都是直角，例如等腰梯形可满足该条件，但不是矩形，因此四边形不一定是矩形，故②错误． ③，，两组对角分别相等的四边形是平行四边形，只能判定该四边形为平行四边形，平行四边形不一定是矩形，因此四边形不一定是矩形，故③错误． ④，可得 ，无法保证四个角都是直角，因此四边形不一定是矩形，故④错误． 39．如图，在中，，相交于点，点，分别是，的中点，连接并延长至点，使得，连接，． (1)证明． (2)若，判断四边形的形状并证明． 【答案】(1)证明：连接，，如图所示： ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴； (2)四边形为矩形； 证明：∵，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，，再证明四边形为平行四边形，即可得出答案； （2）根据等腰三角形的性质得出，得出，证明四边形为平行四边形，根据，即可证明四边形为矩形． 【详解】（1）略 （2）略 40．如图，在平行四边形中，与相交于点O，并延长至点F，使，连接，连接交于点E，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)过点C作于点G，并延长至点M，使，连接，且，求的值． 【答案】(1)证明：四边形是平行四边形， 且， ， 且， 四边形是平行四边形， ，即，，即， 又， ， 四边形是矩形． (2) 【分析】（1）首先证明四边形是平行四边形，再证明，根据“对角线相等的平行四边形为矩形”，即可证明结论； （2）连接，首先证明为的中位线，易得且，再证明，进而获得答案． 【详解】（1）略 （2）解：连接，如下图， 四边形是平行四边形， ，， ， 且，即， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即． 【题型11 根据矩形的性质与判定求角度】 解题技巧： 解题固定步骤：先通过判定定理证明图形为矩形，再利用矩形直角、对边平行、对角线特性，结合三角形外角定理、平行线性质、等腰三角形性质综合计算角度，严格遵循“先判定、后用性质”的逻辑顺序。 41．如图，在中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为（  ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，根据矩形的判定得到四边形是矩形，由矩形的性质求出，由角的和差关系求出，再根据等边对等角求出即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴ 故选：A． 42．如图，在中，为边上一点，以为边作矩形．若，，则的大小为______度．    【答案】60 【分析】想办法求出，利用平行四边形的性质即可解决问题． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 故答案为：60． 【点睛】本题考查矩形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题． 43．如图，在中，点E是边的中点，连接并延长，交的延长线于点F．连接． (1)求证：； (2)当四边形是矩形时，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查矩形与平行四边形的性质，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理和矩形的性质是解题的关键， （1）根据平行四边形的性质得到，从而得，再利用全等三角形的判定定理即可证得； （2）根据矩形的性质得到，即可推出，再根据平行四边形的性质即可求得的度数． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴． 44．如图，直线交x轴于，交y轴于，且a，b满足∶ (1) ， (2)点C为x轴负半轴上一点，于H， 交于P． ①如图1，求证：；     ②如图2，若，连接，求的大小． 【答案】(1)1；1 (2)①证明见解析；② 【分析】（1）用平方和绝对值的非负性求出a、b； （2）①先求出，再由即可证得； ②过O分别作于M点，作于N点，由证得，则，推出平分，再根据三角形内角和定理即可得出结论． 【详解】（1）解：， ，解得． 故答案为：1，1． （2）①证明：， ． ，，， ． ，，， ，． ． 在和中 ． ②解：过O分别作于M点，作于N点， ． ， 四边形是矩形． ． ， ． ， 在和中， ． ． ， ， 平分． ， ． ． ，， ． ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了坐标与图形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定、矩形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【题型12 根据矩形的性质与判定求线段长】 解题技巧： 先判定四边形为矩形，锁定对边相等、对角线平分且相等的性质。