10.1.1 有限样本空间与随机事件 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦有限样本空间与随机事件，通过复习上章随机抽样及初中概率概念，衔接随机现象的共性，引出随机试验、样本点等新知，搭建新旧知识的学习支架。 其亮点在于结合彩票摇号、电路元件等生活实例，运用列举法、列表法培养数学抽象与数学建模素养，课堂小结系统梳理概念体系，助力学生形成逻辑思维，既帮助学生理解概念，也为教师提供清晰教学思路。

第十章 概率 10.1.1 有限样本空间与随机事件 1.结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义． 2.理解随机事件与样本点的关系． 3.通过对随机事件、必然事件、不可能事件概念的学习，培养学生数学抽象素养． 4.通过写出试验的样本空间，培养学生数学建模素养. 教学目标 通过上一章的学习可知，许多问题都可以通过随机抽样收集数据，再选择适当的统计图表描述和表达数据，并从样本中提取信息，估计总体，进而解决问题. 本节我们将在初中的基础上，进一步研究随机事件及其概率的计算. 这类现象的共性是——就一次观测而言，出现哪种结果具有偶然性，但在大量重复观测下，各个结果出现的频率却具有稳定性. ——随机现象. 例如：从装有白球和红球的袋子中随机摸出一个，事先不能确定颜色；有放回地重复多次，记录摸到的颜色，从数据中能发现红球和白球的大概比例，进而就能知道每次摸出红球、白球的可能性. 概率论正是研究随机现象的数量规律的一个数学分支． 复习引入 在一定条件下进行可重复试验时，有些事件一定会发生，这样的事件称为必然事件。 在一定条件下进行可重复试验时，有些事件一定不会发生，这样的事件称为不可能事件。 在一定条件下进行可重复试验时，有些事件可能发生也可能不发生，这样的事件称为随机事件。 如果一个试验有 n 种等可能的结果，事件 A 包含其中的 m 种结果，那么事件 A 发生的概率为：P(A) = 。 初高衔接 研究某种随机现象的规律，首先要观察它所有可能的基本结果. 新知探究 如（1）将一枚硬币抛掷2次，观察正面、反面出现的情况； （2）从你所在的班级随机选择10名学生，观察近视眼人数； （3）在一批灯管中任意抽取一只，测试它的寿命； （4）记录某地区7月份的降雨量.  一、随机试验的概念和特点 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E来表示． 　　我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验∶ （1）试验可以在相同条件下重复进行； （2）试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； （3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不确定出 现哪个结果． 可重复性 可预知性 随机性 新知探究 思考 体育彩票摇奖时，将10个质地和大小完全相同、分别标号0,1,2,…,9的球放入摇奖器中，经过充分搅拌后摇出一个球，观察这个球的号码．这个随机试验共有多少个可能结果？如何表示这些结果？ 那么所有可能结果可用集合表示为 {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}． 观察球的号码，共有10种可能结果． 用数字m表示“摇出的球的号码为m”这一结果， 二、样本点和样本空间 我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点， 全体样本点的集合称为试验E的样本空间 用ω表示样本点 用Ω表示样本空间 如果一个随机试验有n个可能结果的ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间 Ω={ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间. 本书中，我们只讨论Ω为有限集的情况。 新知探究 解：因为落地时只有正面朝上和反面朝上两个可能结果，所以试验的样本空间可以表示为 Ω＝{正面朝上，反面朝上} 如果用h表示“正面朝上”，t表示“反面朝上”，则试验的样本空间 文字表示 Ω＝{h，t} 字母表示 例1: 抛掷一枚硬币，观察它落地时哪一面朝上，写出试验的样本空间． 例2: 抛掷一枚骰子(tóuzi)，观察它落地时朝上的面的点数，写出试验的样本空间． 解：用i表示朝上面的“点数为i”．因为落地时朝上面的点数 有1， 2， 3，4，5，6共6个可能的基本结果，所以试验 的样本空间可以表示为 Ω＝{1，2，3，4，5，6}. 例3: 抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，写出试验的样本空间． 解：掷两枚硬币，第一枚硬币可能的基本结果用x表示，第二枚硬币可能的基本结果用y表示，那么试验的样本点可用(x，y)表示．于是试验的样本空间 Ω＝{(正面，正面)，(正面，反面)，(反面，正面)，(反面，反面)} 第一枚 第二枚 用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，那么样本空间还可以简单表示为Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)}. 