常规结合线段和差、等腰三角形边长关系求解，复杂题型通过设未知数，结合勾股定理列方程求解，适配动点、折叠综合类线段计算题型。 45．如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，M为中点，当点P从点B运动到点C，最小值为（   ） A． B．4 C． D．5 【答案】A 【分析】勾股定理逆定理得到，进而推出四边形是矩形，连接，则，证明，进而得到最小时，最小，进而得到时，最小，等积法求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵M为中点， ∴， ∵于E，于F， ∴四边形是矩形， 连接，则在上，， ∴， ∴当最小时，最小， ∵垂线段最短， ∴当时，最小， 此时，即：， ∴， ∴的最小值为． 46．如图，在四边形中，，，于．若四边形的面积是32，则的长是________． 【答案】 【分析】过点C作，证明四边形是矩形，然后证，然后利用等量代换即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点C作于， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 47．如图，在四边形中，，，，，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)4 (2)3 【分析】（1）过点作于点E，先证明四边形是矩形，再由等腰三角形三线合一求解即可； （2）根据梯形面积公式求解． 【详解】（1）解：过点作于点E，则， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：四边形的面积． 48．已知的对角线与相交于点．将沿折叠，点的对应点为点，连接，． (1)如图1，当点、、在一条直线上时， ； (2)如图2，当点、、不在一条直线上时，求的度数； (3)当为等边三角形，且，时，请直接写出对角线的长度． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）借助折叠与平行四边形性质证明，由折叠可知，进而推得和； （2）借助折叠与平行四边形性质证明，由折叠可知，进而推得和； （3）结合等边边长与折叠推出的，根据落在左侧、右侧两种不同位置分类讨论，当落在左侧，先证四边形为矩形后用勾股求，当落在右侧，先算出，再借助，在中勾股算出． 【详解】（1）解：如图，与交于点， 将沿折叠， ， ， 在中，， ， ， ， 由折叠得， ， ， ， ， ，即， ， 将沿折叠，点与点关于对称， ， ， ． （2）解：如图，与交于点， 将沿折叠， ， ， 在中，， ， ， ， 由折叠得， ， ， ， ， ，即， ， 将沿折叠，点与点关于对称， ， ， ． （3）解：当点、、在一条直线上， 据（1）可知，，无法构成等边三角形， 故此时点、、不在一条直线上； 为等边三角形， ，， 将沿折叠， ，点与点关于对称，， 当点在左侧：如图，与交于点，与交于点， 在中，， 在中，，，， ， ，即， 四边形为矩形， 则； 当点在右侧：如图，延长交于点， 由折叠知，， 在中，， ， 在中，， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， 在中，， 由（2）知，， 在中，． 综上，的长度为或． 【题型13 根据矩形的性质与判定求面积】 解题技巧： 先判定图形为矩形，再用基础公式长×宽计算面积。针对含空白、重叠的组合图形，采用割补法、整体减空白法拆分计算，可结合三角形面积比例，快速求解阴影部分、不规则区域面积。 49．如图，在矩形中，是上一点，交于点F，交对角线于点，连接，，．若要求阴影部分的面积，则只需要知道（  ） A．的面积 B．的面积 C．四边形的面积 D．四边形的面积 【答案】D 【分析】由矩形的性质可得，，则，由等积变形可得，从而得到，由可得． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴只需要知道四边形的面积即可求出阴影部分的面积． 50．如图，在中，．D在上，于，于F．已知．则四边形的面积为_______ ． 【答案】2 【分析】以为邻边构造矩形，延长交于点，延长交于点，根据矩形的性质，推出四边形的面积等于矩形的面积即可得出结果. 【详解】解：以为邻边构造矩形，延长交于点，延长交于点，如图， 由题意，可知，四边形均为矩形， ∴， ∵为矩形的对角线， ∴， 同理：，， ∴， 即四边形的面积. 51．如图，在平行四边形中，对角线，延长到点，使，连接，交于点，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，证明四边形是平行四边形，然后由矩形的判定即可得出结论； （2）由矩形的性质得，，再由勾股定理求出长，即可得出四边形的面积． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵，， 由（1）可知，，四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． 52．如图，在平面直角坐标系中，，，且． (1)求的面积； (2)为轴负半轴上一动点，过作的垂线，交的垂线于，为垂足，求的度数； (3)过作，当在轴负半轴上运动时，在（）的条件下，试判断的值是否改变，若不改变，请求出它的值． 【答案】(1) (2) (3)不变，它的值为 【分析】（）利用非负数的性质求出的值，得到点的坐标，再根据三角形的面积公式计算即可求解； （）过点作，交轴于，可证，再由等腰直角三角形的性质解答即可求解； （）过点作，交的延长线于点，可证，得到，即得，再由矩形的性质得，即得，即可判断求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，过点作，交轴于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴； （3）解：不变，理由如下： 如图，过点作，交的延长线于点， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴的值不变，它的值为． 【点睛】本题考查了非负数的性质，坐标与图形，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【题型14 解答题压轴5道】 解题技巧： 综合融合矩形性质与判定、折叠变换、勾股定理、三角形全等、动点最值等核心考点。解题核心是拆分复杂图形，拆解已知条件，分步推导作答；针对动点题型，分类讨论不同位置情况，规避漏解、错解问题。 53．《被数学选中的人》是央视推出的纪录片，节目中说道：“数学区别于其他学科，最主要的特征是抽象与推理”，几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象．形成一些基本的几何模型，用类比等方法，进行探究，推理，以解决新的问题． 【建立模型】 (1)如图，和是顶角相等的等腰三角形，即，，且，分别连接、，则有________，________，________． 【应用模型】 (2)如图，在与中，，，，，，三点在一条直线上，与交于点，连接． ①求的度数； ②若点为中点，，直接写出的面积． 【答案】(1)；； (2)①；② 【分析】（1）由题意易得，然后根据“”可判定，然后问题可求解； （2）①由题意易证，然后可得，然后根据角的和差关系可进行求解； ②过点作，由题意易得，由①可知：，则有，然后可得，则，进而问题可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，． （2）解：①∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②过点作，如图所示： ∵， ∴， 由①可知：， ∴， ∵点为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 54．综合与探究 问题情境：如图，在平面直角坐标系中，点，，以点O，A，B，C四点为顶点作矩形，且x，y满足． (1)矩形的顶点B的坐标是______________； (2)点E是x轴上的一个动点，连接，将沿所在直线翻折，使点O落在点G处． ①如图1，若点G落在对角线上，求点E的坐标； 猜想证明： ②如图2，若点E是线段的中点，连接并延长交于点H，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1) (2)①； ②证明：点是的中点， ， 沿翻折得， ，， ， ， 点，，在同一直线上， ， ， ， ， 又， ， ，即， ， 四边形是矩形， ，即， 四边形是平行四边形． 【分析】(1) 利用算术平方根和平方的非负性求出，的值，确定点和点的坐标，再根据矩形性质求点坐标． (2) ① 利用翻折性质得到，，，结合点，，共线得到，在中利用勾股定理列方程求解． ② 利用翻折性质和为中点得到，进而得到等腰三角形，通过角度关系推导，证明，再结合得证． 【详解】（1）解：， 又，， ，， 解得：，， ，， 四边形是矩形， ． （2）①解：沿翻折，点的对应点落在对角线上， ，，， 点，，在同一直线上， ， 设， ，， ， ，， 在中，， 即， 解得：， ， ． ②略． 55．已知，点，分别在射线，上，以为边向外作，使，过点作的垂线交射线于点． (1)如图1，当点在射线上时，求证：是的中点； (2)当点在内部时， ①如图2，若，求证：； ②如图3，若为取值范围内的任意角度，作，交射线于点．用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明：如图1， ， ，． 又， ，． ， ， 点是的中点； (2)①证明：如图2， ， ，，， 连接，过A作于P，设于点，则，， ． ． ． 又，， ， ． ∴， ∵， ， ． ． ． ； ②． 证明：如图3，在上取点，连接，使得，取的中点F，连接， 则， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在与中， ∴， ，， ∴， ， ，， ∴是直角三角形， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）利用等角的余角相等得到，由等边对等角可得，，即可证明结论； （2）在上取点，连接，使得，取的中点F，连接，证明，求出，再证明，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 56．