例题巩固 练习 抛掷两枚骰子，观察它们落地时朝上面的点数，写出试验的样本空间. 解：用x表示第一枚朝上面的点数为x，用y表示第二枚朝上面的点数为y， 那么试验的样本点可用(x,y)来表示. 所以试验的样本空间可以表示为 Ω＝ {(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)， (2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)， (3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)， (4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)， (5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)， (6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}. 例题巩固 1 2 3 4 5 6 1 (1，1) (1，2) (1，3) (1，4) (1，5) (1，6) 2 (2，1) (2，2) (2，3) (2，4) (2，5) (2，6) 3 (3，1) (3，2) (3，3) (3，4) (3，5) (3，6) 4 (4，1) (4，2) (4，3) (4，4) (4，5) (4，6) 5 (5，1) (5，2) (5，3) (5，4) (5，5) (5，6) 6 (6，1) (6，2) (6，3) (6，4) (6，5) (6，6) (1) 列举法：把所有的样本点一一列举出来，适用于样本点不是很多的题目，列举时要按照一定的顺序，做到不重不漏。 (2) 列表法：将样本点用表格的形式表示出来，通过表格可以清楚地弄清样本点的总数，列表法适用于试验结果包括两个元素的情况。 (3) 树状图法：用树状的图形把样本点列举出来，便于分析样本点间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的手段。 试验的样本空间的表示方法： 思考 在体育彩票摇号试验中，摇出“球的号码为奇数”是随机事件吗？摇出“球的号码为3的倍数”是否也是随机事件？如果用集合的形式来表示它们，那么这些集合与样本空间有什么关系？ 显然“球的号码为奇数”和“球的号码为3的倍数”都是随机事件． 用A表示随机事件“球的号码为奇数”， 则A发生，当且仅当摇出的号码为1,3,5,7,9之一，即事件A发生等价于摇出的号码属于集合{1，3，5，7，9}．故用集合{1，3，5，7，9}表示随机事件A. 样本空间Ω＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9} 集合{1，3，5，7，9}是样本空间的子集， 思考 在体育彩票摇号试验中，摇出“球的号码为奇数”是随机事件吗？摇出“球的号码为3的倍数”是否也是随机事件？如果用集合的形式来表示它们，那么这些集合与样本空间有什么关系？ 则样本空间的子集{0，3，6，9}表示随机事件B,即B={0，3，6，9} 样本空间Ω＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9} 类似地，用B表示事件“摇出球的号码为3的倍数” 设A=“球的号码为奇数”，则A={1，3，5，7，9} 新知探究 一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示。为了方便，我们将样本空间的子集称为随机事件，简称事件。随机事件一般用大写字母A，B，C等表示. 三、随机事件、必然事件、不可能事件 特别地，只包含一个样本点的事件称为基本事件， 在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生 思考1：投掷一枚骰子，事件“落地时朝上的面的点数小于7”是否具有随机性？ 思考2：投掷一枚骰子，事件“落地时朝上的面的点数等于7”是否具有随机性？ 新知探究 必然事件与不可能事件不具有随机性，为了方便统一处理，将二者作为随机事件的两个极端情形，这样每个事件都是样本空间Ω的一个子集. Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件 空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不发生，称∅为不可能事件. 必然事件--- 不可能事件--- 新知探究 例4、如图，一个电路中有A,B,C三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效，把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常. （1）写出试验的样本空间； 解：(1)分别用x1，x2和x3表示元件A，B和C的可能状态，则这个电路的工作状态可用(x1，x2，x3)表示.