综合探究： 【问题提出】 (1)如图1，在中，，，则的面积为______； 【问题探究】 (2)如图2，在矩形中，，，点是矩形内一动点，连接、，点到、的距离相等，求的最小值； 【问题解决】 (3)如图3，某研究所要沿着小路、开发一块面积为平方米的四边形试验田（即（平方米），从、分别向铺设地下水管、，为节约成本，要求铺设水管的长度尽可能的短（即的值尽可能小）．已知，米，求铺设地下水管与长度之和的最小值．（水管的宽度忽略不计） 【答案】(1) (2)的最小值为 (3)最小值为米 【分析】（1）根据三角形的面积公式求解即可； （2）取、的中点、，连接、、，推出垂直平分，四边形和四边形均为矩形，且，结合题意知点在上，得到，则，当点、、在一条直线上时，取得最小值，最小值为的长，根据勾股定理求出即可； （3）连接，求出，，得到，设点到的距离为，根据三角形的面积公式可求出，过点作直线，作点关于直线的对称点，连接、、，分别交、直线于点、，交直线于点，连接，推出点在直线上移动，于点，于点，，，和为等腰直角三角形，推出，当点、、在一条直线上时，即点与点重合时，取得最小值，最小值为，求出，过点作交的延长线于点，得到是等腰直角三角形，可求出，进而求出，最后根据勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：如图2，取、的中点、，连接、、， 则，， ， 垂直平分，四边形和四边形均为矩形， 点到、的距离相等， 点在上， ，则， 当点、、在一条直线上时，取得最小值，最小值为的长， 在中，， 的最小值为； （3）解：连接， ，， 为等腰直角三角形， ，， ， ， 设点到的距离为，则，即， 解得， 过点作直线，作点关于直线的对称点， 连接、、，分别交、直线于点、，交直线于点，连接，如图， 由对称可得，于点，，， 点在直线上移动， 直线，于点， ， 和为等腰直角三角形， ，，， 当点、、在一条直线上时，即点与点重合时，取得最小值，最小值为． ∵，交于点， ，则， ，则． 过点作交的延长线于点， 是等腰直角三角形， ， ， 在中，， 铺设地下水管与长度之和的最小值为米． 57．阅读与思考 下面是小贾同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务． 利用“特殊化”思想解决较复杂的几何问题面对某些较复杂的几何问题，我常常会束手无策，并不是我对几何概念、性质掌握不够，而是不知道怎么入手解决这些问题．今天，我又拿着一道题去问老师，这次我不仅要学会老师的解题过程，还要看他是怎么一步一步分析问题的． 问题：如图①，P是等边三角形内的任意一点，过点P向三边作垂线，垂足分别为D，E，F，若，则________． 【老师的思维路径】 思路分析一：动点P在哪些特殊位置时，的值更好求出？ 特殊位置一：如图②，当P为等边三角形三条高线所在直线的交点时，________． 特殊位置二：如图③，当点P在等边三角形的边的高上时，分析过程如下： 如图③，连接，∵为等边三角形，， ， ， （依据），， ，， ，， ． 思路分析二：图①的一般位置如何转化成容易求解的特殊位置，分析过程如下： 如图④，过点A作于点G，交于点H，过点H作于点I，过点P分别作于点J，于点K， ， ∴四边形是矩形， ， … 【回顾反思】 面对部分几何问题时，由于某些因素（如形状、位置等）不确定，使得问题有多种情形时，此时可考虑限制引起变化的因素，采用从特殊到一般的方式逐步分析规律，解决问题． 任务： (1)①特殊位置一中________； ②特殊位置二分析过程中的依据是________； (2)补全思路分析二中的求解过程； (3)如图⑤，P是等边三角形内的任意一点，过点P向三边作垂线，垂足分别为D，E，F，连接，，，若，则阴影部分的面积为______ 【答案】(1)①3；②角平分线上的点到角两边的距离相等 (2) 解：接题干过程继续推导： 同理可得，四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴平分， 又∵，， ∴， ∴． 因为在等边的角平分线上，，， 和特殊位置二同理可得，且满足． 又，， 代入变形： ， 所以最终可推得对任意点P都有． (3) 【分析】（1）①因为P是等边三角形三条高线交点，即中心，所以可利用等边三角形三线合一性质，直接计算、、的长度再求和； ②因为题目中由角平分线和到两边的垂线得出，所以回忆角平分线的相关定理来确定依据． （2）因为要将一般位置转化为特殊位置，所以先借助已有的矩形性质，再利用特殊位置二中的全等结论，通过线段的等量代换推导的值． （3）考虑利用特殊位置，并结合等边三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：① 当是等边三角形三条高线交点时，分别是三边中点，等边三角形边长为， ∴，和为． ② 是的角平分线，，得， 依据是：角平分线上的点到角两边的距离相等． （2）略 （3）解：如图③，，，，， ， 所以边长为2的等边三角形的面积为， 利用特殊化思想，将点移动到顶点处，此时阴影部分面积等于面积的一半； 对任意点，阴影面积都为原三角形面积的一半，因此阴影面积为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6矩形易错必刷题型专项训练 【温馨提示】14大高频压轴题型全覆盖，涵盖性质应用、坐标、折叠、直角三角形斜边中线、判定及综合压轴题。针对性攻克角度、线段、面积计算与证明难点，总结高频易错点，强化基础与综合解题能力，适配八年级下册期末重难点训练。 【题型1 利用矩形的性质求角度】 【题型8 矩形的判定定理理解】 【题型2 根据矩形的性质求线段长】 【题型9 添一条件使四边形是矩形】 【题型3 根据矩形的性质求面积】 【题型10 证明四边形是矩形】 【题型4 利用矩形的性质证明】 【题型11 根据矩形的性质与判定求角度】 【题型5 求矩形在坐标系中的坐标】 【题型12 根据矩形的性质与判定求线段长】 【题型6 矩形与折叠问题】 【题型13 根据矩形的性质与判定求面积】 【题型7 斜边的中线等于斜边的一半】 【题型14 解答题压轴5道】 【题型1 利用矩形的性质求角度】 解题技巧： 核心依托矩形四大性质：四个角均为90°、对边平行、对角线相等且互相平分。解题时结合平行线内外错角、三角形内角和、等腰三角形底角相等性质推导角度，重点关注直角拆分、对角线构造等腰三角形的隐藏角度关系，避免漏看隐含条件。 1．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，若 ，则（   ） A． B． C． D． 2．如图，点E是矩形内一点，连接、，．若，则的度数为________  °． 3．已知：如图，矩形的对角线，相交于点O，，． (1)则______； (2)求的长． 4．如图，在矩形中，对角线与交于点，点是上一点，连接，若，．求的度数． 【题型2 根据矩形的性质求线段长】 解题技巧： 利用矩形对边相等、对角线互相平分且相等的核心特征，将矩形拆分出等腰三角形、直角三角形。常规结合线段和差关系计算，复杂题型优先使用勾股定理，遇到对角线问题，重点分析对角线平分后形成的等长线段，简化计算步骤。 5．如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是边的中点，点在对角线上，且．若，则的长为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图，在矩形中，平分交于点，连接，点为的中点，连接，若，，则的长为________． 7．如图，在中，对角线，相交于点，． (1)求证：是矩形； (2)点在边上，满足．若，，求的长． 8．如图，在中，是边上一点，是边的中点，连接并延长至点，使得，连接，，，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【题型3 根据矩形的性质求面积】 解题技巧： 基础公式为矩形面积=长×宽，适用于规则矩形计算。针对组合图形、不规则题型，可采用分割法、整体减空白法拆解图形；可结合内部直角三角形面积、线段比例关系辅助求解，注意避免边长取值错误、公式混用的易错点。 9．如图，在矩形中，是边上一点，，分别是，的中点，连接，，，若，，，则的面积是（     ） A． B． C． D． 10．如图，在矩形中，点，，，分别在边，，，上，点在矩形内．若，，，，四边形的面积为5 cm²，则四边形的面积为__________ cm²． 11．如图，在平行四边形中，为线段的中点，连接，，延长，交于点，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 12．如图，在中，对角线，相交于点，，是的中点，连接，过点作，交于点． (1)试判断四边形的形状，并证明； (2)若，，求四边形的面积． 【题型4 利用矩形的性质证明】 解题技巧： 以矩形核心性质为证明依据：四角为直角、对边平行且相等、对角线相等且平分。主要用于证明线段平行、线段相等、线段垂直、三角形全等。解题关键是找准题干已知条件，匹配对应矩形性质，精准梳理几何等量关系与位置关系，逻辑严谨分步书写。 13．如图，矩形中，点E为上一点，将沿折叠得到，与相交于点G，的延长线与相交于点H，若G为的中点，平分，下列结论:①平分；②点H在的垂直平分线上；③．其中正确的是（     ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 14．如图，在矩形中，，为上一点，且，为的中点，下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的序号是_______． 15．如图，矩形的对角线，相交于点，过点作的平行线交的延长线于点．求证：． 16．如图1，在矩形中，点在的延长线上，与相交于点，与相交于点， (1)求证：； (2)如图2，连接，求的值． 【题型5 求矩形在坐标系中的坐标】 解题技巧： 结合矩形邻边垂直、对边平行且相等的特征，适配平面直角坐标系特点：水平边平行x轴、竖直边平行y轴。通过已知点坐标，利用横纵坐标差值、点的平移规律推导未知点坐标，复杂题型可结合勾股定理辅助验证边长，杜绝坐标正负取值错误。 