进一步地，用1表示元件的“正常”状态，用0表示“失效”状态，则样本空间 Ω ＝{(0，0，0)，(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)， (1，1，0)，(1，0，1)，(0，1，1)，(1，1，1)} 例4、如图，一个电路中有A,B,C三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效，把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常. （1）写出试验的样本空间； （2）用集合表示下列事件： M=“恰好两个元件正常” N=“电路是通路” T=“电路是断路” (2)“恰好两个元件正常”等价于(x1，x2，x3)∈Ω，且x1，x2，x3中恰有两个为1，所以M={(1，1，0)，(1，0，1)，(0，1，1)}． 例4、如图，一个电路中有A,B,C三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效，把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常. （1）写出试验的样本空间； （2）用集合表示下列事件： M=“恰好两个元件正常” N=“电路是通路” T=“电路是断路” “电路是通路”等价于(x1，x2，x3)∈Ω，且x1=1，x2，x3中至少有一个是1, 所以N={(1，1，0)，(1，0，1)，(1，1，1)}； 例4、如图，一个电路中有A,B,C三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效，把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常. （1）写出试验的样本空间； （2）用集合表示下列事件： M=“恰好两个元件正常” N=“电路是通路” T=“电路是断路” “电路是断路”等价于(x1，x2，x3)∈Ω，且x1=0，或且x1=1，x2=x3=0，所以T={(0，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)， (0，1，1)，(1，0，0)}． 例4、如图，一个电路中有A,B,C三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效，把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常. 可以借助树状图帮助我们列出试验的所有可能结果. 练习： 1.指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件： (1)某人购买福利彩票一注，中奖500万元； (2)三角形的内角和为180°； (3)没有空气和水，人类可以生存下去； (4)同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上； (5)从分别标有1，2，3，4的四张标签中任取一张，抽到1号标签； 2.设集合M={1,2,3,4}，a∈M，b∈M，试验的样本点为(a,b)， 则样本点的个数为（ ） A.6 B.8 C.12 D.16 练习： 3.写出下列各随机试验的样本空间： (1)采用抽签的方式，随机选择一名同学，并记录其性别； (2)采用抽签的方式，随机选择一名同学，观察其ABO血型； (3)射击靶3次，观察各次射击中靶或脱靶情况； (4)射击靶3次，观察中靶的次数. (5)随机选择一个有两个小孩的家庭，观察两个孩子的性别； (1) 样本空间Ω＝{男, 女}. (5) 样本空间Ω＝{(男, 男), (男, 女), (女, 女), (女, 男)}. (2) 样本空间Ω＝{A, B, O, AB}. (3) 用1表示“中靶”，用0表示“脱靶”，则样本空间为 Ω＝{(1,1,1), (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (0,0,0)}. (4) 样本空间Ω＝{0,1,2,3}. 练习： 4.袋子中有9个大小和质地相同的球，标号为 1，2，3，4，5，6，7，8，9，从中随机摸出一个球. (1)写出试验的样本空间； (2)用集合表示事件A=“摸到球的号码小于5”， 事件B=“摸到球的号 码大于4”， 事件C=“摸到球的号码是偶数”. 解：(1) 样本空间为Ω={ 1,2,3,4,5,6,7,8,9}. (2) 事件A={1,2,3,4}；事件B={5,6,7,8,9}；事件C={2,4,6,8}. 练习： 5.从5个男生、2个女生中任意选派3人,则下列事件中是必然事件的是(　　) A.3个都是男生　　B.至少有1个男生 C.3个都是女生　　D.至少有1个女生 6.(多选题)在25件同类产品中,有2件次品,从中任取5件,下列是随机事件的是(　　) A.5件都是正品　　B.至少有1件次品 C.有3件次品　　D.至少有3件正品 练习： 课堂小结 1.随机试验E： 随机事件(事件)： 基本事件： 3.事件A发生： 必然事件： 不可能事件： 样本点ω、样本空间Ω、 有限样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}； 2.随机事件的概念及表示： 当且仅当A中某个样本点出现 $