17．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，的坐标分别为，，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 18．如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线、相交于点，，，如果平行于轴，那么点的坐标为____________________ ． 19．如图①，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限．点沿着在长方形边上运动． (1)点的坐标为______． (2)当、两点的距离为7时，求点的坐标． (3)如图②，若将长方形沿着翻折，点与点重合，边与轴交于点，求出点的坐标． 20．如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴上，点A在y轴的正半轴上，线段，满足，且． (1)请直接写出点D的坐标； (2)动点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线向终点B运动，连接，设的面积为S，运动时间为t秒，求S和t之间的关系式，要求写出t的取值范围； (3)在（2）条件下，当时，过点P作直线l⊥x轴，点M在直线l上，在平面内是否存在点N，使点A，C，M，N为顶点的四边形是以为边的矩形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由． 【题型6 矩形与折叠问题】 解题技巧： 核心原理：折叠为轴对称变换，折叠前后对应边相等、对应角相等、图形全等。结合矩形直角特性，构造直角三角形，通过设未知数、利用勾股定理列方程求解边长、角度。解题第一步必须标注所有折叠产生的等量关系，这是解题核心突破口。 21．如图，将矩形折叠，是折痕，点恰好落在边上的点处，量得，那么等于（     ） A． B． C． D． 22．如图，把一张矩形纸片按如下方法进行两次折叠：第一次将边折叠到边上得到，折痕为，连接，，第二次将沿着折叠，边恰好落在边上．若，则的长为_____． 23．在矩形中，，，为射线上一点，将沿直线翻折至的位置，使点落在点处． (1)若为线段上一点． ①当点落在边上时，利用尺规作图，在图1中作出满足条件的点E和点P（不写作法，保留作图痕迹），并直接写出此时_________； ②如图2，连接，若，求证：P是的中点． (2)若P为延长线上一点，且运动点P至为直角时，请画出图形，并求的长． 24．【问题情境】如图1，小明将矩形纸片先沿对角线折叠，展开后再折叠，使点B落在折痕上，点B的对应点记为，折痕与边分别交于点E，F． 【实践操作】 (1)尺规作图：如图2，分别以B、D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于E、F两点，连接，由此尺规作图得到的结论是：_____，若以为折痕折叠矩形，则点B的对应点为点______． 【问题解决】 (2)如图3，若，，点，，C在同一条直线上， ①求证：是等腰三角形； ②求的长． 【深入探究】 (3)在【问题情境】的折叠操作中，设，，连接，当a，b满足什么数量关系时，与始终平行，请说明理由． 【题型7 斜边的中线等于斜边的一半】 解题技巧： 核心原理：折叠为轴对称变换，折叠前后对应边相等、对应角相等、图形全等。结合矩形直角特性，构造直角三角形，通过设未知数、利用勾股定理列方程求解边长、角度。解题第一步必须标注所有折叠产生的等量关系，这是解题核心突破口。 25．如图，在中，，点D为的中点，若，则（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 26．如图，在中，，点D、E分别是边的中点，点F是线段上的一点且，连接，若，则线段的长为______． 27．如图，在中，，为的中点． (1)实践操作：利用尺规作于点；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)猜想证明：若是的中点，证明：． 28．在中，，，．直角三角板中，将三角板的直角顶点D放在斜边的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边，分别与边，交于点M，N． (1)如图①，在三角板旋转过程中，当点M为的中点时，四边形的形状是 ； (2)如图②，在三角板旋转过程中，当时，求线段的长； (3)如图③，在三角板旋转过程中，当时，求线段的长． 【题型8 矩形的判定定理理解】 解题技巧： 熟记三大核心判定定理，区分平行四边形与普通四边形判定差异：1. 有一个角是直角的平行四边形是矩形；2. 三个角为直角的四边形是矩形；3. 对角线相等的平行四边形是矩形。杜绝混淆平行四边形、矩形判定条件的高频错误。 29．我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形称为“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条a、b、c、d搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（    ） A．测量是否有三个角是直角 B．测量对角线是否相等 C．测量两组对边是否分别相等 D．测量对角线是否互相垂直 30．为了检查一个书架的四个角是否都是直角（该书架两条侧边、上下底边的长度分别相等），小明的检查过程如下：如图，小明先用绳子连接一组对角的顶点，在绳子上记录一条对角线的长度，再连接另一组对角的顶点，检验两条对角线长度是否一致．请用一个你学过的几何定理解释小明检查过程的依据：________． 31．在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，． (1)①直接写出B的坐标：___________； ②连接．求证：； (2)若，对角线，利用（1）的结论判断平行四边形的形状，并说明理由． (3)在（2）的条件下，点是线段上的动点，试在上确定一点，使得的值最小时，求此时的长． 32．如图，在四边形中，，，且，，，若动点P从A点出发，以每秒的速度沿线段向点D运动；动点Q从C点出发以每秒的速度沿向B点运动，当Q点到达B点时，动点同时停止运动，设点同时出发，并运动了t秒，回答下列问题： (1) cm； (2)当 秒时，四边形成为矩形． (3)当t为多少时，？ (4)是否存在t，使得是等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，说明理由． 【题型9 添一条件使四边形是矩形】 解题技巧： 遵循“先判图形，再补条件”原则：已知是平行四边形，补充一个内角为直角或对角线相等即可；已知是任意普通四边形，需补充三个内角为直角。答题优先选择最简条件，避免补充多余、无效条件。 33．如图，要使平行四边形成为矩形，需要添加的条件是（    ） A． B． C． D． 34．如图，在中，相交于点O，，则当______时，四边形是矩形． 35．如图，在中，点E是线段的中点，连接，，延长交的延长线于点F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，当________时，四边形是矩形，并说明理由． 36．如图，在中，是对角线的中点，点，分别在边，上，过点． (1)求证：； (2)连接，添加一个与线段有关的条件，使为直角．（不需要说明理由） 【题型10 证明四边形是矩形】 解题技巧： 通用解题思路：优先证四边形为平行四边形，再结合判定定理，证明一个角为直角或对角线相等；简便思路：题干已知多个直角时，直接证明四边形有三个内角是直角，即可判定为矩形，简化证明步骤。 37．数学实践课上，同学们需要制作矩形框架，小组成员完成后，通过测量各框架的边、角或对角线，得到以下数据，其中不一定是矩形的是（     ） A．   B．     C．   D．   38．对于四边形，给出下列4组条件：①；②，；③；④．其中一定能得到“四边形是矩形”的条件有___________．（填给定条件的序号） 39．如图，在中，，相交于点，点，分别是，的中点，连接并延长至点，使得，连接，． (1)证明． (2)若，判断四边形的形状并证明． 40．如图，在平行四边形中，与相交于点O，并延长至点F，使，连接，连接交于点E，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)过点C作于点G，并延长至点M，使，连接，且，求的值． 【题型11 根据矩形的性质与判定求角度】 解题技巧： 解题固定步骤：先通过判定定理证明图形为矩形，再利用矩形直角、对边平行、对角线特性，结合三角形外角定理、平行线性质、等腰三角形性质综合计算角度，严格遵循“先判定、后用性质”的逻辑顺序。 41．如图，在中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为（  ）    A． B． C． D． 42．如图，在中，为边上一点，以为边作矩形．若，，则的大小为______度．    43．如图，在中，点E是边的中点，连接并延长，交的延长线于点F．连接． (1)求证：； (2)当四边形是矩形时，若，求的度数． 44．如图，直线交x轴于，交y轴于，且a，b满足∶ (1) ， (2)点C为x轴负半轴上一点，于H， 交于P． ①如图1，求证：；     ②如图2，若，连接，求的大小． 【题型12 根据矩形的性质与判定求线段长】 解题技巧： 先判定四边形为矩形，锁定对边相等、对角线平分且相等的性质。常规结合线段和差、等腰三角形边长关系求解，复杂题型通过设未知数，结合勾股定理列方程求解，适配动点、折叠综合类线段计算题型。 45．如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，M为中点，当点P从点B运动到点C，最小值为（   ） A． B．4 C． D．5 46．如图，在四边形中，，，于．若四边形的面积是32，则的长是________． 47．如图，在四边形中，，，，，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 48．已知的对角线与相交于点．将沿折叠，点的对应点为点，连接，． (1)如图1，当点、、在一条直线上时， ； (2)如图2，当点、、不在一条直线上时，求的度数； (3)当为等边三角形，且，时，请直接写出对角线的长度． 【题型13 根据矩形的性质与判定求面积】 解题技巧： 先判定图形为矩形，再用基础公式长×宽计算面积。针对含空白、重叠的组合图形，采用割补法、整体减空白法拆分计算，可结合三角形面积比例，快速求解阴影部分、不规则区域面积。 49．如图，在矩形中，是上一点，交于点F，交对角线于点，连接，，．若要求阴影部分的面积，则只需要知道（  ） A．的面积 B．的面积 C．四边形的面积 D．四边形的面积 50．如图，在中，．D在上，于，于F．已知．则四边形的面积为_______ ． 51．如图，在平行四边形中，对角线，延长到点，使，连接，交于点，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求四边形的面积． 52．如图，在平面直角坐标系中，，，且． (1)求的面积； (2)为轴负半轴上一动点，过作的垂线，交的垂线于，为垂足，求的度数； (3)过作，当在轴负半轴上运动时，在（）的条件下，试判断的值是否改变，若不改变，请求出它的值． 【题型14 解答题压轴5道】 解题技巧： 综合融合矩形性质与判定、折叠变换、勾股定理、三角形全等、动点最值等核心考点。解题核心是拆分复杂图形，拆解已知条件，分步推导作答；针对动点题型，分类讨论不同位置情况，规避漏解、错解问题。 53．《被数学选中的人》是央视推出的纪录片，节目中说道：“数学区别于其他学科，最主要的特征是抽象与推理”，几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象．形成一些基本的几何模型，用类比等方法，进行探究，推理，以解决新的问题． 【建立模型】 (1)如图，和是顶角相等的等腰三角形，即，，且，分别连接、，则有________，________，________． 【应用模型】 (2)如图，在与中，，，，，，三点在一条直线上，与交于点，连接． ①求的度数； ②若点为中点，，直接写出的面积． 54．综合与探究 问题情境：如图，在平面直角坐标系中，点，，以点O，A，B，C四点为顶点作矩形，且x，y满足． (1)矩形的顶点B的坐标是______________； (2)点E是x轴上的一个动点，连接，将沿所在直线翻折，使点O落在点G处． ①如图1，若点G落在对角线上，求点E的坐标； 猜想证明： ②如图2，若点E是线段的中点，连接并延长交于点H，求证：四边形是平行四边形． 55．已知，点，分别在射线，上，以为边向外作，使，过点作的垂线交射线于点． (1)如图1，当点在射线上时，求证：是的中点； (2)当点在内部时， ①如图2，若，求证：； ②如图3，若为取值范围内的任意角度，作，交射线于点．用等式表示线段与的数量关系，并证明． 56．综合探究： 【问题提出】 (1)如图1，在中，，，则的面积为______； 【问题探究】 (2)如图2，在矩形中，，，点是矩形内一动点，连接、，点到、的距离相等，求的最小值； 【问题解决】 (3)如图3，某研究所要沿着小路、开发一块面积为平方米的四边形试验田（即（平方米），从、分别向铺设地下水管、，为节约成本，要求铺设水管的长度尽可能的短（即的值尽可能小）．已知，米，求铺设地下水管与长度之和的最小值．（水管的宽度忽略不计） 57．阅读与思考 下面是小贾同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务． 利用“特殊化”思想解决较复杂的几何问题面对某些较复杂的几何问题，我常常会束手无策，并不是我对几何概念、性质掌握不够，而是不知道怎么入手解决这些问题．今天，我又拿着一道题去问老师，这次我不仅要学会老师的解题过程，还要看他是怎么一步一步分析问题的． 问题：如图①，P是等边三角形内的任意一点，过点P向三边作垂线，垂足分别为D，E，F，若，则________． 【老师的思维路径】 思路分析一：动点P在哪些特殊位置时，的值更好求出？ 特殊位置一：如图②，当P为等边三角形三条高线所在直线的交点时，________． 特殊位置二：如图③，当点P在等边三角形的边的高上时，分析过程如下： 如图③，连接，∵为等边三角形，， ， ， （依据），， ，， ，， ． 思路分析二：图①的一般位置如何转化成容易求解的特殊位置，分析过程如下： 如图④，过点A作于点G，交于点H，过点H作于点I，过点P分别作于点J，于点K， ， ∴四边形是矩形， ， … 【回顾反思】 面对部分几何问题时，由于某些因素（如形状、位置等）不确定，使得问题有多种情形时，此时可考虑限制引起变化的因素，采用从特殊到一般的方式逐步分析规律，解决问题． 任务： (1)①特殊位置一中________； ②特殊位置二分析过程中的依据是________； (2)补全思路分析二中的求解过程； (3)如图⑤，P是等边三角形内的任意一点，过点P向三边作垂线，垂足分别为D，E，F，连接，，，若，则阴影部分的面积为______ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $